Задача Римана в случае двоякопериодического расположения дуг. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 150, кн. 4

Физико-математические пауки

2008

УДК 517.544

ЗАДАЧА РИМАНА В СЛУЧАЕ ДВОЯКОПЕРИОДИЧЕСКОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ДУГ. I

Е.П. Аксеитъева, И.Г. Салехова

Аннотация

Рассматривается решение задачи о скачке, однородной и неоднородной задач Римапа Ф+ (Ь) = О(Ь) Ф- (Ь) + д(Ь), Ь £ Ь, в случае двоякопериодического расположения дуг. Исследован случай периодических коэффициента С(Ь) и свободного члена д(Ь). На основании результатов решения задачи Римапа для счетного множества контуров дано обобщение решения задачи о скачке {С(Ь) = 1) на случай непериодического скачка д(Ь).

Ключевые слова: задача Римапа, двоякопериодическое расположение дуг. эллиптическая функция, квазиэллиптическая функция, периодический коэффициент и свободный член, счетное множество дуг. непериодические скачки.

Введение

Задача Римапа для разомкнутого контура в классе двоякопериодических функций рассматривалась в статье [1]. где давалась общая схема решения. В п.п. 1.2 данной работы к решению этой задачи применяется иной подход с использованием квазипериодических функций [2]. Это позволило упростить исследование задачи и исправить неточность в случае нулевого индекса.

В п. 3 с учетом результатов решения задачи Римапа в случае счетного множества контуров [3. с. 236 274: 4] дано обобщение задачи о скачке на случай непериодического скачка. Предложенный аппарат позволяет исследовать задачу Римапа для непериодического коэффициента. Этот результат будет изложен во второй части статьи.

1. Случай периодических коэффициента и свободного члена

1.1. Постановка задачи. Пусть Я = {г = в1ш1 + в2ш2, 0 < < 1, 0 <

< «2 < 1} есть внутренность парадлелограмма с вершинами ¿1 =0, ¿2 = ш1, ¿3 = ( + ш2, ¿4 = ^2; 1т ((2/(1) > 0. Под дЯ будем понимать границу Я, проходимую против часовой стрелки. При таком обходе, начиная с точки ш2, стороны дЯ обозначим через /1; /2, /1; /2. Тогда Т1(11) = /1, Т2(12) = /2, где Т1 = г + ш1, Т2 = г + ш2 - порождающие преобразования двоякопериодической группы Тш

{г ^ г + ш; ш = + &2(2, ^2 € Ъ}.

Пусть П = Я и/1 и /2 и{0}, Ь0 = (а,о, Ь0) € Я - гладкая разомкнутая дуга (рис. 1)

Определение. Назовем двоякопериодической кусочно-голоморфной с линией скачков Ьа функцию Ф(-г). удовлетворяющую следующим условиям:

1) Ф(г) голоморфна для всех г € П\Ьп;

2) Ф(г) непрерывно продолжила на Ьо слева и справа:

3) Ф(> + ик) = Ф(>) для всех г € П\Ь0:

Wi + W2

0 12 Рис. 1

¡2 W1

4) Вблизи концов ао, bo для функции Ф(^) выполняется неравенство

,, . .. const

№-) <]-¡г, 0 < 7 < 1

|z - co|Y

как для c0 = а0, так и для c0 = b0.

Из этого определения следует, что Ф(-г) аналитически продолжила на область <С\Тш(Ьо) и является там двоякопериодической функцией.

Требуется найти двоякопериодическую кусочно-голоморфную с линией скачков L0 функцию Ф(^) по краевому условию

Ф+(*) = G(t^—(t) + g(t), t G Lo, (1.1)

где G(t),g(t) заданные функции. G(t),g(t) G H\(Lq) и G(t) ф 0 при t G Lo-

Поставленная задача равносильна краевой задаче с условием (1.1) при t G G Тш(Lo), где G(t),g(t) удовлетворяют условию

G{t + u) = G{t), g(t + uj) = g(t), iG Го-

Основным аппаратом для решения поставленной задачи является [1] интеграл

I(z) = ^-j^tk(t-z)dt, (1.2)

Lo

00 / \ см = - + Е' ( —+ ^ +

и z—' \и — W W2 W

k 1,^2 = — ^

есть дзета-функция Вейерштрасса. ip(t) G H\{Lо). Отметим следующие свойства этого интеграла.

