О поведении tg-оператора в пространствах функций, описываемых модулем непрерывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

О ПОВЕДЕНИИ То-ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ

А.Ю. ТИМОФЕЕВ

Сыктывкарский государственный университет, г.Сыктывкар [email protected]

В данной работе изучается функция Tq(V)(z), где Tq - оператор Векуа, a b(z) принадлежит пространству функций, описываемых модулем непрерывности. Доказывается непрерывность этой функции в точке z = 0.

Ключевые слова: обобщенные уравнения Коши-Римана, оператор Векуа, особая точка, модуль непрерывности

A.YU. TIMOFEEV. THE BEHAVIOR OF TQ-OPERATOR IN THE SPACES OF FUNCTIONS DESCRIBED BY THE MODULUS OF CONTINUITY

In this paper we study the function Tq(V)(z), where Tq - Vekua operator, and the function b(z) belongs to the space of functions described by the modulus of continuity. We prove the continuity of this function at the point z = 0.

Key words: generalized Cauchy-Riemann equation, Vekua operator, singular point, modulus of continuity

Введение

Эллиптическая система на плоскости предста-вима в канонической форме

ди ди ди ди , „ ...

Тл + аи + Ьи = 0, — + + си + ¿V = 0, (1)

дх ду ду дх

где а, Ь, с, й - заданные функции. Вводя в рассмотрение комплексную функцию

ш(г) = и(х,у) + IV (х,у), г = х + гу,

систему уравнений (1) можно записать в виде

dzw + Aw + Bw = 0,

(2)

где д^ш = 2 (шх + гшу), А = 1 (а + й + гс — гЬ), В = 1 (а — й + гс + гЬ).

Теория уравнений (2) построена И.Н. Векуа (см, например, [1]) в предположении, что А(г),В(г) принадлежат для ограниченной области О пространству Lq(О), где д > 2. В частности, если А(г),В(г) обращаются в бесконечность в некоторой изолированной особой точке, то порядок этой особенности должен быть строго меньше единицы. Поэтому даже уравнение (2) с такими коэффициентами, как А(г) = В (г) = 1 не вписывается в теорию Векуа.

Исследованию задач для обобщенных уравнений с коэффициентами, имеющими особенности в изолированной точке, посвящены работы Л.Г. Михайлова, З.Д. Усманова, Н.К. Блиева, А. Тунгатарова, М. Райссига и А.Ю. Тимофеева, Р Сакса, Г. Бегера , Г. Макацария и др. При этом результаты во многом определяются поведением основного оператора теории - оператора Векуа в окрестности изолированной особой точки [2-3].

В работе [4] допускающие особенности в точке г = 0 коэффициенты В (г) (А = 0) принадлежат весовому пространству функций Яр(О), которое является

объединением пространств

SP(G) = { B(z) : sup (\B(z)\p(\z\)) < ж

I G\{0}

Заметим, что для таких функций выполнено условие

В(г) £ LЖJOC(G\{0}).

Множество функций р(ь), обладающих достаточно общими свойствами, обозначается через Р. Пространство Яр (О) состоит из тех и только тех заданных в О функций В (г), для каждой из которых существует такая функция р(ь) £ Р, что В (г) £ Яр(О). Предполагается, что функции р(ь) удовлетворяют следующим условиям:

1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0,ьр], где гр <

2. Не убывают на (0,Ьр].

3. Иш р(Ь) = 0.

г^+0 4 / & < +<*>.

о 4 '

Таким образом, Яр(О) описывает поведение функций этого пространства в точке г = 0. При доказательстве основного результата в [4] существенную роль играет следующая теорема.

Теорема 1. Пусть Ь(г) £ Яр(О), тогда функция То (Ь)(г) непрерывна в точке г = 0. Здесь

TQ(b)(z) := -П п

b(Z )djdn Z - z '

То - основной оператор теории Векуа. В данной статье мы используем обозначение С = С + гц. В работах [1] и [2] приводятся свойства функции То(3)(г) в зависимости от свойств функции /(г). В данной работе доказывается аналог теоремы 1 для другого про-

странства функции Ъ(г), а именно, справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Ъ(г) £ Яр,ш (С), тогда для функции То (Ъ)(г) справедлива следующая оценка

\То(Ъ)(г) - Т(Ъ)(0)\< Сш(\г\),

где постоянная С не зависит от г.

