Формулы Грина, Коши и сингулярные уравнения на компактах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 517

ФОРМУЛЫ ГРИНА, КОШИ И СИНГУЛЯРНЫЕ УРАВНЕНИЯ

НА КОМПАКТАХ

© 2009 г. И.М. Батчаев

Карачаево-Черкесский государственный университет, ул. Ленина, 29, г. Карачаевск, КЧР, 369200

Karachi-Cherkess State University, Lenin St., 29, Karachaevsk, KCHR, 369200

В новой интегральной форме на плоских измеримых континуумах граничной нулевой меры доказаны классические формулы Грина, Ко-ши-Грина, Коши в полной форме, введены в новом смысле понятия интеграла типа Коши, сингулярного интеграла и установлены неулуч-шаемые неравенства Зигмунда. Полученные результаты применены к решению краевых задач Римана и сингулярных интегральных уравнений на жордановых компактах.

Ключевые слова: формула Грина, формула Коши - Грина, формула Коши, интегральная теорема Коши, интеграл типа Коши, сингулярный интеграл, оценка Зигмунда, краевая задача Римана, сингулярные интегральные уравнения, континуум.

In a new integral form of flat measurable continuum boundary zero measure proved the classical Green's formula, Cauchy-Green, Cauchy in the complete form, put in a new sense of the notion of Cauchy type integrals, singular integrals and inequalities are unimprovable Sigmund. The results are applied to solving the Riemann boundary value problems and singular integral equations on the border of Jordan compacts.

Keywords: Green's formula, Cauchy-Green formula, the formula Cauchy, integral theorem of Cauchy, Cauchy-type integral, singular integral, evaluation of Sigmund, the Riemann boundary value problem, singular integral equations, a continuum.

Пусть G - ограниченный измеримый континуум

в комплексной плоскости С; G =: nG , <х> е G ; А =: Â+ U Â~ ,J+ ~.dG+, =: dG~, mes2Â = 0 ; N, R - множество натуральных и действительных чисел, О <Л g R; i6N:2^</!<2^+1; t^Â;r, гищ -положительные действительные числа; Vz е С \Â : p(z,Â) =: dist (z,Â) =: inf | £ - z |;

cq = 2yÎ2, d = dianiG' ', K(z. r) -. e eC:|#-z|<r};^(z,r1,r2)=:{#eC

• 0 < n <1 f - z k ro V Â(t- ri =: Â П K(t> r)*i(t>d) = ,u<r1<qç Z|<r2|, =A-A(tr. \=- A CifClt r.

= A-,A{t,rl,r2,)=-.AV[K{t,rl,r2)-, G(tj) =: {z <eN\A : p(z,A) > c0 • ?/}; G<J1,Л i)=: {zeC\A:c0-tj < p(z,A) <c0 -щ}-, G(t,j1,r) = G(T1){\K(t,r)-

G(jj) =: G(jj,2t]),G(t. 77, r2) =: G(n) ПKit, rbr2).

Рассмотрим сетку Oq в С, состоящую из квадратов со стороной длины 1. Вершины квадратов имеют целочисленные координаты и цепь сеток j . Tk = 2 ~kT0, где каждый квадрат Q(k +1) сетки 1), \ получается из Tк путем деления пополам сторон квадрата О(к ) е Т/..

Если T(k,G(k)) = :{Q(k)sTk:Q(k)f\G(k)* 0} , T(Jc,Y) = =: {Q(k) e Tk : Q(k) ПГ * 0 W{Q{k),T) =: UШ) e=

= T(k,T)}, W(Q(k),G^= U{Q(k) e T(k,GО,

+00 k=-°o

исключая

то из системы множеств {T(k,G(k)}

те квадраты, которые вложены в большие квадраты этой системы, получим множество внутренностями непересекающихся квадратов Q, {Q} =: Т и разбиение Уитни [1, с. 199] W{Q,C\Y)-.[XQ^T}, обладающее свойствами W(Q,G+ U G") = W{Q,G+) U W{Q,G~) =

+оо ~

= С\Г= и W(Q(k),G(k)).

¿'——□О

Аналогичное представление имеет место и для {s(t, кю-покрытий множеством секторов s(t, к) с

центром в t еС, диаметром и с последующим

образованием множества {s(t)} -внутренностями непересекающихся секторов s(t)

W(s(t),G+ U G~) = W(s(t),G+) U W{s{t),G~) =

оо ~

= С\Г= и W{s{t,k),G{k)).

