CC BY
22
_УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_
Том 155, кн. 2 Физико-математические пауки 2013
УДК 517.544
СМЕШАННАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ПРЯМОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ
И. Г. Салехова, М.М. Яхипа
Аннотация
Решена смешанная задача для плоскости и+(£) = / + (£), V-(£) = £ € Ь, где
Ь - объединение конечного или счётного числа отрезков (расположенных в том числе периодически) с точкой сгущения па бесконечности. Для счётного множества отрезков решение задачи получено путем сведения к соответствующей задаче Римапа в случае счётного множества контуров, в частности периодического расположения контуров.
Ключевые слова: смешанная задача для плоскости, задача Римапа, одпопериоди-ческое расположение отрезков, одпопериодическая функция, двоякопериодическое расположение отезков. эллиптическая функция, квазиэллиптическая функция.
Введение
Смешанная задача для плоскости в случае коночного числа отрезков рассматривалась в статье [1]. К этой задаче сводится основная смешанная задача теории упругости для плоскости с прямолинейными разрезами в случае, когда на верхних краях щелей задаются внешние напряжения, а на нижних краях смещения. Метод, предложенный в [1]. довольно сложный и содержит некоторые неточности. В настоящей работе для решения этой задачи применяется другой метод, позволяющий свести решение задачи к решению задачи Римапа и упростить решение задачи. С учётом результатов решения задачи Римапа в случае счётного множества контуров [2. с. 236 275] дано обобщение задачи на случай счётного множества отрезков, в частности, на случай периодического расположения отрезков и периодических данных [3. 4]. Предложенный аппарат позволяет исследовать задачу для непериодических данных.
1. Случай конечного числа интервалов
1.1. Постановка задачи. Пусть £ обозначает плоскость, разрезанную вдоль отрезков Ьк = (ак, Ьк), к = 1,..., п действительной оси, причём ах <61 < • • • <
п
< ап < 6п. Обозначим Ь = и Ьк.
к= 1
Требуется найти кусочно-голоморфную в Б функцию
Ф(г) = п(г) + гь(г),
исчезающую на бесконечности, по заданным граничным значениям вещественной и мнимой части
где / +(*), 5-(*0 - заданные действительные функции, принадлежащие классу
Нх(Ь).
Вводом вспомогательные функции
Ф(х) + гФ(х) Ф(г) - гФ(г)
= 2-—, Ф(г) = У / -—, где Ф(х) = Ф(г),
обладающие свойствами
Учитывая, что
П(х) = -гП(г), (2)
Ф(х) = гФ(х). (3)
получим, что граничное условие (1) сведётся к следующим:
П+(*) - г^-(*) = /(*), (4)
*+(*) + гФ-(*) = д(1), (5)
где £ £ Ь, то есть к двум задачам Римана (4), (5) в классе функций, удовлетворяющих соответственно условиям (2), (3), причём /(^ = /+(£) + д-^), д(€) = /+(£) —
- д-(*).
Очевидно, что решение задачи (1) запишется в виде
Ф(х) = П(х) + Ф(г). (6)
Решение поставленной задачи получено в классах Н(Ък), Н(ак), Н(ак,Ък), Н0, Н(сч). Под класс ом Н(Ък) будем понимать класс функций, ограниченных в окрестности концов Ък, а на остальных концах имеющих бесконечность порядка не выше единицы.
1.2. Решение задачи в классе Н(Ък) • Под классом Н(Ък) будем понимать класс функций, ограниченных в окрестности концов Ък, а в остальных концах имеющих бесконечность порядка но выше единицы. Остановимся на задаче (4).
Рассмотрим соответствующую однородную задачу
П+(*) - ¿П-(*)=0. (7)
Для решения задачи построим каноническую функцию Х»(х) £ Н(Ък), удовлетворяющую следующим условиям:
1. Х+(*) - гХ- (¿) = 0,
2. Х+(*)=0, X- (¿) = 0, t £ Ь, (8)
3. Хь(г) £ Н(Ък).
