О разрешимости некоторых краевых задач для уравнения Пуассона с граничными операторами дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О РАЗРЕШИМОСТИ НЕКОТОРЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА С ГРАНИЧНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

С. Абдурахманов, В. В. Карачик, Б. Х. Турметов

ON SOLVABILITY OF SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR THE POISSON EQUATION WITH FRACTIONAL DIFFERENTIAL OPERATORS

C. Abdurakhmanov, V. V. Karachik, B. Kh. Turmetov

Исследуются две краевые задачи для уравнения Пуассона с граничными операторами дробного порядка в смысле Римана - Лиувилля и Ка-путо.

Ключевые слова: операторы дробного порядка, уравнение Пуассона, краевые .задачи

Two problems for the Poisson equation with boundary fractional operators in the Riemann-Liouville and Kaputo are under investigation.

Keywords: fractional differential operator, the Poisson equation, boundary value problem

1. Введение

В настоящей работе изучаются вопросы разрешимости краевых задач для уравнения Пуассона с граничными операторами дробного порядка.

Определение 1. Оператором дробного дифференцирования в смысле Римана - Лиувилля порядка а от функции /(Ь) на интервале (0,1) называется выражение, определяемое формулой

г

1 Лт С

= тт-О) лт]-(8) Ь € (00

Если функция /(Ь) т-раз дифференцируема на интервале (0,1), то выражение

г

[т = Пт- а)1 (ь - 8)т-1-а/(т)(8')й8 0

называется оператором дробного дифференцирования в смысле Капуто.

Пусть О = {х € Кп : \х\ < 1} - единичный шар в Мп, дО = {\х\ = 1} - единичная сфера, а ип - ее площадь. Рассмотрим в О следующую краевую задачу:

Ап(х) = д(х), х € О (1)

Ваи(х) = /(х), х € дО, (2)

где Ба - один из операторов дробного дифференцирования в смысле Римана - Лиувилля Оа или Капуто О^, действующий по направлению вектора х.

Отметим, что аналогичные задачи для уравнения Лапласа с граничными операторами целого порядка рассматривались в работах [1, 2], а для операторов дробного порядка в [4, 5, 6]. В зависимости от свойств решений мы будем изучать задачу (1), (2) в следующих постановках.

Задача 1. Найти, функцию и(х) такую, что и(х) € С2(О) П С(Й), гаОаи(х) € С(Й) и удовлетворяющую условиям (1), (2) в классическом смысле.

Задача 2. Найти, функцию и(х) такую, что и(х) € С2(О) П С(Й), гаОаи(х) € С(Й) и удовлетворяющую условиям (1), (2) в классическом смысле.

Справедливы следующие основные утверждения.

Теорема 1. Пусть 0 <А< 1, 0 < а < 1 и А + а - нецелое. Тогда для любого д(х) € С Л(Й) и /(х) € Сл+1(дО) решение задачи 1 существует и принадлежит классу Сл+а+1(Й).

Теорема 2. Пусть 0 <А< 1, т — 1 < а < т, т = 2, 3,... и А + а - нецелое. Тогда, для любых функций д(х) € Ст-2+х(Й) и /(х) € Сх(дО) решение .задачи 1 существует и принадлежит классу Сл+а(Й).

Замечание 1. Нетрудно показать, что оператор можно представить в виде

1 Г 1 т-1 / л \

оа [/т = тт—аг)]—т)т-1-аттЦ Ы — 0/(т>ЛТ-

По аналогии с этим оператором введем следующий оператор

1 Г (^ — т)т-1-а т-1 / Л \

^ = Гт—а) Г тт-2 ДД ТТг — ' + V / (т > ^

Теорема 3. Пусть /(х) € С(дО), д(х) - полином произвольной степени. Тогда, для разрешимости задачи 2 необходимо и достаточно выполнение условий

IИ3(х)/(х) йвх = IИ3(х)\х\аБУ [д] (х) Лх, (3)

дП П

где И3(х) - однородный гармонический полином степени ] и ] =0,1,... ,т — 1.

2. Вспомогательные утверждения

Для доказательств основных теорем нам необходимы некоторые вспомогательные утверждения. В дальнейшем будем считать, что 0 <А< 1, к = 0,1,... и символ С будет обозначать положительную постоянную, значение которой нас не интересует.