Пространство Яр,ш(С) определяется заданным модулем непрерывности ш(ь) и введено во втором разделе данной работы. При доказательстве основного результата существенную роль играет следующая лемма.

Лемма 1. Пусть р £ Р и г = 0. Тогда справедлива оценка

J(z) :=

!C!<ä

1С - z\\zjp(!C\) - p \z\ :

где постоянная Ср не зависит от г.

Доказательство утверждения производится по схеме работы [4].

1. Свойства оператора То

В данном параграфе приводятся основные свойства оператора То (см. например, [1], с. 39).

Свойство 1. Пусть С - ограниченная область. Если 3 £ Ьр(С3), р > 2, то функция д = Tоf удовлетворяет условиям

\g(z)\- MiLp(f,G), z £ E, \g(zi) - g(z2)\- M2Lp(f,<5)\z1 - Z2\a, a-

p - 2

(3)

(4)

где г, , г2 - произвольные точки плоскости, а М1,М2

- произвольные постоянные, причем М1 зависит от р и С, а М2 - только от р; Ьр(3,(3) норма функции 3 в пространстве Ьр((3).

Неравенства (3) и (4) показывают, что То

- линейный вполне непрерывный оператор в пространстве Ьр((3), отображающий это пространство на Са, а = ,р > 2 (такие операторы называются иногда усиленно вполне непрерывными операторами), причем

р - 2

Ca(TGf, G) - MLp(f, G), a =

p

p> 2.

Свойство 2. Пусть f £ C(G). Тогда из

f (С )dd

g(zi) - g(z2) =

zi - z2

(Z - zi)(Z - z2)'

zi = z2,

следует

( \д(г)\< МС(3, С),

\ \д(гл) - д(г2)\ < МС(3, С)\г! - ^ г—г2| >

где й - диаметр области С, М - постоянная. Если же 3 £ Ьж(С), то имеем

{ \д(г)\< МЬ^и,С),

\ \д(г1) - д(г2)\< МЬЖ(3, С)\г1 - г2\ ^ ■

Из этих неравенств следует, что оператор То непрерывен в пространствах С(С3) и Ь^(С3), причем отображает эти пространства на класс функций, удовлетворяющих условию Дини.

В книге Л.Г. Михайлова [2] приводится таблица, показывающая свойства оператора То(3)(г) в зависимости от свойств функции 3(г):

Условия на f (Z) Свойства функции То(3)(г)

1) L(G) 2) Lp(G), 1 <p< 2 3) L2(G) 4) Lp(G), p> 2 5) L^(G), C(G) 6) Голоморфная в G Ь2-е(С), е> 0 мало Ьч(С), я = — Ьь(С) для любого в > 1 Са(С), а = — Аш = 0(\Аг\ ■ 1п \Аг\), Аш - модуль непрерывности Голоморфная в С

Данная таблица описывает лишь глобальное поведение функции TG(f )(z). В третьем и четвертом разделах настоящей работы изучается поведение указанной функции в окрестности особой точки z = 0.

2. Весовые функции, модуль непрерывности и пространство Sp(G)

2.1. Весовые функции

Как и в работе [4], будем рассматривать заданные на (0,1] функции P = P(T), удовлетворяющие следующим условиям:

1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0,tp], где число tp зависит от функции p(t),tp < 1.

2. Не убывают на (0, tp].

3. lim p(t) = 0.

t^+0

4 1Щ) <

0 v '

Функция p(t) называется весовой. Множество функций p(t), обладающих этими свойствами, обозначается через P.

В дальнейшем будем считать функции p(t) заданными на всём промежутке (0,1], продолжая в случае необходимости p(t) на промежутке [tp, 1] постоянной, равной p(tp). В этом случае условия 1-4 будут выполнены уже на всём промежутке (0,1]. В работе [5] изучается, в частности, поведение весовой функции в нуле, а также связь с квазивогнутыми функциями.

Приведем примеры весов класса P.

Пример 1. p(t) = ta, 0 < a < 1. Пример 2. p(t) = t ■ lnß i, ß> 1.

Пример3. p(t) = Mn i lnln i... i )Qn..Jn i )ß £

k-i k

P при ß > 1.