ё=-оо

Следуя [2], для zeG и S>О рассмотрим наилучшее равномерное приближение непрерывной в

G+ функции / / е C(G +) на G+ П K(z,S) =: g(z,S) алгебраическим полиномом 1'И \ (z) степени (// -1). Р -■ {Р„-1}, выражающееся характеристикой Е^ (/>,<?):= inf sup | (г)-Рп_1(т)\.

д T^g(z,S)

Величину E„_i(f,z,S) при п= 1 назовем локальным модулем гладкости 1-го порядка функции / в

точке z и обозначим =: ®i(/,G+,z,S). Ха-

рактеристика (щ (/, д') = sup {соi (/, 5, z), z е G+ } опре-

z

деляет модуль гладкости первого порядка на G , щ if, 5) ~ coif, 5) =: sup {| f{rx) - /(т2) |, тъ т2 е

е.О+,\ц-т2\<5}.

Для непрерывных функций / е С(Г) введем следующую функциональную характеристику со (S) и класс функций £(().d \ :

со (S)=: со (S,T) =:Ssup co(f^), Se(0,d],

lim a>(S) = 0,Se(0,d]}.

(1)

f(z)=: f "(z)=:

0<tj<\,3keN:2~k <?]< 2~k+l,

где символ X к указывает, что суммирование в

(2) проводится \ZzeC\r по всем ()е Г квадратам Уитни, не превосходящим по рангу размерности ранга наибольшего б(Лтх) квадрата покрытия

При таком подходе функция отлична от нуля только на множестве ^(6>(/.|тх (.С/ТО. л|тх )). непрерывна в С . Метод продолжения / (г) будем называть продолжением Уитни-Дынькина (=: (О - /))) и

обозначать /еО-А( ,1Ч\А).

Теорема 1 [3]. Если непрерывная функция /(г)

имеет Ь1 -интегрируемые частные производные в области g, С/' <_ (г; о -область, ограниченная замкнутой жордановой спрямляемой кривой (з.ж.с.к.) А=:дО, то справедливы формулы Грина и Коши-Грина: \/(т)с1т = 21 1/т (т)с1стт,;

до

G

- \fij)dT =2i\fT(r)dcr7

dG G

(3)

VzeG,/(Z) =

m = --1

f f(T), 1 r/rW , j ^-—-dr--j-daz

dG

G

¡mdr-l-lfJ^daz

Если О и фк , к е N - элементы разложения единицы по Уитни [1]; 0(т/) - квадрат, Që+1 а 0(>]) с Ос,;

гк - центр (,)к = (¿к{гку,гк - любая ближайшая к гк точка Г; Vz е С\Г: г е 0 е Т,0 = (^(гд.),^ =

= р(2к. 2к). то, следуя [1,2], оператор / продолжения /' е С(Г) из Г в С определим посредством полинома Р(г)Ри | (г) из следующей формулы:

'/(*),*£ Г

Х^Р (2)фк\2),2еС\Т,

2 к-8к

(2)

2 л г 80т-г я о т ~ г где т = х +1 у. d стт = d xd у, а плоский интеграл в (3) понимается в смысле главного значения по Коши для т вО\К(г,£), е—>0 .

Замечание 1. В определении (3) интегралов «в смысле Коши (=: С!г0)» «функциональную пустоту» в К(г, е)

для функций ср(т, г) = е~2 f(т)(т -I), ср* (т, г) = е~2 х х /'(г)(г - г).г е / (:. £) устраним посредством соответствующих функций ф(т.2.£). 'ф*(г.г.с). осуществляющих гладкие (с сохранением формы) продолжения функций <р(т.2). <р'"(г.г). г е / (2.1:) с окружности 1 (г,£•) = дК(г,е) в К{г,е), т.е. (р{т,г,е) -. е~2 х х/(т)(т-г), ср* {т,г,е) = е~2 /(г)(г-г),ге К(:. е) , или в терминах «продолжения» единицы: \/теК(г,£), тф г, ср{т,г,Е) = /(т)(г-г)_1 1*(т,г,е), <р*(т,г,е) = /(т)(т-г)-1 1*(т,г,£), \/т е сК{0,г): р(т,оо,г,г) = /{т){т-гу11* (г,оо,г) , ср*{т,г~а,г,2)= /(г)(г-г)_1/*(г,со;г),(4)

/ ' (r, z, г) =:

/ (r,co,r)=:

l,VT6 0(z,£)

2l |2 £ \t-z\ ,Vr e K(z,£),

1, Vr 2

: 0(0, r) , Vr e cK(0,r),G a K(0,r);

(5)

где tp(t,<x>,r,z), ^' (г, oo, r, z) - функции продолжения

z),<p*(г,z) в окрестности z = оо с последующим

переходом в (4), (5) к пределу s—>0, г х .

