Задача Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 517.956.223

ЗАДАЧА НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ЕДИНИЧНОМ ШАРЕ

И.А. Гулящих'

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Неймана для однородного полигармонического уравнения в единичном шаре.

Ключевые слова: задача Неймана; полигармоническое уравнение; условия разрешимости.

Рассмотрим задачу Неймана для неоднородного полигармонического уравнения в единичном шаре 5 = {хе Мп :|х |< 1}

Дки(х) = /(х), х е 5;

Э 1и ^ ■ Г7 (1)

—- =ф. (5), 5 е Э5, ] = 1,к,

где п - единичный вектор внешней нормали к Э5. В работе [1] была рассмотрена более общая краевая задача, содержащая многочлены высокого порядка от нормальных производных в граничных условиях, а в работе [2] приводится решение задачи Дирихле для уравнения из (1). В работе [3] была исследована задача Неймана для неоднородного бигармонического уравнения в единичном шаре, а в [4] дается решение соответствующей задачи Дирихле. В работе [5] получены условия разрешимости задачи Неймана (1), а также дается способ нахождения ее решения.

п

Обозначим Ли = ^ х.{их..

I=1

Теорема 1. [5, теорема 8] Решение задачи Неймана (1) имеет вид

и( х) = г у(£г)— + С, (2)

Ло ^

где у( х) - решение следующей задачи Дирихле Дку(х) = (Л + 2к)/(х), х е 5;

Э ]у ^ --(3)

У|Э5 =Й(5), —- = ]ф] (5) + ^,+1(5), 5 еЭ5, ] = 1,к -1.

Эп]|эя

Из приведенной теоремы следует, что условие разрешимости задачи Неймана (1) записывается в виде у(0) = 0, где у( х) - решение задачи Дирихле (3). Рассмотрим частный случай задачи

(1), когда /(х) = 0 и обозначим / =л, /, = +ф,-+х при ] = 1,..., к -1. Для нахождения значения у(0) решения задачи Дирихле с функциями /0,..., /к-1 на границе воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 2. [6, теорема 2] Для всякой полигармонической в единичном шаре 5 с Мп функции у е Ск-1(5) справедливо равенство

«0> IV+-+*-1 (4)

no V К к К -ч

wn JdS dv dv

где числа hsk являются коэффициентами разложения многочлена

Hk 1(1) -(l-2)---(1-2k + 2) (5)

(2k - 2)!!

1 Гулящих Илья Анатольевич - аспирант, кафедра математического и функционального анализа, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: [email protected]

Гулящих И.А.

Задача Неймана для полигармонического уравнения

в единичном шаре

(здесь Н0 (1) = 1) по факториальным степеням 1['] = 1(1 -1) • • • (1 - 5 +1)

Нк-1 (1)=икк -11[к -1] + икк-2Ак-2] + • • •+^1а[1] + и°к. (6)

Учитывая соотношения / = р, / = + р]+1, где ] = 1,...,к -1, перепишем равенство (4) в виде

1 к-1 1 к ^>(0)=—IЧ (р (') + р+1(')) =—1 (Ч + Кр (') ,

СО. - СС

'п 1=0

—.

1=1

где надо учитывать, что ккк = 0 . Определим производную по правилу Р(1) (1) = Р(1 +1) - Р(1) [2].

Нетрудно видеть, что (1[к ])(т) = к[т]1[к-т] , а поэтому из (6) находим Нк = —(Нк-1)(1)(0), а значит,

1!

используя формулу (5), получим

Нк + К-1 =-^-( Нк-1)(1)(0) + -!-( Нк-1)(1-1)(0) = -^тХ( Нк -1)(1)(1)-

Нк + Н'к 1 _ (7-1)1 ("^1) (0^(^-1)1- (1 -1)!

+Нк 1 (1))(г-1) (0) = (Нк 1 (1 + 1))(г-1) (0) = --—

к1К" (1 - 1)Г к 1 и (2к-2)!! (1 -1)!

+

(Щ-1)(1-1}(0),

где обозначено ык-1 (1) = (1 -1) • • • (1 - 2к + 3) . Значит, условие у(0) = 0 равносильно условию

1п() = 0,

1=1

где числа п1к являются коэффициентами разложения многочлена ык-1(1) по факториальным степеням 1[,]. Вычислим числа п1 .

Лемма 1. Имеет место равенство

(1 -1) ■• • • (1 - 2к + 3) = (- 1)к -1 1( -1)1 ( 2к 1 - 21 (2к - 21 - 3)!! 1[1],

1=0

(7)

причем при к = 1 многочлен слева равен 1.