1°. I(z) является кусочно-голоморфной функцией с линией скачков L0, удовлетворяет формулам Сохоцкого

/±(*) = ±^+/(i), t G Lo. 2° . I(z) - квазипериодическая функция, так как

I(z + шк) = I(z) - j ф) eh, щ = 2С(шк/2), к = 1, 2. Lo

3°. В окрестности конца со функция имеет поведение вида

2пг

где знак минус соответствует точке с0 = а0, знак плюс — точке с0 = 60, функция /о(^) имеет в С0 конечный предел.

Заметим, что. наряду с интегралом (1.2). всеми свойствами интеграла типа Копти обладает интеграл

Ш = / <Р(т)[С(т - г) - С(т)]с1т,

отличающийся от интеграла (1.2) нормировкой /0(0) = 0.

1.2. Задача о скачке. Рассмотрим поставленную задачу при = 1:

ф+(*) = ф-(*)+ д(1), t € 10. (1.3)

Справедлива

Лемма 1.1. Необходимым условием, разрешимости задачи (1.3) является равенство

У д(^) & = 0. (1.4)

Ьо

Доказательство. Пусть задача (1.3) имеет решение. Проинтегрируем равенство (1.3) по Ь0:

У Ф+(г) & = У Ф-(£) dt + У д(£) скЬ. (1.5)

Ь о Ь о Ь о

Применив к двусвязной области Н\Ьо теорему Копти, получим

У Ф(г) & ^У Ф+(г) А ^у Ф-(£) А = 0,

дК Ьо Ьо

откуда следует равенство J Ф+(£) & = J Ф (¿) так как J Ф(£) & = 0 в силу

Ьо Ьо дК

периодичности функции Ф(-г). Теперь из (1.5) следует (1.4). □

1 [

Интеграл Il(z) = -—: / д(т)((т — г) с1т в силу свойств 1° 3° и условия (1.4) 2пг ] Ьо

является частным решением задачи (1.3). Чтобы найти ее общее решение, заметим, что разность Ф(г) — /1(2), те имея скачка на Ь0, является двоякоиериодической, голоморфной (после соответствующего доопределения в точке с0) в Пи, следовательно, постоянной.

Таким образом, доказана

Теорема 1.1. Критерием, разрешимости задачи (1.3) является условие (1.4). При его выполнении общее решение задачи (1.3) имеет вид

Ф(;) = ¿- У 9(тК(т - *) с1т + С, (1.6)

Ьо

где С - произвольная постоянная.

а) если оо особенный конец, то есть а0 =--^-— G Z, то выберем ветвь

Замечание. Если g(co) = 0, то в окрестности c0 функция Ф(г) ограничена, при g(c0) = 0 она имеет в c0 логарифмическую особенность.

1.3. Однородная задача. Найдем решение Ф0(г) однородной задачи с краевым условием

Ф+(*)= G(t^-(t), t G L0. (1.7)

За каноническую функцию задачи (1.7) возьмем

X0(z) = ехрГ(г), где I» = j lnG(r)C(r - z) dr,

L0

причем под ln G(t) понимаем некоторую однозначную ветвь этой функции.

Функция X0(z) является кусочно-голоморфной, удовлетворяющей условию (1.7), а в окрестности концов c0, согласно свойству 3°, имеет поведение вида

X0(z) = (z - co^^X^z), aj + ifä =

где знак «минус» выбирается при c0 = а0, «плюс» - при c0 = 60, а функция Xi(z) имеет конечные пределы, отличные от пуля, при z ^ c0.