С этой целью рассмотрим функцию 7» (г), которая является решением задачи о скачке 7»+(^) - 7= 1п. Учитывая, что в нашем случае О(Ь) = г, и выбирая 1п(г) = г(п/2), получим
7«м^/Ш-и = 1пII (£-о»)1/4
2пг ] т - г \г - аь )
ь к=
Тогда
= = п )
1/4
Учитывая (8), перепишем (7) в виде —°+ ) = —0— ) , 4 € Ь, откуда следует,
что функция / (г) =
хь°(*:
Хь°+ (4) Хь°- (4) принадлежит Н(С) и обращается в нуль на бесконеч-
ности. Тогда па основании теоремы Лиувилля /(г) = 0, то есть ^о(-г) = 0. Имея
„о, N / ч /(4) , ^0(г)
Х (г), перепишем (4) в виде —рп---„-= —-, т0 есть функция „,0/ ,
^^^ 1 ; Хь°+ (4) Хь0-(4) Хь°+(*) ' Х°(г)
является частным решением задачи о скачке и обращается в нуль на бесконечности.
Таким образом,
П(г) =
2пг
/ (т)
Х0+(т)(т - г)
¿т.
Поскольку Х° (г) симметрична, то есть X° (г) = Х°(.г), функция П(г) удовлетворяет условию (2).
Рассуждая аналогичным образом для задачи (5) и учитывая, что
»*<" = П( ^
к=0 у к
3/4
получим
ад =
ХьФ(г) 2пг
ХьФ+(т)(т - г;
■ ¿т.
Итак, согласно (6) общее решение задачи (1) в классе Л.(6к) запишется в виде
Ф(г) = П(г) + Ф(г) 1
= 2П7
хь%
/(т
Х°+(т)(т - г;
■¿т + Хф (г) у.
ХьФ+(т)(т - г)
■ ¿т
1.3. Решение задачи в классе Л.(сд). Через с1?с2,..., с2п обозначим концы ак ,Ък, к = 1, 2,..., п, взятые в каком-нибудь порядке. Предположим, что количество а-точек и 6-точек равно и ^2 соответственно, причём д = + • Под классом Л.(сд) понимается класс функций, ограниченных в некоторых заранее заданных концах с1? с2,..., сд. Класс, соответствующий д = 0, мы будем обозначать Л.0. Если = 0, д2 = п, то соответствующий класс будем обозначать Л.(6к), если же = п, д2 = 0, то имеем класс Л.(ак). Если же д = 2п, то получаем класс
Тогда каиоиические функции в этом классе запишем в виде
Х°(г) =
( ' \ 1/4
П (г - ск) к=1_
2п
П (г - Ск
\к=<г+1 )
ХФ(г) =
( ' \ 3/4
П(г - ск)
к=1_
2п
П (г - ск)
\к=д+1 /
Рассуждая аналогично предыдущему, получим
1) при д < п решение задачи (1) имеет вид
—р(-) г 1 (т) ф(-) = П(-) + Ф(-) = ^. | -п+ (Т)(- _ т) ¿т + -°(-)рпП-,-1(-)+
+ ^Й^/ -г ¿т + О)
2п | Х/ + (т)(- _ т)
где в силу (2) и (3) многочлены Р^— ]_(-)) РП—а-1(-) удовлетворяют условиям
Рп-д-1(-) = _*Рп-д-1(-)> Рп-д-1(-) = *Р>?-д-1(-);
2) при д = п задача (1) имеет единственное решение
-"(-) Г 1 (т) -Л-) [ 1 (т)
Ф(-) = п+ 1 (т)-¿т + I 1 (т)-¿т;
^ 2п I -р+ (т)(- _ т) 2п | -*+ (т)(- _ т) '
3) при д > п задача (1) имеет единственное решение
-а" (г) Г 1 (т) -Л-) [ 1 (т)
Ф(-) = п+ 1 (т)-¿т + ^ хТ;+ 1 (т)-¿т
^ 2п I -р+ (т)(- _ т) 2п | -*+(т)(- _ т)
при выполнении условий разрешимости Г 1 (тV [ о(т)т^'
' 1 () ¿т = 0, -¿т = 0, ^ = 0,1,...,д _ п _ 1.
L *«?+(т) ' L *<?+(
При q > n в формуле (9) надо положить Pn_q_i(z) = 0.
