О разрешимости одной краевой задачи для неоднородного полигармонического уравнения с граничным оператором дробного порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 8. № 3 (2016). С. 160-175.

УДК 517.9

О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ГРАНИЧНЫМ ОПЕРАТОРОМ ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Б.Х. ТУРМЕТОВ

Аннотация. В работе исследуется вопросы разрешимости одной краевой задачи для неоднородного полигармонического уравнения. В качестве граничного оператора рассматривается оператор дифференцирования дробного порядка в смысле Адамара. Рассматриваемая задача является обобщением известной задачи Неймана.

Ключевые слова: полигармоническое уравнение, дробная производная, задача Ней-мана,оператор Адамара.

Mathematics Subject Classification: 35L75, 35Q53, 37K10, 37K35

1. Введение

Пусть П = [х Е Rn : |х| < 1} - n-мерный единичный шар, п > 2, дQ = [х Е Rn : |х| = 1} - единичная сфера. Далее, пусть и(х) - гладкая функция в шаре П,

п

г = |х|,0 = х/г, 8 = - оператор Дирака, где J^ = V"^.

г г ,=1 г xj

Для любого а > 0 следующее выражение

г

0

называется оператором интегрирования порядка а в смысле Адамара [1]. В дальнейшем будем считать, что 30 [и](х) = и(х). После замены переменных £ = в г интеграл (1) представляется в виде

1

J= i)

0

Заметим, что оператор 3а неприменим к непрерывным функциям и(ж), при и(0) = 0, по-

1 / \ а—1

скольку интеграл / (1п |) расходится. Поэтому для любого а Е (I— 1,1], I = 1, 2,...

0

в качества оператора дифференцирования дробного порядка мы рассмотрим следующую модификацию оператора Адамара

г I

°а[и](х) = '' И"« (х) ^ йГа)! (1Пв)1—£) [и](в(,)Т

0

B.KH. TüRMETOV, ON SOLVABILITY OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR AN INHOMOGENEOUS POLYHARMONIO EQUATION WITH A FRACTIONAL ORDER BOUNDARY OPERATOR. © ТУРМЕТОВ Б.Х. 2016.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта МОН РК (грант №0819/GF4). Поступила 24 августа 2015 г.

Пусть 0 < а < 1,т = 1, 2,.... Рассмотрим в области П следующую задачу

(- А)ти (х) = ! (х), х е П (3)

Оа+к [и] (х) = дк (х) ,х е д П,к = 0,1,...,т — 1. (4)

Решением задачи (3)-(4) назовем функцию и (х) е С2т (П) П С (П), для которой £)а+к [м] (ж) е с (П = о, 1, ...,т — 1, и удовлетворяющую уравнению (3) и граничным условиям (4) в классическом смысле.

Отметим, что краевые задачи с граничными операторами дробного порядка для эллиптических уравнений второго порядка исследовались в работах [2]—[10]. Приложения краевых задач для эллиптических уравнений с граничными операторами дробного порядка рассмотрены в работах [11]—[13]. Аналоги задачи Неймана для бигармонического и полигармонического уравнения в случае граничных операторов целого порядка изучались в работах [15]-[19], а в случае граничных операторов дробного порядка в смысле Римана-Лиувилля, Капуто и Адамара-Маршо в работах [20]-[23].

Так как 3°[и](х) = и(х), то в случае а = 1 оператор И1 совпадает с оператором 6, а Бк = 5к = (г)к. В работе [20] доказано, что для оператора (гк верно равенство

4)к=£ (£ (-Ц-4 = £ ^ л = 1.

к

дг ) ^ \ ^ у ' j!(г — j)! Известно также (см., например, [17]), что

г dl

агл

d { d Л id .

г— г---1 ... г---г + 1

аг V аг ) \ аг

дги(х)

дп д»г

дП

дП

где V - вектор внешней нормали к границе области П. Следовательно, в случае а = 1 задача (3)-(4) является некоторым аналогом задачи Неймана для уравнения (3).

2. Вспомогательные утверждения

В этом пункте мы исследуем некоторые свойства операторов За и Оа.

Лемма 1. Пусть 0 < а, 0 <А< 1 и и(х) е Сх+Р (Й) ,р = 0,1,.... Тогда, если и(0) = 0, то функция ,1а[и](х) также принадлежит классу Сх+Р (П) и выполняется равенство За [м](0) = 0.

Доказательство. Пусть и(0) = 0. Тогда

1 1 1 1

I 5 щ/ Н) ^* < щ/ Н) ^^

0 0

1 1А-1

Так как интеграл f (in 1)" sx 1ds сходится, то | Ja[u](x)\ < С, где С = const, и поэтому

0

функция За[и](х) определена. Далее, обозначим Н(х) = За[и\(х). Тогда для любых х,у е П имеем

1

а— 1

\ад - < rk! (ш 1 \"(s х) <

0

1

|А г / 1 N а~1

< (1n Й ^

0

Аналогичным образом, для любого мультииндекса [ с |[| < р получаем

1 .