2.2. Модуль непрерывности и основное пространство

В соответствии с определением из [6], р. 41 функция u(t), удовлетворяющая условиям:

1. u(t) > 0 и не убывает на [0,1];

2. ш(0) = 0;

3. u(ti + t2) - u(ti) + u(t2);

4. u(t) непрерывна на [0,1] называется модулем непрерывности.

Вместо условия 3 будем предполагать более сильное условие, что убывает при t> 0. Очевидно, что тогда u(t) полуаддитивна.

Пусть G = {z £ C : \z\ < 1}, для фиксированной функции p(t) £ P введем следующее множество функций:

sp,u (G) = {f (z) £ L^loc( G\{0}): 3¿o £ (0,1): Vz £ USo \f (z)\p(\z\) - wflzD} .

Теперь рассмотрим объединение по весовым функциям всех этих множеств Яр,ш(О) = у вр,ш(О). Призер

ведем пример функции из Яр,ш(О). Пусть во е (0,1) фиксированное число, /(г) = ^ принадлежит пространству (О), (здесь \г\ = г). В качестве весовой функции ра.(ь) можно взять любую функцию вида

РаЮ = га, для любого а е (во, 1). Тогда (г)\ра(\г\) =

Га — ро

а—во

т.е. / е Яр<ш(О), если ш(г) = V 3. Вспомогательные утверждения

В работе [4] доказывается следующая лемма . Лемма 2. Пусть р е Р. Тогда для г е (О = {г е С : \г\ < 1} справедлива оценка

ГГ Щп С И Р(\т - г\ < Ср'

о

где постоянная Ср не зависит от г е О.

При доказательстве основного утверждения нами будет использована следующая лемма. Лемма 3. Пусть р е Р и г = 0. Тогда справедлива оценка

Аналогично

1з <

ш(\С - гЩйп К - г\\С\р(\Ф

<

( = [[ и(\С\Щу С ш(\г\)

7(г):= 11 К - г\\С\Р(\С\) < Ср \г\ '

!С!<

где постоянная Ср не зависит от г.

Доказательство. Проводится по схеме доказательства леммы 2. Поскольку г = 0, представим О в виде объединения следующих, изображенных на рисунке,

4

множеств О = у Оу:

3=1

01 = (с : \С\< Щ , тогда \с - г\ > 12;

02 = (с : \С - г\ < Щ , тогда \}\> ^;

03 = (с : \С\ > ^ и \С\ < \с - г\} ;

04 = {С : \С - г\ > ¡2 и \С - г\ < \С\} .

4

Обозначим 7(г) := ]Г] I3, где

3=1

13 =

о.

d^dуш(\C\) \С - г\\С\Р(\С\).

Проведем оценки этих интегралов. При оценке первого интеграла используем монотонность функции ш. Тогда

II <

2ш(\г\)

_ ^У к С ш(\г\)

\г\ 77 \Ф(\Ф - Р \г\ .

о.

Так как функция ^^ убывает, то

12 <

2ш(\г\) \г\

d£ldу

К - г\р(\С\)

2ш(\г\) ГГ С щфЬ

\г\ 77 \С - г\р(\С - г\) < р \г\ .

■Ы

2ш( ¡2)

|г|

^У < С ш(\г\) \С\р(\С\) < р \г\ '

!С!> Ы

14 <

2ш(\г\) \г\

d£ldу

\С - г\р(\С\)

<

<

2ш(\г\) \г\

!<—*!> Ы

^У < С ш(\г\) - г\р(\С - г\) < р \г\ '

! (—г! >1

Следствие 1.

! С —го ! <

ш(\С - го\ \ С - г \ \ С - го \р( \ с - го \)

< Ср-

ез

ш(\г - го\) \ г - го \ .

Неравенство сразу следует из леммы, если произвести замену С = V + го.

4. Поведение оператора То на функциях пространства Яр,ш (о)

Пусть О = {г е С : \г \< 1}. Рассмотрим следующую функцию

= -п и х-*.

о

Теорема 3. Пусть Ь е Яр,ш(О), тогда для функции То (Ь)(г) справедлива оценка

\То(Ь)(г) - То(Ь)(0)\ < С1ш(\г\), где постоянная С1 не зависит от г.

