CC BY
30
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 1
Физико-математические пауки
2008
УДК 517.54
МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕСПРЯМЛЯЕМЫХ ДУГ И ЗАДАЧА О СКАЧКЕ
Б.А. Кац
Аннотация
В статье исследуется краевая задача о восстановлении голоморфной функции по ее скачку па заданной песпрямляемой дуге. Для таких дуг введены новые метрические характеристики типа размерностей. Основным результатом статьи является повое условие разрешимости задачи о скачке в терминах указанных характеристик. Оно улучшает известные условия такого рода.
Ключевые слова: голоморфная функция, задача о скачке, песпрямляемая дуга, фрактальная размерность.
Введение
В теории функций комплексной переменной хорошо известия так называемая задача о скачке. Она ставится следующим образом. Пусть Г есть дуга па комплексной плоскости С с началом в точке a i и концом в точке си, и па этой кривой задана функция f(t). Требуется найти голоморфную в С\Г функцию Ф(г), имеющую при приближении z из области С\Г к любой точке #£Г°=Г\{01,02} слева и справа предельные значения Ф+(£) и Ф-(£) соответственно, связанные условием граничного сопряжения
Ф+(*) - Ф-(*) = f (t),t е Г°; (1)
кроме того, предполагается, что Ф(го) = 0.
Как правило, эту задачу решают в классе функций, ограниченных или интегрируемых вблизи концов дуги (см., например, [1, 2]), однако в данной работе (за исключением последнего пункта) мы не налагаем на искомую функцию таких ограничений
Мы считаем, что заданная на кривой Г функция f удовлетворяет условию Гельдера
sup | l/(*?jy : t', t" G г, fV t" J EE М/, Г) < OO (2)
с каким-либо показателем v е (0,1]. Ниже через Hv (Г) мы обозначаем простран-
Г
условию (2).
Г
решение этой задачи (в классе функций, имеющих интегрируемые особенности на концах дуги) единственно и дается интегралом типа Коши:
г
Еще Гарнаку, Морера и Сохоцкому было в той или иной степени известно, что этот интеграл имеет непрерывные граничные значения на Г° с обеих сторон если плотность / (£) удовлетворяет условию Гель дера с любым показателем V из указанного выше промежутка, а контур интегрирования является кусочно-гладким (см. [2]). Разность этих граничных значений равна плотности интеграла: соответствующее равенство, называемое формулой Сохоцкого, лежит в основе приложений интеграла (3) в краевых задачах.
В дальнейшем ограничения на дугу Г неоднократно ослаблялись. Одним из наиболее важных достижений в этой области является результат, полученный независимо друг от друга Е.М. Дынькиным [3] и Т. Салимовым [4]. Это оценка модуля непрерывности интеграла (3) по спрямляемой (вообще говоря, негладкой) замкнутой кривой Г через модуль непрерывности его плотности / и некоторые величины, характеризующие метрические свойства Г. В частности, выяснилось, что если / £ £ Н(Г) при V > 1/2, то граничные значения Ф± (£) существуют и непрерывны без
Г
Е.М. Дынькин [3] установил также, что его результат неулучшаем в терминах использованных метрических характеристик кривой. В частности, для произвольно фиксированного V € (0,1 /2] от построил такую спрямляемую кривую Г и такую заданную на ней функцию / (£) € Н(Г), что интеграл (3) теряет непрерывность в одной из точек контура интегрирования. Из этих результатов следует, что задача о скачке разрешима на произвольной спрямляемой кривой при условии V > 1/2, причем последнее условие неулучшаемо на всем классе спрямляемых кривых.