В дальнейшем, чтобы отличить от сингулярности в смысле Коши (=: (С/г0)), особый интеграл из (3), определенный в смысле (4), (5) в окрестности z и со, обозначим через (/')=: (1° f) ■

Далее одновременная запись математического выражения символами (+) сверху предполагает, что утверждения и обозначения выполняются отдельно по верхним и нижним знакам строки, а символы (+) или (-) в нижней части обозначения кривой или области -ориентация по границе.

Для каждого квадрата Q(J<) eT(k,T(t,r)),r е (0,с?] зафиксируем такой квадрат Q(rj) со стороной 77, с тем же центром, чтобы Q(k) cz Q(jj) a Q(k -1).

Пусть t е Г, W(n,T(t,г)) =: W(Q(t]).Y(Lг))- объединение квадратов ранга к, пересекающих Г(/. г). Определим площади данных покрытий: P(t,r],r,T) -■ mes2W(ri,T(t,ry),

У3(ij, г,Г) =: sup Pit, 77, г,Г), (6)

fe Г

1

2

/?(77,Г) =: 0(?],с1,Г),р^,г1,г,Г) =.mes2WiQiф,Tit,r,r 12)).

Аналогичные (6) обозначения вводятся на данных множествах и в терминах покрытий секторами s(t, к) и s(t).

Введем на их основе на ограниченном измеримом линейном континууме . I . тех2А = 0. следующие функции и классы функций: / е С (А ).с е (0.2с:/|.

Л т ( /■ Т) У(Л)=: \ А) йт,

;?/2 Т '

¥f =:¥<Л,Л)=: I

Ч (О f (т)

ß(r,£, А) dt,

q/2

y/f(£)= sup

i co (A) =: i e C(I) : ® (f,S,Ä)<c eo(8),a>e e^

B(A)=.\f eC(A)\ lim y/irf) = 0, sup ^/(77) < +00 77->0 'MM]

J -J-—d$<+ qo

0 #2

с = const.

2. / e С°°(С\Г); /е Н®(Г): ет~(<5,С) <сю (¿,Г).

3. Vz е С \ Г, |

z P(z,r)

5 1/5 3 \

—=■ =: — I--h i — ),z = x + iy .

dz 2 v3x dy7

(7)

Отметим, что интегралы ио площади плоских множеств С± а С будем понимать для определенных в С± функции / как предел покрытия квадратами по множеству Уитни ¡¥((),0± (е)), т.е.

0<£<\Зк^Ы-.2-к <£<2~к+1, \ (г)Лтг =

G±

= lim J (r)d<JT = lim j (г) dcrT . (8) s^°W(Q,G±(e)) k^"xW(Q(k),G±(k))

Утверждение 1. Для измеримого ограниченного

компакта G .. I =: 8G

G~ =: С G

®eG

А =:А + и А ,те$2А=0,А =:дС справедливы соотношения:

1. mes2W(Qk, 132mes2W(Qk,Г). (9)

2. Интеграл в правой части (8) применительно к

Bro(Ä)=:i aÄ(Ä), IV(Ä) =

=: jjeC(l): wf(ö)<c Sv, S e (0,d], v e (0,1].

Пусть ABC(G±) - класс аналитических (голоморфных) в G~h непрерывных в G функций /

класса В (Г) на границе Г областей G~ , а для G и функции f, имеющей непрерывные частные производные в G с условием: / е CQ0(G±): Э/^э^ lim sup

|/О/Ф]> = 0> образуем класс BCl(G ),

г^СОЦ = Г

который при аналитичности функции f дополнительно определяет классы ABC'.JG ).АВ('((г ) и

ABС^ (G ), аналогичные классам функций / , антиголоморфных к f.

Из самой конструкции оператора продолжения f (z) следуют свойства [1, 2]:

Vz е rj(z) = f{x), sup I /(z) |< «sup | /(z) |,

L zsC zer

f = :fpeO-A(f,N\Ä), /ей(Г) отличен от нуля

_о

только в множестве WiQ^,GiciÄ,c2Ä)),ci = 2 ,

с2= 23,е>0:2~Л <£<2~Л+1,Л е N.

