CC BY
22
Челябинский физико-математический журнал. 2017. Т. 2, вып. 4- С. 420-429.
УДК 517.956.223+517.575
ЗАДАЧА ТИПА НЕЙМАНА
ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ
В. В. Карачик
Южно-Уральский государственный университет
(национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия
В работе получены необходимые и достаточные условия разрешимости одной задачи типа Неймана для неоднородного полигармонического уравнения в единичном шаре.
Ключевые слова: задача Рикье, задача Неймана, полигармоническое уравнение, условие разрешимости.
Введение
В единичном шаре Б = {х Е Кга : |х| < 1} рассмотрим краевую задачу типа Неймана для неоднородного полигармонического уравнения
Дтм = /(х), х е Б,
дм
= ,
д Дм
дя ' д^
д Дт-1м
дЯ ' ' д^
= ^m-1,
дЯ
д
где — — внешняя нормальная производная к единичной сфере дБ, /(х) и ^¿(з)
при г = 0,... , т — 1 — заданные функции на Б и дБ соответственно. Задача (1), (2) обобщает известную задачу Навье (Кау1ег) [1, с. 33], которую также называют задачей Рикье (Requier) [2]. Для бигармонического уравнения такая задача является частным случаем более общей задачи, исследованной в [3-5]. Задача (1), (2) для бигармонического уравнения была исследована в [6, пример 2]. Граничные условия Рикье — Неймана возникают, например, в краевой задаче при моделировании перемещений плоской пластины и в стационарной линеаризованной модели Фишера — Колмогорова [7].
Исследования разрешимости других постановок задач типа Неймана в единичном шаре можно найти в работах [8-13]. В работе [14] для краевых задач для полигармонического уравнения с нормальными производными в граничных условиях получено достаточное условие фредгольмовости этих задач и приведена формула их индекса. В [15] исследовались полиномиальные решения задачи Дирихле для полигармонического уравнения при полиномиальных данных. В [16] исследована задача Рикье — Неймана для тригармонического уравнения.
Под решением задачи (1), (2) будем понимать такое решение м(х) уравнения Дтм = /(х) в Б, для которого V ■ Ум(х) ^ <£0(з), V ■ УДм(х) ^ ^1(з), ... , V ■ УДт-1м(х) ^ ^т-1(з) при х ^ дБ, где —V — внутренняя нормаль в точке з е дБ, проходящая через точку х Е Б.
Статья выполнена при поддержке Правительства РФ (Постановление № 211 от 16.03.2013 г.) соглашение № 02.A03.21.0011.
1. Однородное уравнение
Рассмотрим задачу (1), (2) для однородного полигармонического уравнения.
Теорема 1. Пусть f(х) = 0 и ^ € С(дБ) при г = 0,1,...,т — 1. Тогда для существования решения задачи Рикье — Неймана (2) для однородного полигармонического уравнения (1) необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие
/ <рт_1(ж) = 0. (3)
JдS
Решение рассматриваемой задачи единственно с точностью до константы.
Доказательство. Сначала докажем необходимость условия (3). Пусть решение задачи существует. Известно, что всякая полигармоническая в Б функция может быть представлена по формуле Альманси в виде п(х) = п0(х) + |х|2и1(х) + ... + |ж|2т-2мт-1(ж), где п,(х) при ] = 0,1,... , т — 1 — гармонические в Б функции (см., например, [17, с. 531] или [18]). Пусть ■и(х) — некоторая гармоническая в Б функция и оператор Л имеет вид Л У^П= х%Д^. Нетрудно убедиться, что верны равенства
А(|х|2к г;(х)) = А(|х|2к Их) + 2 ^ 2к|х|2к_2хгДх, г;(х) + |х|2к Аг;(х) =
'=1
= 2к(2к + п — 2) |х|2к_2 + 4к|х|2к_2Л^(х) = 2к | х 12к_2 (2к + п — 2 + 2Л)и(х), поскольку
п п
А|х|2к = £ ^(х1 + ... + хП)к = £ Д*2кхг(х2 + ... + хП)к-1
'=1 '=1
п
= 2к £[(х2 + ... + хП)к-1 + (2к — 2)х2(х? + ... + хП)к_2] = 2к(2к + п — 2)|х|2к_2
'=1
Поэтому будем иметь
т_ 1 т_ 1
Ап(х) = £ А(|х|23п,(х)) = £ 2^'|х|2^_2(2^ — 2 + п + 2Л)п,(х),
3=0 ,=1
откуда, учитывая, что все функции Ли,(х) при ] = 0,1,... , т — 1 гармонические в Б, найдём
т_1
А2п(х) = £ 2^'(2^ — 2)|х|2з_4(2^' — 2 + п + 2Л)(2^' — 4 + п + 2Л)п3(х).
3=2
Аналогично вычислим
т— 1
А2'п(х) = £ |х|2з_2г ^)2г)!! I!(2^ — 2к + п + 2Л)п,(х),
7=г ( ^ )!! к=1
где в случае, когда в произведении верхний индекс становится меньше, чем нижний, произведение надо считать равным 1.
Рассмотрим граничные условия (2). Пусть V — внешняя нормаль к дБ. Поскольку внутренняя нормаль к дБ, проходящая через точку х е Б, имеет вид — V = —х/|х|, то
п
V ■ ^м(х)|дЯ = Е Ом|дЯ = Лм1дЯ,
г=1 '
и значит, граничные условия (2) можно переписать в виде
Лм|дя = ^0, ЛДм|дЯ = ^1, ..., ЛДт-1м|дЯ = ^т-1. (5)
Пусть гг(х) такие гармонические в Б функции, что = при г = 0,... ,т—1, т.е. гг(х) — решение соответствующей задачи Дирихле для уравнения Лапласа в Б. Тогда
(ЛД2гм — г)|дя = 0, г = 0,..., т — 1. (6)
Пусть опять г(х) — некоторая гармоническая в Б функция. Так как Л — линейный однородный дифференциальный оператор первого порядка, то
Л(|х|2гг(х)) = |х|2г(Л + 2г)г(х).
Поэтому, вспоминая формулу (4), преобразуем (6) к виду
т-1 (2')!! г
Е (|х|2'-2г (2,(_!)2г)!! (Л + 2^ — 2г) П(2^' — 2к + п + 2Л)м,-(х))
0,
дЯ
где г = 0,..., т — 1. Отсюда сразу следует равенство т—1 (2 ')!! г
Е (2^)^г)!! (Л + 2^ — 2г) П(2^' — 2к + п + 2Л)м,-(х) — г)
= 0.
дя
Поскольку внутри внешних скобок в (7) находятся гармонические в Б функции, непрерывные вплоть до границы, то в силу теоремы единственности решения задачи Дирихле в Б получим систему т дифференциальных уравнений для гармонических в Б функций м^-(х), ] = 0,1,... ,т — 1, с верхнетреугольной матрицей оператора
т— 1 (2 *)!! г
Е (2^2г)!! (Л + 2^ — 2г) ДФ — 2к + п + 2Л)м,-(х) = г(х), х е Б, (8)
где г = 0, 1 , . . . , т — 1, с гармонической в Б и непрерывной в Б правой частью. В частности, при г = 0, г = 1 и г = т — 1 уравнения системы (8) имеют вид
Лмо(х) + (Л + 2)м1(х) + (Л + 4)м2 (х) + ... + (Л + 2т — 2)мт—1(х) = го (х), 2Л(п + 2Л)м1(х) + 4(Л + 2)(п + 2 + 2Л)м2(х) + ... + + (2т — 2)(Л + 2т — 4)(2т — 4 + п + 2Л)мт— 1(х) = г^(х),
т— 1
(2т — 2)!!Л П (2т — 2к — 2 + п + 2Л)мт—1(х) = гт—1(х). (9)
к=1
Систему (8) можно переписать в матричном виде
А(Л)и(х) = V(х), х е Б, (10)
где
¿(Л)
Л Л+2 Л+4 ... /«Л (vЛ
0 0 2Л(п + 2Л) 4(Л + 2)(п + 2 + 2Л) 0 8Л(п + 2Л)(п + 2 + 2Л) , и = и1 «2 , V =
... ... ... ...
Коэффициенты операторной матрицы А(Л) = (А^(Л))т,-=о имеют вид
\гз (Л)
О" - ¿)!
