Об одной метрической характеристике замкнутых плоских кривых и ее приложении Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 148, кн. 2 Физико-математические пауки 2006

УДК 517.929

ОБ ОДНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ЗАМКНУТЫХ ПЛОСКИХ КРИВЫХ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИИ

Б.А. Кац

Аннотация

В статье определяется новая версия метрической размерности плоской кривой. В терминах этой размерности описываются условия разрешимости краевой задачи о скачке, улучшающие известные ранее.

Введение

В теории функций комплексной переменной хорошо известия так называемая задача о скачке. Она ставится следующим образом. Пусть Г есть простая жорда-нова кривая па комплексной плоскости С, разбивающая плоскость на конечную область £>+ и содержащую точку оо область . Пусть на этой кривой задана функция f(t). Требуется найти голоморфную в С\Г функцию Ф(^). имеющую при приближении я из областей и О- к любой точке £ € Г предельные значения Ф+(*) и Ф (£) соответственно, связанные условием граничного сопряжения

ф+(£) - ф-(£)= 1 (£), £ € Г; (1)

кроме того, требуется, чтобы Ф(го) = 0.

Предполагаем, что заданная на кривой Г функция / удовлетворяет условию Гельдера

[ 1/^) “Я*") I . +, +„ г- т, +! _цп\ - и „

вир ^ ^ | ^ . £ , £ ^ Г, ^ ^ ^ | Г) < оо

с каким-либо показателем V € (0,1]. Ниже через И„(Г) обозначаем пространство

Г

условию.

В случае кусочно-гладкого контура решение задачи о скачке подробно описано в монографиях [1, 2]. Оно дается интегралом типа Коши

г

Автор статьи исследовал разрешимость задачи о скачке на неспрямляемой кривой (см., например, [3]), интегрирование по которой, вообще говоря, не определено.

Г

пей функции f € И„ (Г) задача (1) разрешима при условии

V > ^ БтГ, (3)

где Dm Г - это хорошо известная в теории фракталов (см., например, [4]) верхняя метрическая размерность Г, то есть

^ т, п. logг)

Dm I = lim sup---------.

е^0 - log £

Здесь N(£; Г) есть наименьшее число кругов диаметра £, образующих покрытие Г

Условие (3) неулучшаемо. Это означает, что для любой пары чисел d, v, связанных неравенствами 0 <v < d/2 < 1, можно построить кривую Г верхней метрической размерности d и функцию f G Hv(Г), для которых задача о скачке (1) неразрешима. Конструкция таких кривой и функции приведена, например,

Г

f

ма. Некоторые классы кривых и функций, иллюстрирующие такую возможность, описаны в работах [6 8].

В связи с этим возникает задача построения иных характеристик типа размерности, которые более точно описывают природу кривых, для которых задача о скачке разрешима. Этому и посвящена данная работа.

1. Определение размерности ёт° Г

Г

область О+. Рассмотрим всевозможные представления этой области в виде объединения бесконечных семейств квадратов, не имеющих общих внутренних точек.

Определение 1. Пусть множество е(Г) состоит го всех чисел р > 1, обладающих следующим свойством:

Область О+ допускает представление в виде объединения квадратов Ql, Q2, Qз,... со сторонами а,1, 02 , 03,...,, не имеющих общих внутренних точек и таких,

что ряд ^ а3 сходится.

3=0

Тогда величину Ме(Г) будем обозначать ёт°Г.

Очевидно, это также характеристика типа размерности. Приведем соотношения между размерностями Бт Г и ёт° Г.

Г

1 < ёт° Г < БтГ < 2.

Доказательство. Первое и последнее неравенства очевидны, так что мы должны доказать неравенство ёт° Г < Бт Г.

Обозначим для краткости d = БтГ и разобьем плоскость па квадраты, стороны которых имеют длину £ > 0 и параллельны осям. Как известно (см., например, [3]), определение верхней метрической размерности эквивалентно равенству

^ 1оёМ{ь]Г)

Бт! = пт вир------------,

е^0 - ^ £

где М(£; Г) означает число таких квадратов, пересекающих Г. Поэтому для любого d/ > ^ ^^^^мпство М(2-п; Г) < 2пй справедливо для всех достаточно больших натуральных п. Теперь рассмотрим разбиение Уитни (см., например, [9]) области О+. Оно состоит из попарно не пересекающихся диадических квадратов (то

есть квадратов со стороной 2 п, п = 0, ±1, ±2,...). Поскольку область В+ конечна. то в ее разбиении Уитни нет произвольно больших квадратов, и фигурирую-

