Бесконечная плоскость с круговым включением, имеющим отслоение на части границы Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 10. 2009. Вып. 4

УДК 539.3

В. М. Мальков, Ю. В. Малькова, В. А. Иванов

БЕСКОНЕЧНАЯ ПЛОСКОСТЬ С КРУГОВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, ИМЕЮЩИМ ОТСЛОЕНИЕ НА ЧАСТИ ГРАНИЦЫ*)

Введение. Рассматривается плоская задача теории упругости (плоская деформация или плоское напряженное состояние) для бесконечной пластины, содержащей круговое включение из другого материала. На части окружности, разделяющей две области, имеется трещина (отслоение), на берегах которой поставлены статические условия. На бесконечности заданы внешние усилия и угол поворота. Для решения этой задачи применяется аппарат теории комплексных потенциалов [1] в сочетании с методом функций скачков напряжений и перемещений на линии раздела. Введение функций скачков позволяет получить простым способом точные решения многих классов сложных задач, в том числе сингулярных. Этот метод был успешно использован при решении задач

о прямолинейных и слабо искривленных межфазных трещинах в [2]. Для решения задач о криволинейных межфазных трещинах метод применяется впервые. Его можно использовать не только для случая кругового включения, но и для любых областей включения, отображаемых на круг. Известно, что напряжения и перемещения задач

о прямолинейных межфазных трещинах содержат осциллирующие слагаемые у концов трещин, которые приводят к наложению ее берегов. Оказалось, что подобное явление, противоречащее физическому смыслу, имеет место и в рассматриваемых задачах

о криволинейных межфазных трещинах. Хотя осцилляция проявляется в весьма малой окрестности конца трещины, она свидетельствует о неприменимости линейной теории для оценки напряжений и перемещений в данной области.

Исследованию криволинейных трещин на границе раздела двух упругих сред посвящено относительно небольшое число статей, в их числе [3-9]. Ссылки на некоторые более ранние работы имеются в [3]. Наиболее интересными и близкими нам по рассматриваемым проблемам и методам решения являются работы [3, 4]. В них изучались трещины в виде дуги окружности на линии раздела двух материалов - упругое

Мальков Вениамин Михайлович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры моделирования электромеханических и компьютерных систем факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 3 монографии и более 85 статей. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. E-mail: vmmalkov@apmath.spbu.ru.

Малькова Юлия Вениаминовна — старший преподаватель кафедры вычислительных методов механики деформируемого твердого тела факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Количество опубликованных работ: 1 монография и 14 статей. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. E-mail: vmmalkov@apmath.spbu.ru.

Иванов Виктор Анатольевич — студент V курса факультета прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научное направление: механика деформируемого твердого тела. Телефон: (812)428-42-35.

+ ) Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы РФ (2009—2010 годы)» (проект № 4504) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 09-01-00656).

© В.М. Мальков, Ю.В. Малькова, В.А. Иванов, 2009

круговое включение, частично соединенное с плоскостью. В [3] рассмотрена задача

о трещине при действии давления на ее берегах и заданных усилиях на бесконечности; в [4], помимо названных внешних воздействий, изучалось действие сосредоточенных сил, приложенных в точках кругового включения или плоскости. Аналогичные задачи для жесткого кругового или эллиптического включения исследовались в [5-7]. Во всех работах применялись практически одни и те же методы решения, основанные на теории комплексных потенциалов и сведении к граничным задачам Римана-Гильберта. Работа [8] посвящена экспериментальному исследованию оптическим методом криволинейной трещины в виде дуги окружности на круговом включении в упругую матрицу. Определялись коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) в окрестностях концов трещины при одноосном растяжении на бесконечности. В статье [9] выполнен теоретический анализ аналогичных задач. В справочнике [10] приведены результаты расчетов интегралов Райса-Черепанова для некоторых частных задач, рассмотренных в источниках [3-9]. В кратком обзоре не отмечены работы, где изучались слабо искривленные трещины на границе раздела двух сред. Эти задачи решают методом возмущений, где в качестве базовой служит прямолинейная трещина. Достаточно полный обзор таких работ сделан Ю. В. Мальковой [2].

В настоящей работе получены решения нескольких задач для плоскости с круговым включением. В первой из них на линии раздела известны функции скачков напряжений и перемещений. Примерами приложения метода служат задачи о сосредоточенных силах на границе раздела. На основе метода скачков получено решение важной практической задачи о трещине в виде дуги окружности на линии раздела материалов.