Доказательство (9) повторяет полностью схему [4],

утверждение 2 следует из определения f, наличия компактного носителя и известных соотношений для квадратов Уитни [1].

Полная форма интегральных представлений Грина, Коши-Грина

Покажем, что известные на з.ж.с.к. теории Грина и Коши переносятся на граничные множества более общей природы при объединении результатов по интегральным представлениям с ядрами (г - z)-1, (F-i)"1 .

Теорема 2. Если G - ограниченное связное множество в С; G+ =: int G ; G+ ф 0, G~ =: CG, 00 e G~,

A+ =:8G+,

A =:A+ U

mes2Ä = 0,

А =:дС , то

1. Полная форма интегральной теоремы Грина.

При <реАЙ1(5), ц/еВС1^ , у/- Ai^|/,N) , у/ =: цг 6, д е (0, оо), ср ед - А (^Д) (а) или ср^АЙ^С-), у/еАЙ\а<ё-){$=(р,у/ = ¥,/ = У)

(б) в области определения функций справедливы утверждения :

\ (<^(г) + </7г(г))й?сгг=0, i<p=: f,^// = 0):

G'UG (G1 UG )+

j fr (j)d<jT = J 7? ir)daT ,

GZ

Gl

2

J fT(T)daT= J fT (r)d(JT- (10)

Gl GZ

при dG = dG = Ä : J (<pf (r) + ц/т (z))daT =

G~ 11 A~

J fr (r)daT = J /> (T)daT = — \f{r)dz

GZ

Gl

2i

i

1

G

Gl

1

ж С\Ä

т-z

f(z)=-- ¡fT{T){T-z)-ldaT

71 (JV\Ä)+

Vz e C\A~J(z) = - J- \(Jf(j)(j - zy1 +

2 n

(N\A)+

т-z

(16)

б) аналог теоремы и формулы Коши для многосвязных областей.

Если G =cG = : [J (!

у=1 J

Aj =:dGj - з.ж.к., А =

соGG„, V/ :

( n ^

Ui

A =:A =

= A+ =::dG +, j: G~ C\Gj~ = 0 , те52Л=0, то

о = -2/s 1 f-ÁT)d(JT=: £ íf(T)dT =

I Ш= \Ш ¿<гт=:-- \rndf (11)

с++ о: 11 л+

2. Теорема Коши. В (10) - в плоской, а в (11) - в криволинейной форме, при / е АВС(С), / е АА х

х С1 (Ст~) или / е ААЙ^ , / е ~ААЙ(<3), справедливы равенства

| 7? Ш<гт = | ?т (т)Л<тт = ^ íf(т)dт = 0 =

2

ig j

J=1 i.

= if(T)dr = -2i } f-p(r)d<Tt

(17)

i GÍ

при / e ABC(G +)

VzeG+: /(z) =

" 1 , /rW . ~ . «1 . f(T) ,

= I - j -derr +/(oo)=: £ — J ¿-^rfr.

т-z

27TÍ л T—Z

j-\ LJll д

= /г(г)Лгг = | /г(г)Лтг =:. (12)

3. Полная интегральная формула Коши-Грина.

а) при ц/еВЫ1{С), (реВЙ1(0) или <р е ВЫ1(С~) верна формула У г е

еС\Л,р(г) + = -— ¡(р?(т)(т - г)'1 +

п ф\А)+

+ цгт(т-гу1^(тт +^(оо)+ ^/(оо), (13)

которую в сочетании ((р =: /'.'// = 0).(<р —: 0.у/ = /) в (13) можно записать в виде \/геС±,

7(г)=-- I —¿о>+7(°о);

«1 /? (У) ~

VzeG"^ 0= I- J —-Att-/(Z) + /(oo) =:

(18)

2тг/ ¿т-z

при / e ABC(G : Vz e G => /(oo) = -x

71

x j ^ (Г:> da T+f(z) =:— \^-dz , Vz e G

27TÍJT-Z

2л ijr-z

4. Для гармонических в G - int G ^ 0 функций и = Re /(z),,9 =: Jíw/(z), / e ^5C(G): к = i(/ + /),

u+i3=:feÓ-D(f, C), u-iS-. f eÓ-D(f, C), из (15), VzeG+, следуют формулы :

(p(z)=±f(z)Mz) = ¿f(z)),

+ fT{f-z)-l)d^r+ 7(®)- (14)

