Двухкомпонентная плоскость из материала Джона с межфазной трещиной, нагруженной давлением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3, 517.5

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 3

ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ ПЛОСКОСТЬ ИЗ МАТЕРИАЛА ДЖОНА С МЕЖФАЗНОЙ ТРЕЩИНОЙ, НАГРУЖЕННОЙ ДАВЛЕНИЕМ*

В. М. Мальков1, Ю. В. Малькова2, В. А. Степанова3

1. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

3. С.-Петербургский государственный университет, магистрант, [email protected]

Разрушение материалов и конструкций в основном происходит по причине образования и развития трещин под воздействием внешних условий. Значительный интерес представляют задачи о межфазных трещинах в композитных материалах. Большинство авторов исследуют проблему о межфазных трещинах с использованием уравнений линейной теории упругости. Известно, что в окрестностях концов трещины деформации не ограничены по величине, поэтому целесообразно решать такие задачи в нелинейной постановке. Однако работ, рассматривающих нелинейные задачи, очень мало, и требуются дальнейшие исследования нелинейных проблем.

В данной работе получено точное аналитическое решение нелинейной задачи плоской деформации двухкомпонентной плоскости с межфазной трещиной, нагруженной давлением. Предполагается, что механические свойства материалов обеих полуплоскостей описываются моделью Джона [1]. Материал Джона относится к классу гармонических материалов, что позволяет применить при решении нелинейных краевых задач методы теории функций комплексной переменной, широко используемые в линейной теории упругости [2]. Исследованию нелинейных краевых задач на основе модели гармонического материала Джона посвящены работы [3-8] и другие (в основном рассматривались задачи о трещинах и упругих включениях в плоскость). Теоретические решения некоторых задач по этой модели материала, например, растяжение плоскости из резины с круговым или эллиптическим отверстием, получили экспериментальное подтверждение [3]. Таким образом, модель материала Джона позволяет описать большие деформации реальных материалов. В случае малых деформаций эта модель приводит к закону Гука. Комплексная формулировка нелинейной плоской задачи впервые предложена в работе [3]. Дальнейшее развитие комплексного метода дано в работе [4]. Общие соотношения нелинейной плоской задачи для материала Джона, отличающиеся от ранее известных, приведены в работе [8]. Там же предложен метод решения, основанный на введении функций скачков, и построены точные решения ряда задач для двухкомпонентной плоскости. В данной работе продолжены исследования задачи о межфазной трещине, начатые в [8], для случая равномерного давления на берегах. Эта нагрузка является практически важной для механики разрушения горных пород и многих других областей. Особенностью задачи является зависимость граничных условий от деформации берегов трещины. Впервые выяснилось, что существуют некоторые критические давления, пропорциональные модулю

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №09-01-00656).

© В. М. Мальков, Ю. В. Малькова, В. А. Степанова, 2013

сдвига материала, превышение которых ведет к потере устойчивости материала и большим закритическим деформациям.

1. Основные соотношения. В качестве исходных уравнений возьмем уравнения равновесия для тензора условных напряжений 8 = вав еаер и уравнения совместности деформаций для градиента деформации О = дав еаев [9]:

8 = 0, го10т = 0. (1)

В случае плоской деформации

О = д11в1в1 + д12в1в2 + д21в2в1 + дже^ + дззезез, 8 = «це^ + в12е1в2 + в21е2в1 + в22е2в2 + «зз езез,

где ег —ортонормированный векторный базис декартовых координат (х1, Х2) отсчет-ной конфигурации. Получим обратный тензор для градиента деформации:

10-1 = Лз(д22е1е1 - д12е1е2 - д21е2е1 + дце2е2) + кзезез,

где Л3 = дзз — кратность удлинения в направлении нормали к плоскости, кз = дид22 — д12д21 —кратность изменения площади, 1 = Лзкз —кратность изменения объема.

Перейдем в (1) к компонентам тензоров и запишем в комплексной форме:

(«11 + ¿«12)1 + ¿(«22 — ¿«21)2 = 0, (2) (д22 — ¿д12)1 + ¿(ди + ¿д21)2 = 0; (3)

штрих и индекс внизу означают частные производные по декартовым координатам.

