Аналитическое решение задачи взаимодействия межфазной трещины с отслоившимся межфазным включением при наличии сосредоточенных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.375

А.К. Ярдухин

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНЫ С ОТСЛОИВШИМСЯ МЕЖФАЗНЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ ПРИ НАЛИЧИИ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ

В рамках линейной теории упругости решается задача взаимодействия межфазной трещины и полностью отслоившегося тонкого жесткого гладкого остроугольного межфазного включения, расположенных на линии соединения двух разных по упругим свойствам полуплоскостей. Рассматривается плоское напряженное состояние при наличии нагрузок на бесконечности и конечного числа сосредоточенных сил, приложенных к внутренним точкам упругих полуплоскостей. В явной форме строятся комплексные потенциалы, описывающие напряженное состояние составной плоскости.

Пусть в кусочно-однородной упругой плоскости, составленной из двух различных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред расположены открытая трещина [а, Ь], берега которой свободны от напряжений

(оу - itxy)± (0 = 0, t е (а, Ь), (1)

и полностью отслоившееся тонкое жесткое остроугольное включение [с, d]

т± (0 = 0, (Vх )± ^) = 0, t е (с, d). (2)

Верхняя полуплоскость имеет модуль сдвига т и коэффициент Пуассона V1, нижняя - /л2 и V2. Вне трещины и включения полуплоскости жестко соединены друг с другом. В конечном числе точек zk, k = 1, 2,..., п, не лежащих на линии раздела сред (1тzk Ф 0), приложены сосредоточенные силы Xk + iYk и сосредоточенные пары сил с моментами Mk относительно точки приложения. Также известны значения напряжений и вращения на бесконечности:

0у1 = 0 у 2 = 0у ; Тxy1 = Тxy 2 = Тxy ; 0x1, 0x 2 и & х1 , & х 2 ’

связанные между собой условиями неразрывности [1].

Требуется найти плоское напряженное состояние составной плоскости.

Частный случай поставленной задачи решен в работе [2].

Рассмотрим сначала случай, когда в единственной точке z0 (1т z0 Ф 0) приложена сосредоточенная сила X0 + iY0 и сосредоточенная пара сил с моментом M0 относительно z0. Воспользуемся формулами Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости [3]:

ох + о у = 4Яе Ф( z); о у - iТxy =Ф( z) + й( z) + (z - z )Ф'( z);

2л1е = (1 + К‘1)1т Ф(z); 2л1(и + iv)X = к1Ф(г)-П(г) - (г - z )Ф/(z)

в верхней полуплоскости 1т z > 0 ,

ох + о у = 4Яе F (z); о у - Т = F (z) + г) + 54 Ф( г) + (z - г) ^'(z);

2л2е = (1 + к2)1тF(z); 2л2(и + ^)'х = к^(г) - 53О(г) - 54Ф(г) - (г - г)F'(z)^;

ч ч глг ч л1 + л2к1 Л - л2 л2 + л1к2 л1к2 - л2к1

F(г) = 51Ф(г) + 52П(г); 51 = ——С^Х; ^ = _С1—с^; 5 = ^1—сь_!; 54 = Г1 2 ^2 1

(3)

(4)

Л1(1 + Кг) Л1(1 + к2) Л1(1 + к2) лД1 + к2)

в нижней полуплоскости 1т г < 0. Функции Ф(г), П(г) - кусочно-голоморфные с линией разрыва Ь = [а, Ь] и [с, d], допускающие на концах линии особенности интегрируемого характера и имеющие в окрестности ¥ вид:

ч Л\ X0 + iY0 -2ч ч 2 X0 + iY0 -2

Ф(г) = -------^--------^---0 + 0(г 2); ОД = /2 + ^^----------------^+ О (г 2);

Л! + Л 2к1 2лг Л 2 + Л\К 2 2лг

/1 = (оХ1 + о¥)/4+i • ЛГ(1+к)-1; у 2 = о ¥-^ ¥ - /1.

Кроме того, если 1т г0 > 0 , то в окрестности точки г0 имеем

р 5 Р X + iY

Ф (г) = —^ + 0(1), ОД =- ---!- + 0(1); р =- —^

г - г0 53 г - г0 2р(1 + к1)

а в окрестности точки г0 -

Ф(г) = -52О(г) + 0(1); О(г) = р^к1р1 + (г0 г0)Р1 д + 0(1), д = - М

51 г - г0 (г - г0) 2р

Если же 1т г0 < 0 , то в окрестности точки г0 функция О(г) голоморфна,

Ф(г) = 5-1Р2(г - г0)-1 + 0(1), а в окрестности точки г0 функция Ф( г) голоморфна, функция

О( г) = —

53

' Р2 - к2 Р2 + (г0 - г0) Р2 - д Л

+ 0 (1); Р2 =- X0 +'Т0

2р (1 + к 2)

На основании формул (3), (4) из условий (1), (2) для нахождения функций Ф(г), О(г) получим краевые условия вида

Ф+ (^ + О- (^ = 0; 51Ф-(t) + 52О- (t) + 53О+ (t) + 54Ф+ (t) = 0 при t е (а, Ь);

1т (Ф+ (t) + О- (t) ) = 0; 1т (51Ф- (t) + 52О- (t) + 53О+ (0 + 54Ф+ (t) ) = 0; (5)

1т (к1Ф+(t) -О- (t)) = 0; 1т(к 2 51Ф-(t) + к 2 52 О-(0 - 53 О+ (0 - 54 Ф+ (t)) = 0 при t е (с, d).

