Совместная деформация кругового включения и матрицы Текст научной статьи по специальности «Физика»

СОВМЕСТНАЯ ДЕФОРМАЦИЯ КРУГОВОГО ВКЛЮЧЕНИЯ И МАТРИЦЫ*

М. А. Греков

С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

При решении многих задач линейной теории упругости применяется так называемый метод суперпозиции, следуя которому решение той или иной задачи представляется в виде суммы уже известных решений более простых задач. В случае многосвязных областей этот метод приводит к системе интегральных уравнений Фредгольма [1—3]. При выводе этих уравнений для кусочно-однородных сред используется решение задачи контакта вдоль каждой межфазной границы в предположении, что остальные границы отсутствуют. Условия контакта при этом считаются неизвестными и находятся в результате решения всей краевой задачи в целом. Имея в виду, что одним из элементов кусочно-однородной среды в постановке плоской задачи теории упругости является круговое включение, построим решение задачи о совместной деформации включения и матрицы при заданных скачках усилий и перемещений на границе контакта. Это решение, в отличие от существующих достаточно общих решений задачи о деформации упругой плоскости с круговым включением [4-7], может быть использовано также при рассмотрении разнообразных дефектов границы раздела, включая межфазные трещины и жесткие участки границы. Наглядным примером служит впервые полученное в работе [1] решение аналогичной задачи для двухкомпонентной упругой плоскости с прямолинейной межфазной границей, которое явилось основой при решении ряда практически важных задач [1, 8-11].

1. Постановка общей задачи при заданных скачках усилий и перемещений на межфазной границе. При соблюдении условий плоской деформации или плоского напряженного состояния задача контакта одиночного кругового цилиндра и матрицы сводится к рассмотрению деформации бесконечной плоскости с круговым включением.

Пусть в плоскости комплексного переменного г = твгв матрице соответствует область (т > 1), включению — область ^2 (т < 1) при общей границе Г = {г : г = £ = вгв, в £ [0, 2п]} (рис. 1). Упругие свойства каждой области (к = 1, 2) определяются коэффициентом Пуассона ^ и модулем сдвига ^.

Предположим, что на границе Г известны скачки усилий Дст- и перемещений Ди1,

ДстП(С) = - , Ди-(С)= и-+ - nj-, (1-1)

а на бесконечности заданы напряжения и угол поворота и1,

1Ш1 (г) = , Ип1 (г) = (1-2)

^г ^ г—

Здесь ст- = + *стП4, и1 = и— + ш2; аПт,аПл —нормальное и касательное напря-

7 7

жения, действующие на площадке с нормалью п; и—, и2 —компоненты вектора переме-

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №08-01-00394).

© М.А.Греков, 2010

CO <*11

ai2

*2

^ t

\ .

\ 0 \p2 Jl

Qj

Рис. 1. Круговое включение в бесконечной плоскости при действии напряжений на бесконечности.

щений в декартовой прямоугольной системе координат Xi, X2, связанной с полярной системой координат r, в соотношениями Xi = r cos в, X2 = r sin в. Орты n, t определяют правую ортогональную систему координат n, t (в первом равенстве (1.1) вектор n перпендикулярен окружности r = 1). Кроме того, в (1.1) введены обозначения aj± = lim aj(z), uj± = lim uj(z). Здесь и далее знак « —» берется при z Є Qi, а

««+» —при z Є Q2.

Заметим, что постановка задачи с условиями (1.1) в общем случае некорректна, если рассматривать эту задачу как самостоятельную. Так, если задать Д^ =0 на некотором участке круговой границы, а на остальной части границы считать Д^ = 0, то оказывается, что форма раскрытия на участке расслоения одна и та же при любых усилиях, действующих на межфазной границе, включая этот участок. В действительности, величины Д^, Даj взаимозависимы и подчиняются сингулярному или гиперсингулярному интегральному уравнению [1, 12]. Одной из непротиворечивых постановок данной задачи является выполнение условий идеального сцепления двух материалов вдоль всей межфазной границы, то есть Д^ (Z) =0 VZ Є Г. В этом случае скачок усилия (вектора напряжений) Дст^ (Z) на границе может быть произвольным.

