Квадратурные формулы для сингулярных интегралов, имеющих почти гауссовскую степень точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ИМЕЮЩИХ ПОЧТИ ГАУССОВСКУЮ СТЕПЕНЬ ТОЧНОСТИ

© 2015 г. Ш.С. Хубежты, А.О. Цуцаев

Хубежты Шалва Соломонович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Северо-Осетинский государственный университет, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, 362025; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства Республики Северная Осетия - Алания, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: shalva57@rambler.ru

Цуцаев Арсен Олегович - аспирант, Южный математический институт ВНЦ РАН и Правительства Республики Северная Осетия-Алания, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: tsutsaev@yandex.ru

Khubezhty Shalva Solomonovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Mathematical Analysis, North Ossetian State University, Vatutin St., 46, Vladikavkaz, 362025, Russia; Leading Researcher, Southern Mathematics Institute of VSC RAS and the Government of the Republic of North Ossetia-Alania, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: shalva57@rambler.ru

Tsutsaev Arsen Olegovich - Post-Graduate Student, Southern Mathematics Institute of VSC RAS and the Government of the Republic of North Ossetia-Alania, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: tsutsaev@yandex.ru

Построены квадратурные формулы для сингулярных интегралов с ядром типа Коши, близкие по точности к га-уссовским. Алгебраическая степень точности равна 2п. Но она характерна тем, что в процессе увеличения п при переходе от данного п=п\ к последующему п=п\ + ! требуется перевычисление значений функции ф(7), но не во всех узлах квадратуры, а только в их части. Кроме этого, если обычные квадратурные формулы для сингулярных интегралов имели наивысшую степень точности только тогда, когда параметр сингулярности являлся корнем присоединенной функции Лежандра второго рода, то для построенных квадратурных формул существует более широкое множество значений параметра сингулярности. Такими множествами являются корни многочленов Чебышева первого и второго рода.

Ключевые слова: сингулярный интеграл с ядром Коши, квадратурная формула, чебышевский вес, гауссовская точность.

Quadrature formulas for singular integrals with the Cauchy kernel, similar in accuracy to the Gaussian ones, were constructed. The algebraic degree of accuracy is 2n. But it is characterized by the fact that in the process of n increase in the transition from the present n=n1 to the next n=n1 +1 it is necessary to re-calculate the value offunction ), however, not in all nodes of the quadrature but only in part of them. In addition, if the usual quadrature formulas for singular integrals have the highest degree of accuracy, it is only when the singularity parameter was the root of the associated Legendre function of the second kind, the wider range of singularity parameter values exists for the constructed quadrature formulas. These sets are the roots of the Chebyshev polynomials of the first and second kinds.

Keywords: singular integral with Cauchy kernel, quadrature formula, Chebyshev weight, Gauss accuracy.

Общая постановка задачи и её актуальность

В существующей ныне литературе, относящейся к вопросу теории квадратурных формул для сингулярных интегралов с ядром Коши, значительный интерес представляют квадратурные формулы Гаусса для таких интегралов (см., напр., [1, 2]). В соответствующих работах этого направления показывается, что достижение гауссовской степени точности в случае сингулярных интегралов вида

- f pit) ^ dt (-1 < x < 1), (1)

П Jj t — x

где pit) - заданная на [-1,+1] конкретная суммируемая (обычно знакопостоянная) функция; ф({) -

произвольная функция из некоторого класса гладких функций, возможно при определенном выборе значений параметра сингулярности x. А именно в

общем случае предполагается, что значениями х являются нули так называемых присоединенных функций, или функций второго рода (см., напр., [3]). К часто встречающимся в приложениях сингулярным интегралам вида (1) обычно относятся интегралы с весовыми функциями (1 - /)р (1 + /) (р,д >-1) (см., напр., [2, 4 - 6]). Как подтверждается упомянутыми и рядом других работ, сингулярные интегралы с такими весовыми функциями имеют применение в контактных задачах теории упругости, в том числе в теории трещин.