Затем нами была исследована разрешимость задачи о скачке на несирямляемой
Г
любой заданной на ней функции / £ Н(Г) при условии
V > ^ Бш Г (4)
существует голоморфная в С \ Г функция Ф(-г), граничные значения которой свя-
Г
Г
п г г г)
От 1 = пт эир-,
- ^ £
где N(£; Г) есть наименьшее число кругов диаметра £, образующих покрытие Г (по видимому, впервые определение этой размерности было дано в работе [7]). Если Г есть спрямляемая кривая, то Бш Г = 1, так что этот результат содержит в себе условие V > 1/2 для спрямляемых кривых. В дальнейшем нами были получены его аналоги для разомкнутых дуг (см., например, [8]).
Условие (4) также неулучшаемо. Это означает, что для любой пары чисел V, связанных неравенствами 0 <v < ¿/2 < 1, можно построить кривую Г верхней метрической размерности 3 и функцию / £ Н(Г), для которых задача о скачке (1) неразрешима. Конструкция таких кривой и функции приведена в [5]. Однако
Г
/, для которых условие (4) не выполнено, но задача (1) разрешима. В работе [9] построен класс кривых, на котором эта возможность реализуется.
Указанное обстоятельство можно трактовать как неполное соответствие такой метрической характеристики компактных множеств, как верхняя метрическая размерность, потребностям задачи о скачке. В связи с этим возникает задача построения иных характеристик типа размерности, более точно описывающих природу
кривых, для которых задача о скачке разрешима. Для замкнутых кривых такая размерность предложена в работе [10] под названием уточненной метрической размерности, затем в несколько измененном виде эта характеристика изучалась в [11]. В обеих этих работах было показано, что условия разрешимости задачи о скачке можно улучшить путем замены в них верхней метрической размерности на уточненную метрическую размерность. Однако эта величина имеет иную природу. чем верхняя метрическая размерность. Так. во всех определениях уточненной метрической размерности какого-либо множества предполагается, что оно разделяет плоскость на две области. Поэтому при адаптации данной характеристики для незамкнутых кривых (то есть дуг) возникают определенные трудности.
В данной работе эти трудности в какой-то мере преодолеваются, что приводит к построению аналога уточненной метрической размерности для дуг. имеющего приложения в задаче о скачке. В первом параграфе обсуждаются определения уточненной метрической размерности для разомкнутых дуг. а во втором эта характеристика используется для решения задачи о скачке.
1. Определения уточненной метрической размерности
Сначала напомним определения из работ [10. 11].
В работе [10] интересующая нас величина определяется так.
Определение 1. Пусть Г - неспрямляемая замкнутая кривая, ограничивающая конечную область Б. Рассмотрим всевозможные представления этой области в виде объединения конечных или бесконечных семейств диадических квадратов, не имеющих общих внутренних точек. Множество е(Г) состоит го всех чисел р > 1, обладающих следующим свойством:
область Б допускает представление в виде объединения диадических квадратов со сторонами а^, а2, аз,..., не имеющих общих внутренних точек и таких, что
сумма ^ аРр конечна. з>1
Тогда величину Ме(Г) мы будем обозначать (1т°Г.
Отметим, что под диадичсскими квадратами понимаются, как обычно, квадраты с параллельными осям сторонами, длины которых имеют значения вида 2-к, а вершины лежат в точках вида 2-тп, где к, т, п целые числа. Собственно в работе [10] квадраты не предполагались диадичсскими, но легко видеть, что это дополнительное требование не может изменить величину с1т0 Г. Наконец, для бесконечных семейств квадратов под конечностью суммы, входящей в это определение понимается сходимость соответствующего ряда. Величину с1т0 Г можно
Г.
Теперь перейдем к определениям из работы [11]. Оба содержащихся в ней определения основаны па специальных представлениях открытых множеств на плоскости, которые мы будем называть их разложениями.