Dk(x) — D>ОД\ < ! fini)-1x) — is < -

Г(а) J V SJ s

о

Кроме того,

1 -,

а—1

Ja [u](0) = lim Ja [u](x) = f fin Л s"1 lim u(sx)is = 0. ж^о L(a) J \ s J х^о

о

□

Аналогично доказывается следующее утверждение.

Лемма 2. Пусть 0 <а < 1, 0 <А< 1 и и(х) Е Сх+Р+1 (П). Тогда Да[и](х) Е Сх+Р (П) и выполняется равенство Да[и](0) = 0.

Лемма 3. Пусть 0 < а, А < 1 и и(х) Е Сх+1 (П). Тогда

1) для любого х Е П справедливо равенство

3а [Да[и]](х) = и(х) — и(0); (5)

2) если и(0) = 0, то для любого х Е Й справедливо равенство

Ва [3а[и]] = и(х). (6)

Доказательство. Если и(х) Е Сх+1 (П), то по лемме 2.2, получаем Оа[и](х) Е Сх (П) и Да[и](0) = 0. Тогда в классе таких функций оператор 3а определен и

1 i L г\а~1 w „ч is

1 / / Г\а—1 iG

Ja [Da[u]] (x) = r-)J (in-) Da[u](s0)-

о

r s

1 1 i /, r\a~1 f /, S\-a^r „чiris

u]

(ln£f (ini) "ô[u](r0)-

Г(а) Г(1 — a) J V sJ J V tJ t s

оо

r r

1 1 u( ) а 1 - а i

I II I in _ -i

а 1 - а i

M гт) ~JiT.

Г(а) Г(1 — а)] йт 7 V в) V т/ в

0

Легко показать, что

r s\a~1 / s\-а s\ Г(а)Г(1 — а)

in--in —

Г '( Ш 7) -ai О" 7)

т т/ \ т/ V т) Г(1)

Тогда

г

3а [£>]] (х) = I = и(х) — и(0).

0

Равенство (5) доказано.

Далее, так как и(0) = 0, то по лемме 2.1 функция 3а[и](х) определена в области П и

г

Ба [3а[и]] (х) = гу1^)/ (1п в У"8 ^3а[и](^) 7 =

0

1

-Г-

1 / г\1—а й

1 (1п-) -^-3а[и](80)3,8

Г(1 — а) дг } 1 — а\ в/ ¿в

о

1 й -г-

Г(1 — а) ¿г й

1 — а\ 8,

л а—I п

(г>\ 1—а / / г» \ —а

1п-] За[и](80) + у (Ь-] За[и](80)(Иб

1

Г(1 — в

о

У (1п^) а,]а[и](зО)(18

Н

г- [31—а[,Г[и]]} (х).

Так как 31 а • За = 31, то

тл*\т*\ ЛЛ( \ ^ { < и(гв) < \

Б" [За[и]] (х) = г— и(зв)— = г——- = и(х).

о

□

Лемма 4. Пусть (—Л)ти(х) = ¡(х), где ¡(х) гладкая функция в П. Тогда справедливо равенство

(—Л)тБа[и](х) = Р(х),х е П, (7)

где

Р(х) = \х\—2тВа |>\2т/(ж)] . (8)

Доказательство. Используя равенство (2) для функции Оа[и](х), имеем

Оа[и](х) =

о

Легко показать, что

Кроме того,

Л т

8 — Ы( 5 х) аз

82т(^8^ + 2т^\ ¡(8Х).

2 т

(8^ + 2т) К8X) = 8^ [82т/(8X)} .

Применяя к функции Оа[и](х) оператор Лт, получим

ЛтОа[и](х)

1

1

Г1 -а)] ^

о

2 т

Г(1 — а) У V з / ¿8 о

\п ^ [( в г)2т f (8х)]й8 = \х\ — 2тВа [\х\2т/(ж)] = Р(ж)

□

1

1

1

Лемма 5. Для функции Р(х) имеет место представление

Р(х) = ( г— + 2т) П—а(х),

{Г1 + 2т) Ь—а(х) = |х| —т31—а И х|2т! (х)] .