ОО ОО

гцая в определении сумма ^ ор? приобретает вид ^ 2-пртп, где тп есть число

3=0 п=по

квадратов со стороной 2-п, входящих в разбиение Уитни области В+, а п0 некоторое фиксированное целое число. Как показано в [3]. имеет место оценка тп < СМ(2-п;Г), где С - абсолютная постоянная. Поэтому слагаемые последнего ряда при достаточно больших п мажорируются величинами 2п(^ -р), и при р > d/ этот ряд сходится. Следовательно, множество е(Г) содержит луч (d, ж), то есть ёт°Г < <1. Тем самым теорема доказана. □

Приведем пример оценки данной размерности. Зафиксируем числа в > 1 и М > 1. Разделим отрезок действительной оси [2-п, 2-п+1] на 2[пв равных частей длины ап = 2-п+пв] каждая1. Обозначим через хп,з точки деления, то есть жп,з = 2-п + з’ап, з = 0,1,..., 2[пв — 1, и рассмотрим вертикальные отрезки /п,з = [жп,з,жп,з + г2-п]. Верхняя метрическая размерность объединения

о 2^1-1

этих отрезков А = и и /п,з вычислена в [3]; она равна Бт А = 2в/(в + 1) •

п=1 3=0

Теперь положим £п = «п/2 и рассмотрим прямоугольники £п,з = {г = х + гу : хп,з < х < хп,з + £п, 0 < у < 2-п}. Они попарно те пересекаются. Пусть £0 есть квадрат {г = х + гу : 0 <х< 1, 0 <у< 1}. Облает ь определим

, / о 2[пв] —1 \

равенством = £0\ У У ^пз- , то есть есть единичный квадрат со

' \п=1 3=0 у

счетным множеством прямоугольных вырезов, сгущающихся к точке 0. Обозначим через Г* границу области . Это — ломаная с бесконечным числом звеньев. Она спрямляема вне любой окрестности точки 0. Отрезки /п,з являются левыми вертикальными сторонами прямоугольников ^п з-. Отсюда нетрудно вывести, что БтГ* = Бт А = 2в/(в +1)-

Все эти прямоугольники без труда разбиваются на квадраты, причем непосредственные вычисления показывают, что ряд из определения 1 сходится при

(а* + 1)/? + (л* — 1)

Р М/3 + 1) '

Отсюда

с!т»Г* < (М+1)/3+(М — 1) (4)

“ М/3+1) ^ ;

При в > 1, М > 1 правая часть (4) меньше БтГ* , так что данный пример показывает, что метрическая характеристика ёт° Г может быть строго меньше верхней

Г

В следующем параграфе дадим нижнюю оценку для величины ёт° Г.

2. Разрешимость задачи о скачке

Мы докажем, что в условии (3) верхнюю метрическую размерность можно заменить размерностью ёт° Г. Доказательство основано на использовании продолжения Уитни. Согласно теореме Уитни (см., например, [9]) любую заданную на компакте К С С функцию f € Н (К) можно продолжить до заданной на всей комплексной плоскости функции и(г) € Н(С) таким образом, что продолженная

1 Здесь и ниже квадратные скобки означают целую часть.

функция и имеет в С\К частные производные по х и по у всех порядков (здесь г = х + гу), причем

|Уи(г)| < (/,К^^-1 (г, К).

Здесь и ниже С означает различные абсолютные постоянные. Из этой оценки немедленно следует

Лемма 1. Пусть ^ с границей 7 и стороной а, функция /

принадлежит пространству Я^(7), о /“ есть ее продолжение Уитни с кривой 7 в область ^ ^ ^сли р < 1/(1 — V), то

Ц IV/Т дхду < (/,7)а2

а2-р(1-^)

| V | ^ 1 /У

я

Теперь мы можем доказать результат, заявленный в начале этого параграфа.

Теорема 2. Если / € Я^(Г), то задача о скачке (1) разрешима при выполнении условия

V > ^ ёт° Г. (5)

Доказательство. По определению размерности dm0 Г для любо го д! > dm0 Г область можно представить в виде объединения квадратов Q,, ] = 1, 2,...,

°° /

со сторонами а,-, те имеющих общих внутренних точек и таких, что ряд ^ а^

3 = 0

сходится. В силу условия (5) мы можем считать, что 3! < 2^. Пусть 7, есть граница квадрата Qj. Положим Г0 = Г и ( и 7, ). Продолжим скачок / € Я^ (Г) по

,>о

Уитни до функции и (г) € Я^ (С), а затем возьмем су жение и на Го и повторно применим продолжение Уитни к этому сужению. Полученную функцию обозначим /“(г). Она обладает всеми перечисленными выше свойствами. Кроме того, из конструкции оператора продолжения Уитни [9] следует, что внутри любого из квадратов Qj функцию /“ можно рассматривать как результат продолжения по Уитни сужения и на 7, с этой кривой на всю плоскость. Поэтом у к квадрату Qj и функции /“ применима лемма 1.

