Частично отслоившееся тонкое жесткое включение между разными упругими материалами при наличии трения в зоне контакта Текст научной статьи по специальности «Математика»

124 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).

УДК 539.375

ЧАСТИЧНО ОТСЛОИВШЕЕСЯ ТОНКОЕ ЖЕСТКОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ МЕЖДУ РАЗНЫМИ УПРУГИМИ МАТЕРИАЛАМИ ПРИ НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ В ЗОНЕ КОНТАКТА

© 2007 И.И.Ильина} В.В.Сильвестров2

Изучается напряженное состояние кусочно-однородной упругой плоскости, склеенной из двух разных полуплоскостей и содержащей на их линии соединения тонкое жесткое остроугольное включение. Одна сторона включения жестко соединена с окружающей его упругой средой, а другая сторона отслоилась от среды и контактирует с ней с трением. К плоскости вне включения приложено конечное число сосредоточенных сил и пар сил.

Методом матричной краевой задачи Римана находятся явно комплексные потенциалы, описывающие напряженное состояние составной плоскости, исследуется поведение напряжений вблизи вершин включения.

1. Постановка задачи

Рассмотрим кусочно-однородную упругую изотропную плоскость, составленную из верхней и нижней полуплоскостей с модулями сдвигов Цх, Ц2 и коэффициентами Пуассона Ух, У2, на линии соединения которых расположено тонкое жесткое остроугольное включение [а, