Однородная задача Дирихле-Рикье для неоднородного бигармонического уравнения в шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.956.223 001: 10.14529/ттрИ160108

ОДНОРОДНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ-РИКЬЕ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО БИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ШАРЕ

1

И.А. Гулящих

Найдено условие разрешимости однородной задачи Дирихле-Рикье для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре при полиномиальной правой части.

Ключевые слова: задача Дирихле-Рикье; неоднородное бигармоническое уравнение; условия разрешимости.

Пусть S = {х е Мп :| х |< 1} - п -мерный единичный шар в евклидовом пространстве Мп с нормой | х 1=^х1 + х^ +-----+ х2 , а дБ = {х е М" :| х |= 1} - единичная сфера. В единичном шаре рассмотрим следующую однородную краевую задачу для неоднородного бигармонического уравнения

Д2и = /(х), х е 5, (1)

а00и + о01~~и + а02Ди к8 = 0, t е д5,

д ^ д (2) а11— и + а12Ди + а13— Ди к8 = 0, t едБ, дп дп

где —— - внешняя нормальная производная, коэффициенты а0j и а1j при j = 1,2,3 - действи-

Эк

тельные и постоянные, а f (x) - некоторый полином. Неоднородная задача (1)-(2) обобщает задачу Дирихле [1-2], но не обобщает задачу Неймана [3-5]. Неоднородная задача (1)-(2) при f = 0 была рассмотрена в [6].

Сформулируем основной результат статьи. Пусть N 0 ° N и {0} . Теорема 1. Решение задачи (1)-(2) существует, если

f (x) = Е um?(x)Pm\\x\2), (3)

meN0, Д(т)^0

i=1,hm

где u<^)(x) - однородные гармонические полиномы степени m, hm - число линейно независимых однородных гармонических полиномов степени m , а P^^ (t) - некоторые полиномы от t и Д(1) = а00(ап + а12п) + 2(2а00а12 -а02а11п + а01а12n + а00а13п)1 +

+(2а01а12 - 2а02а11 + 2а00а13 + а01а13п)12 + 2а01а1313. Доказательство. Обозначим через V[f ](x) объемный потенциал в единичном шаре S с плотностью f (x) i.e.,

V [ f ](x) = -— U (x,X) f (X) dX,

m JS

Сп 8

где Е(х,Х) = (п - 2)-1 | X — х |2-п (п > 2) - элементарное решение уравнения Лапласа [7] и соп -площадь единичной сферы в Мп. Обозначим У2[/] = V[V[/]]. Представим решение задачи (1)-

1 Гулящих Илья Анатольевич - аспирант, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный

университет, г. Челябинск, Российская Федерация.

E-mail: [email protected]

Краткие сообщения

(2) в форме и(х) = У2[/] + w(х) . Известно, что Л2К2[/] = / [7]. Тогда 0 = Л2и(х) -/ = Л2w(х) и поэтому для функции w(х) получаем следующую задачу

Л2w(х) = 0, х е 5; (4)

аоо ™ + ™ + °02Л^ |э5 = Р^), t еЭ5,

Эп (5)

ЭЭ ап — w + а12Л^ + а13 — Л^ к5 = <р2 ^), t е Э5, Эп Эп

где обозначено

Р ^) = (а00 + а01л + а02Л) V [/] |Э5 , ,

I (6)

р2(t) = -(а11л + а12Л + а1зЛЛ)^2[/] |э5 .

п

и Ли = ^ хгих. . Из результатов работы [6] следует следующее условие разрешимости задачи (4)-

I=1

(5), полученное В.В. Карачиком.

Теорема 2. Решение задачи (4)-(5) из класса и е С 3(Б) в случае, когда при некотором т е N 0 имеет место равенство Л(т) = 0, существует тогда и только тогда, когда функции ре С2 (Э5) и р2 е С1 (Э5) удовлетворяют равенству

|Э5 Нт (0 (^(т)р ^) + ^(т) р2 (t)) Л = 0, (7)

где Нт (х) - произвольный однородный гармонический полином степени т , а вектор (

?2(т)

= 0. (8)

является решением системы алгебраических уравнений

' а00 + а01т а11т V д1(т) ^

а00 + (т + 2)а01 + (2п + 4т)а02 (т + 2)а11 + (2п + 4т)(а12 + та13) Д ^2(т) у Для вычисления функций р(0 и р2(t) из (6) воспользуемся теоремой 13 из [8]. Теорема 3. Пусть полином /(х) записан в виде /(х) = ^|х|2т и^т)(х), где и^т)(х) - однородные гармонические полиномы степени 5 . Тогда для х е 5 справедливо равенство

V[./](х)=I( '2т'2"5")(х)___иГм_).