Введем комплексные переменные отсчетной и текущей конфигураций, г = Х1 + ¿Х2, С = £1 + ¿£2, и комплексную функцию напряжений (аналог функции Эри), а = <71 + ¿а2. Напряжения и деформации представим выражениями

да да да да

«11 +««12= д--Й22 - ««21 = -Г- + (4)

дг дг дг дг

дС^дС , д( д( дп + гд21 = тт + 922-1912 = ^.--(5)

дг дг дг дг

Уравнения (2), (3) тождественно удовлетворяются, если подставить в них выражения (4), (5). Комплексные функции а и £ должны находиться из определяющих уравнений (закона упругости) и граничных условий задачи. Из соотношений (5) следует

д( дг

д( дг

Угол ш определяется по компонентам любого из тензоров О или 8 [9]:

ё21 — ё12 в12 — 821

tg ш

ё11 +g22 811 +822

2. Материал Джона. Модель гармонического материала для случая плоской деформации, предложенная Джоном в работе [1], получила дальнейшее развитие и

егш

применение во многих работах [3-8]. Этой модели соответствует упругий потенциал [8]

Ф = 2М[^ (I) - 1], I = Л! + Л2, J = Л1Л2, (6)

величины I и 1 являются инвариантами тензора кратностей удлинений, Л1, Л2 — главные кратности удлинений, ^ (I) — некоторая функция. Соотношения (6) фактически определяют целый класс гармонических материалов; чтобы получить конкретную модель материала, нужно задать вид функциональной зависимости ^ (I).

Модели вида (6) пригодны только для случая плоской деформации (Л3 = 1), для трехмерных задач они не применимы. Поэтому выражение (6) не является упругим потенциалом в обычном смысле.

Для гармонического материала (6) закон упругости для тензора условных напряжений в комплексной форме имеет вид

«11 + ¿«12 = 2^

«22 - ¿«21 = 2^

2„„ Г.5С дС дС (/)—--- + -£

I дг дг дг

I дг дг дг

(7)

Подставив сюда напряжения (4), придем к двум уравнениям для функций £ и а:

да дС г,дС

да дС

=0.

дг дг

Решение уравнения (9) таково:

а + 2^С = У (г),

(8) (9)

(10)

где у (г) —неизвестная аналитическая функция переменной г. Используя (10), исключим из равенства (8) функцию а:

(11)

Можно показать, что

I = 2

5С д^

и выражение (11) приводится к виду

) = 2^'(I) в4"

2М '(I )|.

(12)

Дальнейший ход решения плоской задачи состоит в том, что задается конкретный вид функции ^ (I) и из уравнения (12), где ^'(I) > 0, находится инвариант I как функция от | у' (г)|. Затем из уравнения (11) определяется функция £:

где ф (г) —аналитическая функция от г, / (г, г) —частное решение.

В работах [3, 4] среди других рассматривалась следующая модель материала:

1

I(I v'(z)|) = 2| v'(z)

b + c

I V'(z

(13)

Ь и с — некоторые постоянные. Эту модель мы используем в дальнейшем анализе. Для искомых комплексных потенциалов получим выражения

Z = Ф (z) + bv (z) +

V'(z)

cr = (1 - 2цЬ) cp (z) - 2цф (z) - 2¡J, :

¥>'(г)

Из формул (12), (13) следует

2\iF\I) = -^[1+ л/Р ~ 16Ьс] > 0.

Постоянные Ь и с однозначно определяются из условий перехода закона упругости (7) в закон Гука при малых деформациях:

4/хб = 1 + ——, С = М

Л + 2^' V Л + 2м/

где Л, ^ — постоянные Ляме.

Приведем формулы для напряжений и деформаций (4), (5), записанные через функции v'(z) и ф'(z):

S11 + is 12 = v'(z) - 2^ (g22 - ig12 ) S22 - is21 = v'(z) - 2^ (g11 + ig21),

(14)

311 + «321 = btp'(z) + == + ip'(z) -

czv' '(z)

V'(z) v ' 2(z)

322 - «312 = b^'(z) + === - Ф'(г) +

czv' '(z)

v'(z) v'2(z)

3. Задача о скачках напряжений и деформаций. Рассмотрим двухкомпо-нентную плоскость, состоящую из двух полуплоскостей, сделанных из разных материалов. На бесконечности (в пределе при | г| ^ то) условные напряжения и углы поворота равны нулю. На линии раздела полуплоскостей, которой соответствует Х2 = 0, Х1 = имеют место скачки напряжений и деформаций

[«22 — ¿«21] + — [«22 — ¿«21р = Дв(г),

(15)

[ди + ¿д21]+ — [ди + ¿д21] =Дд(4).

