Дифракция электромагнитных волн на неоднородности плазменного волновода Текст научной статьи по специальности «Физика»



Таким образом, в данной работе показано, что при излучении ультразвука в среду через акустический волновод дифракционное поле луча принимает достаточно сложный характер, по сравнению с полем поршневого излучателя. Наличие пространственной дисперсии в волноводе приводит к значительным осцилляциям дифракционного затухания и

появлению областей с его отрицательным значением. Поэтому при экспериментальных исследованиях коэффициента поглощения и скорости распространения ультразвуковых волн для аналогичной конструкции излучающего акустического тракта необходимо проводить расчет поправок по приведенной выше методике.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кононенко, B.C. Физические основы прецизионной ультразвуковой спектроскопии и ее применение для исследования релаксационных процессов в слабопоглощающих жидких средах [Текст]: дисс. докг. физ-мат. наук: 01.04.06: защищена 17.10.1994: утверждена 8.06.1995 / Кононенко Вадим Степанович. — Ташкент: АН УзССР, 1994. - 300 с. - Библиогр.: 129.

2. Шацкий, A.B. Влияние нелинейных и дифракционных эффектов при измерении коэффициента

поглощения ультразвука в жидкости [Текст]: дисс. канд. физ.-мат. наук: 01.04.03: защищена 03.07.2006: утверждена 10.11.2006 / Шацкий Александр Владимирович. — Самара: ПГАТИ, 2006 — 148 с. — Библиогр.: 80.

3. Кононенко, B.C. Дифракционные поправочные формулы для ультразвуковых измерений [Текст] / B.C. Кононенко / Акустический журнал. — 1974. — Т. 22. - № 2. - С. 269-273.

УДК 537.874

А.Ф. Крячко, В.И. Романова, ЯЛ. Федорова

ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА НЕОДНОРОДНОСТИ ПЛАЗМЕННОГО ВОЛНОВОДА

Одной из характерных особенностей плазменных волноводов является способность поддерживать распространение поверхностной волны при любых отношениях между линейными размерами 2 а поперечного сечения волновода и рабочей длиной волны Л в вакууме. Если на пути следования поверхностной волны поставить препятствие, то по характеристикам рассеяния можно судить о параметрах плазменного волновода и в первую очередь о плотности плазмы.

Если в месте создания плазменного сгустка возбудить поверхностную волну, а затем на пути сгустка поставить две идеально проводящие пластины, то при входе плазмы в пространство между пластинами поверхностная волна частично отразится, а частично будет преобразована в поле излучения. Так как обычно в

приложениях, где такая задача встречает интерес, скорость движения сгустка мала по сравнению с фазовой скоростью волны, а плазма (без магнитного поля) заполняет слой до и внутри пластин, то в качестве модельной может быть предложена следующая задача.

Вдоль плазменного волновода толщиной 2а из области z > 0 распространяются волны is-типа (рис. 1) с компонентами [1]:

Hi = sin(g*)c~¿( Ш + yz).

У sin(ga)

!_ Y sin(gx) -i(m + yz) K8 sin [gaj

! = ig cos(gx)^-/(co; + yz)

z K8 sin(ga)

л/(д,е)

Рис. 1. Геометрическое представление постановки задачи: I, II — полубесконечный плазменный волновод и вакуум; М{К, 6) — точка наблюдения; а — проводимость среды; агссо8(у/к) — угол переотражения электромагнитных волн (показан вектором)

или

(2)

Н1 =СО$(&) СЧ(Ш + У2). У СОБ(£И)

г _ у 00-¡(ш + уг).

х / '

ке сое (до)

Е1 _ Щ ^-¡(ш + уг)

2 кесоБ^а)

и поверхностная волна в вакууме с компонентами

я;=е

п__у -р(\х\-а)-1(ш + уг)

Е1 =

к

(3)

Индекс I относится к волне, распространяющейся внутри плазмы, а индекс II - к поверхностной волне в вакууме.

В выражениях (1 — 3) введены обозначения:

g = ^]к2г-y2, р = 1у/у2- к2,у — действительные корни дисперсионного уравнения; е—комплексная диэлектрическая проницаемость (О

плазмы; к =--волновое число; ш — круговая

с

частота (с — скорость света).