К наиболее приемлемому подходу к вычислению (приближенно) интегралов

1 [(1 -t)p(1 + Фф(-)ей (-1 < х < 1) (2)

п ^ t — х

при произвольных значениях х из рассматривае-

мого интервала следует отнести применение к (2) квадратурных формул для сингулярных интегралов, основанных на аппроксимации функции ф(/) ее интерполяционными полиномами, построенных по корням ортогональных на отрезке [-1, +1] по весу (1 - /)р (1 + /) полиномов. К основным вопросам в направлении исследования и приложения построенных на такой основе квадратурных формул относятся такие вопросы, как оценка их погрешности на различных классах функций ф(?), сходимость на возможно широких классах плотностей ф(?), влияние ряда локальных свойств последних на поведение их остаточных членов, а также влияние вычислительных погрешностей (округления, наследственных) и т.п. Отметим также, что при конструировании на такой основе квадратурных формул определенного внимания требует вычисление независящих от ф стандартных интегралов

1 +г(1 -t)p (1 + t)q

T i

t - x

dt (p, q >-1), точное вычисление

двух ортогональных по данному весу (1 - /)р (1 + /) полиномов последовательных степеней (п и п +1). Очевидно, что такие квадратурные формулы могут быть построены теми же способами, что и упомянутые выше, и имеют алгебраическую степень точности 2п.

В [9] изучен случай р = q = — и построены квадратурные формулы

1 1 <(t)dt

п

1 ^и_1( x)Tn+1( x)

S- <(xkn+l) -

x — x,

k n+1

iVl -12 (t - x) n +1 k=i

(x)Un (x) --L-Ф(xkn+1) , ГДе

n к=1 x - xkn

sin(n +1) arccos x Un (x) =- -, T (x) = cos n arccos x -

Vl - x2

ортогональные многочлены Чебышева.

В настоящей заметке мы будем рассматривать 1

случаи p = q = —, т.е. интеграл вида

которых для ряда значений р, q возможно методами теории функций комплексного переменного (см. также [7]). В общем случае эти интегралы могут быть вычислены приближенно с любой заданной степенью точности. Тем самым в случае заданных точно (или с большой точностью) исходных данных (плотностей сингулярных интегралов) можно, по-видимому, утверждать определенную вычислительную эффективность известных ныне многих квадратурных формул. Тем не менее следует упомянуть о связанных с практическими приложениями задачах с приближенными исходными данными (например, когда эти данные определяются на основе эксперимента). Так, к примеру, может обстоять дело при численном решении определенных классов сингулярных интегральных уравнений, относящихся к некоторым задачам физики (см., напр., [8]), когда значения ядра рассматриваемого интегрального уравнения определяются путем эксперимента с последующим сравнением результатов вычислений на различных шагах. При возникновении такого рода ситуаций наиболее эффективным представляется применение к аппроксимации сингулярных интегралов квадратурных формул такой структуры, чтобы в возможно нужном процессе последовательного увеличения числа узлов квадратуры найденное на данном шаге значение ядра уравнения могло быть использовано вторично при последующем значении числа узлов. С этой целью представляется полезным рассмотрение квадратурных формул для сингулярных интегралов, построение которых будет основано на применении в качестве интерполяционных узлов совокупности нулей

S (<; x) = -[n/T—7 dt.

-77t — V

(3)

я^ ? — X

Согласно сказанному выше, построение интересующей нас в данном случае квадратурной формулы для интеграла (3) основывается на аппроксимации функции ф(?) интерполяционным многочленом, построенным по значениям ф(?) в узлах, представляющих нули многочлена ип (?)Цп+1(?), где Ц (?) и - чебышевские многочлены вто-

рого рода степени п, п +1.

Построение квадратурной формулы по узлам нулей полинома ип (0Ц

С целью построения оговоренного выше интерполяционного полинома обозначим через {хкп }пк=х

и {хкп+1}1+=1 нули полиномов ип (?), Ц+^О соответственно. В первую очередь нам нужно найти детальное выражение значений

ц (иж=хы, и (цлт=хы+1.

Имеем

[ип (Ц ,(/)];=^ = Ц (Хп )ип+1(Хп ), ц (Г )ип+,(/)];=^ = ип (X

кп+1 кп+1 ). (4)

Используя далее представления

U (t )-

sin(n +1) arccos t

kn

можно на

гл—-2 xkn -cos-:

V1 _ t2 n +1

основе (4) убедиться в справедливости равенств

г п +1 равняется нулю, а первое вычисляется по известной

и (Т)ип+1(0]/=хы кп ' в теории ортогональных многочленов [3] формуле

sin2

U (U1(/)]j=

п +1 1 f^-tün±i(t) ^ т , л T , л

-I- n+1 dt = -ТП+2(X), где Tn±2(x) - много-

n + 2 ^^ t - X

*n1 sin2 член Чебышева первого рода степени п ± 2 .