где

Доказательство. После замены переменных в г = £ из представления (8) получим

Р (х)

| х|

-2т

Г(1 — а)

(1п 0—"- К2т íК0)]%

х

2 т

Г(1 — а) -г

(1п 01—" | К2т f К 0)]%

1— а

х

2 т

Г(1 — а) -г

Обозначим

Очевидно, что

1— а

("■ й

1 а

ь7 гт / т

£=г Г _

+ /(ь 0 кв) |

?=0 0

м-2тг |

1

Г(1 — ау\ е

(1п 0—2т / т |

х

2 т

Г(1 — а)У\ в

"в 2т /( вх)у

Л—а(х)

1

Г(1 — а^\ в

0

('п 0 —ав2т/сх)$

Л—а(х)

1

Г(1 — а)у (ь8) в2т/(вх)^ = |х|—2т31—а |>|—2т/(х)] . 0

1 \ о™ „ / ч

Тогда

Р(х) = |х|—2тГй [|х|2т/1—а(х)] = (Г-й + 2т^ ¡1—а(х)

т.е. верно равенство (9).

□

Следующее утверждение доказано в работе [22].

Лемма 6. Пусть 0 < а < 1, и Да+ки(х),к = 1, 2,... существует. Тогда справедливо

равенство

Ва+к [и](х) = (г—^ £а[и](х)

11)

1

1

1

1

1

3. Исследование некоторых свойств решения задачи типа Дирихле Рассмотрим следующую задачу

(-А)ть (ж) = Р (ж) ,х е О, 5к [г>] (х) = дк (х) , х е дО, к = 0,1, ...,т — 1.

Пусть функции V(х) и т(х) являются решениями следующих задач

'12)

!

(—А)тV (х) = Р (х) ,х е О,

8к [ V] (х) = 0, х едО, к = 0,1,...,т — 1,

13)

'14)

(—А)тго (х) = 0,х е О, 5к [ш](х) = дк (х), х е дО, к = 0,1, ...,т — 1.

Тогда ь(х) = V(х) + и>(х).

Лемма 7. Пусть 0 < А < 1 и Р (х) е Сх+р-2т (О) ,р > 2т. Тогда

1) решение задачи (13) существует, единственно и принадлежит классу Сх+р

2) если функция Р(х) представляется в виде

Р(х)=^г-^ + 2г^ д(х), (15)

то справедливо равенство

у (0) = ^^-^((т1:!^ Я1 — ^Т'Л № (16)

ап

Доказательство. В пункте 1 мы показали, что краевые условия задачи (13) эквиваленты условиям

^ [V ](х) = ^ ,х ед О.

г=0

Тогда задача (13) эквивалентна задаче Дирихле для уравнения (—А)т = Р(х),х е О. Известно (см., например, [24]), что если Р (х) е Сх+р-2т(О), то решение задачи Дирихле существует, единственно и принадлежит классу Сх+р(О). Первое утверждение леммы доказано.

Известно также (см., например, [15]), что решение задачи Дирихле представляется в виде

V (х) = У Ст>п (х, у)Р (у) ¿у, (17)

п

где Ст>п (х, у) - функция Грина задачи Дирихле.

Отметим, что явный вид функции Стп (х, у) построен в работах [25]-[27]. Например, в работе [25] показано, что Ст,п (х, у) имеет вид

а(х,у)

Ст,п (х, у) = Кт,п1х — У12т-п I (I2 — 1)т-Ч1-п(И, (18)

где

а( х, ) =

хМ — |уг

ж

ип/2

\х — У1 ' т,п 4т-1 ((т — 1)\)2пеп' п Г (1 + п)

1

Используя равенство шп = , коэффициент Ктп можно представит в виде

г( I)

Кт

2 1 г (П)

4т— 1((т — 1)1)2И 2жп/2 4т—1((т — 1)!)

ш„

В дальнейшем нам понадобится значение функции Ст1 (х, у) в точке х = 0. Из представления (18) имеем

Ы-

Ст,п (0, У) = Кт,пМ

2 т п

(12 — 1)т—

Обозначим последний интеграл через т, п. Вычислим значение этого интеграла. Если

п = 2(г + 1), г = 0,1, ...,т — 1, то

Ы -

^ 2 — 1)т—у-п-й = > - (—1)т—1—

т— 1

ы-

т 1

=0

т 1

1)т—1—гст—1

=0

т— 1

Е (—1)т—1—гст — — =0

¿2(г+1) —

2( г + 1) — п 1

т— 1

¿=Ы-

=1

2 +1— п

й

2(г + 1) — п

[Ып—2(т) — 1.

Пусть

йт

г_1 \т— 1—г^уг _1_

(—1) Ст—12(г + 1) — п.

Если п принимает одну из значений п = 2(к + 1), к = 0,1, ...,т — 1, то в этом случае

т 1

М-

Ы-

т

т,п = Е (—1)т—1—гст—11 ^+1—п^ + (—1)т—1—кс;

г=0,г=к

—1

т 1

1

т— 1

Е —т,п,г [|У|П—2^+1) — 1 + (—1)т—1—кСт—1 1п

г=0, г=к

Тогда при п = 2(г + 1), г = 0,1, ...,т — 1 имеем

т 1

Ст,п (0, У) = Кп а для остальных значений п

^т,п (0, У) Кт,п

йт

=0

2 т—2( +1) 2 т— п

19)

т 1

+

Е йт,п, [|^2т—2^+1) — М^]

.г=0,г=к

+Кт,п(—1)т—1—кСт_ 1|?/|2т—11пт1.

