Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала Текст научной статьи по специальности «Физика»

В. М. Мальков, Ю. В. Малькова

ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА*

Введение. Методы теории функций комплексной переменной широко используются для решения плоских задач линейной теории упругости [1]. Они особенно эффективны, по сравнению с другими методами, в сингулярных краевых задачах для областей с трещинами и сосредоточенными воздействиями. Нелинейная теория упругости не позволяет использовать эти методы в общем случае. По этой причине практически отсутствуют точные решения нелинейных сингулярных краевых задач. Подобные задачи обычно решают асимптотическими методами — находят асимптотику напряжений вблизи конца трещины, напряженное состояние во всей области остается вне рассмотрения. Известно довольно много работ, посвященных решению плоских сингулярных задач асимптотическими методами, в частности [10-21]. Значительная часть из них относится к анализу напряжений в эластомерных материалах с трещинами. Для выскоэластичных резиноподобных материалов большие деформации реализуются в упругой области деформирования, поэтому применение уравнений теории упругости здесь обосновано. Принятие модели гармонического материала позволяет использовать в ряде случаев преимущества метода комплексных потенциалов для получения точных решений задач во всей области. Исследованию краевых задач на основе модели гармонического посвящены работы [5-9] и другие. В данной работе рассмотрена модель гармонического материала, называемого материалом Джона [3]. Решения некоторых задач по этой модели (например, плоскость с круговым отверстием) получили экспериментальное подтверждение [7].

В нашей работе приведены общие соотношения нелинейной плоской задачи для материала Джона и построены точные решения ряда конкретных задач: двухкомпонентная плоскость со скачками напряжений и деформаций на линии раздела полуплоскостей (в частности, решена задача о сосредоточенной силе на линии раздела); задача Фламана для полуплоскости, нагруженной сосредоточенной силой на границе; двухкомпонентная плоскость с трещиной на линии раздела.

1. Общие соотношения плоской деформации. Рассмотрим некоторые общие соотношения плоской деформации, которые не зависят от модели материала. Ниже использованы две энергетические пары тензоров [2]: (8, О) — тензор условных (номинальных) напряжений и градиент деформации; (В, Л) —тензор напряжений Био и тензор кратностей удлинений. Между тензорами этих пар существует следующая зависимость:

8 = в • цт, о = д • л.

Второе соотношение есть полярное разложение градиента деформации, где д — ортогональный тензор, Л — симметричный положительно определенный тензор, Л2 = От • О.

В случае плоской задачи градиент деформации и тензор условных напряжений можно представить так:

О = дце1е1 + 312е1в2 + 521е2в1 + #22е2в2 + дззезез,

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-00658).

© В.М.Мальков, Ю.В.Малькова, 2008

S = S11 e 1 e 1 + Sl2eie2 + S2ie2ei + S22e2e2 + вззвзвз,

где ej — ортонормированный векторный базис отсчетной конфигурации. Обратный тензор для градиента деформации имеет вид

J G 1 = A3 (g22e1e1 — g12e1e2 — g21e2e1 + g11e2e2) + K3e3e3,

где A3 = g33 —кратность удлинения в направлении нормали к плоскости, К3 = gng22 — g12g21 —кратность изменения площади, J = A3K3 —кратность изменения объема. Ортогональный тензор Q = qapeaeв в случае плоской задачи таков:

Q = cos w(e^1 + e2e2) — sin w(e^2 — e2e1) + e3e3,

w — угол поворота главных осей в результате деформации. Справедливы следующие соотношения:

q11 = q22 = cos w, q12 = —q21 = — sin w, q33 = 1,

g11 + g22 = (A1 + A2) cos W, g21 — g12 = (A1 + A2) sin W,

S11 + S22 = (61 + 62) cos w, S12 — S21 = (61 + 62) sin W,

61, 62 —главные напряжения Био, A1, A2 —главные кратности удлинений. Из этих соотношений видно, что cos w > 0, следовательно, w £ (—п/2, п/2).