п + 2

Аналогично поступаем с интегралами, содер-

Применяя указанные соотношения, для искомо- ч—1 ,

г у жащими множители вида (Т - хы+(вторые ин-

го интерполяционного многочлена L2n (ф; t) получим представление

тегралы из (6))

L2;t) = ü(t)ü+1(t)x (5) 1 jVI-t2 ün(tün+1(t)dt

2k ^ (t - X)(t - Xkn+1)

i n sin - 1 n + 1 sin _

1 Щ-^ФФ ) + -1 Ц-^ФХ.)

n + U = 1 t - Xkn n + 2k = 1 t - Xkn + 1

1 I 1 ГЛ-^Г ün (t )ün+,(t )dt

к

1 -12

Подставляя (5) в (3) вместо ф($), получаем при- — Í V1-1

ТГ "

ближенную формулу

Х Xkn+1 [^-1 t X

1 1 ATT ün (t )ün+,(t )dt

2 ^ nV^n+l^-П 1 t - Xkn+1

, 1 _ ,ч Согласно замеченному выше, рассмотрению

1 . Г-2 Ф(Т) , « » ТГ Г

— IV1 -t dt и подлежит второй интеграл в правой части. Преоб-

п [ t - х

разуем его

И-£sm2-^ф^)! Г^Т" И(t)ип+1(t) ^ + 1 Г^МИ^:

п +1 к=1 п +1 п (Т-х)^^) п[. Т-х^.

+л 2>,-kV<x...■)1 ет. - i ^ТИ (т) и-«-е,.

п + 2 к-. п + 2 п -1 (Т —х)(Т —х^.) п -. Т-х^п+1

Следовательно, построение указанной квадра- Используя квадратурную формулу Гаусса (см. [5,

турной формулы сводится к вычислению интегра- 1 1 •-и (Т)И (Т)ЛТ

лов вида 6]), поучаем - [ V1 - Т 2 п -=

1 ип(и1(,) й , 1 [УГТ ^^ ет. (6) 1 п+т ,пп-1 Г и (ть+Т (х )

п[; (Т — х)(Т — хь) ' п[; (Т — х)(Т — хп+т) () =-Ц2>2 И„(х^.)Г^0 ^^

п+2 п+2 у

Это может быть осуществлено с учетом ортогональности системы полиномов {и (Т)} по весу 1 . 2 кп тт „ чтт, „

- =-Г sln -Г ип (хкп+. )Ип+. (хкп+. ) =

2 , п + 2 п + 2

jn+1

л/1 -12 применением ряда формул, относящихся к

взаимосвязи этих полиномов с полиномами Чебы- =—i—sin2 kn (—1)k —1(—)—(n + = 1. шева первого рода {Tn(t)}. В частности, очевидно, n + 2 n + 2 sin2 kn

,2_

n + 2

что определение первого из этих интегралов может _

г В результате окончательно приходим к квадра-быть основано на вычислении двух интегралов

— Г турной формуле вида 1 [ >/■ -Т2 Ф(Т)е, и

п[ Т - х ' -т

п Т - х

1 Г ЛТТ" Ип (Т)Ип+.(Т) Л (7) 1 п+Г Sin2 п+ЬФ(хкп+■)

пГ1 -Т еТ ' (7) И п12 Х-^х+2-{—Ип (хК+2(х) — ■} —

■ п +2 к=■ х хкп+.

причем второй интеграл в (7) заведомо равен нулю ^

в си^ ортогональности на [-1,1] системы полино- 1 п sin -~ф(хкп)

С—Т ^ . „--7 £-п±Г-(—Ип (х)Г„+2(х)) - (ф; х).

мов {ип (Т)} по весу VI - Т . Преобразуем первый п +1 к=■ х — хкп

интеграл в (7) к виду ^ + U"(x)r".,(x)+■. "П'п + ■)S;nC°;^" + +1 -

1/2(sin(2n + 3); — sin;) + sin;

+1^^/ггтг ип+.(Т )[ип(Т) - ип(х)] л =-;--

ТГ * t — V __

1/2(sin(2n + 3)5 + sin 3)

и воспользуемся упомянутым выше свойством ор- sin $

тогональности. Получим, что второе слагаемое

х

sin(n + 2)3cos(n +1)5

sin 3 где х = cos 3.

Поэтому итоговая формула

= Un+i(x)Tn+i( х),

1 fJÍ-7 dt

п \ t - х

(8)

sin

кп

v.(^ «хп) _

1 к=1

. + J

к.