Кроме того, из (13) для функций у/ е ABC(G), ср е ABC(G) выполняется равенство

Vz g G, tf z) ± = 1 1 (^ ± +

Q- т — z т — Z +(р{ оо)±^(оо), (15)

которое для (р =: /'.(// = 0 можно выразить в виде

формулы Коши: VzeG±, /(z)=— j /-(г)х 1

X-d<Tr +/(co), (^ =: 0,y/ = f)\

u(z) ■

2ж

S\t-z\-2 (f¥ (r)(f -z) + fT (r)(r - z))rf,

z))d<jT

GZ

G~

— 9 ~ -

= — Лг - (г)(г - г) - Л (Г)(Г - . (20)

1ш

Аналогично (16) формула (20) определяется и для /&АВС{С-).

5. Верны аналоги формул (17)—(19) в терминах объединённых ядер (г - г) 1, (г - г) 1 для 7 е АВС(0) , / е АВС(0) в многосвязных областях О и возможно

дифференцирование любого порядка , ^ (и

дг дг

смешанными производными порядка п), п е N интегралов Коши и типа

Коши ^+(г), Р~(г), z е G .

n

К Q+ т — Z

6. Для функций ср е /¡(А ).щ е В(А), определённых на границе А = дО,тез2А =0 ограниченного связного плоского множества О справедливы утверждения (10), (11), (13), (14) в терминах функций <р(г),у/(г),

/ еО -Б(/,С\А).

Укажем в краткой форме доказательство (10) интегральной теоремы Грина.

Доказательство. Пусть р. // е Я . р > // > 0 таковы,

что С 1 (2р) с С 1 . Тогда существует к с Z. такое, что

2 К <г)<2

-k+1

щие множества G^ =;|z е G~:p^,A у с~ 2 со=2л/2, ®eGk . Пусть T(Q,Gk) - множества

квадратов Уитни, покрывающих Gk

W\

у. А^-дЦ^Ьс^, - множество взаимно непересекающихся спрямляемых кривых, ориентированных положительно относительно

IV ^К(0, г) з Ак , г е Я, К(0, г) П IV(0, Ок ) =:

=: IV-(к,г), IVС+к и Ок ) =: IV (& О^) и IV(0,Ок ). Из конструкции разбиения Уитни следует, что минимальный квадрат из Т(<2,Ок) имеет ранг (длину стороны) 2~к .

Если Мк - сетка к -го разбиения С, то обозна-

чим сетку между кривыми . Т/

А

'mk

. Известно (9), что тк < (13) тк(А).

f с ВС((} ) (где появится одно лишнее слагаемое в сравнениис /е 1'Л''((}' )):

J =:— J jf(T)daT + - j Jf(r)dcjT = n л w 4,rZ

1 ¡f(T)dT+-^- \f(T)dr =

2 ni

Ак UAk

2 Tri

0(0, r)

и 0 < т/ < ö?/2 . Построим исчерпываю-

,-k

(21)

= — j (f(r)-f(z ))dz + U 8Q(mk)

Z7rl 0(0, r)

Оценим в отдельности | J^(k)|, | J2(r)\, применяя (9), свойство co(f,S) t, неравенство 3° из (7), обозначая Wk ~.C\W(Q,Gk \JGk)):

J i(k J" 1.70.7 (zmk )\\dT\<

1 2л-1 I1

U Q(rnk)

Л

<-ткщ(/-2-к,Wk)-2~k < л

>

<-(13)2 -2k m(f;2~k J)mes2W i~k ,A £ л

4

k через

I ^2« N

i

2л-/',

Мк(Ак ,Ак) проведем взаимно противоположные графы по неориентированным сторонам квадратов сетки М ^ (Ак ,Ак) и получим с учетом ориентации

Ак , . Г/Т замкнутую систему ориентированных квадратов ранга 2на всей сетке.

Введем обозначение: тк (А) - число квадратов Мк, пересекающих А ; тк - число квадратов сетки

^к^Лк 'Ак) гтк ~ центры квадратов в соответствии с нумерацией; Q(mk) - квадрат, содержащий

0(0, г)

< г max |/(г) - /(оо)|. геО(О.г)

Тогда для / еС1® выполняется \хт J2(r) = 0 и

г—> СО

из (21) следует

^ I

^WiQ.Gt UGi)

f-(r)d(T7

J1(k) + lim J2(r)

r—>X>

=\Ji(k) \<

(22)

Используя аддитивность плоской жордановой меры, ввиду спрямляемости Ак для /(г), / е С™2 и б") с

учетом ориентации Ак , 0(0. г ). применим формулу Грина (3) в каждой связной компоненте IV (к, г) и перейдем от плоских интегралов к криволинейным по. Т/; и Ак ; перенесем дополнительно криволинейное интегрирование с .Ц У Ак на взаим- означают в терминах особого интеграла равенство:

) а +с» .