В качестве исходных уравнений возьмем уравнения равновесия для тензора условных напряжений и уравнения совместности деформаций для градиента деформации [2]:

div S = 0, rot G = 0. (1-1)

Перейдем в (1.1) к компонентам тензоров и запишем в комплексной форме:

(s11 + is12)1 + *(s22 — is21 )2 = 0 (1-2)

(g22 — ig12)1 + *(g11 + ig21)2 = 0 (1-3)

штрих и индекс внизу означают частные производные по декартовым координатам отсчетной конфигурации (^1,^2).

Введем комплексные переменные отсчетной и текущей конфигураций Z = Х1 + *Ж2, С = £1 + *£2 и комплексную функцию напряжений (аналог функции Эри) а = <71 + *а2. Напряжения и деформации представим выражениями

да да . да да

«11 + *Sl2 = т;--Т«22 — *®21 = т;----------------------------------------------Ь тр, (1-4)

oz oz oz oz

, ■ _ д( д( . _ д( д(

911 + *321 — д—Ь 922 — 1-912 — д-тр- (1-5)

oz oz oz oz

Уравнения (1.2), (1.3) тождественно удовлетворяются, если подставить в них выражения (1.4), (1.5). Комплексные функции а и С должны находиться из определяющих уравнений (закона упругости).

Из соотношений (1.4), (1.5) следует

дС дС

2= (д 11 + 922) + г(д21 ~ 912), 2— = (дп - д^) + г(021 + З12),

слд® \ ■ /

2тг~ — (511 + 522) +4^12 — 521)7 2-— = (й 22 — 5ц) — г(й12 + 521).

(72: (72:

Отсюда найдем

Угол ^ определяется по компонентам любого из тензоров О и 8 [2]:

ё21 - ё12 в12 - 821

tgw = ----------- = ----------.

ё11 +ё22 811 + 822

Формулы (1.6) можно записать так

д(

дг

д(

дг

Ъи 8(7 ■ , , N

е , -т^ = вгдп^и + в22)

да

дг

(1.6)

(1.7)

(1.8)

е

2. Гармонический материал Джона. Модель гармонического материала для случая плоской деформации предложена Джоном [3], затем она получила дальнейшее развитие и применение во многих работах (см., в частности, [4, 6-9]). Обычно под гармоническими материалами в плоской задаче понимают класс материалов, для которых выполняется соотношение

61 - 62

А1 — Л2

= 2м, (2.1)

где м — модуль сдвига. Исходя из соотношения (2.1), получим следующее общее выражение для упругого потенциала (функции плотности энергии деформации отсчетной конфигурации):

Ф = 2м[^ (I) — к], I = А1 + А2, к = А1А2, (2.2)

величины I и к являются инвариантами тензора Л, ^ (I) — некоторый функционал.

Нужно отметить, что модели вида (2.2) пригодны только для случая плоской деформации (А3 = 1), для трехмерных задач они не применимы. Поэтому выражение (2.2) не является упругим потенциалом в прямом смысле. Говорят, что материал Джона не имеет упругого потенциала, то есть не является гиперупругим.

В ряде известных работ, например [22, 23], рассматривалась другая модель гармонического материала (его называют полулинейным или стандартным материалом). В отличие от материала Джона, этот материал относится к классу гиперупругих. В книге [22] приведены решения ряда задач для полулинейного материала. Существуют и другие классы гармонических материалов, о некоторых из них сказано в работе [7], однако эти модели практически не используются, поскольку не имеют достаточного физического обоснования.

Из (2.2) для главных напряжений Био получим следующие выражения:

61 = 2м [^'(/) - А2], 62 = 2м [^'(/) - А1]. (2.3)

Напряжения 63 в этой модели материала не рассматриваются, они не определяются по потенциалу (2.2).

Для гармонического материала (2.2) закон упругости в комплексной форме для тензора условных напряжений имеет вид

511 + *в12 — 2м

2 , тЯ( дС дС

(Л —--------- + —

I К ’ дг дг дг

I ^ ’дг дг дг

(2.4)

«22 - *^21 = 2м Подставив сюда напряжения (1.4), придем к уравнениям

да д£ 1 . д£

^ + 2м^ = 4м7^(/)д?