Назовем конец c0 особенным, еели а± G Z, и неособенным - в противном случае [5, с. 256]. Закрепим фиксацию ветви ln G(t) следующим образом:

a,rgG(oo) 2тг

lnG(t) так, чтобы argG(a0) =0;

б) если а0 — неособенный конец, и в нем требуется ограниченность решения (Ф0^) G fc(a0)), то выберем ветвь lnG(t) так, чтобы

0 < а- < 1 ^ —2п < argG(a0) < 0; (1.8)

в) если в неособенном конце зд не требуется ограниченности, то выберем ветвь ln G(t) так, чтобы

— 1 < а- < 0 ^ 0 < arg G(a0) < 2п. (1.9)

ln G(t)

Назовем индексом задачи (1.7) такое целое число я, что ее ли 60 - особенный конец, то к = а+, если 60 — неособенный конец, то

0 < а+ — к < 1, (1.10)

когда требуется ограниченность решения в точке 60 (Ф0^) G h(60)), и

— 1 <а+ — к < 0, (1.11)

когда ограниченности не требуется.

Функция Ф0^) G h(a0, 60), если она ограничена в неособенных концах а0,60, а Ф0^) G h0 означает, что в обоих концах допускается неограниченность. Функция X0(z) является квазипериодической [2], так как

Х0(,г + wfc) = X0(,s) exp(-?yfca), k= 1, 2, а = J lnG(r) dr.

L0

а а0

класса, в котором ищется решение Ф0^).

Рассмотрим отношение / (г) = Фо(г)/Хо(.г). Это квазиэллиптическая функция с условием /(г+2к) = / (г) ехр(пка) • В точке а^ ^^ция /(г) ограничена, а в конце Ъо имеет порядок не ниже (—к) (так как при указанном выборе к произведение / (г)(г — Ъо)к допускает в точке Ъо интегрируемую особенность).

1) Пусть к > 0, тогда /(г) допускает в конце Ъо полюс порядка к, а следовательно, в П содержит ся к нулей. Обозначим через 61, Ъ2,..., Ък полную систему нулей /(г) с условием

Е(Ъо — /

(1.12)

произвольная постоянная, а (г)

3 = 1

к а(г — Ъ •)

Тогда имеем /(г) = С П —-где С

3=1 а (г — Ъо)

сигма-функция Вейерштрасса. Отсюда Фо(г) = Хо(г)/(г).

Полученное решение как решение однородной задачи можно представить и в виде линейной комбинации линейно-независимых решений, используя результаты из [2]. Для этого представим /(г) в виде

/ (*) =

а (г — Ъо + а/к)

т(г — Ъо

Со + С С(3-1) (г — Ъо + а/к) 3=2

(1.13)

где Со, С, = 2,..., к, - произвольные постоянные, при к =1 сумма ^ отсут-

3=2

ствует.

Формула (1.13) справедлива и для случая а/к = 2 (здесь и в дальнейшем 2 = = п121 + п222 - фиксированный период, / = п1п1 + п2^2, «ь п2 € Z), но допускает упрощение:

/ (г) = ехр(пгк)

Со + Е С С(3-1) (г — Ъо)

3=2

(1.14)

0.

0 является равенство а = 2. При его выполнении имеем /(г) =

к

функции /(г) = = С ехр(/г).

3) Пусть к < 0. Функция /(г), являясь голоморфной и имеющей нуль порядка (—к) в точке Ъо, будет равна нулю тождественно. Таким образом, доказана

к > 0 к

независимых решений. Множество всех решений задается формулой

Фо(г) = СехрГ(г) Р

3=1

Ф ~ ьз

а(г — Ъо

1п С(т)С(т — г) ¿г,

где С, Ъ3-, = 1,..., к связаны соотношением (1.12), в остальном произвольны, или Фо(г) = /(г) ехрГ(г), где /(г) определяется формулами (1.13), (1.14). При к = 0, а = 2, решение задачи (1.7) имеет вид Фо(г) = Сехр[Г(г) + /г]. Лри к = 0, когда а = 2, и при к < 0 задача не имеет отличных от нуля решений.