Величины Д^, Дст^ все же можно до определенного момента считать произвольными, если иметь в виду, что сформулированная задача (1.1), (1.2) является составной частью метода суперпозиции. В этом случае условия (1.1) имеют право на существование, поскольку связь между величинами Д^ и Да3п заложена в самом методе.

2. Основные соотношения. Согласно [1, 13] напряжения и перемещения в каждой области Qk могут быть выражены через две голоморфные в ней функции Колосова [14] Ф^), ^k(z) при помощи равенства

Gj(z,nk)= VkФk(z) +Фk(z) + zфk(z)+фk(z) e 2i“’, z Є Qk , (2.1)

где й,(г, Пк) = аР при Пк = 1 и й,(г,Пй) = —2^йьР/йг при Пк = —Жк; Ж = 3 - 4^2 при плоской деформации, ж = (3 — ^)/(1 + ^) при плоском напряженном состоянии. Черта означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу, причем производная от неаналитической функции ьР (г) берется в направлении вектора 1, определяющего направление площадки, на которой действует усилие <т„, и образующего угол а с осью Ж1.

Введем функции Т^(г) в областях, дополняющих области П (к = 1, 2) до плоскости

Тк(г) =+г-2\гФ^' (г-1)+¥^(г-1)], (2.2)

где по определению для любой функции 0(2) справедливо равенство 3(2) = 0(2). С учетом (2.2) соотношение (2.1) преобразуется к виду

йр(г, Пк) = ПкФк(г) + Фк(г) +

(*)+**<*> + Мкм

е-24“, г е Пк.

(2.3)

Неизвестные функции Фк(г), Т^(г) находим из граничных условий (1.1). Для этого устремим г ^ £ € Г при г € П и а = в + п/2. Тогда приходим к равенствам

й-(С,п*)= П1Ф1(С) — Т1(С), й+(С,пк)= П2Ф2(С) — Т2(С). (2.4)

С учетом (1.1) из (2.4) получим

Т1 + Ф2 — (Т2 + Ф1) = Да, (С),

М2^ 1 — М1ж2Ф2 — (М1^2 — М2ж1Ф1) = —2М1М2Д (и)/(С). (2.5)

Введем следующие новые функции:

Т1(г) + Ф2(г), |г| < 1,

^(г) 1 Т2(2) + Ф1(2), |г| > 1,

т/(у) = / М2^1(г) — М1ж2Ф2(г), N < 1, (26)

^(г) 1 М1ВД — М2Ж1Ф1(г), |г| > 1. (26)

Из свойств функций Фк(г), Ф^(г) и равенства (2.2) следует, что функции £(г), V(г) голоморфны вне окружности Г за исключением точки г = 0, в которой они могут иметь полюс до второго порядка включительно.

Подставив (2.6) в (2.5), приходим к двум независимым краевым задачам Римана— Гильберта о скачке:

£+(С) — £-(С)=Д< (С), (2.7)

V +(С) — V-(С) = —2М1М2Д (ьР)/(С). (2.8)

Прежде чем написать общее решение этих задач, проясним некоторые особенности функций Фк(г), Т^(г) и, следовательно, функций £(г), V(г). Во-первых, в окрестности бесконечно удаленной точки имеют место разложения

ф1М =----------——-----------------------------------------------------г- + £»1 +0{г-\ Ъ1(г) = —ч- + Д2 + 0(г~2), (2.9)

и; 27г(ж1 + 1)2; ^ п; 27г(ж1 + 1)2; ^ У )

где 4£>1 — <т^ + аЩ + %———~^°°7 2_02 — ^22 — “1“ 2г<т^, Р — ^\ + *-?2? ^2

Ж1 + 1

компоненты главного вектора сил, приложенных к границе Г, в системе координат

Х1, Х2 [13].