2. Структура решения задачи Римана в случае счётного множества интервалов
2.1. Постановка задачи. Пусть S обозначает плоскость, разрезанную вдоль отрезков Lk = (ak, bk), k = 1, 2,..., то, действительной оси, причём ai < bi < • • • <
оо
< ak < bk < • • • и lim ak = то. Обозначим L = |J Lk.
k—ю
fc=1
Требуется найти кусочно-голоморфную в Я функцию
Ф(-) = и(-) + г^(-),
удовлетворяющую условию (1).
Можно записать структуру решения задачи в классах Л.(ак), Л.(6к), Л.(ак, 6^),
Остановимся на классе Л.(6к).
2.2. Структура решений в классе Л.(6к). Па основании результатов по решению задачи Римана в случае счётного множества гладких разомкнутых дуг [3] задача о скачке
7+С0 _ 7-(*) = з(*), * е ь, д(*) = дк(*), * е ьк, ь = у ьк (ю)
й=1
имеет частное решение
7(г) = £
гпк Г дк(т) ¿т
к=1
2пг У тпк (т - г)'
(Н)
где последовательность целых чисел {пк} подобрана так, что ряд (11) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте после отбрасывания конечного числа членов. Учитывая, что в пашем случае д(4) = 1п С (4), имеем
7 °(г)
^пк Г гп ¿т
1
^ 2пг У 2 тпк (т - г) 4 У
Ьк Ьк
1 1 г г2
г
пь —1
т пь
¿т
¿т 1 /■ ¿т 1 пк—1
7 - 4 ^
4 У т - г 4 У
Ьк Ьк
5 = 0
т 5+1
Ьк
^ - !1п ^ + 1 у ^ -1 у" = 1п
4 ак - г 4 ак 4 ^ ^ 4 ^ ^
к=
/4
V П Я ->Пк - 1
к= ак
где под 1п —- понимается однозначная ветвь, голоморфная на разрезанной
ак - г
-к
вдоль Ьк плоскости и исчезающая на бесконечности, а под 1п — - вполне опре-
ак
делённое фиксированное значение этого выражения в точке г = 0, д) =
/ 9
(1 - и) ехр
Ур= 1
Р
первичный множитель Войорштрасса,
7 Ф(г) = Е
к=о
гпк
Ьк
¿т
2 ) тпк (т - г)
1п
ДЯ (А•">-')
П Я (4 -1))
Канонические функции соответственно имеют вид
(
Хь°<*> =ехр(7°(г)) =
ХЬФ(2) = ехр(7Ф(г)) =
ДЯ (£ ,пк-1) гГ^1Я (ак ,пк - 1))
\к=1
/П Я(¿-"к-1
чД Я (-- ^
3/4
Тогда решение задачи запишется в виде
ФЫ = Х°ЫР°Ы + V Х°(г)гпк Г /(т) ¿т + ф(г) = Х- (г)р (г) + ^ 2пг .1 Х°+(т)тпк (т - г) +
к=о
+ Хф(г)Р Ф(г) + ]Г
д(т) ¿т
к=о
2пг У Хф+ (т )т пк (т - г)* Ьк
т - г т т2 т3
где Р"(-) и Рф(-) — целые функции, удовлетворяющие условиям
Р"(-) = _«Р"(-), РФ(-) = «Р Ф(-).
Аналогично можно записать структуру решения в других классах.
3. Случай однопериодического расположения контуров
Пусть дан отрезок Ь0 = (а0,60) в полосе 0 < Ие - < 2п. Обозначим Ь = = У Ьй , где Ьй получены из Ь0 преобразованиями однопериодической группы
- + 2пк, к е Z.
На основании вышеизложенного 7(-) имеет вид (11). Можно конкретизировать набор целых чисел пй при построении частного решения (11). Справедлива [3]
п > 0
АЙ(РЙ)-("+1}, А = 2л/Ь (т)1Ит|, Д =ш1п |т|, т е Ь (12)
Е
сходится, то ряд (11) при всех пй = п сходится абсолютно и равномерно на любом компакте, не содержащем точек контуров Ьй (после отбрасывания соответствующего числа членов).