Основные соотношения. В декартовых координатах (ах, а2) компоненты тензора напряжений и вектора перемещений следующим образом выражаются через комплексные потенциалы Колосова-Мусхелишвили [1]:

■

оц + сг 22 + г—-- = 4Ф(г),

1 + К

022 - 0-ц + 2*0-12 = 2\гФ'{г) + Ф(-г)], (1)

2^ (и\ + ги2) = кф(г) — г ф'(г) — ф(г),

здесь использованы стандартные обозначения, в частности л - модуль сдвига, к - параметр, выражающийся через коэффициент Пуассона материала, г = ах + *а2.

Решение рассматриваемой задачи удобно проводить в полярных координатах (г, в) (комплексная переменная г = гвгв). Далее будут применяться формулы

_____ _______ £ ______

агг + 1сггв = Ф(-г) + Ф(<г) — гФ'(г)-

овв ~ гавг = Ф(г) + Ф(г) +~гФ'(г) + - Ф(г), (2)

г

____ __________ % ____

2ц(и[ + т2) = гг [лФ(г) — Ф(-г) -\-гФ'(г) -\— Ф(-г)],

где штрих у перемещений и и и2 означает частную производную по переменной в.

Предположим, что упругое включение представляет собой круг единичного радиуса, граница круга - кривая Ь служит линией раздела материалов. Формулировка граничных условий и решение граничных задач Римана-Гильберта, к которым сводятся

краевые задачи, существенно упрощаются, если вместо функции Ф(-г) ввести новую комплексную функцию с помощью соотношения [1]

ад = ф(1)_1ф'(1)-1*(1). (3)

Если функции Ф(г), ty(z) введены в области | z\ > 1, то функция Q(z) будет определена

в области \ z\ < 1, и наоборот, если функции í>(z) и ^(z) определены при \ z\ < 1,

то функция Q(z) - при \ z\ > 1.

Из равенства (3) получим

Я>(г) = \ф(г)--ф1(г)-^п(-). (4)

z2 z z2 \z J

Формулы (2) запишем так:

arr + iarg = Ф(г) + ü ^ j + z ^(z)> (5)

оee — i<J0r — Ф(^) + 2Ф(г) — П ( —J — z [z~~ I

2y,(u'i + iu'q) = iz

(6)

Предполагается, что lim(1 — r)^(z) = 0, тогда на окружности r =1 последние слагае-

Г1

мые в формулах (5), (6) обращаются в нуль (в этом смысл введения функции (3)).

Задача 1. Рассматривается бесконечная плоскость с упругим круговым включением из другого материала (рисунок). Будем считать, что на бесконечности при | z\ ^ ж заданы напряжения и угол поворота. На границе раздела заданы скачки напряжений и перемещений. Решения других задач, в том числе задачи о трещине (отслоении) на линии раздела, будут получены на основе результатов решения первой задачи. Круговую область включения обозначим Si, а внешность круга - S2, параметры упругости для этих областей - ці, кі и ¿2, К2 соответственно.

На бесконечности при \ z|^<» имеем

Oij ^ aij , ш ^ ш™, i,j = 1, 2. (7)

На линии раздела L заданы условия

[огг(t) + ior0(t)]+ — [огг(t) + ior0(t)]- = До (t), (8)

[ui(t) + iu2(t)]+ — [ui(t) + iu2(t)]- = Ди(t), (9)

где До(t), Ди(t) - функции скачков напряжений и перемещений, t = в10. Символы

[...]+ и [...]- означают предельные значения величин в скобках при приближении к линии раздела из областей Si и S2 соответственно. Предполагается, что функции скачков абсолютно интегрируемы и удовлетворяют условиям Гёльдера, этого достаточно для существования интегралов типа Коши, которые появятся позже.

Вместо (9) будем использовать условие для производных перемещений по в

[ui(t) + iu2(t)]+ — [ui(t) + iu2(t)]- = Ди0(t). (10)

Плоскость с круговым включением

Комплексные потенциалы, относящиеся к областям Бк, к = 1, 2, обозначим Фк(г), ^к (г), (г) соответственно.

Запишем условия (8), (10) через комплексные потенциалы, используя выражения

(5), (6):

[Ф1 (г) — П2 (г)] + — [Ф2 (г) — П1 (*)]“ = Да (г), (11)

[л2 К1 Фх (г) + Ц1 ^2 (г)}+ — [л1 К2 Ф2 (г) + л2 ^1 (г)]“ = 2^1 Л2 Ди' (г). (12)

В уравнении (12) перешли от дифференцирования по переменной в к дифференцированию по переменной г = вгв: д/дв = %гд/дг.