Тогда в случае п = 2(г + 1),г = 0,1, ...,т — 1 из равенства (19) и представления следует

(20)

1

1

1

1

1

V (0) = К„

т 1

£ —ти [|?/|2т—2(г+1) — Ь|2т—1

=0

(Р-р + 2т) 9(у)—у.

Переходя к сферическим координатам у = (р, £), где £ - угловые координаты, последний интеграл выразим в виде

V (0) = К„

п 1

| |=1 0

т 1

т, п,

2т—2(г+1) _ 2т—п

Р

=0

(

Р— + 2т 9(Р,

й

Кт,п ] [31 (р, 0 + ^2(р, £М,

| |=1

где

т—1 Г —

Л(р, 0 = Рп—1 [р2т—2(г+1) —р2т—п]ртд(р, 0—Р

=0

32(P, 0 = 2т

т—1 „

£ — т,п,» / Р1—1 [Р2т—2(г+1) — Р2т—П]^(Р, £)—Р =0

Интегрируя по частям 31(р, £), получаем

т—1 „

31 = £ — т,п,г / [— (2т + п — 2(г + 1)) р2т+п—1—2(^+1) + 2тр2т—1]д(р, £)—р =

=0 т 1

0 1

т— 1

£ — т,п,г / рп—1 [— (2т + п — 2(г + 1)) р2т—22(т) + 2тр2т—п^(р, р. =0

Отсюда

т 1

31 (р, 0 + 32(Р, 0 = Рп—1Т. (—1)т—1—^т—1Р2(т—г—(Р, Р

=0

рп—1(1 — р2)т—^ (р, £)—р.

Следовательно,

V (0)=Кт,п у у Рп—1(1 — Р2)т—V(р, | |=1 0

1 I |2\т— 1

4т—1((т — 1)!)2^п

(1 — м2) * (у)—е

ап

Если п принимает одну из значений п = 2(к + 1), к = 0,1, ...,т — 1, то в силу равенства (20) как и в первом случае, получаем

1

]

1

1

1

V (0) = К„

£ ¿т,п,г / [\у\2т-2^+1) — \у\2т-п](р^- + 2т) д(у)ду 1=о,1=к 3 \ ар *

+

+Кт,п(—1)т-1-кСт-1 J \У\2т-п Ь ^ (р^р + 2т) =

Здесь

Кт,п J ['ц(р, О + ^Лр, 0¥0 \*\=1

т-1 Г д

Ь,1(р, 0= £ АтпП^рп-1 [р2т-2^+1) —р2т-п]р-д(р,

г=0, г=к

+ (—1)т-1-кСкп-1 I рп-1^р2т-п Ыр) д(р, Одр

'Ь,1(р, О =2т

т-1 „

/ рп-1 [р

=0

п-1 Г 2т-2(г+1) _ 2т-п

р2т-п] д(р, ОЛр

+

+2т(—1)т-1-кСкт_ 1/ рп-Ч р2т-п Ы1- ) д(р, Одр.

(ро2т-п Ы1)

Интегрируя по частям ' 1,1( р, ), получаем

т-1 „

'11 = £ дт,п,г^рп-1 [— (2т + п — 2(г + 1)) р2т-2(+1) + 2тр2т]д(р, Одр—

=0, = к

— (—1)т-1-кСкт_х2т^ рп-1[р2т-п 1п р) д(р, Одр+

0

+ (—1)т-1-кС!кп_ 1 рп-1 р2т-пд(р, Odр.

Тогда

/т-1

рп-1 Е (—1)т-1-гСгт-1р2{т-г-1)д (р , № =0

рп-1( 1 — р2)т-1д (р, ол р-

Значит, и в этом случае верно равенство (16).

□

1

1

1

1

1

Теперь исследуем задачу (14). Пусть А матрица вида

А

( 1 1 0 2 0 22

1

4 42

2 (т - 1) [2 (т - 1)]2

V

02

т— 1 4т_1

[2 (т - 1)]т"1 )

(21)

Обозначим через А.,-, у = 0,1, ...,т — 1 определитель матрицы, получающийся из матрицы А вычеркиванием 1-го столбца и ] + 1 строки. В частности А0 = |А| = det А Легко показать, что |А| = 0.

