Поведение интеграла типа Коши вблизи границы для разомкнутых кривых Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПОВЕДЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ТИПА КОШИ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ

ДЛЯ РАЗОМКНУТЫХ КРИВЫХ 1 2 Файзуллаева Б. , Эшимова М.

Email: [email protected]

1Файзуллаева Буврозия - кандидат физико-математических наук, кафедра математического анализа, Самаркандский государственный университет; 2Эшимова Мохларойим -ассистент, кафедра математики и физики, Самаркандский государственный архитектурно-строительный институт, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье получены условия непрерывности интеграла типа Коши с параметром для одного класса негладких разомкнутых кривых. Приводится доказательство теоремы о характере интеграла типа Коши с параметром в комплексной плоскости, с непрерывной плотностью вплоть до границы для одного класса негладких разомкнутых кривых (более широкого, чем класс кусочно-гладких кривых). Доказательство теоремы проведено с помощью введения в рассмотрение класса разомкнутых кривых, удовлетворяющих определенным условиям. Ключевые слова: интеграл типа Коши, лемма Привалова, непрерывность вплоть до границы.

BEHAVIOR OF INTEGRAL OF TYPE OF COTTON NEAR

BORDERS FOR OPEN CURVES 12 Fayzullaeva B.1, Eshimova M.2

1Fayzullaeva Buvroziya - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, SAMARKAND STATE UNIVERSITY; 2Eshimova Mohlaroyim - Assistant, DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND PHYSICS, SAMARKAND STATE ARCHITECTURAL AND CONSTRUCTION INSTITUTE, SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: in this paper we obtain conditions for the continuity of an integral of Cauchy type with a parameter for one class of nonsmooth open curves. We give a proof of the theorem on the character of an integral of Cauchy type with a parameter in the complex plane, with a continuous density up to the boundary for one class of nonsmooth open curves (broader than the class of piecewise smooth curves). The proof of the theorem was carried out by introducing a class of open curves of those satisfying certain conditions. Keywords: Cauchy-type integral, Privalov's lemma, continuity up to the boundary.

УДК 517.518.12

В настоящей работе изучен характер интеграла типа Коши с параметром

Ф( z,z) = — ff ^^ z e С \ у, те у,

У j llTii P-y ' "

у

где у — разомкнутая жорданово спрямляемая кривая с концами а и а в комплексной плоскости С, с непрерывной плотностью вплоть до границы для

одного класса негладких разомкнутых кривых (более широкого, чем класс кусочно-гладких кривых).

Пусть у — ориентированная разомкнутая жорданова спрямляемая кривая (ж.с.к.) в комплексной плоскости С с концамиО.^, &2 и диаметра й = БИр | ( — Т |, р(2,уу) = М|<^ —(2 |, — точка у, для которой

— /I tit/ !/i _ Hlf 1 ' — '

t,TET ^

| ( — 21= р(2, у) (такая точка всегда существует); С

X

множество

непрерывных на множестве X с С комплекснозначных функций. Введем характеристику кривой[1]

0(5) = 0(у,5) = Бир{теБ^(()},5 е (0,й],

(еу

где у5 (() = {У еу :| У — ( ^5}.

Функция 0(5) неотрицательная, убывает, Иш0(5) = 0, и для всех

5^0

5 е (0,й], 0(5) > 5, 0(й) = I, где I — длина кривой у .

Введем в рассмотрение класс X разомкнутых кривых таких, что: а) 6(8) ~ 8, Т.е. ЗС> 0, что 0(8) <С8; б) За> 0, такое, что

у § (а ) лежит в

некотором угле с раствором меньшим 2я , с вершиной в точке а1, I = 1,2. Отметим, что выполнения условия б) достаточно наличия у кривой касательных в точках а и а.

Пусть у еХ . Рассмотрим интеграл типа Коши с параметром

^(2,т) = 12еС\у, те у, 7 2ж1 у % — 2

где 7 е Су{а, а })Ху и || / (%,т)\\й%\<+Ю при Утеу.

у

Теорема. Если у еХ , 7 е С^ ^ ^ , || 7 (£,T)|| и

у

Г/ (2,Т)

непрерывна вплоть до границы, то для каждого 5 е (0, | а — а2 |] существует интеграл

/ (£,Т) — / (1,Т)

J

nit) ь f (1)

в смысле главного значения и равномерно по ( б у при V Т е у, стремится к нулю при 0, где у5=у \ (у5(а1) и уз(а2)) .