Если Ну,Ех «сов^зс, то волну будем называть симметричной, а если Ну,Ех ~ бш^х, — то несимметричной.

Дисперсионные уравнения для симметричной и несимметричной волн соответственно имеют вид [1]:

Возникающее на краю пластины рассеянное поле разложим в интеграл Фурье.

Для симметричных волн получим выражения:

ярас.1 = |

сое

(И

кесо8(ря)

(5)

£рас.п _ _ 7 н ¿V е~™(х - а) + щг ' к

(6)

Для несимметричных волн —

у ^ Бицра) рас л

^ КЕ 8т(ря)

(7)

(8)

Введены обозначения: = <у/к2е-д2, V =

= ^д2 -к2, # - корни дисперсионного уравнения.

На поверхности идеально проводящей пластины потребуем, чтобы полное тангенциальное поле Е^ обращалась в нуль, а на границе плазма —вакуум потребуем непрерывности полных полей.

При х = ±а, г>0, Е]=Е^

для несимметричных волн [ 1 ]:

оо оо

7 h—ctg($a)eiqzdq =

ке

= H^dq,

К к

—ОО

откуда получаем равенства

ОО

/ [h-H]e^zdq = 0;

—ОО

;р

(9)

{ h—ctg(pa)eiqzdq = - J H-e&dq;

КБ К

для симметричных волн —

ОО

J [h-H]e^zdq = 0;

J h—X%(Pa)el<^zdq - J H-e^dq.

(10)

IV

K8

К

При x = ±a,z<0 ,El=Ef =0

для несимметричных волн —

ОО

^ctg(ga)e-^z + J h—ctg(^a)eiqzdq = 0;

КБ КБ

(11)

¡P.

для симметричных волн ■

—ctg(g«)e_'^z - 7 A—tg(p«)e^zfi?g = 0;

ке „ KE

(12)

j H™ei(lzdq = 0. к „к

—00

А-Я = ф+; а!/г-а0Я = \(;+;

оtj/г-

а0#-

2ш(<7 + у) А

2ni(q + y)

= х

(13)

где (р+, \|/+

функции, аналитические в верхней полуплоскости комплексного переменного

9 ; ЗС~ — функции, аналитические в нижней полуплоскости. Введены также следующие обозначения:

для несимметричных волн —

а1 = —ctg(Pa);

КЕ

, ч IV

«0 (?)="-;

К.

для симметричных волн —

«!(?) = -—tg(pa);

(13а)

ке

«о Ы = -—; к

(136)

Задача сопряжения и ее решение

Равенства (9), (10), а также (11), (12) представляют собой систему парных интегральных уравнений, которые по лемме Рапопорта могут быть преобразованы в граничную задачу для функций, аналитических в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной q [2]:

в обоих случаях А = ctj (у) = ос0 (у).

Из формул (13) видно, что 1|/+=£~-х~, то есть эта функция аналитична на всей плоскости и ограничена, следовательно, по теореме Лиу-вилля, она там постоянна [4]. Для ее определения достаточно рассмотреть поведение функций и х на бесконечности.

В силу их ограниченности функции h и Н должны убывать при q —» °° не хуже, чем функция q~x. Следовательно,

- = оLxh - а0Н - 0 при q —> °°.

Но если -%) = const, то при \|/+ = 0 на всей плоскости комплексного переменного q тогда справедливы выражения

Н = —h; a0

Ф +=h

с \ 1- — V «о)

% =«1<Р+

Г Л-1

V «о;

+ _а0-«!

Ф =

а0а1

г+

2т{д + у)' А

2т(д + у)

х

С V к 2ш 2л; ах

Из условия на бесконечности следует, что 1тк > 0. Тогда запишем равенство

х-(ф

где Х+ {ц),Х (д) — решения однородной задачи сопряжения:

ф+1|1±к = ао-а1><

х

ск

£-К К

К

- + -

-Са,

АС

(16а)

Ит(д + у)

д-к

(14)

Интегралы в выражении (16) легко вычисляются через вычеты [3]:

Ф+Ы =

АСХ+ (д)

где С = Нт

?-><*> СХ] Обозначив

2шх {-ч){д + у)у1(д + *)(у+д)'

Ф+ =фн

Ф "=-С§"

к

2л% + у)1 X (-у^к + у

Вычисление поверхностной волны

Компоненты Фурье искомых полей выражаются через функции ф+, следующим образом: при г > О

к

перепишем равенства (14) в виде

V; а0 -а1

Н-———ф+; а0 -а1

(18)

при г < О

Ф+ =

-Са!