По определению

Р = \ (Да” 1 + *Да”2)Й/ = — */ ДаР (^^ (2.10)

Г Г

Из (2.2) и (2.9) вытекают следующие представления:

Т1(г) = со + £(г) + О(г) при г ^ 0, Т2(г) = Ьо + 61г-1 + 0(г-2) при г ^ то. (2.11) Здесь

Ь0 = Т2(оо) = —Ф2(0), &1 = Ит [гТ2(г) - Ь0г\ = 0,

-1 , -2 тг

Ь{г)=с1г +с22 , С1 = —-——, с2 = 1)2.

2п(ж1 + 1)

Постоянные Ьо, со остаются пока неопределенными. Используя (2.6), (2.11), получаем поведение функций £(г), V(г) в окрестности особой точки г = 0 и на бесконечности:

£(з) = —Ьо + со + 5*(2) + О(^), 2 —► 0,

Р 1

£(2) = £*1 + Ьо — ~—т-—гг—Ь 0(г 2), 2 —► оо,

2п(ж1 + 1) г

У (г) = Ц2С0 + ^1Ж2Ьо + М2'5'(-г) + О(-г), -г —► О,

V (г) = /XIЬо — я-2Ж1_01 + —-———|-0(г 2), г —> оо. (2-12)

2п(ж1 + 1) г

Имея в виду соотношения (2.12), можем написать теперь решения задач (2.7), (2.8) в соответствующем классе функций, а именно

£(г) = -1(г) + ^1 + Ьо + £(г), г € П1 и П2 , (2.13)

V(г) = —2^1^2—2(г) + ^1 Ьо — ^2*1^1 + (г), г € П1 и П2. (2.14)

Здесь

,,, 1 /Д4(С)„ ... 1 /ЛИ1! ()„

11М = Ъп]Т^ С Ш = ^,1 С-*- С ( ’

ГГ

Постоянные Ьо, со находим из (2.12)—(2.14):

со — Ьо = Ит [£(2) — ^(г)] = /1(0) + £>1 + Ьо,

Z——

0 1

М2со + MiаегЬо — Ит [V^(z) — /t2S’(z)] — —2/ti/t2/2(0) + /tibo — /t283i_Di.

z—0

Отсюда, исключая со, приходим к равенству, определяющему постоянную Ьо:

(а*1 — /^2) Ьо — (/*2 + Mi Ж2) Ьо = M2/i(0) + 2/ti/t2/2(0) + /t2(l + sei )-Di. (2-16)

Выражения для комплексных потенциалов получаем из (2.6):

^ ( ^ ) __ Т/" ( 'У ) II, О^, ^( У 1 ) __________________ Т/" (^ 1 )

Фй(» = — -----------

Фй(-г)

(2.17)

Здесь г € Ой, I = 3 — к, к =1, 2.

Таким образом, соотношения (2.13)—(2.17) вместе с общей формулой (2.3) позволяют определить напряженно-деформированное состояние в любой точке плоскости с круговым включением при известных значениях скачков усилий и перемещений ДМ на межфазной границе.

В простейших частных случаях построенное решение дает решение задачи о плоскости с круговым вырезом и задачи о круговом диске [13]. В первом случае следует положить ^2 = 0 и До^ = —р(С), где р(С) —усилие, действующее на границе отверстия, во втором — = 0, До^ = р(С), где р(£) —усилие, приложенное к контуру диска.

В случае идеального сцепления включения с матрицей (ДмП = 0) и отсутствия разрывов усилий на межфазной границе (До^ = 0) из (2.13)—(2.17) находим комплексные потенциалы Ф^, , отвечающие задаче о деформации композита при заданных на-

пряжениях и повороте на бесконечности:

3. Круговой диск под действием двух противоположно направленных со-

строенное в [13] другим способом, легко получить из соотношений (2.13)—(2.17).