Лемма 1. Пусть у(х) является решением задачи

Ау(х) = д(х), х € О (4)

у(х)\дп = 0.

Если д(х) € Ск+х(О),

то у(х) € Ск+х+2(О).

Доказательство этой леммы приведено в работе [7, с. 113]. Лемма 2. Пусть ц > -1 и у(х) € Ск+х(й). Тогда, функция

1

вд = /а - гг^) *

принадлежит классу Ск+х(й).

Доказательство. Пусть в = (@1,@2, ■ ■ ■,вп) - мультииндекс с |в| < к. Очевидно, что

1 1 Н(х) = ! (1 - т)^Бву(тх) (т = ! (1 - тБ?ь(у) (т. 0 0

Следовательно, для любых х,х0 € й имеем

1

| Бад - Б| < /и — ту| ов«тх) - мы1(т < Сх - хо| ».

0

Таким образом, БвН(х) € Сх(й) для любого мультииндекса в такого, что | в| < к. Отсюда следует, что Н(х) € Сх+к(й). □

Лемма 3. Пусть у(х) € Ст+х+к(й). Тогда,

таБау(х) € Сх+к(й).

Доказательство. По определению

г

та (т г

таБау(х) = —--(т - т)т-1-аь(тв) (т,

К ; Г(т - а) (тт 7 1 7 V У >

0

где т = |х|, в = Щ. Рассмотрим функцию

г

Н1(х) = !(т - т)т-1-ау(тв) (т. 0

После замены переменных Ь = тт функция Н1(х) записывается в виде

1

"1(х) =тт-а 1(1 - Л =

0

По лемме 2 имеем

Н2(х) € Сх+т+к(й).

Тогда

( Л-1(х) а ( г т-аи /™\1 та \ г< тт—а—%( ^2(х)

= та^ [тт-^2(х)] = т^ Са

(тт (тт 2К п ^ г'а (тт-г

г=0

^ ^ Сг,а г=0

Так как при г = 0 справедливо включение

— йт-гН2(х) (гт-г '

втН2(х) С х+к (О)

(Г

то функция

,(1тЬ,1(х) (гт

принадлежит классу Сх+к(О). Следовательно,

Лемма 3 доказана.

Рассмотрим функцию

гаБау(х) € Сх+к(Й).

Е(х,у) = -1- \ х — у \2-п,

II 2

которая является фундаментальным решением оператора Лапласа. Лемма 4. Если у < х , то справедливо разложение

□

Е(х,у) =

те

1

__\ У \к V И {г) ( — \ И У

к=0 2к + п — 2 \х\ к+п-2 к ^ х г к

(5)

(г)

где Ик - ортогональная система однородных гармонических полиномов степени к, обла-

т(г) I

дающих свойством \\Ик ||ь2(дП) = л/йП. Доказательство. Пусть \у\ < \х\. Тогда

\ х — у \2-п =

ху

1 Т \х \ 1 г \х \

х х

2-п

= \ х \

2п

ху

х х

2п

= \ х \2-п \ е — п \

2п

где

е = хг = ^ \ п\<1

Далее,

\ е—п \2-п =

1 — 21 гт) + тх2

х х х 2

оо

,______П 1

= £ С2-1 к=0

1 — 2 М (— + \у2

х у

\х \ \ у \

х

х х к

I'

х

п-1

где С 2 (^ многочлены Гегенбауэра (см. [8]). Известно (см. [8]), что для многочленов Ге-генбауэра имееют место соотношения

-1 (1) = (к+п—з)

"к () к!(п — 3)! :

п2

г

1— п

1 2

1 — п 1 2

Кроме того, если (£) - произвольная ортонормированная система сферических гармоник степени к, то

п—1 нк

Ск = Шп ^ „(г)(с)„(г)

f—i--^Е5 HOS

C2 (1) hk £i

<2 "(1) h k

гДе \Z\ = 1, \n\ = 1- Тогда, функция \x — y\2—n представляется в виде

i x—y \=\ x \ y et ^n h e si?^^ Xk.

hkkk x

k=0 \ k г=1 / 1 1

Положим

|2—n _ | ^f-1m I Шп Q (i)(c\ Q (i)

k

S?(0 = -= H?®, ski)(n) = -= H®(n)

т.е.