Лемма 8. Пусть 0 < А < 1 и дк (х) е Сл+Р_;г (Ш), р>т — 1, к = 0,1,...,т — 1. Тогда

1) решение задачи (14) существует,, единственно и принадлежит классу Сл+Р

2) для решения задачи (14) справедливо равенство

1

т 1

w (0) = - — £ i (—1)J+1Aj ■ g3 (x)dS:

(22)

i=0

-n

Доказательство. Покажем, что задача (14) эквивалентна задаче Дирихле для уравнения (—А)тт (х) = 0. В пункте 1 мы показали, что если и вектор внешней нормали к сфере дП, то для всех х е дО имеет место равенство

dk w(x)

дг k

= г

д k w( x)

an

д k

дк w(x)

an

дик

к = 1, 2,

an

Тогда при значении к =1 имеем 6 [w] (x) = г—г, и поэтому из условия 6 [w] (x) |dn = g1 (x) следует

д w д

gi(x) = ^i(x)

an

При к = 2 имеем

г2 г п . . i д \2 . . 2 d2w dw 5 [w] (x) = ( r^)w (x) = г + r

Тогда в силу граничного условия б2 [w] |-n =92 получаем

cfiw д v2

92 (x) - |дП = 92 (x) - 91 = <Р2 (x).

an

дг 1дП

В общем случае, используя равенство

¿k [w] (x) = £

,(k)

=0

д w( x) дг/

, x g дП,

получаем

k k 1 k k д k w ( k) д w

Sk [w] (x) = Г^ + £ °

=1

д

Используя граничные условия 8k [w] (x) |-n = gk (x) задачи (14), для (x) получаем

k 1

д k

|-n = gk (x) - £ bi, kgi (x) = ^k (x) ,k = 2, 3, ...,т - 1,

=0 ( k)

где коэффициенты зависят от а( г < к. Таким образом, задача (14) эквивалентна задаче Дирихле:

1

Атт (х) = 0

(х) \ап = Рк (х) , к = 0,1, ...,т — 1 '

Очевидно, что при дк (х) е Сх+Р~к (дО) функции рк (х) также принадлежат классу Сх+р~к (дО). Тогда из известного утверждения для задачи Дирихле [24] следует, что решение задачи (14) существует, единственно и принадлежит классу Сх+р (О. Первое утверждение леммы доказано.

Переходим к доказательству второго утверждения. Пусть т (х) - решение задачи (14). Так как функция т (х) полигармоническая, то существуют гармонические в области О функции (х), ] = 0,т — 1 такие, что

т (х) = т0 (х) + \х\2т1 (х) + ... + \х\1<(т' 1 (х)

(23)

Применим оператор (г а) , I = 1, 2, ...,т — 1 к функциям вида \х\ (х). Тогда для любых 1 < I < т — 1 и 0 < ] < т — 1 найдем

д_

1 1Л д''' =1 д

V а<£) Гг V СРдР— д Рщ (х) = V а<£)Гг V СРс1<Р) 1"2з-Р д (х)

' * ' * дг Р дт^-Р У ^ У ^ ^^ дг^-р

=1

Р=0

а 'г

1=1 Р=0

д -

где

0,р> 23 = { 1,р = 0

2з(2з — 1) ... (23 —р +1) ,р < 23

Таким образом, функцию ((х)] можно представить в виде

е

д_ д

\х\ (х) = \х\ (х)

где

,1 (х) = Е ^ *-Р

_Рд% рт3 (х)

д - Р

(24)

(25)

Так как при гармонической функции (х) функции гг ра аг7-р также являются гармо-

=1 Р=0

г-р а1-рЫз <х)

аг

ническими в О, то при всех ] = 0, ...,т — 1,1 = 1, ..., т — 1 функции к^ (х) гармонические в О. С другой стороны, разлагая функции (х), ] = 0,т — 1 в ряд вида

те ьк

т (х) = (х)

к=0 =1

и применяя оператор ( Та^У, I = 1, 2,...,т — 1 к функциям \х\2зт3 (х) для всех х е О, получаем

I _ те нк

\х\2т3 (х)] = \х\2* ££ (к + 23У-^Н<£) (х) = \х\2зк3,е (х).

к=0 =1

Следовательно, при \ х\ < 1 имеет место представление

те Ьк

( х)

к=0 =1

(Л)

д

к* (х) = Т,Т,(к + 2ЛЧ!А] (х).

Таким образом, для полигармонической функции (Га^Ут (х), получаем

£

да

Отсюда, для любого I = 0,1, ...,т — 1

Zi (°) = — дг (у) dSy.