Пусть Б - конечная область на комплексной плоскости. Рассмотрим конечную или счетную последовательность Д, состоящую из пар вида {6^ }, 2 =0,1, 2,..., где 6у при люб ом ] есть конечная одиосвязпая область, а величина при каждом 2 принимает значение +1 или — 1, иричем во = +1. С каждой последовательностью пар Д свяжем последовательность множеств (ее частичных сумм) До, Д1, Д2,... , определенную следующим образом: Д0 = 6о; при п > 0 сумма Дп =
п _ _
= SjSj есть внутренность объединения Дп-1 и 6п при зп = +1 и разности
з=о
Дп-1 при вп = — 1. Если последовательность Д бесконечна, то Доо состоит
из точек г, принадлежащих всем частичным суммам Дп, начиная с некоторого п = п(г). Мы будем называть Д разл ожени ем П, если выполнены следующие два условия: (а) ¿п П Дп-1 = 0 при в„ = +1 и ¿п С Дп-1 при в„ = — 1 для п = = 1, 2,... ; (б) П = Дт, где т - число пар в последовательности Д (оно может быть как конечным числом, так и бесконечностью).
Д
области ¿7 имеют спрямляемые границы, и квадратным, если все эти области есть диадические квадраты.
Если Д - спрямляемое разложение, то при конечном т граница Дт всегда спрямляема, так что спрямляемое или квадратное разложение области с неспрям-ляемой границей может быть бесконечным.
Далее, для любой области ¿обозначим через диаметр наибольшего из
помещающихся внутри 5 открытых кругов; если граница ¿спрямляема, то А(£) означает длину этой границы.
Г
плоскости, разбивающая некоторую содержащую ее односвязную область ^ со спрямляемой границей на две односвязные области Q/ и Q//. Обозначим через е/(Г) множество всех чисел р > 1, обладающих следующим свойством:
хотя бы одна из областей Q/, Q// допускает спрямляемое разложение Д =
т
= {{¿7, }, 0 < ^ < т} такое, что сумма <г(Д) = ^ А(57-)адр-1(57-) конечна.
7=0
Тогда величина гс1т Г = inf е'(Г) называется уточненной метрической размер-Г
Если Д = {{50, в0}, {¿1, в1}, {52, в2},... } - разложение одной из компонент Q/, Q//, то Д' = {{Q, +1}, {¿0, — в0}, {¿1; — в1}, {¿2, —в2},... } есть разложение второй, то есть уточненная размерность не зависит от выбора компоненты. Очевидно она не зависит и от выбора объемлющей области Q.
Определение 3. Пусть множество е°(Г) состоит го всех чисел р > 1, обладающих следующим свойством:
хотя бы одна из областей Q/, Q// допускает квадратное разложение Д =
т
= {{¿7, }, 0 < ] < т} такое, что сумма <г°(Д) = ^ А^- ^р-1^-) конечна.
7=0
Тогда величину Ме°(Г) будем обозначать гбт°Г.
Г
всего следующие результаты из работы [10]:
Г
соотношения
1 < ат° Г < От Г < 2;
(61) для любого числа 3 £ (1, 2] существует кривая Г такая, что Г < 3 = = Г;
и из работы [11]:
Г
соотношения
1 < гс!т Г = гс!т° Г < Бт Г < 2; (5)
(62) для любого числа 3 £ (1, 2] существует кривая Г такая, что гбт Г <3 = = Г.
Иными словами, ни одна из размерностей Г, гбт Г, гс1 т° Г не совпадает с Бш Г, а размерности гбт Г и гс1 т° Г совпадают между собой.
Теперь сравним определения 1 и 3. В первом из иих идет речь о построении Г
е(Г) С
С е°(Г) и с!т° Г > гс1т Г = гс1 т° Г. Поскольку полученные в этих работах условия разрешимости задачи о скачке имеют вид (4) с заменой верхней метрической разГ
с1т0 Г, гс1т Г, гс1 т° Г постольку меньшие размерности гс1т Г и гс1т0 Г имеют здесь преимущество, оправдывающее их усложненное определение. Впрочем, нам неизвестны примеры кривых, для которых с1т0 Г > гс1т Г.
