Краевая задача Римана на замкнутой неспрямляемой кривой и преобразование Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 152, кн. 1

Физико-математические пауки

2010

УДК 517.544

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА НА ЗАМКНУТОЙ НЕСПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОШИ

Б.А. Кац

Аннотация

В работе установлено, что решения краевой задачи Римапа па замкнутой песпрямля-емой кривой представимы в виде преобразований Коши некоторых распределений.

Ключевые слова: иеспрямляемая кривая, краевая задача Римапа, преобразование Коши.

1. Настоящая работа посвящена следующей хорошо известной краевой задаче. Пусть Г есть замкнутая жорданова кривая на комплексной плоскости C, разбивающая ее на конечную область D+ и содержащую бесконечно удаленную точку-область . Требуется найти голоморфную в С \ Г функцию Ф(-г). имеющую граничные значения lim Ф(г) = и lim Ф(г) = Ф-^) в каждой точке

D+3z^t D-3z^t

t £ Г, исчезающую в бесконечно удаленной точке и удовлетворяющую условию граничного сопряжения

Ф+(^= G(t^-(t) + g(t), t £ Г, (1)

где G и д - заданные функции. Эта задача, известная как задача Римана, имеет обширные приложения. Ее классическая теория (см. [1, 2]) основана на использовании интеграла типа Коши

«»-¿да

г

В частности, для кусочно-гладкой кривой Г этот интеграл с плотностыо f, удовлетворяющей условию Гельдера с показателем v £ (0,1], дает единственное решение простейшего случая задачи Римана задачи о скачке:

Ф+^) - ф-(^= f (t), t £ Г. (3)

Г

Но краевая задача Римана сохраняет смысл и в этой ситуации. В 1980-е годы мы

G(t)

g(t) удовлетворяют условию Гельдера с показателем

г/ > ^ Dmbr, (4)

где Dmb Г есть верхняя метрическая размерность (она же размерность Минков-

Г

log N(е, Г)

Dmb Г = lim sup--—-—. (5)

- log е

Здесь N(е, Г) есть наименьшее число кругов диаметра е, покрывающих множество Г. При этом не были получены представления решений задачи в форме контурных интегралов. В настоящей работе мы получим такие представления.

2. В последние десятилетия появилось немало работ (см.. например. [6 8]). посвященных свойствам преобразования Коши различных мер. Если / есть мера на комплексной плоскости с компактным носителем то ее преобразование Ко. 1 Г - т,

ши это интеграл С^ := - / -, называемый также потенциалом Коши.

2пг у С — £

В частном случае, когда 5 есть спрямляемая кривая, = /(Ь) ¿Ь и f (Ь) есть интегрируемая (относительно длины 5) функция, он превращается в интеграл типа Коши. С другой стороны, если р есть распределение с компактным носителем 5 на комплексной плоскости, то его преобразование Коши можно определить равенством

СЧ> ■= ¿7 (<Р> 1

2пг \ £ — £

где г ^ Б. Последнее равенство понимается как применение р к - как к функ-

С — £ ^

ции переменной С либо как свертка р * Е, где Е есть распределение -;. Мы

2пг(

отождествляем каждую заданную та комплексной плоскости функцию Е (£) с распределением • • • /'/' ^(С)-СО ¿С С если последний интеграл имеет

смысл. Поскольку Е есть фундаментальное решение дифференциального оператора д (иначе говоря, дЕ = 6о, см. [9]), то дСр = р и функция С<р(г) голоморфна в С \ Б. Очевидно, эта функция равна нулю в точке оо.

В основном нас будет интересовать случай р = дЕ, где Е голоморфная в С \ Г функция, локально интегрируемая в С. Носитель такого распределения лежит па кривой Г. Если эта кривая - спрямляемая, а Е имеет па пей непрерывные граничные значения с обеих сторон Е ± , то нетрудно убедиться, что распределение р = дЕ действует по формуле

М = / (Е +(С) — Е -(0) и(С) ¿с

Г

как обобщенное интегрирование по кривой Г с весом Е + (£) — Е-(С)• Интегриро-

Е

фупкция 7+(г) облаети , равная единице в и нулю в Б- . Все такие расире-

[р ]

деления мы будем называть интегрированиями1 и обозначать J . При этом будем

[Р] , [Р] V

писать /«с™ Д„фф_ ¿С Месь служ„т для ука3а„,„

переменной, по которой производится интегрирование.