к ' у/шп к \| х V к и у/шп к \| у \.

Отсюда, для функции Е(х,у) получаем представление (5). Лемма 4 доказана. □

Замечание 2. Похожий результат был получен также в [3] (лемма 3, с. 3517). Следствие 1. Если выполняется неравенство х < |у|, то справедливо представление

^ 1 \х\к ^к / х \ ( у \

Е(х,у)=к=0 2к + п - 2 Ик (ш Ик (ш ■

Пусть д(х) - полином произвольной степени. Предположим что, Рт(х) - однородный полином степени т. Тогда известно (см. [9], с. 159), что существуют однородные гармонические полиномы Ут-2к(х) степени т - 2к такие, что

[т/2]

Рт(х) М^Ут-2к(х).

к=0

Далее, так как любой полином можно выразить через однородные полиномы, то д(х) можно представить в виде

д(х) = Y У(к) (х), к,в

где У}к\х) - однородные гармонические полиномы степени в. Рассмотрим объемный потенциал V(х) с плотностью д(х), т.е.

1

Шп

V(x) = —— I E(x,y)g(y)dy. Шп J

Справедливо следующее утверждение. Лемма 5. Если

д(х) = Y х21' У(к)(х), к, в

то для любого х € й имеем

V (х) = V |х|2к+2 У°к)(х)__^_УкМ__(6)

уух> ^ (2к + 2)(2к + 2в + п) ^ (2к + 2)(2в + п - 2) ^ (6)

к, к,

Доказательство. Пусть р = \у\, £ = у. Тогда

V(х) = —— [ Е(х, р£)д(р£) (Б« (р. (7)

Обозначим /(х) = \х\2к(х). Представим интеграл в правой части (7) в виде

|х| 1

V (х) = 1 + 1 = 11 + 12.

о |х|

Рассмотрим интеграл /1 для функции /(р£). Используя разложение (5), имеем |х|

/1 = —— [ рп-1 [ Е(х, р£)/(р£) (Б« (р = 0 |«|=1

|х| И

± / £ ит>( х)ит>( Б (р=

о |«|=1 т=0 г=1

|х| и

|х|-(т+п-2) с Ик / ч ,

у \х\- рП-1+т+2к+*у ит) х) И(т (£)У(к) (£) (Б« (р.

йп£=0 2т + п — 2 Г = т V!х \) ] 8

т=0 0 г=1 |«| = 1

Далее, учитывая ортогональность сферических гармоник различной степени и равенство

у.<к) (х) = £ £ / и8г (£ук) £ (Б«и(к) (х).

г=1 |«|=1

получаем

|™|-(в+п-2) г / х \ |™|8+2к+2 / х -Iх_ 2з+2к+п-2(( у(к) х \ =__\х_У(к) х

28 + п — 2 ] р (р 8 ^х \) 2 + п — 2)(2в + 2к + п) 8 ^х\.

0

\2к+2

х 2к+2

_х_У(к) (х)

(28 + п — 2)(2в + 2к + п) 8 '

Преобразуем второй интеграл /2

£ ИН х) ^ ( уу^) Б

12 = —I рп-1 / £ т*^2 £ ит,,, "п I м т=0 2т+п—2 = т VI х \

1

х \ 1 — |х|2к+2

р

2к+1

28 + п — 2 У (рУ°к) (\ х \) (28 + — — 2)(2к + 2) ^ (х)'

х

Таким образом, будем иметь

1 х 2к+2

V (х) =--Е (х, у)д(у)(у = - V --^---- У(к) (х) +

Шп.) 1 у (2в + п - 2)(2в + 2к + п) в К !

к, в

+ V |х|2к+2 -1 У(к) (х) = V х^У-^ (х)

(2в + п - 2)(2к + 2) в ух> (2к + 2)(2в + 2к +

У(к) (х)

(2в + п - 2)(2к + 2) в ^ (2к + 2)(2в + 2к + п)

к, к,

£

к з (2к + 2)(2в + п - 2)'

Лемма доказана. □

Замечание 3. Похожий результат был получен также в [2] (лемма 1, с. 416) для задачи (1), (2) с операторами целого порядка.

Лемма 6. Пусть

д(х) = Е У(к)(х).