Задача (10) в этом случае имеет частное решение
т(-) = Е 2П*У т^Л). (13)
1к
Предположим, что выполняется условие
до(*) = + 2пк), * е Ьо, (14)
тогда = А0, и сходимость ряда (13) обеспечивается сходимостью ряда
— 1 ^ Е д—(п+1)+д0 +£р—(п+1},
где Д0 = а^ Дй = а0 + 2пк, к > 0, = 16_1 + 2пк|, к < 0.
г—'
Ряд (п+1) можно представить в виде
й=1
^ 1 ^ 1
^рД—(п+1) = V 1 = V_1_
^ к ^(а0 + 2пк)«+1 ^ к«+1( Й + 2п)«+1. 1 ;
Учитывая, что (а0/к + 2п) ^ 2^ щи к ^ то имеем, что сходимость ряда (15) эквивалентна сходимости ряда
ОС
Етп+т. (16)
к"+1' й=1
п
Итак, задача (10) имеет частное решение
ч ^ z [ gfc (r) dr
2ni У т(т — z)
z i' ffü(r) dr 2ni J r(r — z)
+ E
k=i
z f fffc(r)dr + ^ Г ff-fc(r)dr 2ni J r(r — z) 2ni J r(r — z)
Lk L_k
2ni
go(r)
1 1
r — z r
dr +E i 2^/gü(r)
k=1
1
1
r — z + 2nk r + 2nk
dr +
+ 2П7 / gü(r ibjgü(r)
1
1
r — z — 2nk r — 2nk 1
dr
E
r — z ^—' v r — z + 2nk r — z — 2nk k=i 4
+
E
k=i
r ^—' v r + 2nk r — 2nk k=i 4
dr =4n^/gü(r)
r — z r ctg _2--ctg 2
dr,
при этом мы учли (14) и разложение ctg z на простейшие дроби.
Таким образом, с точностью до постоянного слагаемого получен однопориоди-чоский аналог интеграла типа Коши [2. с. 201].
1
4. Случай двоякопериодического расположения интервалов
Пусть отрезок Ьо = (ао, -о) лежит в Д, где Д — прямоугольник с вершинами
¿^2 ^2 ~ т, ~ Р°.
—— , ——, + 5 ^ь ^2 € К, ^2 = Обозначим Ь = у Ьк, где Ьк
2 2 2 2 к=о
получены из Ьо преобразованиями двоякопериодической группы г + и, и = к 1^1 + + к2и2, к1? к2 € Пусть в задаче о скачке (10) функции дк(т) удовлетворяют условию
до(4)= дк(4 + и), 4 € Ьо. (17)
В данном случае в силу (17) сходимость ряда (13) обеспечивается сходимостью ряда
П
ЕД—(п+1)' Як = |т + (18)
к=о
Ряд (18) можно представить в виде
П П П
гД—(»+!) = 1 + V _1_= 1 + У' _1_
^ Дп+1 + ^ |т + и|п+1 Дп+1 + . . . т п+1 .
k=ü Rü fci,fc2 = — ~ 1 ^ 1 Rü fcl,fe2=-TO |^|n+1
^ + 1
Учитывая, что |т/и + 1|п+1 ^ ^и к1, к2 ^ имеем, что сходимость ряда (18) эквивалентна сходимости ряда
П
У' ^-ГГ. (19)
к\ ,к2 = — П
Из теории двоякоиериодических функций [2. с. 212] известно, что наименьшее п, при котором сходится ряд (19), будет равно 2. Таким образом, задача (1) имеет частное решение
-7(-) = £ £ / ^ ■ ™
й=о У у '
Ьк
Суммируя ряд (20) с учётом (17), получим [4]
7(*0 = / до(т)[С(т - г) - С(т)] ¿т + 2- / до(т)С(Т) ¿т, (21)
Ьо Ьо
где £(и) = — + УМ —1--+ и + 1 ) , к? + к? = 0, есть дзета-функция Вей-
и \и — ш ш? ш /
ерштрасса.
Очевидно, что скачок, равный д0(*) на Ь0, имеет каждая функция однопери-метрического семейства 71 (г) = 7(2:) + А2.