Un J an

Из разложения (26) следует

(27)

(У J") w (х) = ho,i (х) + 'е (х) + ... + 1ж|2(т l)hm- 1>г (х) ,

где гармонические функции hj,i (х) определяются равенством (3.14) и разлагаются в ряд вида (26). Рассмотрим гармонические в области П функции

Zo (х) = Wo (х) + W1 (х) + ... + Wm-1 (х)

Zi (х) = ho,i (х) + hi,i (х) + ... + hm-1,1 (х) ,1 = 1, 2, ...,т — 1 . Очевидно, что

ze (х) Ian = ho,i (х) + hi,i (х) + ... + hm-i,i (х) |an = fle (х) ,1 = 0, т — 1. Тогда функции ze (х) можно представить в виде интеграла Пуассона

ze (х) = — / 1-HL fle (У) dSy.

Un J |х — yl

(28)

hi, (0) = £ =(2j)4 (0), I > 1

i=i

Тогда из равенств (27) получаем систему уравнений

Wo + Wi +

0 ■ wo + 2 ■ wi +

+ Wm-1 = Zo

+ 2(m — 1) ■ Wm-1 = ¿1

(29)

0 - Wo + 2m"1 ■ Wi +

+ [2(m — 1)]

m 1

■ Wm-1

m 1.

Матрица этой системы имеет вид (21). Далее, из представления (23) следует, что и (0) = (0). Покажем, что значение (0) выражается через комбинации интегралов функции д^ (х), ] = 0,т — 1 по сфере дП. Действительно, так как |А| = А = 0, то по правилу Крамера значение (0) находим из системы (29) по формуле

Wo (0) = Щ,

где через Л обозначен определитель

(30)

Zo (0) 1 1. .1

Zi (0) 2 4 . . 2 (m — 1)

2 (0) 22 42 . . [2 (m — 1)]2

Zm-1 (0) 2 m 1 4 m 1 . . [2 (m — 1)]m"1

Л,

m 1

Очевидно, что Л, = — Y1 (—1)'?+1Л_7- ■ Zj (0). А так как Zj (0) определяются из (28), то

=o

m 1

Л, =--W (—1)J+1 Л, ■ 9i (х)dSж.

Un '=°аП

Теперь из равенства (30) следует, что

1

1А1 шп 1А1 ^

т (0) =ыо (0) = ^ = £ I (-1)3+1^ • 9, (х)двх.

' ЭП

Значит, верно равенство (22). □

Из леммы 3.1 и 3.2 вытекает следующее утверждение.

Лемма 9. Пусть 0 < А < 1, дк (х) е Сх+Р-к (дП), к = 0,1,...,т - 1 и И (х) е Сх+Р-2т (П). Тогда

1) решение задачи (12) существует, единственно и принадлежит классу Сх+Р (П);

2) если функция И(х) представляется в виде (15), то для выполнения равенства у(0) = 0 необходимо и достаточно выполнения условия

"" А ^

(1 - ЫТ 9 (у№ = " , "У: (-1У• 9з Швх. (31

4. Основное утверждение

В этом пункте мы приведем основное утверждение относительно задачи (3)-(4). Справедливо следующее утверждение

Теорема 1. Пусть 0 < а < 1, 0 < А < 1, дк (х) е Сх+т-1-к (дП), к = 0,1,...,т - 1 и ! (х) е Сх+1 (П). Тогда для разрешимости задачи (3)-(4) необходимо и достаточно выполнения условия

/т-1 г.

(1 - Ы2)™"1 Ь-»(у)ду азт9з (х)dSх, (32)

П 3—0 ЭП

где

к-а(х) = Ы-2™.!1-а [|х|2тf (х)] , а^,т = 4т~1((т- 1У')2 • (-1У+1Л3,

|А|- определитель матрицы А из равенства (21), А3, ] = 0,1, ...,т - 1, - определители матриц, получающихся из матрицы А вычеркиванием 1-го столбца и ] + 1 строки.

Если решение задачи существует, то оно принадлежит классу Сх+т-1(П), единственно с точностью до постоянного слагаемого и представляется в виде

и(х) = С + !а[у](х), (33)

где V (х) - решение задачи (12) с функцией И(х) = 1х1-2тБа [|х|2т/(х)] и удовлетворяющий дополнительному условию (0) = 0.

Доказательство. Предположим, что решение задачи (3)-(4) существует, и это и (х). Применим к функции и (х) оператор Иа и обозначим V (х) = Иа [и] (х). Находим условия, которым удовлетворяет функция V (х). Во-первых, по утверждению леммы 2.2 выполняется равенство г>(0) = 0. Далее, по лемме 2.5 имеет место представление (11) т.е.

Ва+к[и](х) = (г-^ [Оа[и]] (х) = 5к[у](х).

Тогда,

V (х)|эп = [и] (х)|ЭП = 9o(х),

\эп =°а+к [и](х)\эп

$к М(х) \ ЭП = Яа+к [и](х)\ ЭП = 9к (х), к =1, 2,....

