УДК 517.9
О ПОВЕДЕНИИ То-ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ, ОПИСЫВАЕМЫХ МОДУЛЕМ НЕПРЕРЫВНОСТИ
А.Ю. ТИМОФЕЕВ
Сыктывкарский государственный университет, г.Сыктывкар tim@syktsu.ru
В данной работе изучается функция Tq(V)(z), где Tq - оператор Векуа, a b(z) принадлежит пространству функций, описываемых модулем непрерывности. Доказывается непрерывность этой функции в точке z = 0.
Ключевые слова: обобщенные уравнения Коши-Римана, оператор Векуа, особая точка, модуль непрерывности
A.YU. TIMOFEEV. THE BEHAVIOR OF TQ-OPERATOR IN THE SPACES OF FUNCTIONS DESCRIBED BY THE MODULUS OF CONTINUITY
In this paper we study the function Tq(V)(z), where Tq - Vekua operator, and the function b(z) belongs to the space of functions described by the modulus of continuity. We prove the continuity of this function at the point z = 0.
Key words: generalized Cauchy-Riemann equation, Vekua operator, singular point, modulus of continuity
Введение
Эллиптическая система на плоскости предста-вима в канонической форме
ди ди ди ди , „ ...
Тл + аи + Ьи = 0, — + + си + ¿V = 0, (1)
дх ду ду дх
где а, Ь, с, й - заданные функции. Вводя в рассмотрение комплексную функцию
ш(г) = и(х,у) + IV (х,у), г = х + гу,
систему уравнений (1) можно записать в виде
dzw + Aw + Bw = 0,
(2)
где д^ш = 2 (шх + гшу), А = 1 (а + й + гс — гЬ), В = 1 (а — й + гс + гЬ).
Теория уравнений (2) построена И.Н. Векуа (см, например, [1]) в предположении, что А(г),В(г) принадлежат для ограниченной области О пространству Lq(О), где д > 2. В частности, если А(г),В(г) обращаются в бесконечность в некоторой изолированной особой точке, то порядок этой особенности должен быть строго меньше единицы. Поэтому даже уравнение (2) с такими коэффициентами, как А(г) = В (г) = 1 не вписывается в теорию Векуа.
Исследованию задач для обобщенных уравнений с коэффициентами, имеющими особенности в изолированной точке, посвящены работы Л.Г. Михайлова, З.Д. Усманова, Н.К. Блиева, А. Тунгатарова, М. Райссига и А.Ю. Тимофеева, Р Сакса, Г. Бегера , Г. Макацария и др. При этом результаты во многом определяются поведением основного оператора теории - оператора Векуа в окрестности изолированной особой точки [2-3].
В работе [4] допускающие особенности в точке г = 0 коэффициенты В (г) (А = 0) принадлежат весовому пространству функций Яр(О), которое является
объединением пространств
SP(G) = { B(z) : sup (\B(z)\p(\z\)) < ж
I G\{0}
Заметим, что для таких функций выполнено условие
В(г) £ LЖJOC(G\{0}).
Множество функций р(ь), обладающих достаточно общими свойствами, обозначается через Р. Пространство Яр (О) состоит из тех и только тех заданных в О функций В (г), для каждой из которых существует такая функция р(ь) £ Р, что В (г) £ Яр(О). Предполагается, что функции р(ь) удовлетворяют следующим условиям:
1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0,ьр], где гр <
2. Не убывают на (0,Ьр].
3. Иш р(Ь) = 0.
г^+0 4 / & < +<*>.
о 4 '
Таким образом, Яр(О) описывает поведение функций этого пространства в точке г = 0. При доказательстве основного результата в [4] существенную роль играет следующая теорема.
Теорема 1. Пусть Ь(г) £ Яр(О), тогда функция То (Ь)(г) непрерывна в точке г = 0. Здесь
TQ(b)(z) := -П п
b(Z )djdn Z - z '
То - основной оператор теории Векуа. В данной статье мы используем обозначение С = С + гц. В работах [1] и [2] приводятся свойства функции То(3)(г) в зависимости от свойств функции /(г). В данной работе доказывается аналог теоремы 1 для другого про-
странства функции Ъ(г), а именно, справедлива следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Ъ(г) £ Яр,ш (С), тогда для функции То (Ъ)(г) справедлива следующая оценка
\То(Ъ)(г) - Т(Ъ)(0)\< Сш(\г\),
где постоянная С не зависит от г.