АС

Ит(д + у)

д-к

.(15)

а0

/

V

2ш{д + у)

(19)

Решение граничной задачи (15) может быть найдено [6]. Оно имеет вид

(16)

Подставляя выражения (17) в (18) и (19), получим выражения для искомых полей через решение следующей задачи: для г > О

яп = -р{х-а)-1уг _

[ч^х~(ч)АСх

АСк

х|

П

С V к 2пг 2л с/т

х

2га'7к + уХ (-у)

хГх м. I > *

-оо {оо-ЧНя + ЧЧ + У)

(20)

(21)

дляz< О

Hn=-p(x-a)-iyz +

А

+- _-х

2niy]к + уХ (-у)

xj-^--dq.

L ао \Ч + Y)

Полюса подынтегрального выражения (20) соответствуют отраженной поверхностной волне q = -у и другим собственным волнам плазменного слоя, которые при выбранной частоте не распространяются, а экспоненциально затухают от места неоднородности (комплексные корни дисперсионного уравнения) с бесконечно малой действительной частью.

Интеграл по разрезам, соединяющим точки

ветвления yjq2 - к2 , описывает непрерывную реальную часть спектра рассеянного поля, уходящего от края пластин в свободное пространство.

Расчет поля излучения в дальней зоне

Аналитическое выражение для поля в дальней зоне ( kR »1) можно найти из выражения (20) методом перевала. Для этого сделаем замену переменной интегрирования q = к eos ср. При этом плоскость комплексного переменного q переходит в полосу, определяемую равен-q

ством у = arceos

Для определенности выбираем ту ветвь у,

71

для которой при q = 0 фаза <р = —. Тогда контур

интегрирования, проходящий на плоскости q по вещественной оси, переходит на плоскость Ф в контур / (рис. 2).

На участке АВ плоскости q (на верхнем бе-

peiy разреза) фаза равна а на участке .ВС (на

нижнем берегу разреза) фаза равна нулю. Соответственно ф меняется от %- до 0 +

В результате замены переменной и перехода кполярной системе координат (Д, 0) получим формулы перехода (x-a) = jRsinO, z = JRcos0.

Выражение (20) примет вид:

яп =e-p{x-a)-iyz _

АСк

х

х/

2niyjK+уХ (-у)

(22)

КвШф

(а0 - а^ксоэф + у)л/ксовф + к

¿/ср.

Интегральное выражение представляет собой интеграл вида

при больших значениях параметра р, величина которого в основном определяется тем участ-

к

а)

i

-к

А Iтд

Рис. 2. Формы пути интегрирования компонент электромагнитного поля в комплексных плоскостях д(а) и ф (б); к — волновое число

ком пути интегрирования Ь, на котором

= epRe^(w) велика по сравнению со зна-

чением на остальной части Ь. Деформируем путь интегрирования в области аналитичности / (м>) так, чтобы он проходил через седловую точку в направлении наиболее быстрого спуска [7]. Седловая точка определяется из условия = срл = 0 - гни, т- 0,±1,....

Таким образом,

t?-p(x-a)-iyz

+

АСк

2niy/K + уХ (-у)

X

а

х

1 Ы

(a0-«l)|cp=cps (КС08Ф5+У) вшф^

х (23)

х

л/ксовф5 + к

где

Аф

1= J егкДС08(ф-е)£/ф.

-дф

(24)

^(АФ)2^.