Замечание. В особенном конце со функция Фо(г) всегда ограничена. В случае, когда выполняются условия (1.8), (1.10), получим все решения задачи Фо(г) € € й(ао, Ъо) • Если же выполняются условия (1.8), (1-11), то Фо(г) € й(ао). При выполнении условий (1.9), (1-Ю) Фо(г) € й(Ъо). И, наконец, при выполнении условий (1.9), (1.11) Фо(г) € йо.

1.4. Неоднородная задача. Найдем решение Ф(г) неоднородной задачи с краевым условием (1.1).

1) Пусть к > 0. За каноническую функцию задачи (1.1) возьмем

X (г) = ехрГ(,г)

т(г — I

— 6о)_

= Хо(г

т(г — I

— 6о)_

(1.15)

где Г(г) и индекс к определим так же, как и в однородной задаче. Функция (1.15) удовлетворяет условию

X(г + ш*) = Хо(г)ехр(пйв), к = 1, 2,

где в = к(Ь0 —0) —а, а точку в выберем так, что в / Тш (Ьо) и число в не совпадает с периодом. Учитывая свойства функции Х0(г), получим, что X(г) удовлетворяет па Ьо условию (1.7), а по поведению на конце с0 принадлежит тому же классу, что и искомая функция Ф(г). Краевое условие (1.1) запишем в виде

Ф+(4) Ф-(4) ,

X +(4) X-(4) X +(4)'

4 € Ьо

(1.16)

Для решения полученной задачи о скачке для квазнэллнптнческой функции Ф(z)/X(г) используем квазипериодический по г аналог ядра Коши

Функция Ф(г)

А(т,г)

: X(г)Ф(г), где

сг(т - -г + /3) а((3)а(т - ;)

(1.17)

*(*) = / А(7

, 9(т)

'х+(т

■ ¿т,

является частным решением задачи (1.1). Действительно, поскольку А(т, г) ~ ~ 1/(т — г) при г ^ т, то Ф+(4) = Ф-(4) + З^)/^+(4)), 4 € Ьо, и, следовательно, ф(г) удовлетворяет условию (1.1). Далее, так как А(т, г + = А(т, г) ехр(—в), то ф(г + = ф(г). Обоснование поведения ф(г) в окрестности точки с0 аналогично [5, § 80] в случае задачи Римана для разомкнутого контура. Доказана

к>0

решение имеет вид Ф(г) = Ф0(г) + ф(г), где функция Фо определена теоремой 1.2,

ф (г)

— I

г(г — Ьо

ехрГ(^)

2т

Х+(7

■ ¿т,

А(т, г) имеет вид (1.17), в = к(Ь0 — в) — а, точка в / Тш(Ьо) и выбрана так, что в

2) Пусть к < 0. За каноническую функцию X(г) возьмем функцию вида (1.16), положив в ней в = Ьо — а/к, откуда в = 0. Заметим, что при к > 0 требование в = = 0 могло привести к расходимости интеграла Ф(г) при попадании точки в на Ьо. Теперь задача о скачке (1.16) исследуется в классе двоякопериодических функций Ф(z)/X(г). На основании теоремы 1.1 заключаем, что необходимым условием ее разрешимости является равенство

9(т) Х+(т)

¿т = 0.

(1.18)

ь

0

Решение Ф(г) имеет вид

Ф(,) = [/2(,)+С]Х(,), где Ш = ^ I

Ь0

если дополнительно потребовать, чтобы функция /2(г) + С имела нуль порядка не меньше (—к) в точке 0. Тогда С = — /2(#) и

Г д(т)

X +(т

-С (к)(т - 0) dT = 0, k = 1, 2,..., -к - 1.