— (Л + 2^ - 2г) П(Л + ^ - к + п/2),
к=1
при > г и А^(Л) = 0 при < г. Итак, всякое решение и(х) = ио(х) + |ж|2м1(ж) + .. . + |ж|2т_2мт_1 (х) задачи (1), (2) при f = 0 порождает решение системы уравнений (10). Верно и обратное утверждение, т. е. если и(х) = (и0(х), и1(х),... ,ит_1 (х))т — решение системы уравнений (10), то полигармоническая функция и(х) = и0(х) + |х|2и1(х) +.. . + |х|2т_2ит_1(х) будет удовлетворять условиям (7), а значит, условиям (6) и (5) и, следовательно, граничным условиям (2).
Решим систему уравнений (8). Рассмотрим последнее уравнение (9) этой системы. Обозначим в нём
т_1
ю(х) = (2т - 2)!! П (2т - 2к - 2 + п + 2Л)ит_1(х).
к=1
Тогда в Б будем иметь уравнение Лю(х) = гт—1(х), в котором ю(х) и ^т—1(х) — гармонические в Б функции. Это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда гт—1(0) = 0, и оно единственно с точностью до константы. Действительно, если гт—1(х) и ю(х) гармонические в Б функции, то в окрестности нуля они имеют вид
ю(х) = ю(0) + £ Югх* + 0(|х|2), ат_1(х) = ^т_1(0) + £ а^х* + 0(|х|2).
г=1 г=1
Поэтому в окрестности нуля должно выполняться равенство
п п
V Юг • 1 • хг + 0(|х|2) = ^т_1(0) + V Угт_^ + 0(|х|2).
г=1
/ J
г=1
Полагая в нём х = 0, получим ^т_1(0) = 0.
Найдено необходимое условие существования решения уравнения Лю(х) = ^т_1(х). Достаточность полученного условия для уравнения Лю(х) = ^т_1(х) следует из представления решения этого уравнения в виде [11]
Г1 (И
ю(х) = Мо^т_1(х) + С = г»т_1(^х) — + С,
./о Ь
11)
которое справедливо, если ^т_1(0) = 0, т. е. если интеграл сходится. Нетрудно убедиться, что при условии ^т_1(0) = 0 в Б будет верно равенство
Г1 (Ь Г1
ЛМо^т_1(х) = Л = (^т_1(Ьх))[ (Ь = ^т_1 (х).
Jо ь Jо
Заметим, что MoVm_i(x)|x=o = 0, и значит, к функции vm-1(x) применима степень оператора M0. Итак, необходимое условие существования решения системы (8), а значит, и задачи (1), (2) при f = 0 имеет вид vm-1(0) = 0.
Докажем достаточность условия vm-1(0) = 0. Построим решение системы (10). Пусть, сначала, правая часть системы (10) — постоянный вектор.
Лемма 1. Решение системы (10) при постоянной правой части V(x) = V0 существует тогда и только тогда, когда последняя компонента вектора V0 равна нулю. Это решение единственно с точностью до вектора (C, 0,..., 0)T.
Доказательство леммы опустим. Представим правую часть системы (10) в виде V(x) = V(0) + (V(x) — V(0)) = V(0) + V*(x) и будем искать её решение в виде U(x) = U0 + U*(x). Тогда вместо (10) получим две системы
А(Л)ио = V(0), A^)U*(x) = V*(x), x G S, (12)
где вектор V*(x) обладает свойством V*(0) = 0. Решение первой системы U0 определим с помощью леммы 1. Условие леммы выполнено, так как vm-1(0) = 0. Решим вторую систему из (12).
Лемма 2. Решение U*(x) второй системы из (12) существует для любой гармонической в S и непрерывной в S функции V*(x), обладающей свойством V* (0) = 0.
Доказательство этой леммы также опустим.
Таким образом, вектор U(x) = U0 + U*(x), находимый с помощью лемм 1 и 2 является решением системы (10), а значит, полигармоническая функция u(x) = u0(x) + |x|2u1(x) + ... + |x|2m-2um-1(x) является решением задачи (1), (2) при f = 0. Условие vm-1(0) = 0 теоремы исходя из формулы Пуассона может быть переписано в виде (3). Достаточность условий теоремы установлена. □
2. Неоднородное уравнение
Рассмотрим задачу для неоднородного полигармонического уравнения (1).