Предполагается, что функции скачков Д«(£) и Дд(£) абсолютно интегрируемы по Риману и удовлетворяют условию Гёльдера. Символы [...]+ и [...]- означают предельные значения выражений в скобках при приближении к трещине из верхней «2

и нижней $1 полуплоскости соответственно. Решение этой задачи было получено в работе [8], здесь мы приведем некоторые результаты, которые будут использованы при решении основной задачи о трещине, нагруженной давлением.

Заменим в (15) напряжения и деформации выражениями (14), затем, следуя методу работы [8], введем две новые комплексные функции Н (г) и г (г), которые являются аналитическими во всей плоскости, исключая линию раздела. Ниже приведены функции для верхней полуплоскости $2; функции для нижней полуплоскости $1 получим циклической перестановкой индексов (1 ^ 2) в правых частях:

1г (¿0 = (! - 2^2&2) ^(¿О + 2М1 =ГГТ + Я^ф'Лг) ~

V 1\г) (г)

(16)

В этих функциях условия (15) на линии раздела примут вид

Н+(г) - Н-(г) = Дв(г), г+ (г) - г-(г) = Дд(г). (17)

Пришли к двум граничным задачам Римана—Гильберта нахождения кусочно-голоморфной функции по ее скачку [2], решения которых выражаются через интегралы типа Коши:

сю сю

2пг ] г — г 2пг ] г — г

-с -с

Постоянные Н (те), г (те) находятся из условий на бесконечности:

Н(те) = 2^(1 — 2^161) + 2^2(1 — 2^2^2), г(те) = 2(^161 + ^262) — 1.

Выразим комплексные потенциалы у'(г) и ^'(г) через функции Н(г) и г(г): верхняя полуплоскость —

(Н + 2М1г)(г)

у2(г) =

1 + 2(^1 — ^2)62 '

с 1 —/ , , _ С1 гср"(г) _ [Ъ2Н - (1 - 2ц2Ь2)г](г)

Ш*) 1 + 2(М1-М2)Ь2 '

нижняя полуплоскость —

(!г + 2^2г)(г)

^(г) =

(18)

1 + 2(^2 — М)61 '

С2 < \ _ с2зу2/('г:) _ [Ъф - (1 - 2/Х1&1 )г](г)

Щг)+Шг) 1 + 2(^-^)6! '

(19)

4. Трещина, нагруженная давлением. Теперь переходим к решению основной нашей задачи о межфазной трещине, нагруженной нормальным давлением. Трещина расположена на промежутке [—а, +а] линии сопряжения полуплоскостей. На бесконечности (в пределе при | г| ^ те) напряжения и углы поворота равны

нулю. Нормальное давление в текущей конфигурации создает поверхностную нагрузку q* = — р V, где р > 0 — постоянное давление, V — внешняя нормаль к деформированной поверхности тела. Специфика задачи состоит в том, что внешняя нагрузка зависит от деформации границы. Давление направлено по нормали к деформированной поверхности трещины, причем в случае двухкомпонентной плоскости берега трещины деформируются по-разному.

В отсчетной конфигурации на поверхности трещины имеем граничные условия

sn = п • 8 = q = = —р п • 7 О-1, (20)

где п — внешняя нормаль к недеформированной поверхности, яп — кратность изменения площади. На берегах трещины п = ± е2, яп = я2 = \]д\\ + д\\ = (г)\/(2 ц —р). Из равенства (20) найдем значения условных напряжений на трещине:

«22 = —рди, «21 = рд21-Запишем эти равенства в комплексной форме:

«22 — ¿«21 = —р (ди + ¿д21). (21)

Учитывая формулы (14), получим из (21) следующие выражения:

р1

«22 - г«21 =-311+ «321 = 7;-<р(г)- (22)

2^ — р 2^ — р

Из равенств (22) видно, что напряжения и деформации стремятся к бесконечности при р ^ 2^. Функция у>'(г) не равна нулю при р = 2^. Для металлов и горных пород обычно р/^ ^ 1. Для низкомодульных резиноподобных материалов (эластомеров) вполне допустимо, что р/^ ~ 1. В этом случае указанное обстоятельство свидетельствует о том, что материал теряет устойчивость при таких давлениях.