Доказательство. Отметим, что если ^^ (2,т) непрерывна вплоть до границы, то предельные значения Ф+ (г,т) и Ф (г,т) £ [2].

По основной лемме П. П. Привалова [3] на у \ {а, Оз} } почти всюду имеем

Ф+ м=± г {—/ ^+КЛы ,

2 т* % — X 2 т X — а

Ф—(Л = -!_ Г f &т)—f+Шт1Хп — f 2т * % — X 2т X — а

где 1п(х — а) \ (X — а) обозначает предельное значение слева в точке X ветви функции 1п(2 — а ) \ (2 — а ) , исчезающей на бесконечности. Из этих двух равенств следует, что на у \ {а, @2 } почти всюду

Ф+ (г,т) — Ф- (г,т) = f (г ,т).

Так как Ф+ (г,т),Ф~ (г,т), f(t,т) £ С^

а })ху , то

Ф+ (г,т) — Ф- (г,т) = f (г ,т).

Пусть X еу3 и 0 <Б<Б2<8 . Тогда

г / (£,т) — / (х,т)^= г Ф+ (%,т) — Ф+ (г,т) ^

£-t J £-t

ь у (t)\y (t) Ь

ув2 (t)\у1 (t) Ь Уs2 (t(t)

Ф- (£,тУ-Ф - (t ,т) 1

- f (2) J F — t

уе1 ('Уу^ (X)

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (2) в кольце 0(£1 ,£2) = {у £ С : Б < у — X |< Б2}. Это кольцо разбивается дугами

множеств УЕ (/) \ УЕ (/) на не более чем счетное число компонент связности, которые обозначим через 1)к (Б], Б2 ), /г = 1,2,..., I/ < оо. причем

(б ,Б ) — открытые множества в С . Граница дОк (б , Б2 ) области (Б ,Б) является замкнутой ж.с.к. Граница (б ,Б2) образована из

попарно непересекающихся дуг множества у (^ \ у (^ и дуг окружностей К (^ и К (X) радиусов Б и Б с центром в точке X , которых соответственно обозначим через уку(Б1,Б2), укг(Б1),

укт(б\ з=\Рк, 1=Ъгк, т=Ъч; Рк,гк, ч < .

Тогда

i

Рк

\ Л

Л Г

sk

№к(ех,е2)= и ГкМ^г) и и^ и ГкЛ^)

^7=1 J ^=1 J у

Выделим среди областей , ) те области &\), Для которых

положительная ориентация границы совпадает с ориентацией, индуцированной

ориентацией дуг /¡^

DXs^^D^s,).

входящих

в , (s , S2 ). Обозначим

к'

Функция Ф голоморфна в (^, Б2 ) и непрерывна вплоть до границы. Тогда используя теорему Коши имеем + / £ + !

1

i

Ф' (£г) - Ф+(t,r)

Ts2 (t)V4 (t)

1

2т 4 -1

\Ф+ (£г) - Ф+ (t ,r)\

<

2л

J

U(U УМ)

к' 1=1

-1 J

2 71 s„, J

l£-t\ \Ф+ (£г) - Ф+ (t ,r)

d#\ +

U( и Ук'Л^))

к' m=1

4-1\

d£ \<

<

1

Гч

2ms \ z-t\ =

1 7<=ЙЛ'

max \0(z,t)-0+(t,T)\-mes<\J Ur^i)

zedD' S,s2)

к' ^¿=1

■ +

+

1 I (

max \0(z,t)-0+(t,T)\-mes\\J U yem(s2)

2ms \ z-t\=fi

2 zeoD S,s2)

k'

<

< max \Ф(z, t) - Ф (t, r) \ + max \ Ф(z, t) - Ф +t,r) |.

\ z-t\ =Ei \ Z-t\ =S2

zedD' S,s2) zedD' S,s2)

Следовательно, первое слагаемое правой части равенства (2) равномерно по

t e Ys, при Vr e у, стремится к нулю при S^ , S2 —^ 0. Аналогичные оценки

верны для второго слагаемого правой части равенства (2) и, следовательно, верно утверждение теоремы.

Список литературы /References

1. Салаев В.В. Прямые и обратные оценки для особого интеграла Коши по замкнутой кривой. // Мат. заметки.19. Вып. 3, 1976.

2. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968.

3. Привалов И.И. Граничные свойства однозначных аналитических функций. М.: Физматгиз., 1950.