(2т + 2)(2т + 25 + п) (2т + 2){2$ + п - 2)7

В соответствии с разложением (3) выберем /(х) = /^ (х) = и^г)(х)Р/г)(| х |2), где

и<° (х)Р^ (| х |2) - одно из слагаемых в разложении /(х) в сумму (3). Тогда из теоремы 3 вытекает, что верно равенство

у2[ /^ ]=и(0( х)а(0(м2),

где Q(¡!') ^) - некоторый полином от t. Вычислим функции р ^) и р2 ^) из (6) при /(х) = / ^ (х). Нетрудно видеть, что в этом случае

Р ^) = -(а00 + а01Л + а02Л)^2[/з,1] |Э5 = СА ^X р2 (t) = -(апЛ + а12 Л + а^ЛЛ^ ] |э5 = (t),

где постоянные с5 и выражаются через коэффициенты О^р^) и коэффициенты задачи (1)-(2). Подставляя эти функции в левую часть условия (7), получим

А = (^(т)с + <?2(тК) |Э5 Нт ^ )и ^) Л, где т е N0 удовлетворяет равенству Л(т) = 0 . Из условия (3) вытекает, что 5 ^ т , а значит в силу ортогональности на Э5 однородных гармонических полиномов разных степеней т и 5 имеем А = 0. Таким образом условия теоремы 2 выполнены. Значит решение задачи (4)-(5), а

58 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Гулящих И.А. Однородная задача Дирихле-Рикье

для неоднородного бигармонического уравнения в шаре

следовательно и решение задачи (1)-(2) при f (x) = fsi (x) существуют. Применяя аналогичные

рассуждения для всех слагаемых ul'\x)Pj'') (| x |2) в разложении f (x) в сумму (3), получаем утверждение теоремы.

Литература

1. Карачик, В.В. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Сибирский журнал индустриальной математики.

- 2012. - Т. XV, № 2(50). - С. 86-98.

2. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - C. 1149-1170. DOI: 10.7868/S0044466914070072

3. Karachik, V.V. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the bihar-monic equation in the unit ball / V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov, A. Bekaeva // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2012. - Vol. 81, № 3. - P. 487-495.

4. Карачик, В.В. Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре / В.В. Карачик // Сибирский журнал индустриальной математики. -2013. - Т. 16, № 4(56). - С. 61-74.

5. Карачик, В.В. Условия разрешимости задачи Неймана для однородного полигармонического уравнения // Дифференциальные уравнения. - 2014. - Т. 50, № 11. - С. 1455-1461. DOI: 10.1134/S037406411411003X

6. Karachik, V.V. Uniqueness of solutions to boundary-value problems for the biharmonic equation in a ball / V.V. Karachik, M.A. Sadybekov, B.T. Torebek // Electronic Journal of Differential Equations,

- 2015. - Vol. 2015, № 244. - pp. 1-9.

7. Бицадзе, А.В. Уравнения математической физики / А.В. Бицадзе. - Москва, Наука, 1982. -336 с.

8. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений некоторых краевых задач для уравнения Пуассона / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики.

- 2011. - Т. 51. no. 9. - С. 1674-1694.

Поступила в редакцию 5 декабря 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2016, vol. 8, no. 1, pp. 57-60

DOI: 10.14529/mmph160108

HOMOGENEOUS DIRICHLET-RIQUIER PROBLEM FOR INHOMOGENEOUS BIHARMONIC EQUATION IN A BALL

I.A. Gulyashikh1

The solvability condition of the homogeneous Dirichlet-Riquier boundary value problem for inho-mogeneous biharmonic equation in the unit ball, having polynomial right-hand part is obtained.

Keywords: Dirichlet-Riquier boundary value problem; inhomogeneous biharmonic equation; solvability conditions.

References

1. Karachik V.V., Antropova N.A. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki, 2012, Vol. 15, no. 2(50), pp. 86-98. (in Russ.).

2. Karachik V.V. Construction of polynomial solutions to the Dirichlet problem for the polyhar-monic equation in a ball. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2014, Vol. 54, no. 7, pp. 1122-1143. DOI: 10.1134/S0965542514070070

1 Gulyashikh Il'ya Anatol'evich is Post-graduate Student, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University,

Chelyabinsk, Russia. E-mail: [email protected]

Краткие сообщения

3. Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Bekaeva A. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball. International Journal of Pure and Applied Mathematics, 2012, Vol. 81, no. 3, pp. 487-495.

4. Karachik V.V. Sibirskiy zhurnal industrially matematiki, 2013, Vol. 16, no. 4(56), pp. 61-74. (in Russ.).

5. Karachik V.V. Solvability conditions for the Neumann problem for the homogeneous polyhar-monic equation. Differential Equations, 2014, Vol. 50, no. 11, pp. 1449-1456. DOI: 10.1134/S0012266114110032

6. Karachik V.V., Sadybekov M.A., Torebek B.T. Uniqueness of solutions to boundary-value problems for the biharmonic equation in a ball. Electronic Journal of Differential Equations, 2015, Vol. 2015, no. 244, pp. 1-9.

7. Bitsadze A.V. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of mathematical physics]. Moskva, Nauka Publ., 1982, 336 p. (in Russ.).

8. Karachik V.V. Construction of polynomial solutions to some boundary value problems for Pois-son's equation. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2011, Vol. 51, no. 9, pp. 15671587. DOI: 10.1134/S0965542511090120

Received December 5, 2015

60

Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»