(25)

I = е'

г'кй

2 л

/к/г'

(26)

ярас _ ^CsínG у 2га

2л

м íkR

х

1 +

(í+cose)

(27)

х-

Х+ (cose)e'

íkR

ос„

cos0 +

(Oo-Oi)

4>S

Компоненты Е^ас и Е^ас выражаются через Н*ас соответствующим образом:

- (сое 0) • ; (28)

= - (ят 0) ■ Я^ас. (29)

Вычисление диаграммы направленности

Поток энергии, который излучается в месте неоднородности (на единицу длины вдоль оси у), выражается как [5]

Р = Js-m/v,

(30)

Для приведения интеграла (24) к интегралу Пуассона делаем замену

где (7 — цилиндрическая поверхность в волновой зоне.

Отраженная волна уносит в единицу времени энергию, равную

Из двух значений Б, определяемых заменой (25), выбираем соответственно по контуру интегрирования I тот корень, для которого справедливы условия

Ке£<0, 1тДф>0;

Яе^ > 0, 1тДф<0;

7 0,5л

рас 8я ¿ I у

RdQ.

(31)

В случае несимметричных волн \2

Р =-

■'рас

X.

чк

-1 Ш~1)' о,

,5л • 2п sin 0

8я2к

х+ (cose)

j

о У

\2

X

+ cos0

У

(32)

de

Подставляя условия (26) в выражение (23), получаем для поля излучения в дальней зоне:

е|2 вш2 0 + ц2с&2 (кац) (1 + со80) а для симметричных волн

р = рас

5п sin20

8я2к

х

X-(-yf о íl + coseY

U ) (33)

2 2*г.2

X+(cos0) |¿ th (кяц)сЮ

У e|2 sin2 0 + |x2th2 (клц)](1 + cos0)'

где ц = лУ|е| + cos2 0, e < 0.

Диаграмма направленности в случае не-

симметричных и симметричных волн, соот-

ветственно, следует выражениям

<iin2fi fiel + cos2 э) I |2

F (e) = • -f • \x+ (cos0) x

(1 + cos0) (y

(l+cose)

(34)

cth2 (ка)ф i +cos2e

Jje2sin20+(e +cos2 б) cth2 (ка)^е +cos2ej

(1 + C0S9) ideoso]2 ' '

J (35)

к

x

th2 (ка)^е + cos20

[|e|2sin20 + (| е +cos2e) ith2| [ka)^/|e| + cos2ej

Коэффициент отражения электромагнитных волн в точке неоднородности

Деформируя пути интегрирования в интеграле (20) наверх, преобразуем его к сумме вычетов относительно полюсов и в интеграл по разрезу, который целесообразно провести от точки q = к по мнимой оси (рис. 3).

Тогда получим выражения для поля

нп =-p{x-a)-iyz +

п=\

iq"z+Qz,

(36)

где

ж Im q

Яп

«Y

®

О

R eg

Рис. 3. Форма пути интегрирования для формулы (20)

в комплексной плоскости д; показано положение корней у, дп и к относительно пути интегрирования

" (<!»+ у) Х~{-у)

(37)

4=qn

«1W)

2%Х~ (-у) Jr, К (?')-а1 (<?')]

X+(q')e-V(X~a) + iq'Z ^ , х-^— .--dq.

(í' + Y W?' + K

х

(38)

Здесь Я0п - коэффициент трансформации по полю волны данного типа в волну с волновым вектором дп; Я00 — коэффициент отражения при х = а :

*00

(1* -l)jy-KX*(y)ai(y)K

2y2Jy + KX-(-y) l~n-1+4 je p g/2 fi i ill --ОБ íp J.

(39)

где £' = >/к2|е|+у2, у = я0.

На больших расстояниях от неоднородности выражение (36) принимает простой вид, так как в этом случае можно пренебречь всеми затухающими волнами (с чисто мнимыми а также слагаемым (¿(г), убывающим как — при т > 0.

х

Покажем, что в волновой зоне существует лишь волна отраженная. Будем исходить от противного.

Допустим, что при г»\ существуют незатухающие или слабо затухающие (с очень малой мнимой частью ) волны дп Ф у. Очевидно, дп должны удовлетворять дисперсионному уравнению вида

р!ё(р а) = ер

(для симметричных волн);

Рс1ё(|3а) = -ер

(для несимметричных волн), а не р4§(р'а) = ер и Р'й^Р'а) = -гр , соответственно.