3. Интегрирования определены выше как распределения, то есть функционалы на СПокажем, что их можно продолжить по непрерывности на более обширные

ХС другими подходами к вопросу об интегрировании по неспрямляемым кривым можно ознакомиться в работах [10 13].

пространства. Для этого мы используем понятие аппроксимационной размерности неспрямляемой кривой, введенное в [14].

В определении этого понятия используются следующие две метрические характеристики конечной области Р то спрямляемой границей: А(Р) означает длину ее границы дР, а ад(Р) - диаметр наибольшего круга, содержащегося в Р.

Пусть Р+ = {Рп,п = 1,2,...} есть некоторое разложение Р+ на многоугольники, то есть последовательность неналегающнх многоугольников таких, что Рп с С Р+, п = 1, 2,..., У Рп = Р+, и любое замкнутое множество А С Р+ пересе-

п<1

кает лишь конечное число многоугольников Рп. Без ограничения общности можно считать, что при любом п одна из сторон многоугольника Рп+1 принадлежит гра-

п ___

иице объединения и Ри • Тогда замкнутые ломаные Г+ := д У Рк сходятся к Г

к=1 1<к<п

из области Р+. Назовем ¿-массой Р + сумму Ма(Т+) А(Рп

п>1

Определение 1. Пусть Ж+(Г) есть множество всех таких чисел ¿, что область Р+ имеет разложение Р + с конечной ¿-массой М^(Р +). Тогда Бша+ Г := М N + (Г) есть внутренняя аппроксимационная размерность кривой Г.

Аналогично, пусть Р- = {Рп, п = 0,1, 2,... } есть разложение бесконечной области Р- та многоугольники, причем многоугольпая область Ро содержит внутри себя то, а все остальные многоугольники конечны. Такое разложение порождает последовательность ломаных Г-, сходящихся к Г из Р-. Полагаем М^(Р-) := А(Рп)^^-1(Рп).

п>1

Определение 2. Пусть N-(Г) есть множество всех таких чисел ¿, что область Р- имеет разложе ние Р- с конечной ¿-массой М^(Р-). Тогда Бша- Г := М N- (Г) есть внешняя аипроксимационная размерность кривой Г.

Г

Бша Г := шш{Бша+ Г, Бша- Г}.

Теорема 1.

Г

Бша+ Г < БшЬ Г, Бша- Г < БшЬГ. (6)

п. Для любого числа ¿ € (1,2) можно указать кривые Г1 и Г2 такие, что БшЬГ1 = БшЪГ2 = ¿, но Бша- Г1 < ¿ и Бша- Г2 < ¿.

Доказательство. Неравенства (6) доказываются точно так же, как в [14] доказывалось неравенство Бша Г < БшЪ Г. Второе утверждение теоремы также можно доказать, повторяя рассуждения из [14], но здесь мы применим несколько иную конструкцию.

Пусть {ак} есть убывающая последовательность положительных чисел такая,

^ ^ оо

что ^^ ak = 1. Положим хп = ^^ ak и будем считать, что ряд ^^ хп расходится.

к=1 к=п п=1

Рассмотрим вертикальные отрезки ап := {г = хп + гу : 0 < у < жп} и найдем верхнюю метрическую размерность множества а := и ап. Разобьем плоскость на

п>1

квадраты со стороной е > 0 и обозначим через N°(е, а) число таких квадратов,

пересекающихся с а. Хорошо известно, что N(е, А) х №(е, А) для любого компакта А, и поэтому мы можем заменить N на N° в равенстве (5). Пусть номер п(е) определяется неравенством а„(е)+1 < е < а„(е). Тогда все отрезки с номерами п > п(е) покрываются N1 квадратами, заполняющими половину квадрата [0, ж„(е)] х [0,1„(£)] под его диагональю; отсюда N1 х е-2хП(е) • Остальные отрезки ак, к = 1, 2,..., п(е) — 1, покрываются N квадратами, причем никакой квадрат не может пересекаться с двумя или более отрезками из этого списка. Поэтому

п(е)-1

N2 х е-1 хк и к=1

п(е) —1

^(е,а) х е-2хП(£) + е-1 ^ хк.