. 2 кп

Un+i(х)Т.+j(х) n+jsin n+2

n + 2

-z-

ф( хк.+1) = S. (ф;х).

к=1 х — хкп+1

Формула (8) обладает упомянутым выше вычислительным свойством, выражающимся в ее эффективности при переходе от данного значения п к последующему. Однако естественный интерес представляет вопрос о достижимости возможно более высокой степени точности формулы с возможно меньшим числом узлов. Это заведомо связано с задачей надлежащего выбора в (8) значений параметра сингулярности х из данного интервала.

Оценка погрешности даётся теоремой.

Теорема. Если плотность ф(?) имеет непрерывные производные до г — 1 -го (г > 1) порядка, а ф(г) удовлетворяет условию Гельдера с показателем а(0 < а < 1), тогда имеет место неравенство

(ф; х) — (ф; х)|< О (. (9)

Для доказательства разделим отрезок [—1, 1]

, 2

на п частей точками хст =— 1 + аИ, п = — ,

п

а = 0,1,...,п, и пусть ф (?) е Нг (а) . Разложим ф (?) в ряд Тейлора в окрестности точки ха,

'(' )=ф( ха)+^-(х^ — хо (1 ^ )2 + '

I (t-^ + í(?-МГ {r>(UЬФММdu 1JVT-F

t7 = 0 ^

Используя условие Гельдера

n-1 1 t7 + 1 /2 1 ? , ,

J+ ^Hv dt Í (t-u)r-1 (Ф (u)Ф M*

ст=0 п * ? х (r 1)! *

^ (u)(хст)|< A\u - хст f< Aha, после несложных преобразований получим оценку (9).

О квадратурных формулах, близких по точности к гауссовским для сингулярных интегралов

Как было указано, построение квадратурной формулы вида (8) было осуществлено по определенному процессу аппроксимации плотности ф(?),

при котором возможно заведомое утверждение точности полученной данным способом квадратурной формулы для любого многочлена степени < 2п при значениях х е (—1, 1). При этом можно распорядиться о таком выборе значений параметра х в указанных пределах, чтобы соответствующая квадратурная сумма содержала бы по возможности меньшее количество слагаемых (т.е. значений плотности ф(?) в узлах). Как известно, таковыми являются прежде всего уже известные квадратурные формулы Гаусса. Однако, как уже было оговорено, максимальное число значений параметра х и тем самым соответствующих им формул, при которых достижение такой степени точности осуществимо, в известном смысле невелико (в основном на единицу меньше числа узлов самой квадратурной формулы). С этой точки зрения может быть естественным вопрос о возможности построения другого вида квадратурных формул с такой же алгебраической точностью по возможности с наименьшим при этом (однако заведомо большим, чем в гауссовых формулах) числом ординат. Некоторые такие формулы (как и сами известные формулы Гаусса) могут быть получены, как определенные частные случаи общей формулы (8) надлежащим выбором значений х в этой формуле. Ниже приводятся некоторые такие формулы.

1. Подчиним параметр х условию Тп+г (х) = 0, т.е. значения х представляют нули многочлена Чебы-

г„(0) 1«+2 -о

шева первого рода {х } . В данном случае

вторая сумма в (8) обращается в нуль, т.е. мы будем иметь квадратурную формулу вида

. 2 кя

11

Ф(?)

п "1 t - х!.+2 n + 2 í=í хкп+1 - х

■dt',

1 n+1

h z

sin

n + 2

(1 < г < 2п) .

Учитывая, что квадратурная формула (8) точна для всех многочленов степени < 2п, для остатка квадратурной формулы получим

(ф; х) — (ф; х)| =

' л/г —

х(0)

kn+1 vn+2

Ф(хкп+1) ,

(у = 1,2,...,п + 2), что представляет известную в литературе квадратурную формулу Гаусса [6] с числом узлов п+1.

2. Будем считать, что значениями параметра х являются нули многочлена ип (х). Тогда первая сумма в (8) отличается от соответствующей в предыдущем случае тем, что вместо чисел {хЩ+2} будут присутствовать нули многочлена и ( х) , которые обозначим через {хV1}. Во второй сумме, если считать, что У0 - одно из значений = 1, п) , все

r

отличные от содержащих в себе узел ее сла-

гаемые исчезают, и в результате мы приходим к квадратурной формуле вида

. 2 kn

ifVT—TTj« 1 n+TSin

п J, t -

ДО)

dt г

1 n+1

S

n + 2

n + 2 k-i _ x

,(1) <xkn+l) _

1 „,„2 V0n Л,

-Sin

n +1 n + 1

U (x«)T„+2( x®)<(x® ).