Для этого необходимо, чтобы

к2е-<72>0.

Но в данной задаче е < 0. Таким образом, приходим к противоречию. С одной стороны,

д1 <ст2,асдругой-

д2>к2\е\ + а2„+Иа„тп

где ап=Яедп,

Таким образом, для частот со и плотности плазмы, для которых е < 0, в волновой зоне суще-

0 Ч(ш-уг)

ствует только отраженная волна Яе v '. Все остальные волны с отличным от у волновым числом являются сильно затухающими и энергию не уносят. Тогда коэффициент отражения можно записать в виде

(|е|-1)(у-к)Х+(у)

2у2Х (-у)

1_

Р

о\Щ Р Р /2 /2 8 ё

.(40)

лых ка<0,2 (тонкий волновод) можно воспользоваться асимптотическими формулами: для несимметричных волн —

1

у = к 1 + -для симметричных волн —

у ~ к

1 +

2(ка)2].

(41)

(42)

В области больших значений ка (широкий волновод, высокие частоты), т. е.

ка>

л/ё^Т, 2|е|10й

--Ш.——-

2 е

2 , Е -1

асимптотики одинаковы для симметричных и несимметричных волн в случае, если корни дисперсионного уравнения имеют вид

Уо ~кл

е -1

(43)

Для промежуточных значений ка , т. е.

ЛД::Т1 2|е|-10" 0,2<ка<—-¡-1п-4-,

2 е

I |2 1

е -1

Дальнейшее вычисление сводится к решению граничной задачи (16а). Однако сначала необходимо исследовать зависимость фазовой скорости поверхностной волны от толщины плазменного слоя, то есть от параметра ка.

Дисперсионные уравнения для анализа поведения симметричных и несимметричных волн

С целью исследования поведения фазовой скорости решаем уравнение (4). Для очень ма-

где п определяется необходимой точностью вычислений, корни трансцендентного уравнения надо искать численно. Полученные зависимости приведены на рис. 4 для различных значений |е|. Видно, что в случае низких частот или плотной плазмы (|е|»1) область, где справедлива асимптотика (43), простирается вплоть до нуля. Для таких значений диэлектрической проницаемости волновой вектор не зависит от толщины волновода, так как волна «вытесняется» из плазмы и распространяется вдоль ее поверхности:

= ехр [-р (х - а) - /уг];

р = 4у2-к2; у«к при |е|»1 и у = Уо.

Для любой толщины плазменного слоя р ~ 0, а амплитуда поверхностной волны име-

Рис. 4. Зависимости действительных корней дисперсионного уравнения от параметра к а для симметричных (сплошные линии) и несимметричных (пунктиры) волн при различных значениях диэлектрической проницаемости |е| : 1,1(7); 1,2(2); 1,5(5);

2,0(4); 5(5); 10(6); 50(7)

ет значение порядка единицы; это означает, что вся вводимая энергия распространяется над плазмой в вакууме и волна сне чувствует» толщины волновода.

Бели плазма неплотная или частоты не низкие (|б| «l), то область, где поведение симметричных и несимметричных волн отличается заметно, простирается от ка « 0,2 до ка «1,0.

Вычисление аналитических функций Х+ и Х~

Функции X+(q) и X~(q) являются решением (16а). Они могут быть записаны через Г+(д)иГ~(д):

где

Х+ {q) = ехрГ+ (#); Х-(д) = ехрГ"(д),

2tw¿ СЩ Т -q

(44)

Имеет смысл отдельно рассмотреть два слу-

чая:

1. кя^|б|»1;

2. ка<1, |е«1|.

В первом случае поведение симметричных и несимметричных волн совпадают, во втором — дисперсионные кривые «разбегаются».

+ / ч12

Вычислим X (cos 6) . Здесь возможны два случая:

а) |е|»1, кя »1;

б) |е|»1, кд »1. Для случая (а):

Х+ (cos0)|2 = exp{2Rer+ (cosQ)};

ЯеГ+ (cos О) = - Rein

i i • Г"¡Л —f |s| sm0—vlel

6-1 Ue

2%i

e>/jс 2-1 ч + е de

(М ' + в (jc-cosg)

(46)

(символ У.Р. означает, что интеграл берется в смысле главного значения по Копта).