1 #2 2

Ввиду произвольности г/ интеграл сходится в

О + и С ~ . Так как / е В(А), то, переходя к пределу г/ —> 0 в (22), получим требуемое утверждение.

Для доказательства утверждений п. 3 (формулы Коши-Грина) достаточно в е- и г-окрестностях особых точек г и г=х (при / е ВС1 (О )) использовать продолжение из (4), (5) и применить (10).

Формулы в (14) устанавливают связь между определениями в смысле Коши (=: С1г0) и (/')=: (/^у ) из (4) и

но противоположно ориентированные стороны квадратов сетки Мк(Ак,Ак) и, опираясь на теорему Коши для /(т) = /(гтк) в каждом из квадратов (2(тк), укажем доказательство, например, для случая

i !

71 (N\Ä) Т ~ z

1 f-t 1 х- J ^^'da = (Ch0)-x

л (C\A)+T~z 71

и

(с\АX

Jr^daT+f(z)-/(*>) = 0.

т-z

(23)

2 ж

g++ug:

т-z

2"

2"

1 ¡ Q-lda =■=■— |

(24)

lng++ug: r_z

2 ni ä

1 /-00 VzeG", F~(z)-.— j —daT =

ж q+ T — Z

1 , f~(T)

Л Q- T — z

daT-f(z)+f(K)=— j

i f~(j)

К Q- T — z

daT =:

2 n

Доказательство всех формул с объединёнными ядрами (г - z) 1, (г - z) '. очевидно, сводится к арифметической сумме соответствующих двух интегральных представлений с раздельными ядрами.

Все интегральные формулы с производной fr (г) в

(10) - (15) (и далее) доказываются идентично /Г(г)

на основе второй формулы в а) из (3).

Для доказательства (12), (15)—(20) достаточно для

/ е ABC(G ±) положить /Т (т) =0 в области анали-

п

тичности G+ или G~, U Gy,а при j-1, в (17), (18)

М

получим аналог теоремы и формулы Коши для одно-связной жордановой области.

В качестве замечания отметим, что в равенствах

(11), (12) криволинейные интегралы по А имеют для

областей G1 «неформальный» вид, так как в (21), согласно определению (8), интегралы по элементам

площади G± существуют, что вызывает существование модуля криволинейного интеграла по

Äfc =: dW , k —> со (однако не существования

интеграла по модулю!).

Следствие 1. Если /е/ v(A),v е (dmA —1,1], А - линейный ограниченный континуум в N, mes2A =0, dmA = :а - верхняя метрическая размерность А (см. определение в [5]), 1 < dmA < 2 , то для f (z) справедливы утверждения теоремы 2.

Сингулярный интеграл и предельные значения интегралов

типа Коши в областях с жордановой границей

Из первого равенства в (14) или (23) выделим аналитические части интегралов по отношению к точкам

z е G± , т.е. интегралы типа Коши F+ (z),F~ (z):

i /-00 ~ 1 f /"00 1 j ¿JlldaT +f(z) =: i. j -J——daT =:

1 r j 1 7r л 1 7r л

G Ug:

f- (T)

1

1

Т-z

d°T--f (z) + - f (°°)=:

2

< Í

g++ ug:

f-ÁT)

Т-z

d(7r =:

1

2

l^dT.

2

2ki j; T ~z

где

А'

соответственно, имеют положитель-

ную и отрицательную ориентации относительно С/

и Р+(г) е А(С+), Р~(г) е А(в~), Р~(оо) = 0 .

Интегралы по 0+ и в равенстве (24) получаются на основе элементарного числового равенства а = а = 1 / 2(а + а) из двух предыдущих.

Определение 1. Если / е /НА ); А - граница

многосвязной жордановой области 0+ , ¡Ш G+ Ф0.