(1.19)

Результат не изменится, но упростится, когда а/к равно периоду. Таким образом, доказана

Теорема 1.4. Неоднородная задача (1.1) при к < 0 разрешима тогда и только тогда, когда выполняются (-к) условий разрешимости (1.19) (при к < — 1) и (1.18). При их выполнении единственное решение задачи определяется формулой

Ы Ч Вд Г 9(т) ГА,

где

X (z) = expr(z)

<r(z - I

т - z) - Z(т - 0)] dT,

6q - а/к.

— Ьо)

3) Пусть к = 0. Существенно различными являются здесь случаи совпадения и несовпадения числа а с периодом.

Пусть а = 2. Исследуем задачу (1.1) так же, как при к > 0, полагая во всех к=0

X(г) = ехрГ(г), X(г + 2к) = X(г) ехр(—Пка), <г(т — г — а)

A(i

А(т, z + 2fc) = a(t, z)exp(nkа), k = 1, 2.

ст(-а)<г(т - z

Единственным решением здесь будет функция

ВД=®ФГ& г A{TtZ) 9{T)dr

2ni

exp Г+ (т)'

(1.20)

При а = 2 рассуждаем то аналогии со случаем к < 0. За каноническую функцию возьмем X(г) = ехр[Г(г)+ тр]. Тогда X(г + 2к) = X(г) ехр(п2к — Пк2) = X(г), а решение задачи о скачке для Ф(z)/X(г) приводит к функции

*(z)= X (z)

1

9(т)

2iri J Х+(т

■Z(т - z) dr + C

(1.21)

при выполнении условия (1.18). Доказана

Теорема 1.5. Неоднородная задача (1.1) при >с = 0, а = —¡-т / In G(t)3,t ф

2пг J

Lo

= 2 безусловно разрешима и имеет единственное решение вида (1.20). При а = 2 критерием разрешимости задачи является условие

j д(т)exp[-Г+(т) - ут] dr = 0.

При его выполнении существует однопараметрическое решение вида (1.21).

Табл. 1

Класс ао я Д~) (приа / ш) f(z) (приa = uj)

Л. (а о) -1 < а0 <0 0 0 С expijjz)

h(b0) 0 < Qo < 1 0 0 С expijjz)

h(ao,bo) -1 < Qo < 0 -1 0 0

ho 0 < Qo < 1 1 ^ta(z + a- b0) a(z - bo) С expijjz)

2. Случай постоянного коэффициента

Рассмотрим задачу (1.1) при G(t) = Go = const. Обратим внимание на отличие полученных решений от случая задачи Римана для разомкнутого контура на плоскости.

2.1. Однородная задача. За каноническую функцию возьмем

Xo(z) = expTo(z),

где

Г0(.) = [ lnGo[C(r-z)-C(r)]dr = (ао+г/Зо)\пФ ар+г/Зр = ^

2пг J <r(z - ао) ст(6о)

о

2ni

то есть а0 = «+ = — «о , ветвь логарифма в правой части фиксирована в соответствии с левой частью так, что при г = 0 она равна нулю. Отсюда

т, , Ф-ъ0)*Ы1а0+г'30

АоЫ =

_a(z - ао) а(6о) Постоянная а определяется равенством

1

i У lnGo dr = (ао + ißo)(bo - ао).

а =

2-пг

Если концы ао, Ьо особенные, то есть G0 > 0, то ао = 0, к = 0. Тогда Фо(^) = = 0 щи а = w и Фо(г) = GXoexp(?7z) щи а = 2. Если концы неособенные, то Фо(з) = X0(z)f (z), где f (z) определяется в зависимости от класса решений (см. табл. 1).

В отличие от задачи Римана для разомкнутого контура на плоскости функция Фо^) зависит те только от к, то и от величины а. Рассмотрим подробнее случай к = 1. Положим а = а(1), если —1 < ао < 0, и а = а(2), если 0 < ао < 1. Так как а(2) = а(1) + Ьо — ао, то а(1), а(2) одновременно периодами быть не могут. Здесь неограниченные в обоих концах решения существуют только при а(1) = w и а(2) = w. При а(2) = w получим f(z) = Gexp(iyz), откуда Л.о = h(bci). При а(1) = w имеем

j.^ _ ^сф + а^ - Ьр) _ ^a(z + а(1) - ар) _ ^ a(z - ар) exp(rjz) a(z-bp) a(z-bp) a(z-bp)

откуда h-о = Л,(ао).