Интеграл (46) сводится к табличным интегралам, и окончательно получаем:

(47)

Для случая (б) для удобства интегрирования вводим функции X? (л), Х{ (л) :

Х?(х) = Х+ (х) Xi(x) = X~{x)

x+i

№

X + tQ X-tn

(48)

Тогда для аналитической функции (х) можно записать выражение [8]:

(|е| л/л:2 — 1 - + x2U\e\ + х2

-/| | Л( 2 2\-; (49)

х+ (cose)

2 (cOS0 + ío)2 I +

(cos20 + |e|)

^(cose) ; (50)

(eos 6) = exp \ - ln Gl (eos 0) +

1

1

-±-vj>. f

2ni J

lnG1 (eos 6) jc-cos0

(51)

dx\.

X+ (cos0)

= -y/l + |s|sin2 Э exp-j - ^ C°S в arctg^/jej 1.

Подставляя этот вычет в равенство (50), окончательно получим выражение д ля вычета

х+ (cose)

2_x/i+|6|sin2e

exp

сов0

■ (53)

(|в|-1)(*2-*2)

для симметричных волн —

оо

(x + i Ш^а П(82^ + ^2„)

Х[(х) =

Входящий в равенство (51) интеграл в смысле главного значения можно вычислить с помощью асимптотик. Основной вклад дает вычет

2

Здесь введены следующие обозначения: ~ 2ка _ _ка _ Г , ,_2

1« ~7п Гл-' 2и = 5 "1 п = >/1 + Е°1и >

(2И + 1)71 пп

\1' = ^х2+\е'\; (56)

х,д — безразмерные волновые числа, причем д является корнем дисперсионного уравне-

ния

2. Во втором случае (ка < 1, |е| ~ 1) удобно решение (16а) переписать в виде

Х?(х) = 01(х)Х[(х), где для несимметричных волн —

оо 1

оо

П(52*-^2п)

х^(х) = у/ка(х-д)-^-Х~ (х)\ (54)

П(51„х-Ци) о

(/|е| - +

\х)~ '

Задача свелась к нахождению X* (сое 0). Решение однородной задачи Римана, как это вытекает из формул Сохоцкого — Племеля, имеет вид

Xf (eos 0) = exp ln G, (eos 9) -

+

1 +rinG,(cos0) 1

-V.P. f-^-Ldx\.

от •> x — cos 0

(57)

Для вычисления интеграла в смысле главного значения в (57) разбиваем путь интегрирования на три области: (-о°,-1), (-1,+1), (1,+°°). Поскольку логарифм есть слабая функция своего аргумента, то воспользуемся асимптотиками.

Наибольший вклад (по порядку такой же, как и вычет) дает интеграл на участке (-1, +1). Но этот вклад чисто мнимый. Интегралы по отрезкам (-оо, -1),(1, + °о) обращаются в нуль. В результате получаем выражения: для несимметричных волн —

х+ (cose)

2 _ (qr + COS0)2 Ka(|e|-l)<7'

х

х

1 + kv|e|2

x

Д|е| + cos2 в) x th (ка) + cos2 9; для симметричных волн —

x+ (cose)

2 + cosG)2 |е|

= (Ni-i),2

X

1 +

К).

^|e| + cos2 в) x cth (ка) ^|e| + cos26.

Вычислим

1. В случае ка^Щ »1 имеем: а) при ка »1, |е| ~ 1

х + Чо х-г'у|е|

G1(x) =

||e|VX2 -1 - Je| + x2 j^/x2

(58)

Поскольку функция С?! (х) четная, интегрирование в бесконечных пределах можно заменить интегралом от нуля до бесконечности.

Имеет смысл искать отношение-, вы-

числяя интеграл в выражениях (61) аналогично (51). Получаем

~AM + <il \ 2

: А „ ,——ехр<!