Введем две новые комплексные функции с помощью равенств

Н<*<*] - 9<*“Л" * Є ^' (13)

|ф2<*) — 9 <*), если * Є $2;

г <*) \ №К1 Фі <*) + ¡119,2 <*), если * Є $1,

1^1 К2Ф2<*) + (129і <*), если * Є $2•

Тогда граничные задачи (11), (12) запишутся так:

Н+ <і) — Н- <г)=А а <і), г+ <і) — г- <Ь)=2^1 ц2 А и' <і). <15)

Комплексные функции Н<*) и г<*) голоморфны всюду, исключая линию раздела, на которой они не определены, и точку * = 0. Отметим, что комплексные функции такого вида были введены в книге [2] при рассмотрении краевых задач о трещинах в двухкомпонентной плоскости с прямолинейной линией раздела.

Выразим комплексные потенциалы через функции (13), (14):

Ы = )=ГМ+»№, ¡Ы;)=Г<;>-^-'‘<;>, ;€Я,, (16)

1^1 + ^2 К1 ^1 + ^2 К1

Ыг) = ‘'Ы + >‘MZ), 0.W = Ф) ~ ,'Mh{Z) ■ (17)

М2 + MiK М2 + MiK

Функции (z) находятся по формуле (4).

Прежде, чем приступить к решению граничных задач Римана-Гильберта (15), исследуем поведение потенциалов в окрестностях бесконечной точки и полюса z = 0.

Комплексные потенциалы $i(z) и ^i(z) определены в области SI, которой соответствует \ z\ < 1, и должны быть голоморфны в ней, что следует из (1):

Ф1 (z) = Ao + Aiz + A2Z2 + ..., Фi(z) = Bo + Biz + B2Z2 + ....

Согласно (3), функция Oi(z) определена в области S2 и голоморфна в ней:

Cli(z) = Со + С\ —|- —2 + ... •

z z2

Из соотношения (3) получим Со = Ао, С\ = 0, С2 = — А2 — В о,....

Комплексные потенциалы Ф2(z) и Ф2(z) определены в области S2, которой соответствует \ z\ > 1, и голоморфны в ней, включая бесконечную точку:

Ф2(г) = А'о + А\—\- А'2— + ..., Ф2(z) = В'о + В[—\- В2— + ....

z z2 z z2

Функция &2(z) определена в области Si и, согласно формуле (3), имеет особенность в точке z = 0, а именно - полюс второго порядка

il2 (z) = D'0—^ + D[—\- C'0 + C[z + ...,

z2 z

где D'0 = -B0, D'i = -B'i; точками обозначена голоморфная часть.

Учитывая приведенные разложения комплексных потенциалов в окрестностях точек z = ж и z = 0, решения граничных задач (15) получим в виде

1 Г Ao(t) , 1 , 1

h(z) = -—: ------dt + h(oo) + hi-+ h,2~5,

2пг JL t — z z z2

(18)

uiu2 ¡' Aui(t) , 1 1

r(z) =----— —---dt + r(oo) + ri- + r2^r.

пг JL t — z z z2

Интегралы типа Коши вычисляются на окружности t = егв, в G [0, 2п]. Они представляют собой голоморфные функции на всей плоскости (в областях Si и S2), кроме окружности раздела, и стремятся к нулю при \ z|^^. Поэтому решения нужно было дополнить слагаемыми, которые дают значения функций на бесконечности и учитывают особенности решений в полюсе при z = 0. Комплексные функции h(z) и r(z) в областях S1 и S2 не являются непрерывными аналитическими продолжениями, они будут таковыми, если функции скачков равны нулю на линии раздела или ее части. В формулы (18) вошли шесть неизвестных постоянных, которые предстоит найти.

Значения функций h(z), r(z) на бесконечности, которые участвуют в формулах (18), таковы:

h( 00) = Ф2 (00) — f2i(oo) = Ф2 (00) — Ф1(0),

_____ (19)

г( ОО) = Ц1Х2Ф2(оо) + ¡л 2^1(00) = щк2Ф2(оо) + /x2$l(0).

Из формул (1) и условий (7) следует

оо , оо , а11 + а22 + *'

1 + К2

Ф2(оо) — В'о — 2 [°"22 - аи + 2*сг^]-

(20)

Постоянная Ф1(0) находится по первой формуле (16), куда нужно подставить функции

(19) и положить г = 0.

Поскольку функция Ф^г) не имеет особенности в точке г = 0, получим

Г1 = —^1^1, Г2 = —М1^2- (21)

Постоянные Н\ и Л-2 выражаются через коэффициенты разложения потенциала ^2 (г) в окрестности точки г = 0:

/И = -В[ = В[, Н2 = -В’0 = Щ.