Дст^ = 0+ в-®0 = Р1 [£(0 — 01) — £(0 — 02)] С-1. Здесь £(£) — дельта-функция Дирака. Кроме того, отсутствие внешней среды ^1 означает, что ^1 = 0, ^1 = ^2 = 0. Тогда из (2.15), (2.16) находим

Мнимая часть постоянной величины 6о влияет только на жесткий поворот диска, поэтому можно считать Іт6о = 0. Тогда с учетом (2.13), (2.14) из (2.17) получим следующее выражение для комплексных потенциалов:

Это выражение совпадает с потенциалом Ф(г), полученным в [13] для данной задачи.

(м2 — Л*і)£*о + М 2(э31 + 1)-Оі А4 2 + А*1<®2

(2.18)

средоточенных сил. Пусть в точках границы кругового диска ^1 = е®01, (2 = е®02 = е®(п-01) действуют силы Р = (Р1,0) и —Р соответственно. Решение этой задачи, по-

Очевидно, Ди' = 0. Так как <т'± + = е гв, где — ком-

поненты вектора напряжений в системе координат жі, Ж2, и <г'і = ст'2 = 0, верно

ком-

4. Точечный источник возмущений внутри кругового включения или матрицы. В качестве иллюстрации применения соотношений (2.3), (2.13)—(2.17) в методе суперпозиции рассмотрим классическую задачу о действии сосредоточенной силы или краевой дислокации в некоторой точке го среды Пт (т = 1, 2) при отсутствии разрывов усилий и смещений на межфазной границе Г, а также при нулевых условиях на бесконечности, аналогичных условиям (1.2). Решение этой задачи носит фундаментальный характер в том смысле, что оно представляет собой функции Грина [15] для соответствующих задач двумерной теории упругости. Подобные решения были получены ранее различными методами в случае действия сосредоточенной силы [5], [7] в любой из областей Пт, а также краевой дислокации, расположенной вне кругового включения [6].

В соответствии с принципом суперпозиции [1] решение задачи ст„(г), м(г) ищем в виде суммы решений двух задач, используя унифицированное соотношение

Й(г пк) = (г пк) + Йт(г пт)£кт, г € ^^, (4,1)

где £йт = 1 при к = т и £^т = 0 при к = т; к, т =1, 2. Функции С(г, Пй), йт(г, пт) равны соответственно ст„(г), от (г) при Пй = Пт = 1 и —2^,д:йм/йг, —2^,тймт/йг при Пй = —, Пт = — Жт.

Величины от (г), мт(г) — усилие и перемещение в однородной плоскости с упругими свойствами среды Пт при наличии в точке го источника возмущений в виде сосредоточенной силы Р = (Р1, Р2) или краевой дислокации с вектором Бюргерса Ь = (61, 62). Напряженно-деформированное состояние однородной плоскости в этом случае определяется общей формулой [1], аналогичной формуле (2.1):

От(г,1]т) = Г]тФо(г)+Фо(г) + гФ'0(г) + У0(г) е 2га, (4.2)

где

, я ЛЯ н-о д

Фо(^) —--------, Фо(я) —----------7------у}, Я — — ------—— ,

г — го г — го (г — го)2 2п(Жт + 1)

Л = жт при Q = Р1 + *Р2 и Л = —1 при Q = 2г(&1 + *62).

Из (4.1) при г ^ £ € Г и условий неразрывности векторов напряжений и перемещений на Г, то есть Дстп(£) = Дмп(С) = 0, приходим к двум равенствам

Доп(о = (—1)т-Чг(с), Д<ю = (—1)т-1«т(с), (4.3)

Из (4.2) и (4.3) следует

д<(о = (-1 г-1 (ад+ад - г'ад - с2ад),

-2Мт (д^)'(о = (-1 г-1 (-£ЕтФ0(с)+ад - г'ад - с2ад) • (4.4)

Заметим, что величина Дм3 в (4.3) может иметь отрицательные значения. Это не противоречит физическому смыслу, так как М и — только часть перемещений и усилий в рассматриваемой задаче. Кроме того, согласно (4.4) имеет место соотношение

— 2Мт (Дм3' )'(С) = До, (С) — ( —1)т-1(Жт + 1)Фо(С).