2.2. Неоднородная задача. Пусть функции Ф0(г), Хо(^), числа а0 и к определены так же. как и в однородной задаче.

Если решение Ф(г) искать в классе Л.0, то к = 1, каноническая функция берется в виде X(г) = Х0(г)а(г — д)/ст(г — 60), где точка д выбрана так, что д / Тш(Ьо), число в = Ь0 — д — а не совпадает с периодом. Тогда

Ф(г)

X(г) ¡' л, . о(т) , , , . . <г(т — г + в)

2^ У X +(т) ' ' ' ст(вМт — г)'

ьа

При Ф(г) € Л.(а0,60) индекс к = — 1, тогда X(г) = Х0— 60)/ст(г — 60 — а), и при выполнении условия

Г з(т)

У X + (т)

Ьо

¿т = 0 (2.1)

имеем

Ь0

При а = 2 результат сохранится.

Если решение ищется в классах Л-(ао), ^(6о) или концы особенные, то к = 0.

ст(т — г — а)

Тогда при о. ф и имеем А (г) = Ап(-г), А(т, г) = —--—--

ст(—а)ст(т — г)

ад г 1 ^ 2тгг У 1 ;А+(г)

При а = 2 имеем X(г) = Xо ехр(п-г) и

1 / )

Ф(г) = X (г)

X + (т

ьа

<(т — г) ¿т + С

при выполнении условия (2.1), где X(г) = Xо ехр(п-г).

3. Задача о скачке в случае непериодического скачка

______ ^

Пусть Ьо = (а0, 60) € Д. Обозначим Ь = У Ьк, где Ьк получены из Ьо преоб-

к=0

разованиями группы Тш.

Требуется найти кусочно-голоморфную функцию Ф(г), удовлетворяющую краевому условию

ф+(*) — Ф-(*) = ^к(Л), * € Ьк. (3.1)

На основании известных результатов о решении задачи в случае счетного множества гладких разомкнутых дуг частным решением задачи (3.1) является функция [41

= / (3.2)

1 ' ^ т"' (т — г) у '

к=о Г v '

где последовательность целых чисел {пк} подобрана так, что ряд (3.2) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте после отбрасывания конечного числа

Ьк

0

Имея F(z), можно записать общее решение задачи в виде

Ф^) = F (z) + P (z),

где P(z) - произвольная целая функция.

Для того чтобы сформулировать дополнительные требования, которые нужно наложить на функцию g(t) = gk(~t), t £ Lk, чтобы задача имела конечное число линейно-независимых решений, введем

Определение. Последовательность Г = {rm}f замкнутых контуров назовем правильной системой контуров, если она обладает следующими свойствами:

1) Г i содержит ray три точку z = 0;

2) Гт лежит в области, ограниченной контуром Гт+1;

3) если dm = min |z|, то lim dm = ж;

4) lm/dm ^ а, где lm - дайн а Гт, а > 0 - постоянная, не завися щая от m. Имеет место [3, с. 243]

Г

секающаяся с контурами Lk, то все решения задачи (3.1), удовлетворяющие на

Гт

|Ф^)| < M|z|n-i, M > 0, nG N,

определяются формулой

m=1 L*

причем ряд равномерно сходится на любом компакте, не содержащем точек Lk, Pn-1(z) - полином eme пени n — 1, через Lm обозначена совокупность контуров Lk, расположенных в Dm (область между Гт и Гт+1), а через gm(í) обозначена функция на Lm, совпадающая на кождом Lk с Lm с заданным скачком gk(í).