к=1

Входящие сюда величины легко оцениваются, что позволяет вычислить БшЪ а для многих конкретных последовательностей |ак}. В частности, справедлива

1 1 2

Лемма 1. Если хп х — и ап х ——г, где 0 < а < 1, то БтЬст =-.

па па+1 1 + а

В частности, условия леммы выполнены при хп = —, п = 1, 2,....

па

Теперь зафиксируем в > 1 и рассмотрим систему прямоугольников Дп :— (г — = х + гу : хп — аП < х < хп, 0 < у < хп}, п — 1, 2,... Пусть Д :— и Дп.

П>1

Положим В+ :— (г — х + гу : 0 < х < 1, —1 < у < 0} и Д (квадрат с серией прямоугольных аппендиксов), В+ :— (г — х + гу : 0 <х< 1, 0 <у< 1} \ Д (квадрат с серией прямоугольных вырезов) и Г1,2 — дВ+ • Из леммы 1 нетрудно вывести, что БшЪ Г — БшЪГ2 — 2(1 + а)-1. Положим а — 2й-1 — 1; тогда

БшЪ Г — БшЪГ2 — й

Далее, область В+ имеет разложение, состоящее из квадрата (г — х + гу : 0 < < х < 1, —1 < у < 0} и ирямоугольников Д„, а дополняющая В+ облаеть В- -разложение, состоящее из тех же прямоугольников и дополнения квадрата (г — — х + гу : 0 < х < 1, 0 <у< 1} до всей комплексной плоское ти. Тогда р-массы

обоих этих разложений содержат ряд ^^ А(Д„)адр-1 (Дп), сходящийся одновремен-

П=1

оо 1

но с рядом Но этот ряд сходится при р > 1 + -^-;-г = 1).

П=1 Р(1 +а)

Значит,

Бта+ Г1 < 1 + < й, Б та- Го < 1 + < с1,

Р Р

что и завершает доказательство теоремы 1.

□

Для любого ограниченного множества А С С обозначим через Н(А, V) множество всех заданных на нем функций /, удовлетворяющих условию

М/, А) := вир | : е А, ?'ф } < оо, (7)

то есть условию Гельдера с показателем V € (0,1]. Коэффициент (/, А) является полунормой в Н(А, V). В качестве нормы можно взять сумму ||/\\н{А,^) :— |/(¿о)| + + (/, А), где ¿0 € А - фиксированная точка. Хорошо известно (см., например,

[15]), что замыкание CTO по норме H(A, v) те совпадавт с H(A, v), но содержит все пространства H(A, v') с v' > v. Обозначим H*(A, v) := |J H(A, v'). Выберем

последовательность показателей {vj} такую, что vj > vj+1 > v, j = 1,2,..., и lim v' = v. Семейство, состоящее из полунорм hj (f, A), j = 1, 2,..., и полунормы

|f (t0)|, превращает H*(A, v) в пространство Фреше, в котором множество CTO является плотным. Аналогичным образом можно задать структуру пространства Фреше на множестве H*(A, v) := р| H(A, v').

v'<v

Введем еще одно обозначение. Всюду ниже считаем, что функция F(z) голоморфна в C \ Г и ограничена. При этом F + (z) (соответственно F-(z)) обозначает функцию, равную F(z) в области D+ (соответственно в D-) и нулю в дополнении замыкания соответствующей области.

Теорема 2. Если Dma± Г < 2, то функционалы f[F ] продолжимы по непрерывности на пространства H*(A, Dma± Г — 1) соответственно, где в качестве A можно взять любой компакт, со держащий Г внутри себя.

Доказательство. Пусть Dma+ Г < 2. Зафиксируем числа d и v такие, что Dma+ Г <d< 2, 1 >v>d — 1. По определению внутренней аппрокспмацп-онной размерности существует разложение P + облаети D+ с конечной d-массой Md(P+ ). Пусть Г+ - соответствующие ломаные, сходящиеся к Г изнутри, Г* = = U Г+. Любая функция ш G Cудовлетворяет условию Гельдера с любым

n>1

показателем v < 1. Возьмем сужение ш на Г*, применим к этому сужению оператор продолжения Уитни (см., например, [9]) и обозначим полученную функцию через ш* . В силу свойств оператора продолжения Уитни [9] эта функция определена во всей комплексной плоскости и удовлетворяет там условию Гельдера с любым

v < 1 ш Г* C \ Г*

производные всех порядков, причем

|Vo>*(z)| < Chvdistv-1(z,Г*).