Пусть источник возмущений находится внутри включения, т. е. го € Г22. Тогда граничное значение функции Фо(г), голоморфной при \г\ > 1, Фо(С) — функ-

функции z 1Ф0(^ 1), голоморфной

Фо(С^ _ _

ции Ф0(г-1), голоморфной при \г\ < 1, С 1с^о(С) при \г\ < 1, С—2Фо(С) — функции г_2Фо(-г; '), голоморфной при \г\ < 1 кроме точки г = 0, где она имеет полюс первого порядка. С учетом сказанного после подстановки

(4.4) при т = 2 в (2.15) получим

Ii(z)

-Ф0(г-1) + z-^'oiz-1) + z-2^0{z-1) - XHz Ф0^) - AHz-1,

v-1

|z| < 1, |z| > 1,

-2^2^2(z) =

Ii(z),

—ж2Ф0^) — AHz

-1

|z| < 1,

iz > 1.

После замены в последних равенствах Фо и Фо их выражениями из (4.2) окончательно получаем

/1(z) = <

H(z — zo) Hz + Л H zo ,,

(1 - zz^)2 1 - zzo ’ < ’

H AH

I1(z),

|z| < 1,

-2М2/2(г) = 1 ж2Я ЛЯ

N>1, I И>1'

(4.5)

Аналогичным путем находим выражения для интегралов /_, /2 в случае, когда го € ^1

z — zo

I1(z)

Я Я

------н —'

z - z0 z0

|z| < 1,

H (z — zo) | Hz + ЛЯ zo 1 1 ^ -1

+ ----- =3Tj \z\ > J-j

— 2M1^2(z)

®i Я Я . . _

+ =, N<1,

z - Zo zo

(1 -zzo)2 z0z(l-zz0)'

|г| > 1.

(4.6)

Выражения (4.5), (4.6) позволяют вычислить функцию С/(г, п&) в любой точке матрицы и включения, за исключением точки го, по формулам (2.3), (2.13), (2.14), (2.16) и (2.17) при ^1 = ^2 = 0, и Р = Р, если в точке го действует сила, и Р = 0, если в ней расположена краевая дислокация. В конечном счете, напряжения и перемещения находятся по формуле (4.1) с учетом (4.2). Переход к пределу в (4.1) и (4.5) при го ^ Со € Г дает решение задачи при сосредоточенном воздействии на межфазной границе.

Действие напряжений на бесконечности можно учесть в рассмотренной задаче путем прибавления к правой части равенства (4.1) функции Со(г, п&), определяемой формулой (2.3), при замене функций Ф&, соответствующими функциями Ф^, из (2.18).

5. Контактные напряжения при действии сосредоточенной силы внутри включения. Вычисления контактных напряжений на межфазной границе осуществлялось по формулам (2.1), (2.13), (2.14), (2.16), (2.17), (4.1), (4.2) и (4.5) при помощи математического пакета программ MAPLE.

Результаты расчетов приведены на рисунках 2, 3 для силы, действующей в точке zo = 0, 5 и направленной под углами ^ = {0, п/4, п/2, 3п/4} к оси Ж1. Этим углам на рисунках соответствуют цифры 1, 2, 3, 4 . При этом принято, что напряжения и угол

Рис. 2. Зависимость нормального усилия агг на границе кругового включения (г = 1) от полярного угла в при ^2/^1 = 1/3 (а) и ^2/^1 = 3 (Ь).

ь

Рис. 3. Зависимость касательного усилия ог@ на границе кругового включения (г = 1) от полярного угла в при ^2/^1 = 1/3 (а) и ^2/^1 = 3 (Ь).