к,

Тогда для 2к + в + 2 > а справедливо равенство

тапа^ [д](х) = £ п' (2к + в - г + 2)Гт(2кк + в ++1 -т\) М^У^Чх).

к, в г=0,г=] ( + + )

Доказательство. По определению оператора [д] (х) запишем

та \ (т — т)т-1-а т—1 / ( \

т"°а" [д] х = тт-а)! т-2 П ы- г+2)д(тв) (т =

т

Г(т - аН тт-2 2 т-1 1

Г(т - а)

у ' к, в г=0,г=]

-

Е П <2к+в - г- гг-1-а?к+-+2-т

= £ П (2* + в - г + 2)^ + в -т)

к, в г=0,г=з у '

Лемма доказана. □

3. Доказательства основных результатов

Доказательство теоремы 1. Представим решение задачи 1 в виде и(х) = ь(х) + 'ш(х), где ь(х) решение задачи (4), а w(x) решение следующей задачи

А'ш(х) = 0, х € О П^(х)дп = I(х) - таБау(х) = ¡1(х). (8)

Известно (см. [6]), что для любого 11(х) € С(дО) решение задачи (8) существует. Далее, из результатов разделов 1 и 2 следует, что если 11(х) € Сх+к(дО), то решение задачи (8) принадлежит классу Сх+к+а(О). Остается изучить гладкость решения задачи (4). Так как д(х) € Сх(й), то в силу утверждения леммы 1 имеем у(х) € Сл+2(й). Тогда из леммы 3 следует, что таБау(х) € СЛ+1(й), и, следовательно, получим 11(х) € СЛ+1(дО). Теорема 1 доказана. □

Используя результаты работы [10] гладкость решения задачи 1 в теореме 1 можно уточнить в следующем виде.

Лемма 7. Пусть для функции д(х) имеет место оценка

| д(х) | < С(1 - | х |^

и для этой функции решение задачи (4) существует. Тогда для любого ц < X функция у(х) принадлежит классу С 1+^(0).

Теорема 4. Пусть 0 <Х< 1, 0 < а < X и X + а - нецелое. Если функция д(х) удовлетворяет условиям леммы 6, то для любого /(х) € Сх(д0) решение задачи 1 существует и принадлежит классу Сл+а(0).

Доказательства теорем 2 и 4 проводится повторением доказательства теоремы 1 с небольшими изменениями.

Доказательство теоремы 3. Осуществим в задаче 1 замену переменных по формуле и(х) = V(х) + 'ш(х), где функция V(х) находится из (5). Тогда она перейдет в однородную задачу (1), (2) с функцией ф(х) вида

ф(х) = /(х) - У(х) |дп . Очевидно, что В^У(х) € С(д0). Поэтому, применяя результат работы [4], найдем

0 = ! И3(х)ф(х)йзх = IИ3(х)/(х)йзх - IИ3(х)таБаУ(х) йзх,

дП дП дП

т.е. условием разрешимости задачи 2 является равенство

I Из(х)/(х)йвх = ! Из(х)гаБаУ(х) Чз2

дП дП

Вычислим таВ^У(х). Используя представление (6), имеем

т— 1

Га Г 1 / Ч \

т°В°-т х = Гт-а)] (т - тГ тт П (тТт - •) VИ)Чт =

0 =

^ п (2к + 3 - г + 2) Т(2к + 3 + 3 - т), 2к+2у{к)(

11 (2к + 2)(2к + 23 + п) Г(2к + 3 + 3- а) |х| 1з ух>

к,в г=0

Заметим, что если 2к + з + 2 < а, то В^ [V] (х) = 0. Преобразуем интеграл

У Из(х)тапа\(х)Чзх

дП

Так как для любого ] = з справедливо равенство

к,

I Из(х)У(к)(х) Чзх = 0, (9)

дП

то

£ гЩ-а)! ИзЧ" = 0

кв дП

для любых 3, з. Поэтому, достаточно изучить интеграл

I = I И (х)Т- т- (2к + з - ' + 2) Г(2к + з + 3 - т I х| 2к+2У (к) (х) Чз

1 = И. (х)^Ц(2.к + 2)(2к + 2з + п)Г(2к + з + 3- а) т Ув (х) Чзх

(2к + 2)(2к + 2з + п)Г(2к + з + 3 - а)