Постоянные Л[ и В1 определяются главным вектором внешних сил на окружности раздела |г|= 1:

Г = Г1 + ¿Г2 = J Да (г) в1в ¿в.

Преимущества метода скачков очевидны на примере решения следующих задач

о действии сосредоточенных сил. Рассмотрим действие сосредоточенной силы Г = Г + ¿Г2 в точке в = во линии раздела. Решение этой задачи позволит найти постоянные Л[ и В[. Функция скачков напряжений имеет вид Да (г) = Г в“гв° 5(в — во). Функции скачков перемещений и производных перемещений равны нулю. Найдем функции (18)

1 ^ --------- 1 -------------------- 1

Ь,(г) =------- ----Ф1(0) + /и—, г(г) = /¿2 Ф1 (0) — /11/11“. (22)

г — го 2п г г

Подставим их в формулы (16), (17), из условия, что постоянная С1 = 0 в разложении функции &1(г) на бесконечности, найдем постоянную Л-1. Для комплексных потенциалов получим такие выражения:

ф,н= р 1

Ф2(г)

Ц1 + Л2К1 Л1 + М2 К 2п г — го ’

Л2 — Л1 К2 Г 1 ^2 Г 1

Л2 + Л1К2 1 + К2 2п г Л2 + М1К2 2п г — го ’

Ц\Х2 ^ 1 \1\Х2 ^ 1

Л2 + М1К2 2п г ^2 + М1К2 2п г — го’

= + (23)

Л1 + Ц2К1 1 + К2 2п г т + Ц2Х1 2п г — го

/XI ^ 1 /Х1Х2 ^ 1

Л1 + т2К1 2п го(г — го)2 Ц2 + Л1К2 2п г — го’

Л2(1 + К1) 1 Л2 — т1 К2 Г 2

Л1 + т2 К1 * 1 ^' г2 Л2 + Л1К2 1 + К2 2п г3

М2

¥ 2г — го

+

М2К1

¥

1

+

К2

¥ 1

Л2 + М1К 2п г2(г — го)2 т + М2 К 2п г(г — го) 1 +К2 2п г'

Построим разложения потенциалов на бесконечности

Ф2(г) — Ф2(ю) —

1 ¥ 1

1 + К2 2п г Пі(г) = П1(то) + 0(г-2).

- + 0(г~2),

Для постоянных Л1 и В\ получим формулы

К2

¥

А[ =----------------— —, В\ -------------------------------------

1 + к2 2п 1 + к2 2п

Теперь найдем значения постоянных (21)

К2 Г 1

Ь1 = Т^-5-> Ь2 = -(о%-о™-2го%),

1 + К2 2п 2

М1 к2 Г 1 <х> г* ■ <х> \

Г1 — 7Г~ > г2 — ~Т) ^Ла22 - а11 - 2*СГ12)-

1 + К2 2п 2

Неизвестная постоянная Ф>1(0) определяется с помощью первой формулы (23)

для потенциала Ф1(г), вычисленного в точке г = 0.

Напряжения во включении и в плоскости находятся по формулам (2), где комплексные потенциалы даны формулами (23). В частности, напряжения в круговом включении таковы:

О тт + Ют0 — 2Ве

Мі

М2 — Мі

Мі + М2кі

Фі(0) —

Мі

¥1

Мі + М2Кі 2п г — го

¥ г(г - г0)

МіК2

¥1

т + ¡12^! 2іг г(г - г0)2 М2 + Мі^2 2іг г - г0 ’

О 00 — іото — 2Вє

М2 — Мі Мі + М2^і

Фі(0) —

Мі

¥1

Мі + М2 к і 2п г — го

+

+ ■

Мі

¥ г(г - г0)

+

МіК2

¥1

М1 + М2^1 2тт г(г - г0)2 ' М2 + М1^2 27т г - г0'

Напряжения не имеют особенности в точке г = 0, а в точке г = го, где приложена сосредоточенная сила, имеют полюс первого порядка (особенность вида (г — го)-1). Некоторые из комплексных потенциалов (23) имеют в этой точке полюс второго порядка.

Пусть теперь на линии раздела действует система сил ¥& в точках в = вк, к = 1, п. Функция скачков напряжений имеет вид Да (г) = ^2 к Гк в-гвк 5(в — вк), функция скачков перемещений равна нулю. Ограничимся нахождением функций (18)

к=і

— Фі(0) +

К2

1 + К2 2п г

Р 1 ^

г{г)

М2Фі(0) —

щ ¥ 1

1 + К2 2п г ’

где ¥ — ¥і + ... + ¥п - главный вектор сил на линии раздела. 158

Задача 2. Рассмотрим частный случай задачи 1, когда функции скачков напряжений и перемещений на линии раздела равны нулю. На бесконечности заданы внешние усилия и угол поворота. Комплексные потенциалы (18) станут такими:

1г(г) = 1г(оо) + 1г2^, г(г) = г(оо) - /л11г2^,

значения функций на бесконечности и постоянной Л-2 даны формулами (19)—(21), (23).