Будем искать решение задачи о скачке в виде ряда из интегралов типа Коши

1_ г пж

27Г* У С —

Представим каждый из этих интегралов по формуле Бореля Помпейа (см., например, [10]):

1 "‘К)« = /■(*)*

27г* ,] С — 2 27г* ,],] С — г

Яз

Здесь х,(г) есть характеристическая функция области Qj. Суммируя эти представления, получаем

1 ГГ дГ" <МС

Ф(х) = / н.ф)-—, (0)

где в (г) есть характеристическая функция области . Интегральный член последнего равенства можно рассматривать как результат применения оператора

” и

к функции

у(С)«

с - -

Б+

,к> = а-Я£.

дС

р > 2

ЬР(Д+) в Я(р_2)/р(С). Поэтому при условии

Е/У IV/Т дхду< гс, р> 2, (7)

3>0 я

иитегральиый член формулы (6) есть функция, непрерывная во всей комплексной плоскости. Внеинтегральный член / “(г) в (г) имеет скачок / та крив ой Г. Из построения функции Ф(-г) следует, что она голоморфна в С\Г и обращается в нуль в бесконечности. Итак, при условии (7) задача о скачке разрешима и одно из ее решений дается формулой (6).

Согласно лемме 1 условие (7) выполнено, если ряд ^ а21 р(1 ^ сходится при

3>о

каком-либо р > 2. Приравнивая 2 — р(1 — V) = д, получаем р = (2 — д)/(1 — V). Таким образом, условие р > 2 равносильно уеловию V > д/2, что завершает доказательство теоремы. □

Теперь вернемся к кривой Г*, построенной в конце предыдущего параграфа. Здесь дадим нижнюю оценку для dm0 Г. Для этого построим специальный скачок на этой кривой.

Сначала определим функцию /(х) та отрезке [0,1] действительной оси, полагая ее равной 0 в точках хп3- и величине в точках хп3- +е^и у = 0,1,..., 2[”в] — 1, п = 1, 2,... . На всех отрезках, на которые точки хп3- и хп3- + еп делят отрезок [0,1], полагаем эту функцию линейной. В точках 0 и 1 доопределяем ее нулем по непрерывности. Хорошо известно, что такая функция с пилообразным графиком удовлетворяет условию Гельдера с показателем V. Далее полагаем / (х+гу) = / (х); очевидно, / € Я^(Г*). При этом функция / определена в области Д+, ограничен-Г*

имеем д//дх = еП-1 = 2(”+[”в])м(1_^); отсюда легко вывести, что

д/(г

дх

— С|г| г Є , (8)

где а = (1 — ^)(1 + в)М) а постоянная С та зависит от п и Теперь рассмотрим функцию

ФЫ = — /ЖМС_ 1 /Ш.'Г2'?! / ЖМС У С — ^ ^7гг У С-^ 27гг У £ — £ ’

Г* ц то ц п=1 ;=0 7І- ц

где 70 и 7„, есть обходимые против часовой стрелки границы квадрата £0 и прямоугольников соответственно. Прежде всего выясним, когда сходится ряд в

правой части. Для этого представим его слагаемые по формуле Бореля Помпейа:

оо 2[npj — 1

/

Yo

n=1 j=0

fHXnj(z) — I I ~T=

\

где Хп^'(я) есть характеристическая функция прямоугольника £п'. Здесь

д/

ас

dxdy = е^2

поэтому ряд из интегралов сходится одновременно с числовым рядом

то то

£ еП2-п+[пв] = Е 2([”в]-п)-([”в]+п)м^, то есть при условии

п=1 п=1

V >

13-1 А‘(/3 + 1)

(9)

Легко видеть, что при этом условии функция Ф(-г ) голоморфна в С\Г*. обращается в нуль в точке го, а в любой точке £ € Г*\{0} она имеет граничные значения с обеих сторон, связанные равенством (1). Остается выяснить поведение этой функ-