Введем в рассмотрение новые функции:

F1 (г) = 51Ф(г) - 53О(г); F2 (г) = Ф(г) + О(г).

Тогда если 1т г0 > 0 , то

Fl(z) = Р(г-г0)-1 + 0(1); F2(z) = (1 -у^-1)• F1(z) + 0(1) при г ® г0;

^(г) = к^-р1 + д -(-^р + 0(1); F2(г) = (1 -5453-1) • ^(г) + 0(1) при г ® ^; (6)

г - г0 (г - г0)

а если 1т г0 < 0 , то

Fl(z) = Р2(г -г0)-1 + 0(1); F2(z) = 5-1 • Fl(z) + 0(1) при г ® г0; ад = ЪЪф. + д -((го -г°2)Р + 0(1); F2(z) = --^(г) + 0(1) при г ® 70. (7)

г - г0 (г - г0) 53

В окрестности ¥ эти функции имеют вид

^(г) = 51/1 -53/2 --2+-YL + 0(г-2);

2р г

F°(z)=о;- тху+——Xо:t^YL+o(z-°). (8)

у у (л1 + л2к1)(л2 + Л1к2) 2р г

Из (5) для нахождения функций F1 (г), F2 (г) следуют две отдельные краевые задачи:

F1+ (t) - F1- (t) = 0, t е (а, Ь), 1тF1± (t) = 0, t е (с, d); (9)

F2+ (t) + mF°- ^) = 0, t е (а, Ь), 1т F2± (t) = 0, t е (с, d). (10)

Обе задачи представляют собой комбинацию краевой задачи Римана и краевой задачи Гильберта. Для решения задачи (9), следуя [4], на двулистной римановой поверхности ^ для функции w(г) = ^(г - с)(г - d) , листы которой склеены друг с другом крест-накрест вдоль берегов разреза [с, d], введем функцию

[Е1(г), г е С1,

= 1 ^ С1 (11)

[F1(г*), г е С2 ,

где С1 и С 2 - верхний и нижний листы поверхности соответственно; г* - точка, симметричная с точкой г относительно линии Ь соединения листов поверхности, состоящей из верхнего [с, d]+ и нижнего ^, с]- берегов разреза [с, d], обходимых так, что при этом верхний лист поверхности остается слева.

Тогда для нахождения функции F1 (г) на поверхности ^ получим

F1+ (0 = F1-(0, tе /и /* иЬ, у = (а, Ь) с С1, у* = (а, Ь) с С2, Ь = [с, d]+и^, с]- , т. е. F1 (г) является мероморфной функцией на ^, имеющей полюсы второго порядка в точках с аффиксами г0, г0 на обоих листах поверхности и простые полюса в точках ветвления поверхности. Такая функция имеет вид

г) = А +

А2 + А г ВГ

w( г)

/

+

+

+

С;

+

С2

+w( г)

а

+

^0

а

г - го

+

+

+

Из условия симметрии р (г*) = Е1 (г) следует, что А1 = А1, А2 = -А2, А3 = -А3, В2 = В1,

С 2 = С1, В2 = -ВГ, Е2 = -ЕГ. Тогда, в силу (11) имеем

р( г) = А + і

А2 + А3 г

w( г)

+

Ві

+

Ві

г - гп

+

Сі

+

Сі

а а

+

Еі

Еі Л

+

+w(z) _ ° _ °

г0 г - г0 (г - г0) (г - г0)

V У

где А1, А2, А3 - действительные числа; В1, С1, £>1, Е1 - комплексные. Разлагая функцию F1(г) в ряд Лорана в окрестности ; и используя условия (6) - (8), найдем

А = Яе(51/1 - 53 / 2); А3 = 1т( 51/1 - 5 3 / 2 - 2^1);

А2 =-Го/(2р) - 1т( SlYl - ^ - 4 Д) - 2Іт( Ві + го В; + Еі);

Ро + бо

Яо

і

Ві = - о ' ^0 ; Сі = _!; Ві =

і 2 і 2 і 2w(z0)

Ро - бо +

w/( г о) w( г о)

Яо

; Еі =-

Яо

2w( г о)

іУо Xо кГ - і

Р = Р ,

о2

2р 2р кГ + і і7о Xо к2 - і

2р 2р к2 + Г

Яо =

Яо =

іМ о 2р

іМ о 2р

+ (го - го )Рі, если Іт го > о ;

+ (го - го )Р2, если Іт го < о .

Аналогично, вводя на ^ функцию

*2( г) =

[ *2( г),

[Р2(), ^ ^ '-'25

из (10) для ее нахождения получим однородную краевую задачу Римана

F°+ ^) + mF°- ^) = 0, t е /, mF°+ (t) + F°- (t) = 0, t е /*, F°+ (t) - F°" ^) = 0, t е Ь .