Функции Н(г), г (г) определены во всей плоскости, включая линию раздела (в данной задаче скачки напряжений и перемещений отсутствуют). Они имеют особенность в точке г = 0 - полюс второго порядка, однако вычисленные по ним функции Ф1 (г) и Ф1(г) особенности не имеют.

Определим комплексные потенциалы (16), (17)

Ф1(г) = М1(1 + Х2) Ф2(оо)+ М2~М1 Щ0), (24)

т + М2К1 т + т К1

Ц\К2 - [12 >С\ /х2(1 + ^1) Л /гЛ и 1

У12{г) = ------------Ф2(оо) Н--------------Ф1(0) - п2—~,

Л1 + Л2К1 т + Л2К1 г2

Ф2(г) = Ф2(оо) + М2 М1 Ь2\, П^г) = Фі(0) - ^1 + ж^

М2 + МіК2 г2 М2 + Мі К2 г2

Постоянная Фі(0) находится из формулы (24)

ІІеФі(О) = т 2 ^1 + К2) П(стп+^”), 1тФ1(0) = -^-с;

4 2мі + М2(кі — 1) 1 + кі

ОО

Для плоскости с круговым включением, которая растягивается постоянными усилиями р на бесконечности, направленными вдоль оси 01, в монографии [1] с помощью метода тригонометрических рядов были получены следующие значения комплексных потенциалов:

&{*) = 7 (%+ —V ф2(г) = (г + — + ,

4 ^ ' г У ’ Г24 ' 2 ^ 'г' г37

(25)

ф1(г) = ^[31г, ^1(2) =-| ¿12-

Постоянные в этих формулах таковы (индекс 1 соответствует шайбе, 2 - плоскости):

п _ ОЛ _ 2(/Х1-/х2) _ Ц2{К1 - 1) - т(х2 - 1)

Р2 — — 2(?2 — ■ , 72 — ~ : 1 7Т ,

т + Л1к2 2т + т (к1 —1)

_ М1(^2 + 1) , _ М1(^2 + 1)

Р1 Г) I / 1 \ 7 ^1 . •

2т + Мк1 —1) т + М1к2

Для свободного отверстия: в = 2, 72 = 1, ¿2 = — 1. Для жесткой шайбы: в = —2к—1, 72 = —0, 5(к2 — 1), ¿2 = к—1.

По функциям (25) вычислим комплексные потенциалы в формулах (13), (14):

Ы’~) = | (1 - аДЛ , *2Ы = (1 -74 -

Фі(г) = |/?і, ВД = -§<*1, 01(г) = |/31 + |<511

Затем найдем комплексные функции Н(г) и г(г)

и/ \ Лл/ \ гї/\ Лл/\ о / \ Р ^ [¿2^1 /^2 [¿1^2 Р 1 /ог7\

к(г) = Фі(г) - П2(г) = Ф2(г) - ^1 г = --------------------------тт---- -, 27

4 2мі + М2(кі — 1) 2 г2

г (г) = М2КіФі(г) + Мі^2(г) = МіК Ф2(г) + М2^і(г) =

_Р М2 +М1^2 + ^2(мі +М2^і) Р ]_

2/хі + /х2(хі - 1) 2^1г2'

Приведенные выражения (26), (27) совпадают с решением по методу функций скачков для данного вида нагружения.

Задача 3. Рассматривается плоскость с круговым отверстием, в которое вставлена

упругая шайба из другого материала. На части границы раздела материалов имеется

трещина, представляющая собой дугу окружности (см. рисунок). На берегах трещины заданы статические граничные условия, на остальной части линии раздела выполнены условия непрерывности напряжений и перемещений. На бесконечности известны напряжения и угол поворота. Граничные условия на линии раздела имеют вид

[агг + Штв}+ = [атт + іотв}-, Кі + ш2]+ = [и'і + іи'2]-, \ в\ > а, (28)

[агг + 1<7тв]+ = р(Ь), [атт + г&гв]~ = ц(Ь), \ 0\ < а, (29)

здесь р (Ь), ц (Ь) - заданные функции внешней нагрузки Ь Є (а, Ь), на которые налагаются те же условия, что и на функции скачков. Интервал (а,Ь), где а = в-га, Ь = вга, соответствует трещине.