Решение уравнения (2.6) таково:

а + 2мС = Р (г),

(2.5)

(2.6)

(2.7)

где р (г) —неизвестная аналитическая функция. Используя (2.7), исключим из равенства (2.5) функцию а:

44п/)|=^).

Согласно формуле (1.6)

I =2

ОС

дг

и выражение (2.8) приводится к виду

д(=дС ги= дС _________:

дг дг 6 дг 2^(1)

р'(г) = 2м^(1) е-, |р'(г)| = 2М |Р'(1)|.

V(г).

Отсюда следует

(2.8)

(2.9)

(2.10)

(2.11)

Дальнейший ход решения плоской задачи для модели материала (2.2) состоит в том, что задается конкретный вид функционала Р (1) и из уравнения (2.11), где Р '(I) > 0, находится инвариант 1 как функция от | р'(г)|. Затем из уравнения (2.8) находится комплексная переменная £:

С = ФЩ + /М, (2.12)

где ф (г) —аналитическая функция от г, / (г) —частное решение.

Функционал Р (I) выбирают таким образом, чтобы частное решение f было максимально простым, а результаты не противоречили физическим представлениям, в частности, данным экспериментов. На практике проще сразу задать зависимость 1 (| р'(г)|. Например, в работах [7, 8] предложена следующая модель материала:

1 (| Р'(г)|) = 2 Р'(г)

+ 6 | р'(г)|2й +

| Р'(г)

(2.13)

С

2

где а, 6, с, 6 — некоторые вещественные постоянные. Для выражения (2.13) решение (2.12) можно записать так:

(=Щ«»И + 1/ЙШ14+4 (2.14)

3 р'(г) р'(г)

Частные виды модели материала (2.13) (при фиксированных константах в этом соотношении) использовались во многих работах. Например, в работах [7, 8] принято а = 6 = 0, тогда

/(№)|) = 2№)' Г- 1

Ь -\- с -

1^)12

Интеграл в (2.14) берется, и для искомых потенциалов получаем выражения

(2.15)

С = Ф(г) + Ьср(г) + ===, (2.16)

р'(г)

сг = (1 — 2/лЬ) (р (г) — 2(лф (г) — 2ц . (2-17)

р'(г)

В работе [7] для плоскости с круговым отверстием приведены данные экспериментов, из которых следует, что модели (2.13), (2.15) находят экспериментальное подтверждение при определенном выборе постоянных в этих выражениях.

Из формул (2.11), (2.15) получим

2НПЛ1 = №)1 = ^[/±у//2-16Ьс].

Под корнем должно стоять неотрицательное число, это налагает некоторые ограничения на величину деформаций I2 = (А1 + А2)2 > 166с, кратности удлинений не могут одновременно быть близки к нулю.

Постоянные 6 и с однозначно определяются из условий перехода закона упругости

(2.3) в закон Гука при малых деформациях:

4мЬ = 1 + лТV с = Ч1-лТ2^)’ (2Л8)

где А, м — постоянные Ляме. При отсутствии деформаций (А1 = А2 = 1) под корнем получим выражение I2 - 166с = 4м2/(А + 2м)2 > 0, так что предельный переход к случаю малых деформаций возможен.

Приведем формулы для напряжений и деформаций (1.4), (1.5):

«п + *в12 = (1 — 2цЬ) (р'(г) — 2уИ + 2/лф'^г) — 2ц

сгр' '(г)

р'(г) р'2(г)

«22 - *«21 = (1 - 2цЪ) у (г) - 2уЦ - 2цф'(г) + 2ц

р'(г) р'2(г)

сгр' '(г) ^ "

(2.19)

Зи + *321 = Ъ<р'(г) + === + ф'(г:) -

сгр' '(г)

р'(г) р'2(г)

322 - *312 = Ъф'(г) + === - ф'(г) +

сгр' '(г)

(2.20)

р'(г) р'2(г)

Из соотношений (2.19), (2.20) получим

(«22 - *«21) + 2м(311 + *021) = V(*0,

(«11 + *«12) + 2^(022 - *012) = V (*0-

«11 + «22 + *(«12 — «21) = 2(1 — 2^Ь) V'(^) — 4м

Располагая соотношениями (2.16)-(2.20), можно ставить и решать плоские краевые задачи, в том числе сингулярные. Например, в работе [7] решена задача для плоскости с круговым отверстием, а в работе [8] — частный случай задачи для межфазной трещины в двухкомпонентной плоскости.