2(|в|-1)

Щ о

arctg^/jif -

ln(l + |e|)j

(62)

Що

(59) где А-

М_1 / ^

%

И, наконец,

Х+(д) _ 2q0AJ

I 2

е| + хд0

х- -

х

Ы (д0+ф\) (|е|-1)

xexpí^axctg^-^^Dl

(63)

[щ о

Що

б) При |е| »1, ка ~ 1 и более, ~ 1; поэтому не будет большой ошибкой замена

(60)

+ 8

Решение задачи (х) = Сх {х)Х^ (х) имеет

= exp lln G (l) +—V.PÁ ^ j

[ ni 1 J

(64)

Интегрируя, получим следующий результат:

вид

^r(<7o) = expUlnG1(<70) +

lnGj (х) ^ х-д0

1

— V.P. f

>ТТ7- J

dx\-,

Х+{%) 2 Г 1 2

-у—^г- = -г-гехрк--г-г--г-р-

е 6 6 71

Считая |в|»1, находим

arctgJsfL (65)

(?o) = e*p|-|hlGí(ío)

(61)

+

+ -

1

—V.P. Í

ТГ1 *

2 ni

lnGj (х) x-qQ

dx\.

а фаза равна

=нехр

(66)

п 1 2 0О 71

V = --arctg-n--

2 яу|е| 2

2. Случай |е|»1, ка < 1. Для этого случая, используя факторизацию вида (54) и (55), вычисляем функции

X? (?) и Х{ (-q). При вычислении интегралов основной реальный вклад дает вычет в точке q . В результате имеем: для несимметричных волн —

2(14 -О

(67)

ехр

для симметричных — = -i\E\yjq2

2(|е|-1)

.2, „

i—In Вв щ

(68)

ехр

i—In В. щ

СИМ [ '

здесь введены обозначения

Лесим =А(<1н)> Лим = А{Чс)\

,1 ка / , ка|е|/2.

л — . i i 7 + 7 > f Iе! Ц Ц

Д,

d _

СИМ

^1 + |е|2(ка)2 í2k£í(|e|-1)

(69)

(I+KV)

ч2 (И 1-1)

Подставляя (69) в отношение-ъ-£- , по-

лучим следующие равенства: для несимметричных волн —

(д) = |е| (2g)2 А^Цка)^ X-{~q) 2(|е|-1)^

f<72+lel

(70)

хехр

-г

71 2 --—In А 2 я? в

для симметричных —

Х+ {д) _ |в| (2qf ^cth(ка)^^

-ЯГЫ 2(161-1)^/7^

/

J я

хехр —i

х

(71)

% 2 2 тс? с

Коэффициент отражения электромагнитных волн от неоднородности плазменного волновода

Получим формулы для коэффициента отражения Я для случаев «тонкого» и «широкого» волноводов. Для этого подставим в формулу

Х+ (а)

(40) найденные отношения-у-*- для каж-

дого рассмотренного случая.

Введем безразмерную величину (перемен-

v

ную) (= , получим выражение к

R =

i(t-l)(\t\-i)X+(t) 2 t2AX~(-t)

(72)

Положим Д = где — модуль, а

— фаза коэффициента отражения. Тогда искомые формулы принимают следующий вид:

W 1

1

- 2

3

0 1 кс7

Рис. 5. Зависимости коэффициента отражения симметричных (пунктир) и несимметричных (сплошные линии) электромагнитных волн от электрических размеров волновода при различных значениях |е|: 1,1(1) ; 1,2(2); 1,5(3); 2,0(4)

1. Случай кеьЩ »1 • При кд»1, |е| «1

1^1 = (л/И"— л/1е1— i)®3^5

'xfí^T'

V

= —- 2arctg J el -1 - ^M-Ji in 2 leí

2 1 1 1

при ка> 1, |e| »1

R =■

exp

-2

\|/ = 7l-arctg

2. Случай кя < 1, |е|*1. Для несимметричных волн —

v¡

/¿2 + |е|

í2 + |e|;

5 2 i D 4 nt

(73)

(74)

(75)

для симметричных —

R =■

ф2+\е\

th(Ka)-^

t2 + lei;

(76)

%

w =— +—1пД 4 nt {

Графики для коэффициента отражения \R\ при различных значениях |е| и ка представляют результаты расчетов и приведены на рис. 5.