Как уже отмечалось, компоненты Q/ и Q// играют совершенно симметричные роли в определениях уточненных размерностей. В определениях 2 и 3 фразу «хотя бы одна из областей Q/, Q// допускает...» можно заменить на «обе области Q/, Q// допускают... », что позволяет переформулировать эти определения так, чтобы они имели смысл не только для замкнутых кривых. Приведем оба варианта такого определения: «спрямляемый» и «квадратный».
Г
а ^ ^ ^^^^^^^ ^^ ^^^^^^^той границей такая, что Г С ^^ ^^^тим через Q1, Q2,... связные компоненты множества Q \ Г Обозначим через е/(Г) множество р > 1
каждая из компонент Q1, Q2,... допускает спрямляемое разложение Д =
т
= {{¿7, }, 0 < 3 < т} такое, что сумма <г(Д) = ^ ^р-1^-) конечна.
7=0
Тогда величина гс1т Г = inf е/(Г) называется уточненной метрической размер-Г
Определение 5. Пусть множество е°(Г) состоит го всех чисел р > 1, обладающих следующим свойством:
каждая из компонент Q1, Q2,... допускает квадратное разложение Д =
т
= {{¿7, в7}, 0 < 3 < т} такое, что сумма <г°(Д) = ^р-1^-) конечна.
7=0
Тогда величину Ме°(Г) будем обозначать Г.
Теорема 1. Справедливы, следующие утверждения:
Г
отношения (5);
(63) для любого числа 3 £ (1, 2] существует разомкнутая дуга Г такая, что Г < 3 = Г.
Доказательство первого из этих утверждений совпадает с доказательством утверждения (а2) из работы [11]. Утверждение (63) также следует из оценок этой
3 £ (1, 2]
множеством звеньев, удовлетворяющая требуемому соотношению: если удалить из нее одно звено, то получится разомкнутая дуга, описанная в утверждении (63). Г
2. Разрешимость задачи о скачке
2.1. Замыкаемые дуги. Теперь вернемся к задаче (1). Сначала рассмотрим
Г
ее концы можно соединить в С кусочно-гладкой дугой 7, не имекмцей с Г других общих точек. Скачок / можно продолжить па 7 с помощью оператора продолжения Уитни (см., например, [13]). В результате мы получаем задачу о скачке на
замкнутой кривой Г и 7. Как доказано в [11], эта задача при условии
V > ^ 1ч1п1 Г (6)
имеет решение Ф0(г). Тогда разность
1 Г I(Ск
Ф(г) = Фо(г) -
2пг У Z — z
является решением исходной задачи. Поскольку дуга y - кусочно-гладкая, то вблизи концов a,j, j = 1, 2, эта разность имеет особенности не выше логарифмического порядка, то есть Ф(г) = O(log |z — aj |), j = 1, 2. Итак, доказана
Теорема 2. Если Г - замыкаемая дуга и f G Hv(Г), то при условии (6) задача о скачке (1) имеет решение, особенности которого на концах этой дуги имеют не более, чем. логарифмический порядок.
Замечание о логарифмическом характере особенностей построенного решения на концах дуги допускает уточнение, а именно: из наших построений следуют оценки Ф(г) = (—1)jf (aj) log |z — aj | + cj + o(|z — aj |) при z ^ aj, j = 1, 2. Здесь Cj -постоянные числа.