3. Некоторые задачи. Ниже получены решения некоторых актуальных задач для модели гармонического материала (2.15). На определенном этапе задачи сводятся к линейным, что позволило использовать комплексный аппарат работ [1, 24], а также результаты работ второго автора нашей статьи по линейным задачам для межфазных трещин.

Задача 1. Пусть имеется двухкомпонентная плоскость, состоящая из двух полуплоскостей из разных материалов. На бесконечности (при | г| ^ те) заданы напряжения и углы поворота (свои для каждой полуплоскости). На линии сопряжения полуплоскостей (линии раздела), которой соответствует ж 2 = 0, имеют место скачки напряжений и деформаций:

На функции скачков Д«(ж1) и Д0(ж1) налагаются те же ограничения, что и в линейной задаче [1] (они должны быть абсолютно интегрируемы по Риману и удовлетворять условию Гёльдера). Аналогичная линейная задача была впервые сформулирована и решена Грековым [24].

Подставим в условия (3.1) напряжения и деформации (2.19), (2.20):

(«22 — *«21)+ — («22 — *«21) =Д«(Х1),

(3.1)

(011 + *021)+ — (011 + *021) =Д0(Х1).

(1 — 2м2&г) ¥>2(*0 — 2^2 - — 2м2*/,2(20 + 2^2

‘^)2 (^)

С2М'<»

(1 - 2/ліЬі) ¥>1(2) - 2/хі

Vі(z)

Д«(х1),

+

Д0(Ж1).

Символы [...] + и означают предельные значения выражений в скобках при при-

ближении г к линии раздела из верхней и нижней полуплоскостей соответственно. Преобразуем эти выражения:

(1 — 2^2) <Р2(г) + 2/Л—, , N + 2/лФі(^) — 2Мі _^2 ^ ^

VІ (г)

(1 - 2/лЬі) <р[(г) + 2ц2 , + 2^2Ф2Іг) ~ 2^2—ТТГТ^

Тр'2\г)

= Д«(ж1),

+

и Ч \ С1 ~Г'( \ , Сі^і^) Ь2(р2(г) - =ГГТ _ ^іМ Н 2, \

= Д0(Ж1).

Теперь введем две новые функции комплексной переменной г, которые являются аналитическими во всей плоскости, исключая линию раздела:

— верхняя полуплоскость $2

^ (■г0 = (1 — 2/12^2) + 2ц1^гГл ~ 2^1 ^ ^

г{г)=Ъ2^2{г)-^--ф1{г) + ^-;

(Рі(г) і2 (-г)

— нижняя полуплоскость $1

^ (г) — (1 — 2/хі&і) ^1(2;) + 2^2 , \ + 2/л2ф2(г) — 2^2 _^2\\

(Р2\г) <р2 (х)

( \ г, // \ с2 “Г' / ч , ^Щ(г)

гЫ = ЬтМ-Ш-'ш + ^7^-

Условия (3.1) на линии раздела примут вид

Л+(ж1) — ^-(ж1) = Д«(ж1),

(3.2)

Г+ (Ж1) — Г (Ж1) = Д0(Ж1).

Пришли к двум граничным задачам Римана—Гильберта нахождения кусочно-голоморфной функции по ее скачку [1]. Решения этих задач выражаются через интегралы типа Коши:

СЮ

к (г) = -----: [ ----— <М + к (оо),

2п* ] і — г

—Ю (3.3)

1 [ Ад(і)

. І — %

г (г) = ------: [ —Л + г (оо),

2п* ] і — г

+

где постоянные Н (те), г (те) находятся через напряжения и углы поворота на бесконечности (аналогично случаю линейной задачи). В формулах (3.3) предполагается, что функции скачков и, следовательно, интегралы типа Коши стремятся к нулю при | г| ^ те, более общее решение приведено в книге [24].