Можно конкретизировать набор целых чисел nk при построении частного решения (3.2). Справедлива [4]

Теорема 3.2. Если n > 0 есть целое число, при котором ряд

1 Г

VAfc(ñfc)-("+1), Ак = — \9k(T)\\dT\, Rk = min |т| (3.3)

k=0 2п L тeLk

Lk

сходится, то ряд (3.2) при всех nk = n сходится абсолютно и равномерно на любом компакте, не содержащем точек контуров Lk (после отбрасывания соответствующего числа членов).

Задача (3.1) в данном случае имеет частное решение

¡f(r) = V— í 9k{-T)dT ^ 2тгi J тп(т - z)' fc=o У v ' Lk

Используя приведенные выше результаты, построим решение задачи (3.1) с заданным поведением при z ^ ж. В нашем случае в качестве системы Г можно

Г1

составленного из 9 конгруэнтных параллелограммов, центром которого является Д, за Г2 - границу параллелограмма, составленного из 25 конгруэнтных параллелограммов, центром которого является Д, и т. д. (в данном случае a =

= [6(М + Ы)]М).

Требуется найти кусочно-голоморфное решение Ф(-г) задачи (3.1), удовлетворяющее на Г условию

|Ф(г)| < M|z|, M > 0, (3.4)

причем функция g(t) удовлетворяет условию gk(t) G H\k(Lk) и неравенству

sup |#(i)| ^N, 0 < N < 00. (3.5)

teb

В силу условия (3.5) имеем, что

^ = ¿1 \9k(r)\\dr\ ^

где So - дайн а L0, следовательно, сходимость ряда (3.3) обеспечивается сходимостью ряда

ОС

]ГД-(и+1), Дк = |т + Т G Lo. (3.6)

k=0

Ряд (3.6) можно представить в виде

— ОС ОС

1 w 1 1 w 1

Ef?~(n + 1) = 4- \ 1 = 1 , \ "

k=0 0

n+1

дп+l Z^ |r+ *!»+! Д»+1 ^ _ M»+1|X + 1|»+1-

Учитывая, что

2

(3.6) эквивалентна сходимости ряда

^и k1, k2 ^ имеем, что сходимость ряда

У' гАт- (3-7)

к\,к2 = -ж

Из теории двоякоиериодических функций [3, с. 212] известно, что наименьшее п, при котором сходится ряд (3.7), будет равно 2. Таким образом, задача (3.1) имеет частное решение

2пг / т2(т — z)

k=o У v 7

Lfc

Тогда из теоремы 3.1 следует

Теорема 3.3. Все решения задачи (3.1), удовлетворяющие условию (3.4), определяются формулой

Ф(г)= + Р1(г), (3.9)

где ^(г) имеет вид (3.8), Р^г) - полином первой степени, причем ряд сходится

Ьк

Рассмотрим теперь решение задачи (3.1) при условии, что функция #(*) удовлетворяет условию

1

^Вк=Ы1<оо, Вк = — \дк(т)\\дт\.

к=0 П г

Ьк

При условии (3.10) ряд

к=0

Ьк

1т —

(3.10)

(3.11)

сходится абсолютно и равномерно на любом компакте после отбрасывания конечного числа членов. Действительно, пусть |г| ^ г, 0 < г < то, т € Ьк, т = г, тогда

к=0 к

1

Ьк т '

|1 —

При всех достаточно больших к величина г/т будет сколь угодно малой, так как |г| ^ г. Поэтому можно подобрать такой помер К, чтобы при к ^ К выполнялось неравенство

1—

1

(3.12)

Тогда с учетом (3.12) имеем

г 1 Г г В,

кк

к=0

к=0

Покажем ограниченность (3.11) на Г В силу свойств Г и Ь существует такая постоянная 6 > 0, что |т — г| ^ 6 при всех т € Ь, г € Г, и

к=0

2п

( —---- Ыт

т — г т

<

ОО ОО

< 6-1^Вк + ЕВкЯ-1 = 6-1^2 + N3.

к=0 к=0

Таким образом, доказана

Теорема 3.4. Все решения задачи (3.1) при условии (3.10,), удовлетворяющие неравенству

|Ф(г)| < М, г € Г,

определяются формулой

Ф(г) = ^1(г)+ С, где Т^г) имеет вид (3.11), а С - постоянная.