При »1 плазма ведет себя как ме-

талл с плохой проводимостью. Волна вытесняется из нее, и коэффициент отражения не зависит от толщины волновода.

При каД «1 излучение дипольное, поэтому коэффициент отражения чувствителен к различному типу волн.

Диаграмма направленности

Используя формулу (34) и найденное зна-чение X (cos 0)1 , записываем окончательное значение для диаграммы направленности.

1. Случай кя <1, |е|«1.

Для симметричных волн —

Рис. 6. Диаграммы направленности симметричных (пунктир и штрих-пунктир) и несимметричных (сплошные линии) электромагнитных волн для тонкого (а) и широкого (б) типов волновода при различных значениях |е| и их электрических размеров ка Значения параметров волновода: а _ е = 2(1 - 4), 1,5 (4, 7- 9),\, 1 - 1,5(5); ка = 0,1(2), 0,3(7), 0,6(4, ШЗ,» И4,0,3 -1,1(5), 1,1«; б- И - 1,2(7 - 3), 1,1(4,5),ка = 0,1(2), 0,6(2), 0,7(4), 1,0(3,5)

,, v lei3 sin2 в Jl + Uaf

F = ——A—^x

Xi

(|s|-l)i2 (1 + cosG)

pe|sin2 0 + th2 для несимметричных —

pl (e) =

|Е|зш20

x

+ (ека)2 Ka(|e|-l)i2 (1 + cosG)

cth2 (ка)^ё|

x

|e|sin20 + cth2 (ка)^\Ё\

2. Случай ка^Щ »1, |е| = 1. При lei = 1, ка »1

F2 (0) = sin2—-

2 |e|^/l + |e|sin20 при |е| »1, ка > 1

0,5 cos 0. (у9)

F2(0) = tg2^

2 |е|д/1 + |е| sin2 в

(77)

(78)

Результаты расчетов величины Р2 (0) при различных |е| и ка приведены на рис. 6.

Диаграмма направленности не имеет резко выраженных максимумов, лепесток широкий и направлен перпендикулярно к плазменному слою.

Таким образом, методом Винера — Хопфа решена задача рассеяния электромагнитных волн на неоднородности плазменного волновода. Полученное решение позволяет построить диаграммы направленности рассеянного поля для основной гармоники и высших типов волн, а также оценить коэффициент отражения в широком диапазоне изменения параметров плазменного волновода. Данная методика может быть использована при разработке диагностических устройств для измерения электродинамических характеристик плазмы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ватшгтейн, Л.А. Электромагнитные волны [Текст] / Л.А. Вайнштейн. — М.: Советское радио, 1989. — 440 с.

2. Рапопорт, И.М. Об одном классе сингулярных интегральных уравнений [Текст] / И.М. Рапопорт // ДАН СССР. - 1948. - Т. 59. - № 8. - С. 1403-1406.

3. Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения [Текст] / Н.И. Мусхелишвили. — М.: Физматлит, 1962. — 600 с.

4. Лаврентьев, М.А. Методы теории функций комплексного переменного [Текст] / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. - М.: Наука, 1965. - 749 с.

5. Шубарин, Ю.В. Антенны СВЧ [Текст] / Ю.В. Шубарин. — Харьков: Изд-во Харьковского гос. унта, 1960. - 284 с.

6. Нобл, Б.В. Применение метода Винера — Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных [Текст] / Б.В. Нобл. —М.: Изд-во ИЛ, 1962.-280 с.

7. Федорюк, М.В. Метод перевала [Текст] / М.В. Федорюк. - М.: Физматлит, 1977. - 386 с.

8. Гахов, Ф.Д. Краевые задачи [Текст] / Ф.Д. Га-хов. - М.: Наука, 1977. - 640 с.

УДК 537.86

А.С. Черепанов

ВОЗБУЖДЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН ЭЛЕМЕНТАРНЫМ ДИПОЛЕМ

В работе [1] описана новая антенна — интегральная фазированная решетка (ИФАР). В этой антенной системе излучающим элементом явля-

ется полуволновои диполь, лежащии на поверхности диэлектрика. Вопросы исследования излучения такого диполя в связи с этим