А =:дС+ =дС~ , тея2А= 0, со , / =:/р

-А(/,С\А), 0 <rj< ¿>e(0,oo),77 6(0,oo), t<=A, Ä{n) =: dlV(s(t),Gt (77) U GZ Ш =: К (п) U ÄZ (?), //=://+ . р =: р+ . G =: G, U G_ и существует интеграл

1 7г00

(Sf)(t)=:~ { z^d(jT=:

g+, ug:

T-t

V 1 r

=: lim — J -daT =

TJ^OK w(s(t),G(il)) r~t

7-^0 Л w(s(t),G(ij)) T~f = lim —!— I I^-dr^i ™dr.

2m T~t

А

т-t

то (Sf) (t) назовем сингулярным интегралом от функции / в точке t gA .

Лемма 1. Если / <еВ(А) , А - замкнутая жорда-новая кривая (з.ж.к.), 8 е Íi,dто &> / g

о С S С

Для доказательства достаточно (см. (1)) проверить условия Sy

Теорема 3. Если А - з.жк., разбивающая Ñ на G + и G" , со е G , / е В (А) , / =: fp e Ó - А (/,С\1), 0</>eR, то:

1) для любого / е А существует (Sf ) U):

2) (Sf) (= С(А) и для любого S е ií,d_ справедливо неравенство Зигмунда: a>gj-(S) < с о) f(S), для «телесного» cof(S) : co(F,S) = w(Ff,S,G~) <cS^(S,A);

3) lim F+(z)=\F+(t) =

1

7Г q+ T — Z

К q+ T — Z

(26)

1 г /^К 1

LK G+UG: T~r z lim F~(z)=\F~(f) =

zeG~,z->i

i 7-oo i (25)

= — J —^——d<jT — f(ty,

l7tG++UGZ T~t 2

4) формула Сохоцкого

Wei,

-F"(0 = /(0, F+(t) + F~(t) = (Sf)(t) Доказательство теоремы 3 и равенств (25) прово дится методом з.ж.с.к., применяемым в [6].

Следствие 2. Если А - з.ж.к., а = dmÄ а е (1,2), /е/ v (А), ve^/2,l_, то 3 (Sf), (Sf) е 1 ß(Ä), /,i=v-(ä + s)/2,se(0,2-~ä), выполняется неравенство <cSß и справедливы

равенства (25) и (26).

Оценки в теореме 3, следствии 2 на примере построенной кривой и функции являются неулучшае-мыми и обобщают на спрямляемой з.ж.к. результаты Е.М. Дынькина и Т.С. Салимова [2, 6].

Краевые задачи Римана и сингулярные интегральные уравнения в многосвязных областях и жордановых компактах

Опишем общее решение на з.ж.к. неоднородной краевой задачи Римана (к.з.Р.): ф+(/) = J(t№~(t)+g(t) (■>■ g - заданные функции; Ф+ и Ф~ - неизвестные аналитические в G+ и d функции) в обычных терминах х -индекса к.з.Р. и в той же (см. (24)) «неформальной» криволинейной интегральной форме для интегралов типа Коши Fy (z, Г) и (Sf)(t, Г).

Заметим, что условие / <е В(\ ) эквивалентно тому, что h - мера Хаусдорфа [7] meshY = 0, //(г)) = mf.d.(,).Y eG. Если ввести класс функции

/ е /)(Г) =: {/ е В(Г): meshT = 0,h(8) ~ 8cof(8,T), S g (().<:/1 то вьтолняется достаточное (неулучшае-мое) условие Е.П. Долженко [8], обеспечивающее единственность функции Ф в классе AND(G~),D(T) =

= {Фе : meshY = 0,h(S) -. &(Ф.().Г).()е <U }].

Исходя из этого, общее решение к.з.Р. на жорда-новой кривой будем искать в классе функции

Ф± е ACLXG ), Х± - каноническое решение к.з.Р [9].

Теорема 4. Если Г - з.ж.к., T = 8G+=8G~,

где, соответственно, Ф(г) = Ф + (г)и Ф(г) = Ф~ (г). Р^. (г) - произвольный полином степени к.

2. При %=-\- неоднородная к.з.Р. разрешима в

классе АЙО(С) и имеет единственное решение Ф(г) = Ои^Уи ).

3. При ^<-1 для разрешимости к.з.Р. в классе необходимо и достаточно, чтобы

AN1XG+)

1 <Р(Т)Т

т-1

dz=: \тт~Х (p~(T)dar = 0, ? = (-£-)

g

gt ug:

(р е О - А (<р,С \ Г),

=

expF (z),

J1

X+ (z) = exp F+ (z), (z) = функция J(t) равна

J(t)=X+(t)\X~(t), m = 1,2, 1 , 1

1

.,-Gr + l), F(z)=-.— x 2m

X jln/(0

dt =: — t -z 2я

д ~ 1 I -=(lnJ(/))-daT

GtUGZdT T~Z

Теорема доказывается методом, изложенном в [10], и также справедлива на многосвязных жордано-вых областях.