Выразим комплексные потенциалы через функции (3.3):

— верхняя полуплоскость

(Н + 2^1г)(г)

^2(г)

1 + 2(М1 — М2)Ь2

с 1 —/ , , _ схгу'Кг) _ [Ъ21г - (1 - 2/л2Ъ2)г](г)

1Р\{г) 1 <Р12{г) ^ + 2(щ — ц2)Ь2 ’

нижняя полуплоскость

, (1г + 2ц2г)(г)

Ыг) -

(3.4)

1 + 2(М2 — М1)ь1 1

С2 у , с2г<р2(г) = [61/г - (1 - 2/Х1&1)у](^)

2 Тр'^^х) 1 + 2(^2 — /ч)&1

(3.5)

Напряжения и деформации находятся по формулам (2.19), (2.20). Ниже приведены напряжения верхней полуплоскости, напряжения нижней полуплоскости получим циклической перестановкой индексов (1 ^ 2):

«22 — *«21 = (1 — 2[12Ь2)ср2(г) — (1 — — Ь(г),

______ (3.6)

«11 + *«12 = (1 - 2/л2Ь2)ср2(г) + (1 - 2/л1Ь1)ср'1(г) + Ь\г) - Ац2с2У2(г)]^1.

Пусть на линии раздела в точке Ж1 = ж* приложена сосредоточенная сила ^ = + г^2, где ^1, ^2 —составляющие силы по осям координат.

Функции скачков в формулах (3.3) таковы:

Дв(ж1) = —*^^(ж1 — ж*), Д^(ж1) = 0.

В этом случае имеем

ьЛг) = ~9 , Р г{г)= 0.

2п(г — ж*)

Дальше легко получить формулы для напряжений и деформаций. В частности, напряжения в верхней полуплоскости находятся по формулам

«11 + *«12 = —

1 + 2(/XI - 1Л2)Ъ2 27г(х - ж*) 1 + 2(/42 - /«1)61 27т(г - ж*) ’

1 - 2/и2Ь2 ^ 2/42^1 ^

1 + 2(/41 - /л2)Ъ2 2п(х - ж*) 1 + 2(/42 - /«1)61 27г(^ - ж*)

(3.7)

Для напряжений «ц + *«12 выписана только главная часть. Напряжения в нижней полуплоскости находятся по аналогичным формулам (в правых частях нужно сделать циклическую перестановку индексов 1 ^ 2). Условные напряжения имеют тот же тип особенности в точке приложения силы, что и напряжения линейной задачи [24].

Задача 2. Рассмотрим первую и вторую краевые задачи для нижней полуплоскости. В первой задаче на границе полуплоскости Ж2 =0 заданы напряжения

(«22 — *«21) (ж1 ) = 9 (ж1 ). Подставим сюда значения напряжений (2.19):

(1 — 2цЪ) <р'(г) — 2ц — 2цф'(г) + 2ц ^ ^ ^

V' (г) ^2(*0

Введем функцию Н (г) с помощью соотношений

к (г) = (1 — 2цЪ) г Є Ь\', к (г) = 2ц_. + 2ц ф (г) — 2ц—%г^-—,

Ч>{*) Тр '\г)

Решив граничную задачу для функции Н (г), получим

СЮ

(1 - 2цЬ)ір'(г) = 2ц^— + 2цф\х) - 2ц ^ ^ Ч ^ Л ■

(р (г) ^ ^7гг ] і — г

— Ю

Пусть на границе полуплоскости приложена сосредоточенная сила — задача Флама-на, — тогда 9(Ж1) = *^£(ж1 — ж*),

(1 - 2цЬ) <р'(г) = 2ц_^ + 2цф\г) - 2ц _ Р 1

ср'(г) 7р'2 (г) 2'пг-х*'

Приведем формулы для напряжений в задаче Фламана:

р ( 1 1 А ■ р ( 1 1 А

«22 - *«21 — 7Г~ ------- - 3----- , «11 + *«12 — 7Г~ ------- + ------ • (3.8)

2тг \г — х* г — х* ) 2тг \г — х* г — х* )

Формула для напряжений «ц + *«12 содержит только главную часть. Как и в линейной задаче Фламана, условные напряжения не зависят от параметров материала и имеют ту же особенность. Напряжения других видов, в частности, истинные напряжения Коши, будут зависеть от модулей упругости. Отметим, что формулы (3.8) следуют из формул (3.7) как частный случай (модули упругости верхней полуплоскости равны нулю).