дП кв г=0

Пусть

д1(х) = х^У^Хх). Тогда в силу (9) будем иметь

! Из (х)д1(х)Чзх =! Из (х)У(к\х)Чзх

дП дП

Следовательно,

т1

I = УП (2к + 3 - ' + 2) Г(2к + 3 +3 - т) [и. (х)у(к)(х) ¿з 1 =0(2к + 2)(2к + 23 + п) Г(2к + 3 + 3 - а) .1 И(х)Уз (х) Чзх'

к г=0 дП

Далее, учитывая, что 3 принимает значения 3 = 0, 1, . . . , т - 1 имеем

I = Т П (2к + 3 - ' + 2) Т(2к + 3 + 3 - т) [ И (х)у(к)(х) Чз

1 = (2к + 23 + п) Г(2к + 3 + 3 - а)] И (х)Уз (х) Чзх'

к г=0,г=з дП

Известно (см. [2], лемма 3, с. 417), что выполняется равенство

2к + з + 3 + п\И. (х)У(к)(х)Чзх = ! И. (х)х2к У(к)(х) Чх. (10)

дП П

Тогда, используя (9) и (10), интеграл I можно записать в виде

I = £ П ?к,+ з-' + 2) Т: + з + 3 - т I И, (х)У(к)(Х) Чзх =

+ 3 + з + п) Г(2к + з + 3 - а)] зУ ' в У>

к, г=0,г=з дП

= £ П (2к + з - ' + 2)Щ:+з+3-т)1 Из(х)х2кУ(к)(х) Чзх =

+з+3-

к, г=0,г=з П

т1

П к, г=0,г=з

И, наконец, из леммы 6 следует , что

И,(х)£ П (2к + з - г + 2)Щ2к+з+^^У(к)(х) ¿х-

I = у Из(х)таваз [д] (х) Чх.

П

Таким образом, верно равенство

У И,(х)таБа\(х)Чзх = I И,(х)таВаз [д] (х) Чх.

дП П

Отсюда вытекают равенства (3). Теорема 3 доказана. □

Литература

1- Карачик, В- В- О разрешимости одной задачи для уравнения Пуассона в шаре / В- В- Карачик // Вопросы вычислительной и прикладной математики- - Ташкент- - 1993- - Вып-95- - С-77- 882- Карачик, В- В- Об одной задаче для уравнения Пуассона с нормальными производными на границе / В- В- Карачик // Дифференц- уравнения- - 1996- - Т-32, № 3- -С- 416 - 4183- Karachik, V- V- On one set of orthogonal harmonic polynomials / V- V- Karachik//

Proceedings of American Mathematical Society- - 1998- - V- 126, №- 12- - P- 3513 - 35194- Турметов, Б-Х- Об одной краевой задаче для гармонического уравнения / Б- Х- Турметов // Дифференц- уравнения- - 1996- - Т-32, № 8- - С- 1089 - 10925- Турметов, Б-Х- О гладкости решения одной краевой задачи с граничным оператором дробного порядка / Б- Х- Турметов // Математические труды- - Новосибирск- - 2004- Т-7, № 1- - С-189 - 1996- Абдурахманов, С- О гладкости решения краевых задач с операторами дробного дифференцирования / С- Абдурахманов // Узбек- мат- журн- - 2006- - № 2- - С- 3 - 87- Гильбарг, Д- Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д- Гильбарг, Н- Трудингер- - М-: Наука, 1989- - 463 с-

8- Бейтмен, Г- Высшие трансцендентные функции / Г- Бейтмен , А- Эрдейи- - Т-2- - М-: Наука, 1966- - 295 с-

9- Стейн, И- Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах / И- Стейн, Г- Вейс- - М-: Мир, 1974- - 333 с-

10- Алимов, Ш- А- Об одной задаче с наклонной производной / Ш- А- Алимов // Дифференц- уравнения- - 1981- - Т-17, № 10- - С- 1738 - 1751-

Ташкентский государственный технический университет имени А. Беруни, г. Ташкент, Республика Узбекистан;

Южно-Уральский государственный университет; Международный казахско-турецкий университет имени Х. А. Ясави, г. Туркестан, Республика Казахстан

[email protected]

Поступила в редакцию 4 сентября 2009 г.