Пространство Яр,ш(С) определяется заданным модулем непрерывности ш(ь) и введено во втором разделе данной работы. При доказательстве основного результата существенную роль играет следующая лемма.
Лемма 1. Пусть р £ Р и г = 0. Тогда справедлива оценка
J(z) :=
!C!<ä
1С - z\\zjp(!C\) - p \z\ :
где постоянная Ср не зависит от г.
Доказательство утверждения производится по схеме работы [4].
1. Свойства оператора То
В данном параграфе приводятся основные свойства оператора То (см. например, [1], с. 39).
Свойство 1. Пусть С - ограниченная область. Если 3 £ Ьр(С3), р > 2, то функция д = Tоf удовлетворяет условиям
\g(z)\- MiLp(f,G), z £ E, \g(zi) - g(z2)\- M2Lp(f,<5)\z1 - Z2\a, a-
p - 2
(3)
(4)
где г, , г2 - произвольные точки плоскости, а М1,М2
- произвольные постоянные, причем М1 зависит от р и С, а М2 - только от р; Ьр(3,(3) норма функции 3 в пространстве Ьр((3).
Неравенства (3) и (4) показывают, что То
- линейный вполне непрерывный оператор в пространстве Ьр((3), отображающий это пространство на Са, а = ,р > 2 (такие операторы называются иногда усиленно вполне непрерывными операторами), причем
р - 2
Ca(TGf, G) - MLp(f, G), a =
p
p> 2.
Свойство 2. Пусть f £ C(G). Тогда из
f (С )dd
g(zi) - g(z2) =
zi - z2
(Z - zi)(Z - z2)'
zi = z2,
следует
( \д(г)\< МС(3, С),
\ \д(гл) - д(г2)\ < МС(3, С)\г! - ^ г—г2| >
где й - диаметр области С, М - постоянная. Если же 3 £ Ьж(С), то имеем
{ \д(г)\< МЬ^и,С),
\ \д(г1) - д(г2)\< МЬЖ(3, С)\г1 - г2\ ^ ■
Из этих неравенств следует, что оператор То непрерывен в пространствах С(С3) и Ь^(С3), причем отображает эти пространства на класс функций, удовлетворяющих условию Дини.
В книге Л.Г. Михайлова [2] приводится таблица, показывающая свойства оператора То(3)(г) в зависимости от свойств функции 3(г):
Условия на f (Z) Свойства функции То(3)(г)
1) L(G) 2) Lp(G), 1 <p< 2 3) L2(G) 4) Lp(G), p> 2 5) L^(G), C(G) 6) Голоморфная в G Ь2-е(С), е> 0 мало Ьч(С), я = — Ьь(С) для любого в > 1 Са(С), а = — Аш = 0(\Аг\ ■ 1п \Аг\), Аш - модуль непрерывности Голоморфная в С
Данная таблица описывает лишь глобальное поведение функции TG(f )(z). В третьем и четвертом разделах настоящей работы изучается поведение указанной функции в окрестности особой точки z = 0.
2. Весовые функции, модуль непрерывности и пространство Sp(G)
2.1. Весовые функции
Как и в работе [4], будем рассматривать заданные на (0,1] функции P = P(T), удовлетворяющие следующим условиям:
1. Заданы и положительны на некотором промежутке (0,tp], где число tp зависит от функции p(t),tp < 1.
2. Не убывают на (0, tp].
3. lim p(t) = 0.
t^+0
4 1Щ) <
0 v '
Функция p(t) называется весовой. Множество функций p(t), обладающих этими свойствами, обозначается через P.
В дальнейшем будем считать функции p(t) заданными на всём промежутке (0,1], продолжая в случае необходимости p(t) на промежутке [tp, 1] постоянной, равной p(tp). В этом случае условия 1-4 будут выполнены уже на всём промежутке (0,1]. В работе [5] изучается, в частности, поведение весовой функции в нуле, а также связь с квазивогнутыми функциями.
Приведем примеры весов класса P.
Пример 1. p(t) = ta, 0 < a < 1. Пример 2. p(t) = t ■ lnß i, ß> 1.
Пример3. p(t) = Mn i lnln i... i )Qn..Jn i )ß £
k-i k
P при ß > 1.