Введем на линии раздела функции скачков напряжений и производных перемещений

Ла(Ь) = [атт + іатв]+ — [атт + іатв]-, Лив (Ь) = [и і + ш2]+ — [и і + іи2]-.

Для решения задачи о трещине будем использовать результаты задачи 1. За исключением интервала \ 9\ < а, где расположена трещина, на остальной части линии раздела функции скачков равны нулю. Формулы (18) примут вид

1 Г Ла(Ь) , 1 , 1

Ь(г) = —- ----<М + к( оо) + Ні- + І12-5,

2пг Ь — г г г2

а

(30)

ь

МіМ2 I Ли'(Ь) 1 1

----— —--------А + г(оо) + ті- + г2^г

пг Ь — г г г2

Для функций (30) граничные условия (28) удовлетворяются. Функция скачков напряжений в формулах (30) известна: Аа(Ь) = р(Ь) — ц(Ь), а функция скачков производных перемещений Аи'(Ь) нет. Следовательно, не известна и функция г(г). Для ее нахождения можно использовать любое из граничных условий (29).

Запишем условия (29) через потенциалы

Ф+(Ь) + П-(Ь)= р (Ь), Ф-(Ь) + П+(Ь) = ц (Ь), Ь Є (а, Ь). (31)

Сложим уравнения (31) и затем подставим вместо потенциалов их выражения (16), (17) через функции к(г) и г(г):

22

I------г (і) = р (і) + д (і) -

Мі + М2 К М2 + МіК2

И*) - Р1 2 /»-(*). (32)

М1 + М2К1 М2 + М1К2

Такое же уравнение было получено в задаче о межфазной трещине на прямолинейной линии раздела двух полуплоскостей [2]. Выполнив те же преобразования уравнения (32), что и в работе [2], получим

22

(г — £>/г)+(£) -|-(г — £>/г.)~(£) =

Мі + М2К1 М2 + М1К2

= (р + q) (t) + C(Р — q) (t), t € (a, Ъ), (33)

где постоянные C и D таковы:

с _ М2(1 + ^l) - Ml(! + ^2) jj _ MlM2(>íl>í2 - 1)

М1(1 + К2) + М2(1 + К1У М1(1 + К2) + М2(1 + К1)'

Применяя методы решения задач сопряжения, разработанные в монографии [1], построим решение граничной задачи Римана-Гильберта (33)

ñ(z) + ^ + ^

(34)

/(t) — Kí5 + *?) + ^(í5 — <?)](í)j ñ(z) — + B,

1 (z — a Vе „ ln ó

X^ \J(z - a)(z - b) \z — b) ’ ^ 2тг ’

X+(í)+<5X~(t) =0, (XR)+(t) + S(XR)-(t) = 0, (5= Ml +M2Xl.

М2 + Mi К

Для определения неизвестных постоянных Di, D2 потребуются разложения функции X (z) на бесконечности при | z ив окрестности точки z = 0:

. 1 cos а — 2в sin а 3

X{z) = - +--------------------+ О (z~3), z -► 00,

z z2

X (z) = е2ав {1 + (cosa + 2(3 sin a)z +

+ — [l + 4/32 + (3 — 4/32) eos 2a + 8/3sin 2a] z2} + O (z3), \z\ —> 0.

Поскольку сингулярная часть функции (r — Dh)(z) в окрестности точки z = 0 известна из формул (18)

(г — Dh)(z) — — (yUi + D) (^h\—|- + О (1), I z\ —> 0,

то постоянные Di и D2 в решении (34) могут быть найдены из соотношения — (/ti + D) (hi—\- h2 —^ = X(z) (d\—\- D2^\ + 0(1), I ,г| —> 0.

Значения этих постоянных таковы:

D1 = — (mi + D) е-2ав[h1 — (cos а + 2/3sin a) h2], D2 = —(mi + D) е-2авh2.

Постоянные hi и h-2 рассчитываются по формулам (23).

Коэффициенты A и B полинома R(z) = Az + B можно найти, используя известное разложение потенциала Ф2(z) на бесконечности:

Ф2 (^) —

1 F 1

1

1 + К2 2п z м2 + М1К2

[A + (м2 + D) h(rc>)] +

+

-----------[В + (cosa — 2/3sina)A + (а2 + D) hA—Y Oiz 2), Ы ^ 00.

М2 + M1K2 z

Отсюда получим

A = (м2 + М1Н2)Ф2(^) — (м2 + D) h(<x>) = (r — Dh)(<x>), М2 + M1K2 F

B = ~-

1 + K2 2n

—— — (cos a — 2/3 sin a)A — (/x2 D) h\.