Если отыскивать двоякоперподнческие решения задачи (10) с периодами ш1
и ^ ^^^^^^ уеловие J до(т) ¿т = 0 [4] является необходимым и доста-
Ьо
точным условием разрешимости задачи, то получим
71(2 + шй) = 71(2) + тл- J до(т)с'(т) ¿Т + Ашй, к = 1, 2,
Ьо
откуда А = — 21- J до(т)С'(т)^т. Ьо
Таким образом, с точностью до постоянного слагаемого получен двоякопериоди-ческнй аналог интеграла типа Коши [2, с. 217] 7 (2) = 7—^ д0(т )[С(т — 2)— С (т)] ¿т.
5. Решение задачи в случае однопериодического расположения интервалов
5.1. Постановка задачи. Пусть отрезки = (ак, Ьк) расположены так, как указано в п. 3.
Требуется найти кусочно-голоморфную функцию Ф(2) = и(2) + ¿«(2), ограниченную на бесконечности и удовлетворяющую условию (1), где функции / + (*) = = /+(*), М*) = 0—(*), * е_ Ь удовлетворяют уеловиям /+ (¿) = /+(* +
+ 2пк), д—(*) = д—(* + 2пк), * е Ьо, к е ^ /+(*), д-(*) е Яа(Ьо).
Поставленная задача равносильна задаче нахождения периодической с периодом 2п фупкции Ф(2) с линией скачков Ьо по условию
(и+(*)= / + (*), , е
* е ьо,
V
где / + (*), д-(*) _ заданные функции класса Гёльдера Нл(Ь0).
Решение задачи отыскивается в классе функций, ограниченных на верхнем и нижнем концах полосы периода.
5.2. Решение задачи в классе h(bo). На основании вышеизложенного имеем
/„;„ bo - z ao 4 1/4 2
1
YU(z) = in- ln G(T )
т — z T ctg _2--ctg 2
dT = ln
. ao — z . bo
sin-sin —
22
XP(z) =
, bo — z . ao 4 /
sin-sin —
2 2
. ao — z . bo sin-sin —
V 2 2
(22)
причём Х°(г) = Х°(г + 2п), X° (г) = Х°(г).
Функция Х°(г) ограничена та концах полосы периода, так как при г ^ х ± то она стремится к конечным пределам [2, с. 201].
С помощью канонической функции задача сводится к задаче о скачке в классе функций, ограниченных на концах полосы периода
П+(*) П-(4) _ /(4)
откуда
Q(z)
X6n+(t) X6n- (t) X6n+(i) X 2(z) Г f (t
t G Lo,
4ni
т — z т
Ct4^J — Ctg 2
dT + 42Xb"(z)
где
cp = b(1 + i), b = const, b G R.
Рассуждая аналогично предыдущему, получим
Хьф (z) =
bo — z ao
sin-sin —
2 2
. ao — z . bo
sin-sin —
22
3/4
причём Хф(г) = Хф(г + 2п), X= Хф(,г). Функция Хф(,г) ограничена на концах полосы периода.
Рассуждая, как и выше, получим
(23)
(24)
*Л£
4ni
f (т
Хф+(т
т — z \ т
Ctg(^ — Ctg2
dT + сфХф (z),
где
сф = a(1 — i) a = const, a G R.
Тогда решение задачи (1) в классе h(bo) запишется в виде
ФМ = хт/ f)
4ni J Хр+ (т)
Lo
т — z т
ctM —J — ctg2
dT + c£Xbn-
Хф (z 4ni
f (t
Хьф+(т
т — z т
Ct^ —) — ctg 2
(25)
dT + сьфХьф,
где Х°(г), Хф(г), е°, еф определяются соответственно формулами (22), (24), (23), (25).
Аналогичным образом можно записать решение в классе Л.(ао).
5.3. Решение задачи в классе Л.(а0,60). Остановимся сначала на задаче для П(г).
Построим каноническую функцию XI(-г):
= хм
Q sin((ao - z)/2)
sin((0 - z)/2)
где в G Lo, в G
Поведение Xbfi(z) нами было исследовано, поэтому остановимся на исследова-
нии функции f (z)
sin((ao - z)/2)
sin((e - z)/2)
1. Для исследования функции на верхнем конце полосы периода сделаем замену eiz = t [2, с. 2011, тогда
= sin ((а0 - z)/2) = ei(ao—z)/2 - e—i(ao—z)/2 f (z) =
^гао _ iz
sin((e - z)/2)
9 —z)/2 - e-i(0-z)2
егао - t ei9 - t '
Пусть z ^ x + ¿то, тогда t ^ 0, и lim f (z) = eiao/ei9. Таким образ ом, f (z)
z—
ограничена на верхнем конце полосы периода. 2. Если же положить e—iz = t, то
f(z) =
- 1/t teiao - 1
- 1/t tei9 - 1 '
Если z ^ x - ¿то, t ^ 0, то lim f (z) = 1, и поэтому функция f (z) ограни-
z—>ж—
чона на нижнем конце полосы периода.