Теорема 2. Пусть f G C 1(S) и ^ G C(dS) при i = 0,1,... ,m — 1. Решение задачи Рикье — Неймана (1), (2) существует тогда и только тогда, когда выполнено условие
/ ^т_1 (x) = f (e) JOS JS
Это решение единственно с точностью до константы.
Доказательство. По условию теоремы f G C 1(S). Рассмотрим V[f ](x) — объёмный потенциал с плотностью f (x):
v[f](x) = —- i e(x,e)f(e) de,
ши J S
где E(x, e) = (n — 2) 11e — x|2-n (n > 2) — элементарное решение уравнения Лапласа [19, с. 24], а — площадь единичной сферы в Rn. Обозначим Vm[f] = V[.. .V[f]].
m
Известно, что если f G C 1(S), то V[f] G C 1(S) и AV[f] = f в S [19, с. 58], а поэтому Vfc[f] G C1 (S) и AkVm_fc[f] = f при k = 0,... ,m — 1, где V0[f] = f. Представим решение u(x) задачи Рикье — Неймана (1), (2) в виде суммы функций u(x) = Vm[f ] + w(x). Тогда
Amu(x) — f = AmVm[f ] + Amw(x) — f = Amw(x),
и значит, относительно w(x) получаем задачу
Amu = 0, x е S, (13)
(14)
du
5 Au
<0
dS dv
5 Am- 4
<1
dS dv
= <m-1,
dS
где обозначено <¿(s) = <¿(s) - ЛУт-Л/].
Поскольку Vm-i[/] е C1 (S) и е C(dS), то е C(dS) при i = 0,... ,m — 1. По теореме 1 необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (13), (14) имеет вид
0 = / <m-1 (x) dsx = / <m-i (x) dsx — / ЛУ [/] dsx Jas Jas Jas
или
í <m-i(x)dsx = —— / dsx /ЛхЕ(x,o/(о= //(ode, ./as wnMs Js Js
при этом решение единственно с точностью до константы.
Последнее равенство известно, но докажем его по-другому. По предположению
теоремы / е C 1(S). Как показано в [20],
íл^еже)de = /Е^ехл + аде)de — / E(x,e)/(е)ds?,
Js Js Jas
и значит, в силу теоремы Фубини (функции под интегралами имеют интегрируемую особенность)
— — í dsx Í ЛхЕ(x, е)/(е) de = — /(л + 2)/(е) de— í е(x, е) dsx+
—n Jas Js JS Wn,/9S
+ / /(e)ds?-/ e(x,e)dsx = -1-(/ /(e)ds? — /(л + 2)/(e)de).
Jas wWas - — 2 v Jas Js 7
В [6] установлено, что если Hm(x) — однородный гармонический полином, то
1 Í' 1
— E(x,e)Hm(x) dsx = --■--Ят(е)
wWas 2m + - — 2
следовательно, fds E(x,e) dsx = nz2. Поскольку по формуле Гаусса — Остроградского
— л/(е) de = — £ е/ de = — £(e¿/ь de + - /(e) de =
Js ./s i=1 Js i=1 JS
' ¿ e¿2/de + -í /(e) de = — / /(e) ds? + - / /(e) de,
-
'as— Js Jas Js
то
—— í dsj ЛхЕ(x,e)/(e) de = -Ц(- — 2) / /(e) de.
WW3S Js - — 2 J s
Теорема доказана. □
Список литературы
1. Gazzola, F. Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains / F. Gazzola, H. C. Grunau, G. Sweers. — Berlin : Springer, 2010. — 423 p.
2. Karachik, V. V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications / V. V. Karachik // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2003. — Vol. 287, no. 2. — P. 577-592.
3. Karachik, V. V. Uniqueness of solutions to boundary-value problems for the biharmonic equation in a ball / V. V. Karachik, M. A. Sadybekov, B. T. Torebek // Electronic Journal of Differential Equations. — 2015. — Vol. 2015, no. 244. — P. 1-9.
4. Karachik, V. V. On one mathematical model described by boundary value problem for the biharmonic equation / V. V. Karachik, B. T. Torebek // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Мат. моделирование и программирование. — 2016. — Т. 9, № 4. — С. 40-52.