поворота на бесконечности равны нулю. Кроме того, вычисления проведены для случая плоской деформации (при VI = ^ = 0, 3) для включения, более мягкого, по сравнению с матрицей, при ^2/^1 = 1/3 (Рис. 2, а, 3, а) и более жесткого при ^2/^1 = 3 (Рис. 2, Ь,

3, Ь).

Из приведенных зависимостей можно сделать следующие выводы.

1. При уменьшении жесткости включения возрастает максимальное значение модуля нормального усилия <ггг на межфазной границе. Это значение достигается в точке границы, ближайшей к точке приложения силы (при ^ = 0 этой точкой является точка С =1, которой на графике соответствуют значения в = 0 и в = 360°).

2. При изменении угла ^ от 0 до п/2 величина |<rrr| изменяется в точке Z =1 от максимального значения до нуля.

3. При ^ = 0 и более мягком материале включения (^2 < М1) максимальное значение модуля касательного усилия достигается вблизи значения в = 0, а при более жестком — вблизи в = 90°. В то же время при других направлениях силы значение max |<rr01 достигается либо вблизи значения в = 0, либо вблизи в = 360° как в случае М2/М1 = 1/3, так и в случае ^2/^1 = 3 (см. рис. 3, а, 3, b).

Заметим, кроме того, что кривые 4, соответствующие направлению силы ^ = 3п/4, и кривые 2, отвечающие значению ^ = п/4, центрально симметричны относительно точки в = 90° для напряжений <rrr (см. рис. 2) и симметричны относительно прямой в = 90° для напряжений (см. рис. 3).

Литература

1. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

2. Линьков А. М. Задачи теории упругости о связанных полуплоскостях // Прикладная математика и механика. 1999. Т. 53, №6. С. 991-1000.

3. Михлин С. Г. Интегральные уравнения. М.; Л.: ОГИЗ, 1947. 304 с.

4. Honein T., Herrmann G. The involution correspondence in plane elastostatics for regions bounded by a circle // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics, 1988. Vol. 55, N 9. P. 566-573.

5. Honein T., Herrmann G. On bonded inclusions with circular or straight boundaries in plane elastostatics // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics, 1990. Vol. 57, N 12. P. 850-856.

6. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Int. J. Solids Structures, 1991. Vol. 28, N6. P. 703-725.

7. Линьков А. М. Задачи о круговом включении в упругой плоскости // Исследования по механике строительных конструкций и материалов. СПб.: СПбГАСУ, 2002. С. 4-14.

8. Греков М. А. Метод возмущений в приложении к некоторым задачам теории упругости // Проблемы механики деформируемых твердых тел и горных пород. Сб. статей к 75-летию Е. И. Шемякина / Под ред. Д. Д. Ивлева и Н. Ф. Морозова. М.: Физматлит, 2006. С. 188-198.

9. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений на периодически искривленной межфазной поверхности // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10: Прикладная математика, информатика, процессы управления. 2008. Вып. 1. С. 25-31.

10. Греков М. А. Слабо искривленная трещина около границы соединения двух различных материалов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 1. С. 93-101.

11. Grekov M. A., Morozov N. F. Some modern methods in mechanics of cracks. Modern Analysis and Applications. Series: Operator Theory: Advances and Applications, Vol. 191, Adamyan V., Berezansky Y. M., Gohberg I. et al., eds., Birkhauser, 2009. P. 127-142.

12. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.

13. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 707 с.

14. Колосов Г. В. Применение комплексной переменной к теории упругости. М.; Л., 1935. 215 с.

15. Греков М. А., Еременко Н. Б. О функциях Грина для упругих тел // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Сб. трудов научн. школы акад. В. В. Новожилова. СПбГУ, 2003. Вып. 7. С. 265-274.

Статья поступила в редакцию 24 ноября 2009 г.