Рассмотрим на Г з.ж.к., Г = с(11 = 8С ,

тея^Г = 0, = пС ,соеС~ следующее сингулярное интегральное уравнение [9, 11], которое называется характеристическим (х.с.и.у.) и выражается уравнением а(/)^>(/) + й(/)(>ЗД(0 = /(0Д£Г, где 1

(S<p )(t )-■—*

х j (&-daT=:—\<^-dT=:(S(p)(t, Г), (27) g^Ug: T~f mrt-t

a(t),b(t), f (t) - известные функции, принадлежащие

классу BD(Y) и V/ е Г : a2(t)-b2(t) Ф 0 , cp&Ö-

те^Г = 0,0еГ,со е е е ВО(Г),-/(0 ^0,/еГ,

то

1. При х - 0 общее решение неоднородной к.з.Р. в классе Ат(СГ ) имеет вид Ф(г) = Х(г)0¥(г) + ~Рк (г)),

- Ä(cp,C\Y), <р=:<рр,р е(0,+ю) ,q>(t) - неизвестная функция.

Будем искать решение уравнения (27) в классе функции ср: Г —> С, допускающих представление

cp(t) = L(t)V+ (t) + M(t), V+ (t) - предельное значение

изнутри z e G+ ,z —> t еГ аналитической функции

V e iM)(G±),i e В(Г),М e В(Г).

Решение q> х.с.и.у. существует и определяется в явном виде в терминах плоских интегралов, а в «неформальном! криволинейном виде полностью совпадает с классическим решением Ф.Д. Гахова [9, с. 178] и доказывается по схеме метода А.А. Бабаева, В.В. Салаева [10].

Переход в к.з.Р. и с.и.у. к случаю многосвязных

жордановых областей (11 так же описывается, как в [9, с. 140] с соответствующим определением и вычислением индексов в той же форме, а для жордановых компактов (объединение конечного или счетного чис-

а

ла взаимно непересекающихся односвязных жордано-вых областей) происходит сведением к задаче в дополнении многосвязных областей. Подробный метод решения указанных задач можно найти в [12-14].

Литература

1. Стеин И. Сингулярные интегралы и дифференциальные

свойства функций. М., 1973. 344 с.

2. Дынькин Е.М. Гладкость интегралов типа Коши // Зап.

науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Ленинград, 1979. Т. 92. С. 115-133.

3. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. М., 1976.

Ч. I. 300 с.

4. Кац Б.А. Задача Римана на замкнутой жордановой кривой

//Изв. вузов. Математика. 1983. Т. 25, № 4. С. 68-80.

5. Колмогоров АН., Тихомиров В.М. £ -энтропия и £ -

ёмкости множеств в функциональны пространствах // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып. 2. С. 3-86.

6. Салимое Т.С. Прямая оценка для сингулярного интегра-

ла Коши по замкнутой кривой // Сб. науч. тр. МВ и ССО Аз.ССР. Баку, 1979. № 5. С. 59-75.

Поступила в редакцию_

7. Хейман У., Кеннеди П. Субгармонические функции. М.,

1980. 227 с.

8. Долженко Е.П. О «стирании» особенностей аналитиче-

ских функций // Успехи мат. наук. 1963. Т. 18, вып. 4(112). С. 135-141.

9. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М., 1977. 640 с.

10. Бабаев А.А., Салаев В.В. Краевые задачи и сингулярные

уравнения на спрямляемом контуре // Мат. заметки. 1982. Т. 31, № 4. С. 571-580.

11. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравне-

ния. М., 1968. 599 с.

12. Батчаев И.М. Интеграл Коши в областях с неспрямляе-

мой жордановой границей // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 3. С. 9-14.

13. Батчаев И.М. Сингулярный интеграл и неравенство

Зигмунда на неспрямляемых жордановых кривых // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 4. С. 3-7.

14. Батчаев И.М. Формулы Грина, Коши-Грина, Коши и

сингулярные уравнения на компактах. М., 2003. 84 с. Деп. в ВИНИТИ. № 1248-В 2003.

10 апреля 2009 г.