Постоянные к(ж) и т(ж) находятся из формул (19). Постоянная Ф1(0) определяется с привлечением уравнения

Ф1(0) =

е2ав

М1 + М2 К1

1

____ f(t)dt

2ití J X+(t)t

+ B + (cos a + 2/3 sin a)D1 +

+ -[1 + 4/32 + (3 — 4/32) eos 2a + 8/3 sin 2a]£>2

+

(35)

+

М1 + D

1 [л / \ dt , , ,

— у д*(07 + м°°>

М1 + М2к1

Формулы комплексных потенциалов (16), (17) можно записать следующим образом:

ф1М

Ф2(z) =

(г - Dh)(z) | /XI(1 + К2) Мi + М2^1

+

d

-h(z), fl2(z)

(г - Dh)(z) ¡Jj2(1 + hi)

М2 + M1K2 d

где d = М1(1 + К2) + М2(1 + К1).

-h(z), í^i(^) =

(г - Dh)(z) _ /t2( 1 + xi) M1 + M2K1 d

(r - Dh)(z) /ti(l + x2) М2 + M1K2

h(z),

h(z),

b

Приведенные выше соотношения справедливы при любой нагрузке на берегах трещины. В практически важном частном случае, когда трещина свободна или нагружена постоянным давлением p = const на двух берегах, формулы существенно упрощаются. В частности, комплексные функции h(z) и (r — Dh)(z) примут вид

h(z) = h( оо) + h2\,

(г — Dh)(z) = ^'1 ^ ^2 1 _ (^z _ COSQ; _|_ 2/3sina)X(z)\p +

1 + S

(37)

+ X(z)

Az + В + Di —Ь D2 —ñ

z z2

Формула (35) станет такой:

Ф1 (0)

е2ав

М1 + М2К1

1 + 6

(е 2ав + cos a + 2f3 sin a) p + B + (cos a + 2(3 sin a)D1 +

+ — [1 + 4/32 + (3 — 4/32) cos 2a + 8/3sin 2a\D2

М1 + D H-------;--------ri{ oo).

М1 + М2к1

Найдем раскрытие трещины для рассматриваемого случая. Для постоянных имеем

соотношения

B = —(cos a — 2вsin a) A, A = (r — Dh)(x),

D1 = —(cos a + 2/3sin a) D2, D2 = —(m1 + D)e 2авh2. С учетом этих равенств из формул (15), (34) получим

2M1M2^u'(t) = (r — Dh)+ (t) — (r — Dh)-(t) =

M1 + M2K1 ,, no ■ \ i 1 + 6

------ ------(t — cos a + 2/3 sin a)p +

6

At + В + D\ — + D2

X +(t),

2м1М2 An (t)

— (¡j,2 + ¡j,iH2)p + /xi(1 + ж2)-е 2a/3h2-\--—A

t6

x \J(t - a)(t - b) , t

G (a, b).

(38)

Из формул (38) видно, что имеет место осцилляция перемещений у концов трещины, поскольку

t—a t — Ъ

гв

еав

. sin0, 5(в + a)\ ( sin0, 5(в + a)

cos /3 in ——-——----- + i sin /3 in —

sin 0, 5(0 — a)

sin 0, 5(0 — a)

Пример. Сравним полученное нами решение с решением задачи из [1] для случая однородной плоскости со свободной трещиной. Значения постоянных таковы:

/3 = 0, (7 = 0, D = — /х {к — 1), h\ = 0.

1

х

Комплексные потенциалы определяются следующими выражениями:

Ф(г) = Фі(г) = Ф2(г) = Q(г) = Оі(г) = Ії2(г) =

ад

м(1 + к)

X (г)

Ві В^\ 1

Аг + В -\---------1---— ) + —

г2

где X(г) =

л/ (г-а)(г-Ь)

м(1 + к) \ г

. Имеют место разложения

Ві В2 1 Аг + В -\-------------1---г- ] — —

/і(оо) + 1г2

X (г) = 1 + г соэ а + —(1 + 3 соэ 2а)г2 + О (-г3), | -

0.

Постоянные ^1 и В2 в формулах (39) находятся из равенств (32), являющихся следствием регулярности потенциала Ф(г) в полюсе г = 0:

£>1 = ^ /х(1 + х) Ь2 сова, В2 = + к)Ь2.

Постоянные А и В определяются по формулам (33) - следствия известных разложений потенциалов Ф(г) и &(г) на бесконечности:

А =-/х(1 + >г) [Ф(оо) + Ф(0)], В = —Асов а.