2.2. Модуль непрерывности и основное пространство
В соответствии с определением из [6], р. 41 функция u(t), удовлетворяющая условиям:
1. u(t) > 0 и не убывает на [0,1];
2. ш(0) = 0;
3. u(ti + t2) - u(ti) + u(t2);
4. u(t) непрерывна на [0,1] называется модулем непрерывности.
Вместо условия 3 будем предполагать более сильное условие, что убывает при t> 0. Очевидно, что тогда u(t) полуаддитивна.
Пусть G = {z £ C : \z\ < 1}, для фиксированной функции p(t) £ P введем следующее множество функций:
sp,u (G) = {f (z) £ L^loc( G\{0}): 3¿o £ (0,1): Vz £ USo \f (z)\p(\z\) - wflzD} .
Теперь рассмотрим объединение по весовым функциям всех этих множеств Яр,ш(О) = у вр,ш(О). Призер
ведем пример функции из Яр,ш(О). Пусть во е (0,1) фиксированное число, /(г) = ^ принадлежит пространству (О), (здесь \г\ = г). В качестве весовой функции ра.(ь) можно взять любую функцию вида
РаЮ = га, для любого а е (во, 1). Тогда (г)\ра(\г\) =
Га — ро
а—во
т.е. / е Яр<ш(О), если ш(г) = V 3. Вспомогательные утверждения
В работе [4] доказывается следующая лемма . Лемма 2. Пусть р е Р. Тогда для г е (О = {г е С : \г\ < 1} справедлива оценка
ГГ Щп С И Р(\т - г\ < Ср'
о
где постоянная Ср не зависит от г е О.
При доказательстве основного утверждения нами будет использована следующая лемма. Лемма 3. Пусть р е Р и г = 0. Тогда справедлива оценка
Аналогично
1з <
ш(\С - гЩйп К - г\\С\р(\Ф
<
( = [[ и(\С\Щу С ш(\г\)
7(г):= 11 К - г\\С\Р(\С\) < Ср \г\ '
!С!<
где постоянная Ср не зависит от г.
Доказательство. Проводится по схеме доказательства леммы 2. Поскольку г = 0, представим О в виде объединения следующих, изображенных на рисунке,
4
множеств О = у Оу:
3=1
01 = (с : \С\< Щ , тогда \с - г\ > 12;
02 = (с : \С - г\ < Щ , тогда \}\> ^;
03 = (с : \С\ > ^ и \С\ < \с - г\} ;
04 = {С : \С - г\ > ¡2 и \С - г\ < \С\} .
4
Обозначим 7(г) := ]Г] I3, где
3=1
13 =
о.
d^dуш(\C\) \С - г\\С\Р(\С\).
Проведем оценки этих интегралов. При оценке первого интеграла используем монотонность функции ш. Тогда
II <
2ш(\г\)
_ ^У к С ш(\г\)
\г\ 77 \Ф(\Ф - Р \г\ .
о.
Так как функция ^^ убывает, то
12 <
2ш(\г\) \г\
d£ldу
К - г\р(\С\)
2ш(\г\) ГГ С щфЬ
\г\ 77 \С - г\р(\С - г\) < р \г\ .
■Ы
2ш( ¡2)
|г|
^У < С ш(\г\) \С\р(\С\) < р \г\ '
!С!> Ы
14 <
2ш(\г\) \г\
d£ldу
\С - г\р(\С\)
<
<
2ш(\г\) \г\
!<—*!> Ы
^У < С ш(\г\) - г\р(\С - г\) < р \г\ '
! (—г! >1
Следствие 1.
! С —го ! <
ш(\С - го\ \ С - г \ \ С - го \р( \ с - го \)
< Ср-
ез
ш(\г - го\) \ г - го \ .
Неравенство сразу следует из леммы, если произвести замену С = V + го.
4. Поведение оператора То на функциях пространства Яр,ш (о)
Пусть О = {г е С : \г \< 1}. Рассмотрим следующую функцию
= -п и х-*.
о
Теорема 3. Пусть Ь е Яр,ш(О), тогда для функции То (Ь)(г) справедлива оценка
\То(Ь)(г) - То(Ь)(0)\ < С1ш(\г\), где постоянная С1 не зависит от г.