5. Карачик, В. В. О задаче Дирихле — Рикье для бигармонического уравнения / В. В. Карачик, Б. Т. Торебек // Мат. заметки. — 2017. — Т. 102, № 1. — С. 39-51.
6. Карачик, В. В. Обобщённая третья краевая задача для бигармонического уравнения / В. В. Карачик // Дифференц. уравнения. — 2017. — Т. 53, № 6. — С. 761-770.
7. Collet, P. Instabilities and Fronts in Extended Systems / P. Collet, J. P. Eckmann. — N. Y. : Princeton University Press, 1980. — 195 p.
8. Гулящих, И. А. О задаче Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре / И. А. Гулящих // Системы компьютер. математики и их приложения. — 2015. — № 16. — С. 144-145.
9. Карачик, В. В. Условия разрешимости задачи Неймана для однородного полигармонического уравнения / В. В. Карачик // Дифференц. уравнения. — 2014. — Т. 50, № 11. — С. 1455-1461.
10. Кангужин, Б. Е. Необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для неоднородного полигармонического уравнения в шаре / Б. Е. Кангужин, Б. Д. Кошанов // Уфим. мат. журн. — 2010. — Т. 2, № 2. — С. 41-52.
11. Карачик, В. В. Об одной задаче типа Неймана для бигармонического уравнения / В. В. Карачик // Мат. тр. — 2016. — T. 19, № 2. — С. 86-108.
12. Turmetov, B. On solvability of the Neumann boundary value problem for non-homogeneous biharmonic equation / B. Turmetov, R. Ashurov // British Journal of Mathematics and Computer Sciences. — 2014. — Vol. 4, no. 4. — P. 557-571.
13. Turmetov, B. Kh. About one boundary value problem for the biharmonic equation / B. Kh. Turmetov, V. V. Karachik // AIP Conference Proceedings. — 2016. — Vol. 1789. — P. 040015-1-040015-6.
14. Кошанов, Б. Д. Краевая задача с нормальными производными для эллиптического уравнения высокого порядка на плоскости / Б. Д. Кошанов, А. П. Солдатов // Дифференц. уравнения. — 2016. — Т. 52, № 12. — С. 1666-1681.
15. Карачик, В. В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре / В. В. Карачик // Журн. вычислит. математики и мат. физики. — 2014. — Т. 54, № 7. — C. 1149-1170.
16. Гулящих, И. А. Разрешимость одной задачи типа Неймана для тригармонического уравнения в шаре / И. А. Гулящих // Вестн. Юж.-Урал. гос. ун-та. Сер.: Математика. Механика. Физика. — 2017. — Т. 9, № 3. — С. 5-12.
17. Соболев, С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. — М. : Наука, 1974. — 808 c.
18. Карачик, В. В. Об одном разложении типа Альманси / В. В. Карачик // Мат. заметки. — 2008. — Т. 83, № 3. — С. 370-380.
19. Бицадзе, А. В. Уравнения математической физики / А. В. Бицадзе. — М. : Наука, 1976. — 318 c.
20. Карачик, В. В. Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре / В. В. Карачик // Сиб. журн. индустр. математики. — 2013. — T. XVI, № 4 (56). — C. 61-74.
Поступила в 'редакцию 22.10.2017 После переработки 06.11.2017
Сведения об авторе
Карачик Валерий Валентинович, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, профессор кафедры математического анализа и методики преподавания математики, Южно-Уральский государственный университет (национальный исследовательский университет), Челябинск, Россия; e-mail: [email protected].
428
B. B. Kapa^HK
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2017. Vol. 2, iss. 4. P. 420-429.
NEUMANN-TYPE PROBLEM
FOR POLYHARMONIC EQUATION IN A BALL
V.V. Karachik
South Ural State University (National Research University), Chelyabinsk, Russia
The necessary and sufficient solvability condition for a Neumann-type boundary value problem for nonhomogeneous polyharmonic equation in the unit ball are obtained.
Keywords: Requier problem, Neumann problem, polyharmonic equation, solvability condition.