Введя функции (16), формулы для деформаций в (14) преобразуем следующим образом:

Зп + «321 = Ъ2^р2(г) + Ъг^х) - г (г) - с2(г - г) ^

у2 (г)

(23)

322 - «312 = Ъ2ср2(г) - Ъ^'^г) + ф) + == + с2(г - г) ^

^2(г) ^22(г)

311 + «321 = Ьцр[(г) + Ь2(р'2 (г) - г (г) - сл(г - г) 1

(24)

322 - «312 = £>!¥>! (г) - Ъ2ср2(г) + г(г) + === + с^г - г)-^1^

(г) '^12(г)

Формулы (23) относятся к верхней полуплоскости, (24) —к нижней.

С учетом формул (18), (19), напряжения и деформации на линии раздела запишутся так:

[522"г521] =-1 + 2(М1-М2)Ь2---1 + 2(М2-М1)Ь1 +2№Г ^

[«22 - «21Г = (1 + _ 2Mib2(fe + 2Mir)+(t) + 2

1 + 2(^2 - Hi)bi 1 + 2(^1 - ^2)^2

bn + чт] + = 52 + + 5, + _ r-(i)>

1 + 2(^1 - M2)b2 1 + 2(^2 - Mijbi

1 + 2(^2 - Mi)bi 1 + 2(^1 - ^2)52 Отсюда получим условия вида (17), выполняемые на всей линии раздела:

As(t) = [S22 - iS2i]+ - [S22 - ÍS21 ] = h+ (t) - h- (t),

Ag(t) = [gil + ig2i]+ - [gil + ig2i]- = Г+ (t) - r-(t).

В формулах (17) скачки функций считались заданными, здесь они зависят от искомых функций. Вне трещины напряжения и деформации непрерывны на линии раздела, поэтому там функции скачков As и Ag равны нулю. На берегах трещины, согласно соотношению (21), должно иметь место равенство

As(t) = -p Ag(t),

которое приводит к такой зависимости между искомыми функциями:

[h + pr]+ (t) - [h + pr]-(t) = 0. (26)

Решение граничной задачи (26) имеет вид

h(z) + pr(z ) = h(^) + рг(те). (27)

Постоянные h(^) и г(те) приведены выше.

Чтобы получить граничную задачу для одной из функций, например r(z), поступим следующим образом. На берегах трещины для напряжений имеем граничные условия, вытекающие из (22):

[*22 -«2l]+ = + , N2 -«21]- = №(*)]-■ (28)

2^2 - Р 2^i - p

Разность этих выражений фактически использована при выводе уравнения (26). Сложим уравнения (28):

[*22 - «2l]+ + N2 - «21]- = - №(*)]-■ (29)

2^2 - Р 2^4 - p

Заменим в (29) напряжения выражениями (25) и воспользуемся равенством (27), чтобы исключить функцию h(z):

1 + 2(^i - М2)52 1 + 2(^2 - Mi)5i

+ [1 + 2(М1 - М2)52][1 + 2(М2 - Mi)bi] ^ + - и'

Перепишем это уравнение в виде

г+(Ь) + 6г-(Ь) = /, Ь € (-а, а), (30)

2^2 - р 1 + 2(^1 - )»2 1 - (2^1 - р)»1

6 =

2^1 - р 1 + 2(^2 - М1 )»1 1 - (2^2 - р)&2'

f =__1-(2М1-р)61-(2М2-р)б2_, ,

Параметр 6 и правая часть уравнения / не зависят от переменной Ь, оба параметра являются нелинейными функциями давления р.

5. Решение граничной задачи (30). Параметр 6 в уравнении (30) меняет знак в зависимости от величины давления р. Пусть < Тогда при р < 2^1 и р > 2^2 параметр 6 будет положительным, а при 2^1 < р < 2^2 —отрицательным. Вид решения уравнения (30) зависит от знака этого параметра; дальше рассмотрим отдельно три случая. Случаи 6 = то и 6 = 0, которым отвечают критические давления р1 = 2^1 и р2 = 2^2 соответственно, мы исключаем из рассмотрения.