Рассмотрим частный случай, когда функция #(*) удовлетворяет условиям

+ геЬо, д0^) £ НХ(Ь0).

(3.13)

Будем отыскивать двоякопериодические решения задачи (3.1) с периодами 21 и

Из леммы 1.1 следует равенство

У"д0(т) ¿т = 0. (3.14)

Ьо

В силу ограниченности решений на дД они удовлетворяют условию (3.4), поэтому на основании теоремы 3.3 достаточно из решений (3.9) выделить двоякопе-риодические решения. Для этого, положив Рф) = Аг + В, сделаем следующие преобразования:

к=0

[ 9к(т)с1т _ 2пг У т2(т — г) 2пг

до(т)

1 1 г . .

-----П

т — г т т2

Ьк

1

+ »и

к=1

2пг

до(т)

2П _

Ьк

1 1 г

т — г т т2

1 л

т т2

т — г т т2 ^—' V т + ш — г т + ш

к 1 ,к 2 = -о

+ Е'

к1 ,к 2 = -о

(т + ш)2 1

*т=-Ы9о{т)

Ьо

1 1 г

т — г т т2

1

1 1 т — г т — г

+---+

т + ш — г т + ш (т + ш)2 ш ш ш

¿т =

= / №(т)[С(т - г) - СМ] Лт + I до(т)С(т) ¿т. (3.15)

Ьо Ь о

Требуя периодичность, с учетом (3.14) получим

Ф(; + = Ф(;) + ^¡1 до(т)С(т)с1.т + Асик, к = 1, 2, Ьо

откуда А =--[ до(т)('(т)с1,т. Тем самым получено решение вида (1.6) при

2п ,] Ьо

з(*) = 5о(4).

Отметим следующий интересный факт. Функция (3.15) не является двоякоие-риодической, но из нее можно получить двоякоперноднческую функцию, имеющую в параллелограмме периодов полярную особую линию второго порядка [6, с. 98 103]. Эта функция является аналогом функции Вейерштрасса р(м), имеющей в Д полюс второго порядка. Действительно,

Тоф) = = 7^-1 9о(т)[р(т - г) - р{т)] ¿т.

Ь

J

ос

1

1

1

Ь

3

г

ш

Ь

о

Summary

Е.Р. Aksenteva, I.G. Salekhuva. Riemaun Problem in a Case of Doubly Periodic Arrangements of Arches. I.

The paper considers the decision of Riemann problem in a case of doubly periodic arrangements of arches. The case of periodic factor and a free member is regarded. On the basis of results for Riemann problem decision in case of accounting set of contours, generalization 011 the case of non-periodic jumps is given.

Key words: Riemann problem, doubly periodic arrangements of arches, elliptic function, quasielliptic function, periodic factor and a free member, accounting set of arches, non-periodic gallop.

Литература

1. Чибрикоаа Л.И. О грапичпых задачах для прямоугольпика // Учен. зап. Казан, ун-та. 1964. Т. 123, кп. 9. С. 15 39.

2. Аксеи'тьеаа Е.П. Функции Вейерштрасса в краевых задачах. Методическая разработка к специальному курсу. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1994. 42 с.

3. Чибрикоаа Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. 302 с.

4. Салехоаа И.Г. Однородная задача Римапа в случае счетного множества разомкнутых дуг // Изв. вузов. Математика. 1975. Л' 6. С. 124 135.

5. Мусхелигиаили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1968. 512 с.

6. Голубев В,В, Однозначные аналитические функции. Автоморфпые функции. М.: Физматгиз, 1961. 455 с.

Поступила в редакцию 02.12.08

Аксентьева Евгения Павловна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры общей математики Казанского государственного университета. E-mail: Evgenija.AksentevaQksu.ru

Салехова Илюся Гаруновна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета. E-mail: Ilysia.SalekhuvaQksu.ru