Из выражения (34) получим

Ф(0) + - (1 + соэ ск)Ф(О) = - (1 — соэ ск)Ф(оо) + - Ь2 эш2 а,

здесь было учтено равенство

сова Н— £>2 (1 + Зсо8 2а) = - /л(1 + к) Іг2 йіп2 а.

Окончательно находим Ф(0)

2

+

3 + соя а

эт2 а

(1 — соя а)(3 + соя а)

Ф(оо) — - (1 + соэ а) Ф(оо)

Ь2 - -(1 + соэа) Ь2

+

Отделим вещественные и мнимые части, используя выражения (20), (22):

Ие Ф(0)

1 — соя а 4(3 + сова)

/ ОО I ^.00\ I

(аи + а22 ) +

2

бш2 а

4(3 + соя а)

(„оо ^оо\

(а22 — аи),

эт2 а

2(1 — соя а)

і2 .

Тогда

А

ц(1 + ж) 2(3 + соя а)

2

а11 + а22 + ^(а22 _ а11) 8111 а

+ — /х(1 + ж) (1 + сое а)а

г

г

і

оо

Uf~„\ _ 1 + COS О! f ^OO I „00 \ a oo „oo'i

"(°°) — 0/Q і 7 (all + 22) _ л/о і 7 І 22 _ all) _

2(3 +cos a) 4(3 +cos a)

-¿(l + cosa)aS+4*- M

2K ' 12 1 + к

Зависимость комплексных потенциалов (39) от переменной z такая же, что и в решении из [1].

Остановимся на сравнении наших результатов с работами [3, 4], где также рассматривалась бесконечная плоскость с упругим круговым включением из другого материала. На части границы раздела имело место отслоение или трещина. В обеих работах использовались теория комплексных потенциалов и методы решения задач Римана-Гильберта, изложенные в [1]. Отметим, что в работе [3] решение проводилось непосредственно в комплексных потенциалах 4>(z) и ф(z), входящих в формулы для перемещений (1). Существенным обстоятельством в обеих работах было то, что напряжения и перемещения непрерывны на линии раздела вне трещины. Это позволило применить способ аналитического продолжения комплексных потенциалов при переходе линии раздела. Задачи со скачками напряжений и перемещений на линии раздела данным методом не могут быть решены, к числу таких задач относится действие сосредоточенных сил на линии раздела. В статье [3] рассматривалась частная задача, когда усилия одинаковы на берегах трещины. Главный вектор сил на трещине равен нулю, и задача значительно упрощается. В [4] на берегах трещины задавалась распределенная нагрузка общего вида. Формулы для комплексных потенциалов (36), (37) содержат такую же зависимость от переменной z, что и приведенные в работе [4], но отличаются выражениями для коэффициентов при функциях переменной z. Решение задачи о меж-фазной трещине с помощью метода функций скачков значительно проще и нагляднее, чем методы решения, использованные в работах [3, 4], и приводит к более простым результатам.

Литература

1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

2. Малькова Ю. В. Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с криволинейными трещинами. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та. 2008. 160 с.

3. England A.H. An arc crack around a circular elastic inclusion // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech. 1966. Vol. 33, N 3. P. 637-640.

4. Perlman A. B., Sih G. C. Elastostatic problems of curvilinear cracks in bonded dissimilar materials // Intern. J. of Engng. Sci. 1967. Vol. 5, N 11. P. 845-867.

5. Toya M. A. A crack along the interface of a rigid circular inclusion embedded in the elastic solid // Intern. J. of Fracture. 1973. Vol. 9, N 4. P. 463-470.

6. Toya M.A. A crack along the interface of a circular inclusion embedded in the infinite solid // J. Mech. and Phys. of Solids. 1974. Vol. 22, N 5. P. 325-348.

7. Toya M. A. Debonding along the interface of an elliptic rigid inclusion // Intern. J. of Fracture. 1975. Vol. 11, N 6. P. 989-1002.

8. Theocaris P. S., Stassinakis C. A. Experimental solution of the problem of a curvilinear crack in bonded dissimilar materials // Intern. J. of Fracture. 1977. Vol. 13, N 1. P. 13-26.

9. Ioakimidis N.I., Theocaris P. S. Curvilinear crack along the interface of two plane isotropic elastic media // Rev. Roum. Sci. Tech. Ser. Mech. Appl. 1978. Vol. 23, N 4. P. 563-575.

10. Справочник по коэффициентам интенсивности напряжений: в 2 т. / под ред. Ю. Мураками. М.: Мир. 1990. Т. 1, 448 с.; Т. 2, 568 с. (Stress intensity factors handbook / ed. by Y. Murakami.)

Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем. Статья принята к печати 28 мая 2009 г.