(10)

Она, как и предыдущая формула, имеет гауссов-скую алгебраическую точность и отличается от известной гауссовской квадратурной формулы (для сингулярных интегралов) лишь присутствием последнего слагаемого в квадратурной сумме (10).

3. Рассмотрим случай определения параметра x согласно условию ип+х (х)Тп+^ (х) = 0 (или

и„(х)Т+2(х) +1 = 0). Можно взять х = х^, т.е. корень уравнения Тп+1 (х) = 0 . Тогда получается следующая квадратурная формула: 1 1

¡4

T _ 1dt.

t - x

.(1)

Un (xvn+1 )Ти+2 Owi) ^

Sin

kn n +1

n +1

-r(l) -r

k-1 xvn+1 xkn

<xn) .

4. Если взять х = х(0) , т.е. корень уравнения ии+; (х) = 0 , то квадратурная формула будет иметь более сложный вид, а именно 1 1

¡4

T _ tdt,

t - x

.(0)

Un (xvn+1 )Ти+2 (xv„+1) ^

Sin

kn n +1

n +1

-r(0) -V

k-1 xvn+1 xkn

<(xkn ) -

1 и' (x(0) )T (x(°) Wx(0) ) n + 2

Литература

1. Корнейчук А.А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // Вычислительная математика и математическая физика. М., 1962. С. 64 - 74.

2. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. Киев, 1976. 442 с.

3. Сегё Г. Ортогональные полиномы. М., 1962. 500 с.

4. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М., 1962. 599 с.

5. Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторое их применение. Владикавказ, 2011. 236 с.

6. Вайникко Г.М., Лифанов И.К., Полтавский Л.Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М., 2001. 508 с.

7. Бойков И.В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Пенза, 2009. 252 с.

8. Brown J.E., Jackson E. Nucleon-nucleon interaction. M., 1979. 248 p.

9. Саникидзе Д.Г., Купатадзе К.Р., Хубежты Ш.С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов с ядром Коши, имеющих близкую к гауссовской степени точности // Вютник Харьшвського нацюналь-ного ушверситету. 2013. № 1063. С. 90-98.

References

1. Korneichuk A.A. Kvadraturnye formuly dlya sin-gulyarnykh integralov [Quadrature formulas for singular integrals]. Vychislitel'naya matematika i matemati-cheskaya fizika. Moscow, 1962, pp 64-74.

2. Panasyuk V.V., Savruk M.P., Datsyshin A.P. Ra-spredelenie napryazhenii okolo treshchin v plastinakh i obolochkakh [Stress distribution near the cracks in plates and shells]. Kiev, 1976, 442 p.

3. Sege G. Ortogonal'nye polinomy [Orthogonal polynomials]. Moscow, 1962, 500 p.

4. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye urav-neniya [Singular integral equations]. Moscow, 1962, 599 p.

5. Khubezhty Sh.S. Kvadraturnye formuly dlya sin-gulyarnykh integralov i nekotoroe ikh primenenie [Quadrature formulas for singular integrals and some of their applications]. Vladikavkaz, 2011, 236 p.

6. Vainikko G.M., Lifanov I.K., Poltavskii L.N. Chislennye metody v gipersingulyarnykh integral'nykh uravneniyakh i ikh prilozheniya [Numerical methods in hypersingular integral equations and their applications]. Moscow, 2001, 508 p.

7. Boikov I.V. Priblizhennye metody vychisleniya singulyarnykh i gipersingulyarnykh integralov [Approximate methods of calculation of singular and hypersingular integrals]. Penza, 2009, 252 p.

8. Brown J.E., Jackson E. Nucleon-nucleon interaction. Moscow, 1979, 248 p.

9. Sanikidze D.G., Kupatadze K.R., Khubezhty Sh.S. O kvadraturnykh formulakh dlya singulyarnykh integra-lov s yadrom Koshi, imeyushchikh blizkuyu k gaussovs-koi stepen' tochnosti [Quadrature formulas for singular integrals with Cauchy kernel, with close to a Gaussian degree of accuracy]. VisnikKharkivs'kogo natsional'nogo universitetu, 2013, no 1063, pp. 90-98.

Поступила в редакцию

17 февраля 2015 г.