И наконец, применяя к равенству ■и(х) = Да[и](х) оператор (—Д)т в силу формулы (7) из леммы 2.3, получаем

(-Д)тг; (х) = (-Д)™0а [и] (х) = Р(х),

где Р(х) определяется равенством (8).

Таким образом, если и (х) - решение задачи (3)-(4), то для функции V (х) = Ба [и] (х) получаем задачу (12) с функцией Р(х) = |х|-2тДа [|х|2т/] (х). Кроме того, так как Иа [и] (0) = 0, то функция V (х) должна удовлетворять условию V (0) = 0. По лемме 3.3 при выполнении условий теоремы решение задачи (12) существует, единственно и принадлежит классу СЛ+т-1 (П). А для того чтобы выполнялось условие V (0) = 0, необходимо выполнения условия (31), которое в нашем случае имеет вид (32).

Следовательно, если решение задачи (3)-(4) существует, то необходимо выполнение условия (32). Покажем, что условие (32) является и достаточным для существования решения задачи (3)-(4).

Действительно, пусть в задаче (12) функция Р (х) представляется в виде Р(х) = |х|-2т!}а [|х|2т/] (х). Тогда при выполнении условии /(х) € СЛ+1 (П) имеем, Р (х) € СЛ (П) и если дк (х) € СЛ+т-1-к (Ш), к = 0,1,...,т - 1, то по лемме 3.3, V (х) -решение задачи (12) существует, единственно и принадлежит классу СЛ+т-1 ш). Если

вы-

полняется условие (32), то это решение дополнительно удовлетворяет условию V (0) = 0. Поэтому в классе таких функций оператор За определен, и следовательно можно рассмотреть функцию С + За [и] (х). Обозначим эту функцию через и(х), т.е. рассмотрим функцию и(х) = С + За[г>](х). Покажем, что данная функция удовлетворяет всем условиям задачи (3)-(4).

Действительно, так как г>(0) = 0, то по лемме 2.1 функция За [и] (х) принадлежит классу СЛ+т-1 (П). Применяя к этой функции оператор (—Д)т, получим

(—Д)ти (х) = (-Д)т[С] + (-Д)тЗа Н (х) = 1

а— 1

1 5 2т-1(-Д)тг; ( вх)йз

Г (а^ \ 8,

о

1

а 1

1

ш/Н) х) =

о

/ 1 \а-1

Мп1) в 2т|вх|-2тОа [|х|2т/] (вх) ^

Г(а) У \ в

о

= |х|-2тЗа [|х|2т/]] (х).

Далее, в силу равенства (5)

За [|х|2т/]] (х) = |х|2т/(х) - |х|2т/(х)|л=0 = |х|2т/(х).

Тогда (—Д)тЗа [г>] (х) = /(х), т.е. функция и(х) удовлетворяет уравнению (3). Кроме того, из условия (6) вытекает

Да [и] (х) = Да [За [г;] + С] (х) = Да [За [г;]] (х) = V (х).

Следовательно,

[и] (х) и = V (х) |еп = 01 (х),

Da+k [и] (х) L = ([и] (х) L = (r0v (х) L = дк (х) ,к = 1, 2,

□

Рассмотрим условия разрешимости задачи (3)-(4) для некоторых частных случаев.

Пример 1. Если т = 1, то получаем краевую задачу для уравнения Пуассона. Так как в этом случае |А| = Д0 = 1, то условие разрешимости задачи имеет вид

У ¡1-а(у)ду = Jдо (у)дБу.

П дП

Если а = 1 , то ¡0(у) = ¡(у) и тогда получаем условие разрешимости классической задачи Неймана для уравнения Пуассона.

Пример 2. Пусть т =2, тогда

0 1

А =[0 1 ), И\ = 2, А,

Z\ 2

,А0 = 2, Аг = 1,

4 4 2

ас,2 = 2 • (-1)Ао = -4, аг,2 = - • (-1)2 Ах = 2.

Тогда условие разрешимости задачи имеет вид

Г (1 -\у\2)

fi-a(y)dy = [gi(у) - 2до(у)] dSx

2

an

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. A.Kilbas, H. Srivastava, J. Trujillo. Theory and Applications of Fractional Differential Equations Elsevier. North-Holland. Mathematics studies. 2006. 539 p.

2. Berdyshev A.S., Turmetov B.Kh., Kadirkulov B. J. Некоторые свойства и применения инте-гродифференциальных операторов типа Адамара-Маршо в классе гармонических функций // Сибирский математический журнал. 2012. Т. 53, № 4. С. 752-764.

3. V.Karachik, B.Turmetov, B.Torebek. On some integro-differential operators in the class of harmonic functions and their applications // Siberian Advances in Mathematics. 2012. V. 22, № 2. P. 115-134.

4. Киране М., Татар Н.-е. Отсутствие локальных и глобальных решений эллиптических систем с дробными по времени динамическими краевыми условиями // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 3. С. 593-605.