Во второй краевой задаче на границе полуплоскости обычно задают перемещения. Дифференцируя перемещения по переменной Ж1 на линии Ж2 = 0, приходим к условиям в деформациях

(511 + *021)-(ж1) = д (Ж1).

Подставим сюда деформации (2.20):

'(г)

ъЧ>\г) + =7^ + Ф'(г) ~ „

V'(г) V (*0

Введем функцию г (г) с помощью соотношений

0 (ж1).

г(г) =Ьір'(г), г£5\; г (г) = - ф\г) + ^ г Є 52

Тр'\г)

Решив граничную задачу для функции r (z), получим

Ъ ip'(z) = - - ф (z) +

с —і czip"(z) 1 f д (t) dt

tp'(z) ¥ (z) 2-ni J t - z

Задача 3. Рассматривается двухкомпонентная плоскость с трещиной на промежутке [-а, а] линии раздела. На берегах трещины задана распределенная поверхностная нагрузка

(S22 - *S2i)+ = Р (xi), (s22 - is2i)- = q (xi). (3.9)

Линейной задаче для двухкомпонентной плоскости с межфазной трещиной посвящено очень много работ (несколько сотен). Здесь назовем авторов только ранних работ. Первой считается статья M.J. Williams (1959), где рассмотрена полубесконечная трещина. Позже (1965) в работах F.Erdogan, A. H. England, J.K.Rice и G.C.Sih методом комплексных потенциалов Колосова—Мусхелишвили исследован случай конечной трещины. Произвольное число межфазных трещин на прямой линии или дуге исследовал Г. П. Черепанов (1962). Публикаций по нелинейным задачам существенно меньше (несколько десятков). В основном применялись асимптотические методы решения задач о межфазных трещинах [10-21] и другие. Работ, где получены аналитические глобальные решения, справедливые во всей области, немного. К их числу относится [8], где рассмотрена задача о свободной межфазной трещине, причем решение не полное (подробнее сказано ниже). Нами рассматривается существенно более общая задача, решение которой доведено до логического конца. На берегах трещины задана произвольная поверхностная нагрузка, которая может быть не самоуравновешенной.

Введем функции скачков на линии раздела и будем использовать результаты решения задачи 1. Вне трещины напряжения (S22 — is2i) и деформации (gii + ig2i) непрерывны, поэтому там функции скачков равны нулю. Формулы (3.3) станут такими:

а

h{z) = ^— [ dt + h (оо),

2пі J t — z

—а

а

r (z) = ------: [ —dt + r (oo).

2ni J t — z

(3.10)

Функция Н (г) известна, так как известна функция Дв(жх) = р (жх) — ц (жх), а функция г (г) —не известна. Ее можно найти с помощью условий (3.9). Сложим равенства (3.9) и подставим в полученное уравнение выражения для потенциалов (3.4), (3.5):

4/хх(1 - 2/х2&2) г+ 4^2(1-2^161) _

1 + 2(Ml — M2)b2 1 + 2(М2 — Ml)bl

1 — 2(/лі + ^2)^2 , + _ 1 - 2(/хі + Ц2)Ь\ ^ ^ 1 + 2(мі — Ц2)і>2 1 + 2(м2 — А*1 )і>1

Это уравнение можно записать в таком виде

4/xi(l - 2/х2&2) , 4^2(1-2^161)

(г — Dh)++ ---------—-—— (г — Dh) = (р + q) — С(р — q). (3.11)

1 + 2(Mi — M2)b2 1 + 2(М2 — Mi)bi

Постоянные С и Б определяются выражениями

/XI(1 - 2/Х1&1) — /х2(1 — 2/12ъ2) /41(1 - 2/41&1) + /42 (1 - 2/1262) ’

С = -

р _ -1 1 — 2/41&1 — 2/12 62

2 — 2^1Ь1) + М2(1 — 2^2Ь2)