При 6 = -1 уравнение (30) и его решение принимают вид

г+ (Ь) - г- (Ь) = /, Ь € (-а, а),

(31)

а

.. 1 /■ / Л 1 л 1 ^ - а / ч

Ф) = ТГ- / 7-+ Г (то) = —/ 1п —— + г(то).

2пм ь — £ 2пг г + а

Параметру 6 = -1 соответствует давление р = р*, которое является положительным корнем уравнения 6 +1 = 0:

2 , о 1 ~ 2^1 ~ 2М2&2 0 /XI (1 ~ 2/Х1&1) +/х2(1 ~ 2/Х2&2) _п .ооч

Р Т ^ I, I I, Р £ т . т — и- ^^

»1 + »2 01 + 62

Можно показать, что этот корень находится в интервале 2^1 < р* < 2^.

При р < 2^1 и р > 2^2 имеем 6 > 0, в этом случае решение уравнения (30), голоморфное на бесконечности, таково [2, 10]:

а

(33)

V-г2 - а2 \г - а) '

После взятия интеграла получим

ф) = г(то) + В [1 - (г - 2г^а) X(г)], (34)

о / , л [1 + 2(М2 - М1)61 +2(М1 - М2)62]р

В = -- — г(то) = —-

1 + 6 ^ 7 (2М1 - р)[1 - (2М1 - р)»1] + (2М2 - р)[1 - (2^2 - р)02]'

Постоянные А1 и Ао в решении (33) были найдены из условий на бесконечности и равенства нулю главного вектора сил на трещине. Функция X(г) является решением однородного граничного уравнения (30): X +(Ь) + 6Х-(Ь) = 0.

В промежутке изменения давления 2^1 < р < 2^,2 параметр 6 < 0. В этом случае решение уравнения (30), голоморфное на бесконечности, дается формулой [2]

— а

\ z + а ) 2п

постоянная C = г(то). Вычислив интеграл в решении (35), получим

r(z) = г(то) + B [1 - X*(z)]. (36)

Решение (36) остается ограниченным вблизи концов трещины и нигде в нуль не обращается. В формуле (36) предполагается, что S = -1, случай S = —1 был рассмотрен отдельно выше. Значение параметра S = —1 является особым, решение (36) обращается в бесконечность, соответствующее критическое давление p находится из уравнения (32).

Таким образом, в процессе исследования и решения уравнения (30) выявлены три особых значения параметра S, а именно, то, 0 и —1, которым соответствуют критические значения давления: pi = 2ц1, p2 = 2ц2 и p* £ (2ц1, 2ц2). Анализ показывает, что при приближении к этим критическим значениям максимальные перемещения берегов трещины, а также коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) стремятся к бесконечности.

Найденные критические значения давления выглядят правдоподобными, в частности их связь с модулями сдвига материала. Известно, что критическое давление (на единицу площади) при одноосном сжатии резинового куба равно модулю сдвига материала ц [11]. Нам представляется, что наличие критических давлений определяется свойствами резиноподобного материала (их низким модулем сдвига), а не недостатками модели материала Джона. Например, для полулинейного материала наблюдаются те же эффекты. Для жестких материалов (в частности, металлов), имеющих большой модуль сдвига, критические давления реально не достигаются. Кроме того, в таких материалах не может быть больших деформаций в упругой области.

Отметим, что в случае однородной плоскости с трещиной, когда Ц1 = Ц2 = Ц, параметры S = 1, ß = 0. Здесь существует только одно критическое давление p = 2ц.

6. Вычисление КИН. Коэффициенты интенсивности условных напряжений для правого и левого конца трещины будем определять по формулам, аналогичным тем, что используются в линейной теории упругости [10]:

К+ = (Кг - гК2)+ = lim [{s22 - «2i)(£ - l)°'s+i/5],

5^1+0

К- = {Кг - iK2y = lim [(s22 - ¿s2i)(-£ - l)0'5^],

5^—1—0

где £ = x1/a — безразмерная переменная.