Доказательство. При к = 1 и к = 2 равенство верно. Пусть оно верно при к , докажем его верность и при к = к +1. Умножим (7) на 1 - 2к +1. Учитывая, что 1[<] (1 - 2к +1) = 1[1+1] - (2к -1 -1)1[1], справа буде м иметь

к -1 (2к -1 - 21 \ к (-1)к-11(-1)1 (2к-21 -3)!!(1[г+1] -(2к-1 - 1)1[г]) = (-1)кI(-1)1 х

1=0 V 1 / 1=0

(( 2к -1 -11 ( 2к -1 - 21 1

х

чч '-1 ,

(2к - 21 -1)!!+

(2к - 21 - 3)!!(2к -1 -1)

1[1].

Выражение в круглых скобках имеет значение (2к - 21 - 3)!!

(2к -1 -1) ■ (2к - 21 + 1)(2к - 21 -1)(1 + (2к - 21)) =

1!

(2к - 21 - 3)!! (2к - Г

1 '"-(2к -1 - 1)-(2к - 21 + 1)(2к - 21 - 1)(2к -1) = (2к - 21 -1)!! ,

1!

а значит выражение в круглых скобках равно

(-1)к I (-1)1 (2к - 21 -1)!!

( 2к -11

1=1

1[1].

Это означает, что формула (7) верна при к = к +1. Лемма доказана. Из леммы 1 следует, что

( 2к -1 -11 | (2к - 21 -1)!!,

пк-1=(-1)1-1

1 -1

а значит, условие разрешимости однородной задачи Неймана имеет вид

2015, том 7, № 2

71

Краткие сообщения

L X -

i=1

( 2k - i -1) i -1

(2k - 2i -1)!! j (5) = 0.

Полученное условие согласуется с найденным в [5].

Литература

1. Карачик, В.В. Об одной задаче для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Сибирский математический журнал. - 1991. - Т. 32, № 5. - C. 51-58.

2. Карачик, В.В. Построение полиномиальных решений задачи Дирихле для полигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2014. - Т. 54, № 7. - C. 1149-1170.

3. Karachik, V.V. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the bihar-monic equation in the unit ball / V.V. Karachik, B.Kh. Turmetov, A. Bekaeva // International Journal of Pure and Applied Mathematics. - 2012. - Vol. 81, № 3. - P. 487-495.

4. Карачик, В.В. О полиномиальных решениях задачи Дирихле для бигармонического уравнения в шаре / В.В. Карачик, Н.А. Антропова // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2012. - Т. XV, № 2(50). - С. 86-98.

5. Карачик, В.В. Об условиях разрешимости задачи Неймана для полигармонического уравнения в единичном шаре /В.В. Карачик // Сибирский журнал индустриальной математики. -2013. - Т. XVI, № 4(56). - С. 61-74.

6. Карачик, В.В. О свойстве среднего для полигармонических функций в шаре / В.В. Карачик // Математические труды. - 2013. - Т. 16, № 2. - С. 69-88.

Поступила в редакцию 5 февраля 2015 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2015, vol. 7, no. 2, pp. 70-72

NEUMANN PROBLEM FOR POLYHARMONIC EQUATION IN THE UNIT BALL

I.A. Gulyashchikh

Necessary and sufficient solvability conditions of Neumann problem for homogeneous polyhar-monic equation in the unit ball are obtained.

Keywords: Neumann problem; polyharmonic equation; solvability conditions.

References

1. Karachik V.V. Sibirskiy matematicheskiy zhurnal. 1991. Vol. 32, no. 5. pp. 51-58. (in Russ.).

2. Karachik V.V. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 2014. Vol. 54, no. 7. pp. 1149-1170. (in Russ.). DOI: 10.7868/S0044466914070072

3. Karachik V.V., Turmetov B.Kh., Bekaeva A. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball. International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2012. Vol. 81, no. 3. pp. 487-495.

4. Karachik V.V., Antropova N.A. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki. 2012. Vol. XV, no. 2(50). pp. 86-98. (in Russ.).

5. Karachik V.V. Sibirskiy zhurnal industrial'noy matematiki. 2013. Vol. XVI, no. 4(56). pp. 6174. (in Russ.).

6. Karachik V.V. On the mean value property for polyharmonic functions in the ball. Siberian Advances in Mathematics. 2014. Vol. 24, no. 3. pp. 169-182.

Received 5 February 2015

1 Gulyashchikh Il'ya Anatol'evich is Post-graduate Student, Mathematical and Functional Analysis Department, South Ural State University. E-mail: [email protected]