Здесь и ниже C означает различные положительные постоянные. При v =1 отсюда следует ограниченность частных производных первого порядка. Поэтому

[F+]

J u{QcK = {dF+,u) = -{F+,du) = - jj F(Q^dCdC =

D+

= - Е ЦП0%скск= ]г f F(CMC)d< =

= £ / F(o^(c)dc = - £ ¡¡F{o^dCcK.

Pn eP+öPn Pn£P+ pn

Теперь заметим, что внутри многоугольника Pn функция ш* совпадает с ре-

ш

этого многоугольника, и поэтому мы можем воспользоваться следующей леммой из работы [14].

(С к

Лемма 2. Пусть 6 есть конечная область с жордановой спрямляемой границей 7, / € Н(7) м /ш есть продолжение Уитни функции / с кривой 7. -Если 1

р <-, то

1 — V

I[ IV/Т йхйу < (/,7)А(7)™1-р(1-^(6). г

Выберем р так, чтобы й — 1 — 1 — р(1 — V), то есть

2 — й

Р = (8) Тогда при +(С)| < М и р-1 + д-1 — 1 согласно лемме 2 получаем

^ 2( Е // 'Е // +^

Р„еР+ рП Р„еР + рП

< 1/9М1/Р(Р + К(ш,А),

где 5 есть площадь в+ . Эта оценка доказывает непрерывность функционала /

в пространстве Нь(А, Бшаа Г — 1) и его продолжимость в это пространство по непрерывности. Случай Бта~ Г < 2 рассматривается аналогично. □

Продолженные функционалы мы также будем называть интегрированиями. Из доказательства видно, что при Бшаа Г < 2 (или Бша- Г < 2) продолжение

[Р+] [Р-]

функционала J (соответственно I ) строится следующим образом. Для любой

функции / го пространства Нь(А, Бшаа Г — 1) (соответственно, Нь (А, Бша- Г — — 1)) можно указать показатель V > Бшаа Г — 1 (соответственно V > Бша- Г — 1) такой, что / € Н (А, V), а также разложение Ра (соответстве нно Р-) облает и Ва (соответственно В-) с конечной ¿-массой такое, что V > й — 1 и й > Бшаа Г (соответственно й > Бша- Г). Тогда

±1

= (9)

Б±

где /ь есть продолжение Уитни сужения / на Гь — У Г±. В случае иптегри-

П>1

В- /ь

носитель (скажем, можно умножить результат применения оператора Уитни на

Г

Если две функции / и д го пространства Нь(А, Бша± Г —1) совпадают в какой-

[ ±] [Р±]

либо окрестности Г т0> очевидно, J /(С) — J д(£) ¿С Но, вообще говоря,

/д

Г

[р ]

Теорема 3. Если БшЪГ < 2, то функционал J продолжим по непрерывности на пространство Н*(А, БшЪГ — 1), где в качестве А можно взять любой компакт, содержащий Г внутри себя. Если при этом сужения функций /

[р ]

и д из пространства Н*(А, БшЪГ — 1) на кривую Г совпадают, то /(С) ¿С =

[р ]

= / д(С) ¿С-

Эта теорема фактически доказана в иных терминах в работах [10. 12]. Ее первое утверждение непосредственно следует из теоремы 2 и первого утверждения теоремы 1.

Отметим также, что функционал (9) можно рассматривать как семейство рас-[р±М

иределений J , действующих по правилу

{F±]f . [Р±]

<Л = / /(СМО ¿С, (10)

где / пробегает пространство Н*(А, Бша± Г — 1).

4. Рассмотрим преобразования Коши распределений (10). Мы будем обозначать их через СГ / , то есть

2иг1

СГР / :=

Как уже отмечалось, это голоморфная в С \ Г функция, исчезающая в бесконечно удаленной точке. Несложные преобразования равенств (9) и (10) приводят к представлению

ю±

где /* - то же, что в (9). Свойства входящего в последнее равенство интегрального оператора хорошо известны (см., например, [16]). В частности, он дает непрерыв-

С

д/*

Гельдера с показателем (р — 2)/р. если его плотность —— Р±(С) интегрируема

дС

в области интегрирования в некоторой степени р > 2. При ограниченной функции Р± это происходит, если определенный равенством (8) показатель р больше двух, то есть при V > Бша± Г/2. Первое (внеинтегральное) слагаемое в правой части (11) имеет скачок (Р + — Р-)/ та кривой Г. Итак, справедлива

Теорема 4. Если БшаГ < 2, / е Н * (А, БшаГ/2), г<?е А - любой компакт, содержащий Г внутри себя, и функция Р имеет на Г предельные значения с обеих

[р ±]

сторон, то функция Ф(г) := СГ /(г) имеет в каждой точке £ е Г предельные значения с обеих сторон, связанные соотношением.