Решение этой задачи, ограниченное на бесконечности, удовлетворяющее условию симметрии F°(г*) = F°(г), имеющее полюсы второго порядка в точках с аффиксами г0, г0 на обоих листах поверхности и простые полюса в точках ветвления поверхности, имеет вид

А' + А г + і

А3 + А4 г + А г2 В'

w( г)

+

+

В

+

+

с;

+

с;

(г - го) (г - го)

С(г) = 1

^ТГ + w( г)

в; в;

г - гп

+

е;

е;

- а - w(г) + w(a) г - Ь + w(г) + w(Ь)

д/(г - а)(г - Ь)

г - Ь - w(г) + w(Ь) г - а + w(г) + w(a)

у

где Ь = (1п т)/(2р), все А'к - действительные, В', С', В', Е' - комплексные числа. Снова, разлагая функцию ¥2 (г) в ряд Лорана в окрестности ¥ и используя условия (6) - (8), найдем,

А2 = а ;Яо - г¥уНо; А5 =-т¥уНо - а; Яо' ; А' = + Я2Яоо;

А4 = Я 2 Я о- Я'Яо-^4'-2Іт в; ; С' = Яо (2С(^)-'; Е' = -Я (2w(zо)С(^)-1;

С(г о) С (г о)

; а' =

і

2w( Го)

71

С(го) С (го)

; Яо = Я о+ іЯ! =

Я; = -А2Nо + А5- *5Хо /(2р); Я2 = -А5^о - А2,+ 557о /(2р);

Ґ

с + ё - 2а - 2т(а) с + ё - 2Ь - 2т(Ь)

но+ іно=Я

а + Ь + і Ь (а - Ь + т (а) - т (Ь))

1 + -

(с - ё )2

(с + ё - 2а - 2т(а))(с + ё - 2Ь - 2т(Ь))

7

2

2

+

«(г) ^ |( г - с)( г - а )|; ,5 = -1) .

(т + тлХт + мл)

Т1 = Р0 - С1Х'( г0 ) - Е1 (ж '(г 0 М г0 ) + Ж ( г0 >'( г0) );

Т2 = 60 -С1 /Ы -Е1 (Х'(г0>(г0) + X(?0>'(г0));

Р)' = (1 - 5453-1 )Р, 60 = (5251-1 -1)00, К = (5251-1 -1) • (М0 /(2р) + (^ ^)р), если 1т ^ > 0 ;

Р0' = s^lP2, 60 = -5з-100, К = -5з-1 • (1М0 /(2р) + (^ - ^0)Р2), если 1т ^ < 0 .

Для нахождения последней постоянной А используется условие однозначности горизонтальных смещений при обходе трещины или включения:

Яе | (я5 (р+ (Г) - р- (Г))+ ^2+ (Г) - ^- (Г ))л = 0, (12)

где интеграл берется по отрезку [а, Ь] или [с, й].

В общем случае, при наличии конечного числа точек гк, к = 1, 2,..., п, к которым приложены сосредоточенные силы Хк + 1Ук и сосредоточенные пары сил с моментами Мк относительно точки приложения, функции р (г) и Р2 (г) будут иметь вид

р( z) = A + /

A2 + A3 z

+

W(Z) k=j

я f

+w(z)

B„

+

B„

+

C„

+

C„

(z - zk)2 (z - zk)2

+

D„

D„

z - z,

z - z,

+

(z - zk)

(z - zk)2

F2( z ) = Ж ( z )

, , .A' + A4 z + A5 z2 -Л

A; + A2 z + 7 —-5—+X

w( z)

B'k

+

B[

+

C

+

(z - zk)2 (z - zk)2

+

D[

z - z.

D'k

+

К

К

(z - zk)2

ч '-к г - гк (г - гк ) У* _ *к >

Для нахождения постоянных, входящих в решение задачи, используются представления этих функций в окрестности каждой из точек гк, в окрестности ¥, а также условие (12).

Полученные результаты можно использовать для исследования на прочность слоистых композиционных материалов с трещинами и отслоившимися включениями на линии раздела сред, которые, как правило, остаются в материале при его изготовлении и/или появляются в процессе его эксплуатации, например из-за отслоения армирующих элементов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Rice J.R., Sih G.C. Plane problems of cracks in dissimilar media // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. 1965. V. 32. № 2. P. 418-423.

2. Сильвестров В.В., Ярдухин А.К. Межфазная трещина и отслоившееся тонкое жесткое гладкое межфазное включение при сложном нагружении // Проблемы механики неупругих деформаций: Сб. науч. ст. к 70-летию Д.Д. Ивлева. М.: Физматлит, 2001. С. 301-3l3.

3. ЧерепановГ.П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 296 с.

4. Зверович Э.И. Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах на римановых поверхностях // УМН. 1971. Т. 26. Вып. 1. С. 113-179.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проекты 01-01-00720 и 03-01-06275.

Поступила 7.06.2003 г.