2.2. Незамыкаемые кривые. Теперь рассмотрим иеспрямляемую дугу, которую нельзя замкнуть кусочно-гладкой дугой. Пусть Г1 С Г - дуга с началом и концом в точках 61 и 62, 61 = 62 • Граница замкнутой выпуклой оболочки Г1
Г1
Г
кие точки будем называть линейно достижимыми. Как мы только что видели,
Г
достижимая точка. Это означает, что множество линейно достижимых точек всю-
Г Г1
Поэтому Г можно представить как объединение и Г счетного семейства замыкаемых дуг. Обозначим через Ф3 (г) построенное в п. 2.1 решение задачи о скачке на замыкаемой дуге Г. Из оценок, приведенных в конце только что упомянутого пункта следует, что если Гт и Гп - две соседние дуги с общей концевой точкой, то особенности функций Фт и Фп в этой точке при суммировании сокращаются, то есть Фт + Фп — решение задачи о скачке па объедипенной дуге Гт Гп. Поэтому, если бы ряд ^ Ф3 (г) сходился, то его сумма давала бы решение задачи о 3=1
Г
ляризовать: всегда существует такая последовательность рациональных функций
(г) с полюсами в точках а1; а2 , что ряд (г) — (г)) равномерно сходится
3=1
в С \ Г. Доказательство существования таких рациональных функций повторяет рассуждения из работы [12]. Тем самым установлена
Г
условии (6).
В отличие от предыдущей теоремы здесь мы не получили никакой информации о поведении решения на концах дуги. Это поведение имеет важное значение при исследовании краевых задач (см., например, [1, 2]). В этой связи приведем некоторые оценки решения вблизи концевых точек.
2.3. Особенности на концах. Рассмотрим задачу о единичном скачке:
Ф+(г) — Ф-(г) = 1, г е г°;
ее решением является функция
, , , 1 г — а2
М-) := -,
2пг г — а1
где ветвь логарифма определяется разрезом вдоль Г и условием кг (то) = 0. На Г
что же касается ее действительной части, то она может быть ограниченной (если Г
угодно высокого порядка, если эта дуга скручивается на соответствующем конце в спираль. Любые ограничения этих особенностей соответствуют ограничениям на скорость такого скручивания. Покажем, что при определенных условиях общая задача о скачке (1) имеет решение с тем же порядком особенностей на концах, что и решение задачи о единичном скачке кг •
Выберем число г > 0 так, чтобы дуга Г полностью лежала внутри круга |г| < г и обозначим через гладкую функцию, равную единице при |г| < г и пулю при |г| > 2г. Пусть I™(г) - результат продолжения Уитни (см., например, [13]) па всю комплексную плоскость функции /, определенной на Г. Тогда произведение ф(г) := (г) непрерывно в С \ Г и имеет там частные производные по
Т1е г и 1т г всех порядков. На дуге Г функция ф имеет скачок I. Кроме того, эта функция имеет компактный носитель. Будем искать решение задачи (1) в виде
1 ГГдфсКЛсК
^ > ^ > 2ш]] дС У '
с
Прежде всего выясним, когда входящий сюда интеграл существует. Как показано в [11], производная д/т/дС1 интегрируема в конечной части плоскости в любой степени, меньшей числа (2 ^т Г)/(1 — V), то есть при условии (6) она интегрируема в некоторой степени, большей 2. Поэтому при условии
кг(г) = 0(|г — аз|-а), а< 1, у = 1, 2, (8)
функция с компактным носителем ф-т := дф/дС, интегрируема, что делает определение Ф(г) корректным. Далее, при тех же условиях вне любых окрестностей концов дуги Г функция ф-: интегрируема в некоторой степени, большей двух. Отсюда (см., например, [14]) следует, что интегральный член (7) непрерывен во
Г
известных свойств интегрального оператора
1 /-/ХСМСлС
ф) ■ •
2пг у у С — г с
(см., например, [14]) следует, что функция Ф(-г) голоморфна в С\Г и исчезает на бесконечности. Итак, при условиях (6) и (8) функция (7) действительно является решением задачи о скачке (1). Нам осталось выяснить, какие особенности она имеет Г
Ее первое слагаемое ф(г) имеет в точках а3-, У = 1, 2 особенности того же или более низкого (если I обращается там в нуль) порядка, что и кг (г). В любом случае ф(г) = 0(|г — а3-|-а). Для оценки особенностей второго слагаемого обозначим
через р степень, с которой производная dfw/дС, интегрируема в конечной части плоскости; как и выше, 2 < p < (2 — rdm Г)/(1 — v). Тогда вблизи точки а7 имеем:
1 rrdipdС A ciC
2~iJJ W С-
с
где p-1 + q-1 = 1, Z = x + iy,a C - некоторая положительная постоянная. Оценки последнего интеграла хорошо известны (см., например, [14]): он ограничен при qa + q < 2, имеет логарифмическую особенноеть в точке а^ при qa + q = 2 и особенность порядка O(|z — а7|-(qa+q-2)) при qa + q > 2. Поскольку q < 2, то максимальный порядок особенности интегрального слагаемого в (7) есть (qa + q — — 2)/q = a + 1 — 2/q<a. Итак, справедлива
Теорема 4. Uo/iis %го Г удовлетворяет условию (8) и f G (Г), mo при условии (6) задача о скачке (1) имеет решение, особенности которого на концах этой дуги допускают оценку Ф(г) = O(|z — a7|-а), j = 1, 2.