Ф+(£) — Ф-(£) = (Р +(£) — Р-(£))/(£), £ е Г.

Напомним, что наши построения относятся к случаю, когда В(г) тождественно равна пулю либо в Ва , либо в В—, то есть множитель перед / равен ±В±(4).

Далее, любая функция / € Нь(Г, БшаГ/2) продолжается до некоторой функции / € Нь(А, БшаГ/2) посредством оператора продолжения Уитни. Таким образом, имеет место

Следствие 1. Если БшаГ < 2 и / € Нь(Г,БшаГ/2), то задача о скачке (3)

имеет решение, задаваемое формулой Ф(г) :— С|7 ]/(г) при БшаГ — Бшаа Г и

Ф(г) :— Ср7 ]/(г) при БшаГ — Бша Г. Здесь функция 7а(г) равна единице в Ва и нулю в В- , 7-(г) — 7а(г) — 1.

Отсюда, в свою очередь, следует

Следствие 2. Если БшЪГ < 2 и / € Нь(Г, БшЪГ/2), то задача о скачке (3) имеет решение, задаваемое любой из двух эквивалентных формул Ф(г) :— :— С|и Ф(г) :— С^Д*).

Существование решений задачи о скачке при условиях / € Нь(Г, БшЪГ/2) и / € Нь(Г, БшаГ/2) было доказано в работах [3] и [14] соответственно; здесь мы доказали представимость этих решений в виде преобразований Коши.

Решение задачи о скачке па иеспрямляемой кривой может оказаться иеедии-ственным. Это происходит, когда хаусдорфова размерность БшИГ этой кривой превосходит единицу. Согласно теореме Е.П. Долженко [17], если область В содержит компакт А и функция В € На(В, БшИ А — 1) голоморфна в В \ А, то она голоморфна в В; кроме того, при БшИ А > 1 существует непостоянная функция В € Н0тЬА- 1(С), голоморфная в С \ А.

Иными словами, если БшИ Г > 1, то задача о нулевом скачке имеет нетривиальные решения, но их гельдеровы показатели не превосходят БшИГ — 1.

С \ Г Ф

Хаусдорфа-Долженко (НО-условию) если крив ая Г имеет окрести ость V такую, что сужения Ф на ^р|Ва и н а ^р|В- удовлетворяют условию Гель дера с показателем, который превосходит БшИ Г — 1. Соответственно, решение задачи Римана

Г

НО-решением. Как уже отмечалось, интегральный член представления (11) удовлетворяет в С условию Гель дера с показателем (р — 2)/р, где р задается соотношением (8). Таким образом, этот показатель равен ———, где с1 сколь угодно

Бша Г.

скачке при условии

2v — БшаГ ^ ,

--- > БпИ Г - 1,

2 — БшаГ

или, что равносильно,

V > — БтиГ,

БшиГ :— БшаГ + (БшИГ — 1)(2 — БшаГ).

Эта несколько загадочная характеристика ведет себя подобно размерности плоской Г

для спрямляемой кривой. Ее можно назвать размерностью единственности. Итак, доказано

Следствие 3. Если БшаГ < 2 и / € Н ь(Г, Бши Г/2), то описанное выше преобразование Коши является единственны,м НБ-решением, задачи о скачке (3).

Теперь перейдем к задаче Рпмана (1). Как обычно (см. [1. 2]). мы предполагаем, что О(г) те обращается в нуль на кривой Г и обе функции О(г) и д(г) удовлетворяют там условию Гельдера. Что касается показателя в этом условии, то для доказательства существования решений достаточно считать его превосходящим — Бта Г, но для исключения эффектов, связанных с существованием нетривиальных решений задачи о нулевом скачке, должны положить V > ^ Бпш Г.