(5)

Доказательство. Пусть функция Ь е Яр,ш(О), тогда существует несобственный интеграл -1 //

С

Это утверждение следует из неравенств

Ь(С №у

С

2

\ Ь(С) \ р( \ С \) р( \ С\)

dг <

2

С

/&т

-¡-г < Ж.

0

Обозначим данное число через Т01 (Ь)(0). Покажем,

что Иш Та1 (Ь)(г) = Та1 (Ь)(0).

J(г): = Та1 (Ь)(г) - Т01 (Ь)(0) = -.

О1

Поскольку функция Ь £ Яр,ш (О), то

3 ¿0 > 0, Р1(1) £ Р : \Ь(г)\Р1(\г\) < и(\г\), \г\ < ¿0. (6) Будем считать, что \г\ < §¿0. Представим J(г) в виде

/

J (z) = - Z

b(Z)d£dv

\

+

b(Z )dd

JJ Z (Z - z) JJ Z (Z - z) \ICI<<5o ÄQ<|CI<1

=: - П (Jl (z) + J2 (z)).

n

Ь £ Ьх,,1ОС(<5 {0}) - означает, что для любого I > 0

вир \Ь(г)\ < ж, поэтому имеем \(Ь(С)\ < Б(60) для

о1\и1

¿0 < \С\ < 1.

\J2(z)\ < B(ö)

d^dq

äq<ICI<i

|Z||Z- z|

<

i

< B(SQ)—2n dp < 6n SQ J

B(So) Sq '

Оценим \J1(z)\ с помощью леммы 3 и оценки (6)

\ji(z)\ < Я \b(9" 1( 1 Z| }d^> <

<

ICI<So

Таким образом,

ICI<ÄQ

M \ Z\)dd

\Z\ \Z - z\pi(\Z \)

M \ z\)

< Cq-

\ z\ \ Z - z\pi( \ Z \ )- \ z \ • B(Sq) t 1

0 < \ J (z) \ < 6 \ z \-j.-+ - Cqm( \ z \ ). (7)

ÖQ П

Так как V t £ (0,1] > = m(1), то u(t) > u(l)t. Следовательно, ш(\z\) > m(1)\z\, 0 < \z\ < 1. Поэтому окончательно имеем

b(sq) , 1.

\ J (z) \ < 6 \ z \ -+ - Cqm( \ z \ ) < CM \ z \ ).

ÖQ П

□

Следствие 2. lim J(z) = 0, т.е. функция TG(b)(z) непрерывна в точке z = 0.

Замечание 1. На самом деле доказано более точное неравенство (7).

Замечание 2. Поведение TG(b)(z) вне нуля исследуется как и в работе [4] (см. также строчку 5 таблицы первого раздела). Поэтому, так же, как в работе [4], полученный результат может быть использован с учетом соответствующих результатов из [7] или [8] для изучения краевой задачи для обобщенного уравнения Коши-Римана с коэффициентами из пространства Sp,u (G).

Автор выражает благодарность рецензенту работы за рекомендации, которые способствовали более качественному оформлению результатов.

Литература

1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.

2. Mikhailov L.G. A new class of singular integral equations and its application to differential equation with singular coefficients. Berlin: Academie-Verlag, 1970. 185 p.

3. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Ри-мана с сингулярной точкой. Душанбе: Та-джикНИИНТИ, 1993. 245 с.

4. Reissig M, Timofeev A. Dirichlet problems for generalized Cauchy-Riemann systems with singular coefficients // Complex variables, 2005. Vol. 50. No. 7-11. P. 653-672.

5. Тимофеев А.Ю. Весовые пространства функций в теории обобщенных уравнений Коши-Римана // Уфимский математический журнал, 2010. Т.2. № 1. С. 117-125.

6. Devore RA, Lorentz G.G. Constructive Approximation. Grundlehren der Mathemat. Wissenschaften. Springen Verlag. 1993. 451 p.

7. Ильчуков А.С., Тимофеев А.Ю. Задача Дирихле для голоморфных функций в пространствах, описываемых поведением модуля непрерывности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2010. № 1. С. 58-65.

8. Напалков В.В., Тимофеев А.Ю. Задача Дирихле для голоморфных функций в обобщенных пространствах Гельдера // Докл. АН, 2010. Т.432. No. 3. С. 1-3.