Как уже отмечалось, эта теорема 4 описывает условия, при которых задача о скачке общего вида имеет на концах контура особенности не более высокого порядка, чем задача о единичном скачке на том же контуре.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 06-01-81019-Бел-а и 07-01-00166-а).
Summary
В.A. Kats. Metric Characteristics of Non-R.ect.ifiable Arcs and the Jump Problem. The paper is dealing with the boundary value problem on reconstruction of liolomorphic function with known jump on a given non-rect.ifiable arc. There are introduced new metric characteristics of dimensional type for the non-rect.ifiable arcs. The main result of the paper is new condition for solvability of the jump problem in terms of the mentioned characteristics. It improves the known conditions of that kind.
Key words: liolomorphic function, the jump problem, non-rect.ifiable arc. fractional dimension.
Литература
1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
2. Мусхелишоили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: ГИФМЛ, 1962. 600 с.
3. Дынь'кмн Е.М. Гладкость интеграла тгша Коши // Зап. науч. сем. Лепипгр. отд. Матом, ип-та АН СССР. 1979. Т. 92. С. 115 133.
4. Салимое Т. Прямая оценка для сингулярного интеграла Коши по замкнутой кривой // Науч. труды MB и ССО Азерб. ССР. 1979. Л» 5. С. 59 75.
5. Кац Б.А. Задача Римапа па замкнутой жордаповой кривой // Изв. вузов. Математика. 1983. 7. С. 68 80.
6. Федер Е, Фракталы. М.: Мир. 1991. 280 с.
7. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. е-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах // Успехи матем. паук. 1959. Т. 14. Вып. 2. С. 3 86.
1/р
1/ q
<C
if dfw p\
JJ d(
\ |z|<2r
dxdy
\ |z|<2r
IZ — aj |qa|Z — z|q
8. Кац Б.А. Краевая задача Римапа па негладких дугах и фрактальные размерности // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, Вып. 1. С. 147 171
9. Кац Б.А., Погодина А.Ю. О граничных значениях интеграла типа Коши по негладкой кривой // Изв. вузов. Математика. 2002. Л' 3. С. 15 21.
10. Кац Б.А. Об одной метрической характеристике замкнутых плоских кривых и ее приложении // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 2. С. 77 84.
11. Kats В.A. The refined metric dimension with applications // Computational Methods and Function Theory. 2007. V. 7, No 1. P. 77 89.
12. Ка,ц Б.А. О разрешимости краевой задачи Римапа па фрактальной дуге // Матем. заметки. 1993. Т. 53, 5. С. 69 75.
13. Сте.йн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973. 342 с.
14. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Мир. 1988. 509 с.
Поступила в редакцию 03.08.07
Кац Борис Александрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного
университета.
E-mail: katsboris877Qgmail.com