(5)
Доказательство. Пусть функция Ь е Яр,ш(О), тогда существует несобственный интеграл -1 //
С
Это утверждение следует из неравенств
Ь(С №у
С
2
\ Ь(С) \ р( \ С \) р( \ С\)
dг <
2
С
/&т
-¡-г < Ж.
0
Обозначим данное число через Т01 (Ь)(0). Покажем,
что Иш Та1 (Ь)(г) = Та1 (Ь)(0).
J(г): = Та1 (Ь)(г) - Т01 (Ь)(0) = -.
О1
Поскольку функция Ь £ Яр,ш (О), то
3 ¿0 > 0, Р1(1) £ Р : \Ь(г)\Р1(\г\) < и(\г\), \г\ < ¿0. (6) Будем считать, что \г\ < §¿0. Представим J(г) в виде
/
J (z) = - Z
b(Z)d£dv
\
+
b(Z )dd
JJ Z (Z - z) JJ Z (Z - z) \ICI<<5o ÄQ<|CI<1
=: - П (Jl (z) + J2 (z)).
n
Ь £ Ьх,,1ОС(<5 {0}) - означает, что для любого I > 0
вир \Ь(г)\ < ж, поэтому имеем \(Ь(С)\ < Б(60) для
о1\и1
¿0 < \С\ < 1.
\J2(z)\ < B(ö)
d^dq
äq<ICI<i
|Z||Z- z|
<
i
< B(SQ)—2n dp < 6n SQ J
B(So) Sq '
Оценим \J1(z)\ с помощью леммы 3 и оценки (6)
\ji(z)\ < Я \b(9" 1( 1 Z| }d^> <
<
ICI<So
Таким образом,
ICI<ÄQ
M \ Z\)dd
\Z\ \Z - z\pi(\Z \)
M \ z\)
< Cq-
\ z\ \ Z - z\pi( \ Z \ )- \ z \ • B(Sq) t 1
0 < \ J (z) \ < 6 \ z \-j.-+ - Cqm( \ z \ ). (7)
ÖQ П
Так как V t £ (0,1] > = m(1), то u(t) > u(l)t. Следовательно, ш(\z\) > m(1)\z\, 0 < \z\ < 1. Поэтому окончательно имеем
b(sq) , 1.
\ J (z) \ < 6 \ z \ -+ - Cqm( \ z \ ) < CM \ z \ ).
ÖQ П
□
Следствие 2. lim J(z) = 0, т.е. функция TG(b)(z) непрерывна в точке z = 0.
Замечание 1. На самом деле доказано более точное неравенство (7).
Замечание 2. Поведение TG(b)(z) вне нуля исследуется как и в работе [4] (см. также строчку 5 таблицы первого раздела). Поэтому, так же, как в работе [4], полученный результат может быть использован с учетом соответствующих результатов из [7] или [8] для изучения краевой задачи для обобщенного уравнения Коши-Римана с коэффициентами из пространства Sp,u (G).
Автор выражает благодарность рецензенту работы за рекомендации, которые способствовали более качественному оформлению результатов.
Литература
1. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Наука, 1988. 512 с.
2. Mikhailov L.G. A new class of singular integral equations and its application to differential equation with singular coefficients. Berlin: Academie-Verlag, 1970. 185 p.
3. Усманов З.Д. Обобщенные системы Коши-Ри-мана с сингулярной точкой. Душанбе: Та-джикНИИНТИ, 1993. 245 с.
4. Reissig M, Timofeev A. Dirichlet problems for generalized Cauchy-Riemann systems with singular coefficients // Complex variables, 2005. Vol. 50. No. 7-11. P. 653-672.
5. Тимофеев А.Ю. Весовые пространства функций в теории обобщенных уравнений Коши-Римана // Уфимский математический журнал, 2010. Т.2. № 1. С. 117-125.
6. Devore RA, Lorentz G.G. Constructive Approximation. Grundlehren der Mathemat. Wissenschaften. Springen Verlag. 1993. 451 p.
7. Ильчуков А.С., Тимофеев А.Ю. Задача Дирихле для голоморфных функций в пространствах, описываемых поведением модуля непрерывности // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2010. № 1. С. 58-65.
8. Напалков В.В., Тимофеев А.Ю. Задача Дирихле для голоморфных функций в обобщенных пространствах Гельдера // Докл. АН, 2010. Т.432. No. 3. С. 1-3.