Рассмотрим случай, когда давление на трещине удовлетворяет условиям p < 2ц1 или p > 2ц2. В уравнении (30) параметр S > 0 и решение имеет вид (34). Напряжения на линии раздела вне трещины находятся по формуле (25):

[«22 — «21]+ = [S22 — is21 ] = A [1 — (£ — 2гв)Х(£)],

А = В-

(Л. + рг)(те)

[1 + 2(^1 - мз)Ь2][1 + 2(^2 - мОЫ'

После вычислений получим такие значения КИН:

К+ = 1 - 2г(3)2^, К- = 1 + 2г(3)2~^.

Напряжения на берегах трещины определим по формулам (28), которые преобразуем к виду

[в22 - ¿в21Г

р

2^1 - Р

2^2 Р

2/л2-р 2ц2 -р 1 + 2(/Х1 -

[в22 - ¿«21] = -

р

2^2 - Р

2/Х1Р

2щ-р 2щ - р I + 2(/л2 -/л1)Ь1

В [1 - (£ - 2гв)Х +(С)],

В [1 - (£ - 2гв)Х"(О].

Из вида функции X(г) в формуле (33) следует, что при приближении к концам трещины напряжения осциллируют и амплитуда осцилляции стремится к бесконечности.

Перемещения верхнего и нижнего берегов трещины удобно определять с помощью второй формулы (22):

[011 + ¿021]+ = [1 + «1 + ¿«2] + =

[011 + ¿021] = [1 + «1 + ¿«2Г

1

2^2 - Р

Ь2(г)Г

1

2^1 - Р

где «1 и «2 —компоненты вектора перемещений. Проинтегрировав эти равенства после замены комплексных функций выражениями (18), (19), (27), (31), найдем перемещения. Наибольший интерес представляют перемещения по нормали к трещине:

,+ -

ал/а(2(л1 ~р)л/1 '(2^2-р)[1 + 2(/л1 -1ъ)Ъ2]

а(2М2-р)у/1-е2

л/а{2щ -р)[ 1 + 2(№ - Ц\)Ъ\\

В сов

В сов

в 1п

в 1п

1 + е 1-е

1 + е 1-е.

е е (-1,1), е е (-1,1).

При вычислении перемещений использована формула

J(z - 2¿ва)X(г) ¿г = (г2 - а2)Х(г).

В линейной задаче перемещения таковы [10]:

,+ -

ар^а0 1 + ^2

2^2 1 + «о

У7^

сов

во 1п

1+е

ар^а0 1 + ^1

2^1 1 + ао

У7^

во 1п

1-е

1-е.

и = 3 — 4г/, «о = <У-{р = 0) = ^ ^—-, /?о = /3(р = 0) = — 1пао-

+ ^2^1 2п

Видим, что в обоих случаях — в нелинейной и линейной задачах — наблюдается осцилляция перемещений у концов трещины.

2

и

2

«

Для отрицательных значений параметра 8 в уравнении (30), когда давление меняется в пределах 2^1 < p < 2^2, КИН будем вычислять по формулам

К+ = (К\ - гК2)+ = Hmo[(s22 - ¿S2i)(£ - l)~lßl K~ = (K\ - iK2)~ = Vb^ lim [(s22 - is21)(-£ - l)lß]•

^—у — 1—0

Напряжения на линии раздела вне трещины таковы:

[S22 - iS2l]+ = [S22 - iS2l]— = A [1 - X*^)]-Получим следующие выражения для КИН:

К+ = -Asfbt 2~lß, К~ = -AsJ2^2lß.

7. Результаты расчетов. Были выполнены расчеты условных напряжений и раскрытия трещины для разных значений величины давления р и параметров материалов полуплоскостей.

На рис. 1 показаны нормальные в22 (МПа) и касательные ^12 (МПа) напряжения на линии раздела, включая трещину, для верхней полуплоскости. Расчеты выполнены при следующих параметрах задачи: давление р =1, 0 МПа, модули сдвига материалов полуплоскостей ¡11 = 1 МПа, =3 МПа.

а 1 2' 1- S22

-2 -1 -1- 0 ' t ;

-2- Л

5 1 ■ 0,5 ■ S12

2 - у— 0 1 s 2

\ -0,5 ■

-1-

Рис. 1. Напряжения верхней полуплоскости при давлении р = 1 МПа: а — нормальные в22; б — касательные в 12.