Уравнение (3.11) является граничной задачей Римана—Гильберта, решение которой получим на основе методов работы [1]

Ьа

М - ОВД = ^ / + X Ы Д М, (3.12)

— а

7 ^ = 4М1*- 2/^Ьз)2 Ь + 9 + ^ (Р “ 9)1

Здесь X (г), X (г) Д (г) —соответственно частное и общее решения однородной задачи (3.11), причем

1 (г + а Vе 1п 6

Х{г)= и----------= — , /3 = +^-, (3.13)

л/г2 - а2 \г - V 2п

X +(4) + 6Х—(4) = о, (хд)+(г) + 6 (ХД)—(4) = о,

_ /42 (1 - 2/1161) 1 + 2(/41 ~ /12)62

/11(1-2/1262) 1 + 2(/42 - /11)61'

Чтобы решение (3.12) было голоморфным на бесконечности, полином Д (г) должен быть не выше первой степени, то есть Д (г) = Аг + В. Постоянные А и В определяются из условий на бесконечности, где заданы напряжения и углы поворота. Для корня а/г2 — а2 выбираем ветвь, чтобы

л/г2 — а2 = г — —------Ь •••, при \г\ —> оо.

Теперь, когда функции Н (г) и г (г) найдены, по формулам (3.4), (3.5) получим комплексные потенциалы 7(г) и ф'(г), через которые выражаются напряжения и деформации (2.19), (2.20), для вычисления напряжений удобны формулы (3.6).

В качестве примера рассмотрим случай свободной трещины, то есть р = ц = 0. На бесконечности заданы напряжения в к0 и углы поворота ^к<°, свои для каждой полуплоскости £&, к = 1, 2. Для напряжений на бесконечности справедливы равенства

1о ___ 2о __ ОО 1о _ 1о ____ 2о ___ 2о

в22 = в22 = ^, в12 = в21 = в12 = в21 •

Функции Н (г), г (г) данной задачи таковы:

Н (г) = Н (те), (г — БН) (г) = X (г) (Аг + В). (3.14)

Постоянные А и В находятся из условий бесконечности и равенства нулю главного вектора сил на трещине:

А = (г — БН) (те), В = —2*вА.

Выражение (r — Dh) (те) получим из уравнения (3.12):

(г - Dh) (те) = - [1 + 2(Ml—+,2(М2—(s^ - *s^)-

2 mi (1 — 2/xi&i) + /12(1 — 2/12^2)

Параметры Н (те) и г (те) выражаются через напряжения и углы поворота на бесконечности:

Н (те) = (1 — 2^2^2)а2 + (1 — 2^1&1)а1 — (в22 — **21)°,

, ^ , 1 — 2М1&1 , («22 — *«21)°

г (те) = 62а2-------------ах + —

2^1 2^1

1 — 2М2&2 , («22 — *S2l)C

&1а1--------г-------а2 +

где

2^2 2^2

afc = («22 — *s2l)kTO + («11 + is 12) k^° + 2^fc(1 + iwkTO).

Зная функции Н (г), г (г), найдем комплексные потенциалы (3.4), (3.5), потом напряжения и деформации. Отметим, что условные напряжения (3.6) имеют корневую особенность и осцилляцию у концов трещины, что и напряжения линейной задачи [1, 24]. Известно, что перемещения линейной задачи имеют логарифмическую особенность у концов трещины, что противоречит физике, эта особенность сохранилась и в нелинейной задаче для материала Джона.

Теперь остановимся более подробно на результатах работы [8], где рассмотрена та же задача, что и в нашем примере — свободная межфазная трещина. Задача решалась непосредственно в комплексных потенциалах типа наших £ и а, причем решение не было доведено до конца. Авторы пришли к двум граничным задачам Римана—Гильберта, решение которых было найдено только при параметре 6 = 1, что имеет место в однородной плоскости. В этом случае решение не имеет осцилляции. Равенство 6 = 1 авторы работы [8] получили из условия ^ '(I)/1 ^ 1 на бесконечности. Но это условие противоречит переходу определяющих уравнений в закон Гука при малых деформациях. Чтобы такой переход был возможен, должно быть ^(I)/1 ^ 1/2. Если принять

6 = 1, то наши комплексные потенциалы £ и а задачи о свободной трещине совпадут с аналогичными потенциалами работы [8].