5. Киране М., Татар Н.-е. Отсутствие решений уравнения Лапласа с динамическим краевым условием дробного типа // Сибирский математический журнал. 2007. Т. 48, № 5. С. 1056-1064.

6. M.Krasnoschok, N. Vasylyeva On a nonclassical fractional boundary-value problem for the Laplace operator //Journal of Differential Equations. 2014. V. 257 (6). P. 1814-1839.

7. B.Torebek, B.Turmetov. On solvability of a boundary value problem for the Poisson equation with the boundary operator of a fractional order //Boundary Value Problems. 2013. V. 2013: N.93. doi:10.1186/1687-2770-2013-93.

8. Турметов Б. Об одной краевой задаче для гармонического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 8. С. 1089-1092.

9. Турметов Б. О гладкости решения одной краевой задачи с граничным оператором дробного порядка // Математические труды. 2005. Т. 7, № 1. С. 189-199.

10. Турметов Б., Торебек Б. Модифицированные операторы Баврина и их применения. Дифференциальные уравнения. 2015. Т. 51, № 2. С. 240-250.

11. T.Akhmedov, E.Veliev, M.Ivakhnychenko. Fractional operators approach in electromagnetic wave reflection problems //Journal of electromagnetic waves and applications. 2007, V. 21, № 13. P. 17871802.

12. Ахмедов Т., Велиев Е., Ивахченко M. Граничные условия с дробными производными в задачах теории дифракции //Доклады НАН Азербайджана. 2009. Т. 65, № 2. C. 61-68.

13. E.Veliev, M. Ivakhnychenko, Fractional boundary conditions in plane wave diffraction on a strip // Progress in Electromagnetics Research. 2008.V. 79. P. 443-462.

14. Бицадзе А. О некоторых свойствах полигармонических функций // Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, № 5. С. 825-831.

15. Кангужин Б., Кошанов Б. Необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре // Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2, № 2. С. 41-52.

16. V. Karachik, B. Turmetov, A. Bekayeva. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2012. V. 81,№ 3. P. 487-495.

17. V. Karachik. Solvability Conditions for the Neumann Problem for the Homogeneous Polyharmonic Equation// Differential Equations. 2014. V. 50, № 11. P. 1449-1456.

18. V. Karachik. On solvability conditions for the Neumann problem for a polyharmonic equation in the unit ball // Journal of Applied and Industrial Mathematics.2014. V. 8, № 1. P. 63-75.

19. B. Turmetov, R. Ashurov. On solvability of the Neumann boundary value problem for a non-homogeneous polyharmonic equation in a ball //Boundary Value Problems. 2013. V. 2013:162 doi:10.1186/1687-2770-2013-162.

20. Бекаева А., Карачик В., Турметов Б. О разрешимости некоторых краевых задач для полигармонического уравнения с граничным оператором Адамара-Маршо // Известия высших учебных заведений. Математика. 2014. № 7. С. 15-29.

21. A. Berdyshev, A. Cabada, B. Turmetov. On solvability of a boundary value problem for a nonhomogeneous biharmonic equation with a boundary operator of a fractional order // Acta Mathematica Scientia. 2014. V. 34B(6). P. 1695-1706.

22. A. Berdyshev, A. Cabada, B. Turmetov. On Solvability of Some Boundary Value Problem for Polyharmonic Equation with Boundary Operator of a Fractional Order // Applied Mathematical Modelling. 2015. V. 39. P. 45-45.

23. B. Turmetov Solvability of fractional analogues of the Neumann problem for a nonhomogeneous biharmonic equation // Electronic Journal of Differential Equations. 2015.V. 2015, № 82. Р. 1-21.

24. S.Agmon, A. Duglas, L. Nirenberg. Estimates Near the Boundary for Elliptic Partial. Differential Equations Satisfying General Boundary Conditions I. Communications on Pure Appl. Math. 1959. V. 12. P. 623-727.

25. F. Gazzola, H.-Ch. Grunau, S. Guido. Polyharmonic Boundary Value Problems Springer-Verlag, Berlin, 2010.429 p.

26. Kal'menov T. S, Suragan D. On a new method for constructing the green function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation Differential Equations. 2012.V. 48,№ 3. P. 441-445.

27. T. Kal'menov, B. Koshanov, M. Nemchenko. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere //Complex Variables and Elliptic Equations.2008. V. 53(2). P. 177-183.

Батирхан Худайбергенович Турметов,

Институт математики и математического моделирования, ул. Пушкина, 125, 050010, г. Алматы, Казахстан и

Международный казахско-турецкий универститет им. А. Ясави, ул. Б. Саттарханова, 29, 161200, г. Туркестан, Казахстан E-mail: [email protected]