На рис. 2 показаны нормальные в22 (МПа) и касательные ^12 (МПа) напряжения на линии раздела, включая трещину, для нижней полуплоскости при тех же параметрах задачи.

Из рисунков видно, что напряжения возрастают (по модулю) при приближении к концам трещины, как извне трещины, так и со стороны трещины. В окрестностях концов трещины имеет место осцилляция напряжений, при этом амплитуда осцилляции стремится к бесконечности. Осцилляция на рисунках не показана, так как она занимает малый промежуток. Известно, что длина промежутка осцилляции составляет по разным оценкам 10-8 — 10-4 от полудлины трещины [10].

На рис. 3 показаны перемещения берегов трещины, отнесенные к а, при давлении р =1 МПа и р = 1, 5 МПа, параметры материалов полуплоскостей прежние. Сплошная линия соответствует нелинейной задаче, отмеченная квадратиками — линейной.

а | 2- Б22

1-

-2 -1 1 -1- 0 1 $ 1

-2-

б 1 \ 0.5 sí2

-2 ■ -1 ' 5 ;

\ -0,5-

-1-

Рис.2. Напряжения нижней полуплоскости при давлении р = 1 МПа: а — нормальные в22; б касательные в\2 •

Рис. 3. Перемещения берегов трещины и2 (£) при давлении: а — р = 1 МПа; б— р =1, 5 МПа.

I

Рис. 4- Зависимость КИН К1 от величины давления р.

Осцилляция у концов трещины не видна на рис. 3, поскольку, как уже сказано, область осцилляции мала, а ее амплитуда гасится множителем у1—Из рис. 3 видно, отличие величины перемещений по двум теориям проявляется более в нижней полуплоскости с меньшим модулем сдвига, чем в верхней.

На рис. 4 показана зависимость коэффициента интенсивности напряжений К (МПа) от величины давления р (МПа). Модули сдвига материалов полуплоскостей прежние. Из рис. 4 видно, что КИН стремится к бесконечности при приближении

давления к критическим значениям. Критическими являются три значения давления pi = 2pi = 2 МПа, p2 = 2р = 6 МПа и давление p* £ (2pi, 2р2), которое является положительным корнем уравнения 1 + S = 0. Эти значения отмечены штриховыми линиями. Если материалы полуплоскостей мало сжимаемые (р/Х ^ 1), то это давление можно найти по приближенной формуле р* « 2y/¡j,i¡j,2- Для рассматриваемых модулей сдвига p* « 3, 464 МПа.

Литература

1. John F. Plane strain problems for a perfectly elastic material of harmonic type // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. Vol. XIII. P. 239-290.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М., 1966. 708 с.

3. Varley E., Cumberbatch E. Finite deformation of elastic materials surrounding cylindrical holes //J. of Elasticity. 1980. Vol.10, N4. P. 341-405.

4. Ru C. Q. On complex-variable formulation for finite plane elastostatics of harmonic materials // Acta Mechanica. 2002. Vol. 156, N 3-4. P. 219-234.

5. Ru C. Q. Finite strain singular field near the tip of a crack terminating at a material interface // J. of Math. and Mech. Solids. 1997. Vol.2, N1. P. 49-73.

6. Ru C. Q., Schiavone P., Sudak L. J., Mioduchowski A. Uniformity of stresses inside an elliptic inclusion in finite plane elastostatics // Intern. J. of Non-linear mechanics. 2005. Vol. 38, N2-3. P. 281-287.

7. Wang Xu. Three-phase elliptical inclusion with internal uniform hydrostatic stresses in finite plane elastostatics // Acta Mechanica. 2011. Vol.219, N1-2. P. 93-97.

8. Мальков В. М., Малькова Ю. В. Плоская задача нелинейной упругости для гармонического материала // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 2008. Вып. 3. С. 114-126.

9. Мальков В. М. Введение в нелинейную упругость. СПб., 2010. 276 с.

10. Малькова Ю. В. Некоторые задачи для двухкомпонентной плоскости с криволинейными трещинами. СПб., 2008. 160 с.

11. Alfutov N. A. Stability of elastic structures (Foundations Engeneering Mechanics). Springer, 2000.

Статья поступила в редакцию 28 марта 2013 г.