При этих условиях О(£) = (£ — ехр/(г), где / е Н(Г), г0 е , а к есть целое число (равное поделенному на 2^ приращению аргумента О на Г; см. [1, 2]). Рассмотрим функцию Ф(г) := С^ ]/(г), являющуюся НБ-решением задачи о скачке

*+(*) — Ф"(£) = /(£), г е Г.

Тогда функция

X(г) := ехрФ(г), г е Р+, X(г) := (г — г0)-к ехрФ(г), г е Р-,

удовлетворяет краевому условию

X + (г) = о(£)х-(г), г е г,

причем она также является ЕГО-рсшснием однородной задачи Римана. Как обычно, мы подставляем О(г) = X +(г)/Х-(г) в соотношение (1) и получаем задачу о скачке:

Ф+(г) Ф-(г) д(г)

X + (t) X-(t) X + (t)'

t e r.

Скачок g/X + удовлетворяет условию Гельдера с показателем, меньшим

2v — БшаГ „ „ т

- < V. Поэтому мы не можем применить здесь следствие 1. Тем не

2 — Бша Г

Бша Г =

= БшЪ+ Г достаточно положить в этой теореме функцию Р(г) равной 1/X(г) в области и нулю в области Р-, а в случае БшаГ = БшЪ- Г - равной нулю в и — (г) в Р-. Таким образом, справедлива

5. Если коэффициенты О(г) и д(г) принадлежат пространству

Н* (г^Впшг) и С{1) не обращается в нуль на кривой Г, то картина НБ-

разрешимости краевой задачи Римана (1) совпадает с классической картиной ее разрешимости для кусочно-гладких кривых (см. [1, 2]), и все ее НБ-решения и условия НБ-разрешилшсти представимы в виде преобразований Коши.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект Л*1' 09-01-12188-офи-м).

Summary

B.A. Kats. The Riemann Boundary Value Problem on Non-R.ect.ifiable Curve and the Caucliy Transform.

In the present paper we obtain a representation for solutions of the Riemann boundary value problem on non-rect.ifiable closed Jordan curves in terms of the Caucliy transforms of certain distributions.

Key words: non-rect.ifiable curve. Riemann boundary value problem. Caucliy transform.

Литература

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

2. Мусхелихивили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1962. 600 с.

3. Кац Б.А. Задача Римапа па замкнутой жордаповой кривой // Изв. вузов. Матом. 1983. 4. С. 68 80.

4. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах // Усп. матем. паук. 1959. Т. 14. Вып. 2. С. 3 86.

5. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 254 с.

6. Mattila P., Melnikov M.S. Existence and weak type inequalities for Caucliy integrals of general measure on rect.ifiable curves and sets // Proc. Am. Mat.li. Soc. 1994. V. 120. P. 143 149.

7. Tulsa X. Bilipscliit.z maps, analytic capacity and the Caucliy integral // Ann. of Math. 2005. V. 162, No 2. P. 1243 1304.

8. Verdera J. A weak type inequality for Caucliy transform of finite measure // Publ. Mat. 1992. V. 36. P. 1029 1034.

9. Hormander L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Distribution theory and Fourier Analysis. Springer Verlag, 1983. 464 p.

10. Кац Б.А. Задача о скачке и интеграл по песпрямляемой кривой // Изв. вузов. Матем. 1987. 5. С. 49 57.

11. Kats В.A. The Caucliy integral over lion-rect.ifiable paths // Cont.emp. Math. 2008. V. 455. P. 183 196.

12. Harrison J., Norton A. Geometric integration on fractal curves in the plane // Indiana Univ. Math. J. 1991. V. 40, No 2. P. 567 594.

13. Harrison J. Lectures on chainlet geometry new topological methods in geometric measure theory. arXiv:math-ph/0505063, 24 May 2005. 153 p.

14. Kats B.A. On solvability of the jump problem // J. Math. Anal. Appl. 2009. V. 356, No 2. P. 577 581.

15. Крейи С.Г., Петунии Ю.И., Семенов E.M. Интерполяция липейпых операторов. М.: Наука, 1978. 400 с.

16. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.

17. Долж.енко Е.П. О «стирании» особенностей аналитических функций // Усп. матем. паук. 1963. Т. 18, 4. С. 135 142.

Поступила в редакцию 02.12.09

Кац Борис Александрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

E-mail: katsboris877Qgmail.com