Имея Xab(z), перепишем однородное граничное условие в виде
^o(t) _ П— (t)
X"+ (t) Xfb— (t)
fio(z)
Таким образом, vQ л является периодической функцией, ограниченной на
хам
верхнем и нижнем концах полосы периода, а значит,
Но, так как функция
»o(z
^o(z
XM
= C, где C = const.
обращается в нуль в точках zk = в - 2nk, то C = 0.
Таким образом, соответствующая однородная задача не имеет отличных от нуля решений.
Единственное решение задачи запишется в виде
Ф^) = fi(z) + *(z) = ^^ f JM.
4ni
XM)
fr - z\ Ar - в
ctg ( —^ 1 - ctg
dr+
X*b(zW g(r)
4ni
ХФ(
ctg( Т~2г) - ctg(V
dr.
5.4. Решение задачи в классе Л.0. Каноническая функция будет иметь вид
4>(z) = X6n(z)-7
1
sin ((bo - z)/2) sin ((в - z)/2)
, в G Lo, в G R'
ei9 - e
Поведение Xp(z) нами было исследовано, поэтому остановимся на исследовании функции F(z) = ———-. , . .——-—— .
J w sin((bo - z)/2)sm((0 - z)/2)
1. Для исследования функции на верхнем конце полосы периода сделаем замену eiz = t, тогда
-4
F(z) = e¿(bo+0)/2/t + e-i(bo+0)/2 t ■
Пусть z ^ x + íto, тогда t ^ 0, поэтому функция F(z) на верхнем конце полосы периода имеет нуль первого порядка.
2. Если же положить e-iz = t, то
-4
F(z) = e¿(bo+0)/2 t + e-i(ьo+e)/2/t'
F(z)
порядка.
Рассмотрим функцию ) , которая будет периодической, имеющей полюсы Xo (z)
первого порядка на верхнем и нижнем концах полосы периода. Тогда на основании [2, с. 204] имеем
^0(z) = ^ c ífcz
Xo°(z)= Ck e '
где ck = const, k = -1, 0,1. Таким образом,
^o(z) = X0Q(z)(c-ie-iz + co + cieiz) = XoQ(z)(ci cos z + c sin z + co).
Функция Xo(z) в лотках zk = в - 2nk имеет полюсы первого порядка, поэтому для ограниченности решения в точках zk необходимо, чтобы co = -ci cos в-С2 sin в. Тогда
Xp (z)[ c1 (cos z - cos в) + c2 (sin z - sin в)].
Qo (z) = Xo (z)(ci cos z + c2 sin z - ci cos в - c2 sin
Vs
Тогда общее решение задачи в классе ho можно записать в виде
Xp(z) Í f(т)
$(z) =
4ni J Хь°(т)
Lo 6
T - z \ T
ctg( —) - ctg2
dT
+ Xo (z) [ci(cos z - cos в) + c2(sin z - sin в)] +
*b*(z) í д(т)
4ni J Хьф(т)
T - z T
ctgl^J - ctg2
Lo
f
dT
+ Xo^(z)[ci(cos z - cos в) + c2(sin z - sin в)], где ci, c2, ci, ¿2 имеют соответственно вид (23), (25).
6. Решение задачи в случае двоякопериодического расположения интервалов
6.1. Пусть отрезки = (ак, 6к) расположены так, как указано в п. 4. Требуется найти функцию Ф(г) = и(г) + ¿«(г), ограниченную на бесконечности, удовлетворяющую условию (1), где функции / + (4) = /+(4), д-(4) = д-(4),
Ь € Ь, удовлетворяют условиям /+ (Ь) = /+ (Ь + (), (Ь) = (Ь + (), 4 е Ь0, /о(^), 50(Ь) е Ял(Ьо).