Литература

1. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 708 с.

2. Мальков В. М. Основы математической нелинейной теории упругости. СПб., 2002. 216 с.

3. John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type // Comm. Pure Appl. Math. 1960. Vol. XIII. P. 239-290.

4. Knowles J. K., Sternberg E. On the singularity induced by certain mixed boundary conditions in linearized and nonlinear elastostatics// Intern. J. of Solids and Structures. 1975. Vol. 11, N11. P. 1173-1201.

5. Knowles J. K., Sternberg E. Large deformations near a tip of an interface-crack between two Neo-Hookean sheets// J. of Elasticity. 1983. Vol. 13, N 3. P. 257-293.

6. Ogden R. W. Non-linear elastic deformations. Ellis Horwood, Chichester and John Wiley, 1984. 544 p.

7. Varley E., Cumberbatch E. Finite deformation of elastic materials surrounding cylindrical holes // J. of Elasticity. 1980. Vol. 10, N4. P. 341-405.

8. Ru C. Q. On complex-variable formulation for finite plane elastostatics of harmonic materials // Acta Mechanica. 2002. Vol. 156, N 3-4. P. 219-234.

9. Ru C. Q. Finite strain singular field near the tip of a crack terminating at a material interface // J. of Math. and Mech. Solids. 1997. Vol. 2, N1. P. 49-73.

10. Herrmann J. M. An asymptotic analysis of finite deformations near the tip of an interface crack. Part I // J. of Elasticity. 1989. Vol. 21, N3. P. 226-269.

11. Herrmann J. M. An asymptotic analysis of finite deformations near the tip of an interface crack. Part II // J. of Elasticity. 1992. Vol. 29, N3. P. 203-241.

12. Geubelle P., Knauss W. G. Finite strains at the tip of a crack in a sheet of hyperelastic material: I. Homogeneous case, II. Special bimaterial cases, III. General bimaterial case // J. of Elasticity. 1994. Vol. 35, N1-3. P. 61-174.

13. Stephenson R. A. Equilibrium fields near the tip of a crack for finite plane strain of incompressible elastic materials // J. of Elasticity. 1982. Vol. 12, N1. P. 65-99.

14. Le K. Ch. On the singular elastostatic field induced by a crack in Hadamard material //

Quart. J. of Mech. and Appl. Math. 1992. Vol. 45, N1. P. 101-117.

15. Le K. Ch., Stumpf H. The singular elastostatic field due to a crack in rubber-like materials

// J. of Elasticity. 1993. Vol. 32, N3. P.183-222.

16. Gao Y. C., Shi Z. F. Large strain field near an interface crack tip // Int. J. of Fracture. 1994. Vol. 69, N3. P. 269-279.

17. Gao Y. C., Durban D. The crack tip field in a rubber sheet // European J. of Mech., A/Solids. 1995. Vol. 14, N 5. P. 665-677.

18. Gao Y. C. Large deformations field near a crack tip in a rubber-like material // Theoretical and Appl. Fracture Mech. 1997. Vol. 26, N 3. P. 155-162.

19. Gao Y. C., Zhou L. M. Interface crack tip field in a kind of rubber materials // Int. J. of Solids and Structures. 2001. Vol. 38, N34-35. P. 6227-6240.

20. Gao Y. C. Analysis of the interface crack for rubber-like materials // J. of Elasticity. 2002. Vol. 66, N1. P. 1-19.

21. Chang J.H., Li J.F. Evaluation of asymptotic stresses field around a crack tip for Neo-Hookean hyperelastic materials // Int. J. of Engn. Sci. 2004. Vol. 42, N15-16. P. 1875-1692.

22. Лурье А. И. Теория упругости. М., 1970. 940 с.

23. Черных К. Ф., Литвиненкова З. Н. Теория больших упругих деформаций. Л., 1988. 254 с.

24. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб., 2001. 192 с.

Статья поступила в редакцию 6 ноября 2007 г.