0

Сначала оценим Ф снизу та отрезке [—1, 0] действительной оси. Очевидно, интеграл типа Коши по границе квадрата

_1_ [ ЖМС

27Г* У С — 2

и сумма всех функций вида f{z)xnj{z) ограничены в С. Далее, при z = — £ < 0 имеем

dxdy — n— 1 v— i xnj + £n + С

en log- J

—= -—- = T

дС С - -

+ С

и следовательно /

Re

J_ Г Г df_ d,(d( 27Г* JJ dc С - £

\ «nj

< —n—12—n—1еП—1 log

< C2-»<

- 2-"+ С '

Суммируя эти оценки сначала по ] и затем по п, получаем

то 2[пв]с^

2 ь*-,

Re^(—С) < с — с]Т

2ӣ + 1'

Отметим, что при £ > 0 ряд в правой части сходится, поскольку при этом условии

2["e]t

2п£ + 1 £

а множитель при п в показателе отрицателен по условию (9). При £ = 0 этот ряд расходится, если

V <

в

М(в + 1)

(Ю)

V

n

В этом случае можем отбросить в рассматриваемом ряде те слагаемые, где 2п£ > 1, и в результате получаем оценку

ИеФ(—£) < С — С£в-^(в+1), С> 0.

При условии (10) показатель здесь отрицателен, то есть Ф не имеет предельного значения Ф+(0) и поэтому не является решением задачи (1).

Покажем, что при дополнительном ограничении а < 2 (здесь а - показатель из (8)) задача о скачке не имеет и других решений. Действительно, в этом случае стандартные оценки интегралов (см., например, [10]) позволяют вывести из неравенства (8) оценку |Ф(я)| < С|г|1-ст. Поэтому для любого решения Ф изолированная особенность разности Ф — Ф в точке 0 устранима, что в силу условия Ф(го) = Ф(го) = 0 влечет тождественное равенство Ф(я) = Ф(-г). а<2

^>м(1 + /3)~2. (И)

А‘(1 + Р)

Таким образом, задача о скачке на контуре Г* с построенным выше с качком /

не имеет решений, если выполнены условия (9) (11). Эти условия непротиворечивы, если

(т

и в силу теоремы 2 при условии (12) имеем

<1т"Г-г^тт) 1131

^ 2/3 .

Эта оценка содержательна при ———— > 1.

М(в + 1)

Итак, при условии

тш{/3 + 2, 2/3}

А /3+1

справедлива нижняя оценка (13) для величины Г. В частности, при этом усло-

Г*

определенпе размерности Хаусдорфа в [11]), поскольку размерность Хаусдорфа кривой, теряющей спрямляемость лишь в одной точке, равна, очевидно, единице.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-81019-Бел-а).

Summary

В.A. Kats. Metric characteristics of closed plane curves with application.

The author introduces new metric characteristics of dimensional type for closed 11011-rect.ifiable curves in the complex plane and proves new conditions of solvability of certain boundary value problem for liolomorphic functions in domains with non-rectifiable boundary.

Литература

1. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.

2. Мусхелихшпит Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: ГИФМЛ, 1962.

600 с.

3. Кац Б.А. Краевая задача Римапа па негладких дугах и фрактальные размерности //

Алгебра и Анализ. 1994. Т. 6, Вып. 1. С. 147 171.

4. Федер Е. Фракталы. М.: Мир. 1991. 280 с.

5. Колмогоров А.Н., Тихомиров В.М. е-энтропия и ёмкость множества в функциональных пространствах // Успехи мат. паук. 1959. Т. 14. Вып. 2. С. 3 86.

6. Кац Б.А., Погодина А.Ю. О грапичпых значениях интеграла типа Коши по негладкой кривой // Изв. вузов. Математика. 2002. Л'! 3. С. 15 21.

7. Кац Б.А. Грапичпые свойства интеграла Коши по кривой, теряющей спрямляемость

в точке // Изв. вузов. Математика. 2006. Л'! 8. С. 29 37.

8. Кац Б.А., Погодина А.Ю. Задача о скачке и ряд Фабера Шаудера // Изв. вузов. Математика, в печати.

9. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.:

Мир. 1973. 342 с.

10. Веку а П.П. Обобщенные аналитические функции. М.: Мир. 1988. 509 с.

11. Карлесон Л. Избранные проблемы теории исключительных множеств. М.: Мир.

1971. 125 с.

Поступила в редакцию 27.06.06

Кац Борис Александрович доктор физико-математических паук, профессор кафедры высшей математики Казанского государственного архитектурно-строительного у пиверситета.