Поставленная задача равносильна задаче нахождения двоякопериодической эллиптической кусочно-голоморфной функции, ограниченной в параллелограмме периодов [4] с линией скачков Ь0 по краевому условию
и+(Ь) = / +(4), »0(«)= 4 € Ьо, (26)
где / +(Ь), - заданные функции, / +(Ь), (4) € НЛ(Ь0).
Решение задачи получено в классах /(60), /(а0), /го, /(а0, 60).
6.2. Решение задачи в классе /(60). На основании вышеизложенного имеем
7П(^) = Ц[С(г - *) - С(т)] ¿г = ±1п
4 - 00)17(60)'
где
/ 2 \
'<«>=« п' 0 - и) и• *+=°
I? ■1 1?г\ --ГУЧ ^ '
&1 = —^
сигма-функция Вейерштрасса, при этом С (и) = а'(и)/а(и). Тогда
Хьп(г) = ехр(7 п(г))
- 60)^(00)1 1/4
, X П(г) = Х».
- 00)^(60),
Функция Хьп(,г) является квазиэллиптической [4], то есть
Хьп(г + (й) = Хьп(г)ехр(-пка), к = 1, 2, ^ = 2С (у) , 1 [ П 1
а = 2П 2 ¿т =4(60 - 00), а е К. (27)
Ьс
Остановимся на решении однородной задачи (7). Рассмотрим функцию /(г) =
= п , которая является квазиэллиитическои с условием Х (г)
/ (г + ) = / (г)ехр(пй а). (28)
Таким образом, получили задачу построения квазиэллиптической функции, удовлетворяющей условию (28). Однако критерием существования квазнэллнптнче-ской голоморфной функции /(г) ф 0, удовлетворяющей условию (28), является условие а(п1<^2 -П2(1) = 2пг(, ¿5 = «4(1 + «2(2 [5]. Но в силу соотношения Лежан-дра, связывающего основные периоды и величины П1, П2 имеем П1( - П2( = 2пг, откуда а = ¿5.
а
поэтому /(г) ф 0.
Таким образом, задача (7) не имеет отличных от нуля решений. Для решения неоднородной задачи (4) будем использовать квазипериодический аналог ядра Коши [5]
., . <г(т - г - а)
А(т,г)= ) (-^,
<г(-а)<г(т - г)
причём А(т, г + = А(т, г) ехр(ап&).
Единственным решенном задачи (4) будет функция
П(г) =
2пг
А(т, г)
/ (т) ¿т (т)'
причём функция удовлетворяет условию (2). Рассуждая аналогично, получим
где Ах(т, г) =
Хф (г) /'А1(т,г)з(т) ¿т
2пг
XФ+
(т)
Хф(г)
<(т - г - «1) з
, «1 = 4 (Ьо - ао).
<(—а^а(т — г)' 1 4 Решение задачи (1) представимо в виде (6). Решение в классе Л-(ао) запишется в виде
<г (г — Ьо)^(ао) <(г — ао)а(Ьо)
3/4
Ф(г) =
Хф(г) ГА(т,г)/(т) ¿т , Хар(г) ГА^Жт) ¿т
2пг
Хф+ (т)
+
2пг
Хар+ (т
где хф (г) =
— ар)а(бо)
— 6о)а(ао)_
1/4
, Хар(г) =
— ао)а(бо)
— 6о)а(ао)_
3/4
6.3. Решение задачи в классе Л.(ао,6о). Каноническая функция будет иметь вид
ха Ь(г) =
<(г — бо)а(ао)
<(г — ао)<(Ьо)
1/4
<(г — ао) <(г — 0)
е $ Ьо, е е
Функция Х^,(г) удовлетворяет условию Х^(г + ) = Х^(г)ехр(впА;), где в = = —а + е — ао и в не равно периоду. Тогда квазиэллиптическая функция /(г) =
По(г)
= ,.0 ч тождественно равна нулю, откуда следует, что соответствующая одно-
ХИ(г)
родная задача не имеет отличных от нуля решений.
е
ХаПь(г + ^)= Ха%(г), к =1, 2.