References
1. Gazzola F., Grunau H.C., Sweers G. Polyharmonic boundary value problems. Positivity preserving and nonlinear higher order elliptic equations in bounded domains. Berlin, Springer, 2010. 423 p.
2. Karachik V.V. Normalized system of functions with respect to the Laplace operator and its applications. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003, vol. 287, no. 2, pp. 577-592.
3. Karachik V.V., Sadybekov M.A., Torebek B.T. Uniqueness of solutions to boundary-value problems for the biharmonic equation in a ball. Electronic Journal of Differential Equations, 2015, vol. 2015, no. 244, pp. 1-9.
4. Karachik V.V., Torebek B.T. On one mathematical model described by boundary value problem for the biharmonic equation. Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2016, vol. 9, no. 4, pp. 40-52.
5. Karachik V.V., Torebek B.T. On the Dirichlet — Riquier problem for biharmonic equations. Mathematical Notes, 2017, vol. 102, no. 1, pp. 31-42.
6. Karachik V.V. Generalized third boundary value problem for the biharmonic equation. Differential Equations, 2017, vol. 53, no. 6, pp. 756-765.
7. Collet P., Eckmann J.P. Instabilities and Fronts in Extended Systems. New York, Princeton University Press, 1980. 195 p.
8. Gulyashikh I.A. O zadache Neymana dlya poligarmonicheskogo uravneniya v yedinichnom share [On Neumann problem for polyharmonic equation in the unit ball]. Sistemy komp'yuternoy matematiki i ikh prilozheniya [Systems of computer mathematics and their applications], 2015, no. 16, pp. 144-145. (In Russ.).
9. Karachik V.V. Solvability conditions for the Neumann problem for the homogeneous polyharmonic equation. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 11, pp. 1449-1456.
10. Kanguzhin B.E., Koshanov B.D. Neobkhodimye i dostatochnye usloviya razreshimosti krayevykh zadach dlya neodnorodnogo poligarmonicheskogo uravneniya v share [Necessary and sufficient conditions of boundary problems solvability for a nonhomogeneous polyharmonic equation in a ball]. Ufimskiy Matematicheskiy Zhurnal [Ufa Mathematical Journal], 2010, vol. 2, iss. 2, pp. 41-52. (In Russ.).
11. Karachik V.V. A Neumann-type problem for the biharmonic equation. Siberian Advances in Mathematics, 2017, vol. 27, no. 2, pp. 103-118.
12. Turmetov B., Ashurov R. On solvability of the Neumann boundary value problem for non-homogeneous biharmonic equation. British Journal of Mathematics and Computer Sciiences, 2014, vol. 4, no. 4, pp. 557-571.
13. Turmetov B.Kh., Karachik V.V. About one boundary value problem for the biharmonic equation. AIP Conference Proceedings, 2016, vol. 1789, pp. 040015-1-040015-6.
14. Koshanov B.D., Soldatov A.P. Boundary value problem with normal derivatives for a higher-order elliptic equation on the plane. Differential Equations, 2016, vol. 52, no. 12, pp. 1594-1609.
15. Karachik V.V. Construction of polynomial solutions to the Dirichlet problem for the polyharmonic equation in a ball. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, vol. 54, no. 7, pp. 1122-1143.
16. Gulyashikh I.A. Razreshimost' odnoy zadachi tipa Neimana dlya trigarmonicheskogo uravneniya v share [Solvability of one Neumann type problem for 3-harmonic equation in a ball]. Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Matematika. Mekhanika. Fizika [Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematics. Mechanics. Physics], 2017, vol. 9, no. 3, pp. 5-12. (In Russ.).
17. Sobolev S.L. Vvedenie v teoriyu kubaturnykh formul [Introduction to the theory of cubature formulas]. Moscow, Nauka Publ., 1974. 808 p. (In Russ.).
18. Karachik V.V. On an expansion of Almansi type. Mathematical Notes, 2008, vol. 83, no. 3-4, pp. 335-344.
19. Bitsadze A.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1982. 318 p. (In Russ.).
20. Karachik V.V. On Solvability Conditions for the Neumann Problem for a Polyharmonic Equation in the Unit Ball. Journal of Applied and Industrial Mathematics, 2014, vol. 8, no. 1, pp. 63-75.
Accepted article received 22.10.2017 Corrections received 06.11.2017