Имея Х^,(г), перепишем краевое условие (4) в виде
ао + а, тогда в = 0 и
ХаПь+(4)
ХГЬ- (4)
/ (4) Х^)'
4 е Ьо,
Таким образом, функция
ХШ*
является решением задачи о скачке в классе дво-
якоиериодических функций. На основании известных результатов [4] имеем, что необходимым условием разрешимости получившейся задачи является равенство Г /(т) ¿т
ХГЬ+ (т)
=0
ХаПь (г)
/ (т) 2™ / Х^+(т)
Ьо
[С(т — г) — С(т — ао — а)] ¿т.
Аналогично запишем
ад = i [Z(т - z) - Z(Т - ас - ai)] dr,
■ Хафь+(т)
Ьо
где Х*(г) = Хьф(г)^ - , 01 € Го, € К-
6.4. Решение задачи в классе . Каноническая функция задачи имеет
X?(z) =
-(z - bo)-(ao) -(z - ао)а(6о)_
--г2), 02 G Lo, 02 G .
-(z - bo)
причём + = Х01(г)е , в1 = 02 + а — Ь0 и в1 не равно периоду.
Рассмотрим функцию ^3(.г) = —) , которая является квазиэллиптической
х0(г)
с условием
+ М = ^3(г) ехр(пк А)-
Кроме того, функция имеет в точке 02 полюс первого порядка. На осно-
вании известных свойств квазиэллиплических функций [5, с. 8], функция ^3(г) должна в иметь нуль первого порядка в точке 0 € К, причём имеет место равенство
02 — 0 = в1(П1^2 — П2^1)/2пг = въ при этом мы учли соотношение Лежандра. Функция ^3(г) тогда имеет вид
ВД = с^-М.
<г (г — 02)
Итак, П0(г) = СХ0п(г) ^^О,—^ , где С = (1 + г)Сь С € К.
Таким образом,
0( ) Xo"(z) Г f (т) d+0() A ( ) -(т - z - ei)
0(z) = inr J A2(tz)XF+(T)dT+0o(z), A2(tz) = -(-ei)-(T - z).
Рассуждая аналогичным образом, получим -(z - bo)—(ао)
*o*(z)
-(z - ao)-(bo)
3/4 -^, 03 G Lo, 03 G R, -( z - b0)
*(" = ^(z)-z+ A3(T.z) ^ dT
Lo
A3(T,z)= -(t~ z - в2\, в2 = 03 + ai - bo, C = (1 - i)C2, C e! -( в2 )-(t - z)
Summary
I.G. Salekhova, M.M. Yakhina. A Mixed Problem for a Plane with Rectilinear Cuts. We solve a mixed problem for a plane u+ (t) = f + (t), v-(t) = g~(t), t € L, where L is the union of a finite or denumerable set of segments (including those arranged periodically) with an accumulation point at infinity. For a denumerable set of segments, the problem is solved
by t.lie reduction t.o the corresponding Riemauu problem in the case of a denumerable set of circuits, including those arranged periodically.
Keywords: mixed problem for a plane, Riemann problem, singly periodic arrangement of segments, singly periodic function, doubly periodic arrangement of segments, elliptic function, quasi-elliptic function.
Литература
1. Ше.'рман Д. И. Смешанная задача теории потенциала и теории упругости для плоскости с конечным числом прямолинейных разрезов // Докл. АН СССР. 1940. Т. 27,
4. С. 330 334.
2. Чибрикоаа Л.И. Основные граничные задачи для аналитических функций. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1977. 302 с.
3. Салехооа И.Г. Однородная задача Римапа в случае счётного множества разомкнутых дуг // Изв. вузов. Матем. 1975. Л® 6. С. 124 135.
4. Аксе.итьеоа Е.П., Салехооа И.Г. Задача Римапа в случае двоякопериодического расположения дуг // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 4. С. 66 79.
5. Аксе.итьева Е.П. Функции Вейерштрасса в краевых задачах. Методическая разработка к специальному курсу. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1994. 42 с.
Поступила в редакцию 12.03.13
Салехова Илюся Гаруновна кандидат физико-математических паук, доцепт, доцент кафедры дифференциальных уравнений, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: Ilysia.SalekhovaOkpfu.ru
Яхина Мария Миргасимовна магистрант кафедры дифференциальных уравнений, Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, Россия.
E-mail: husainovamQbk.ru
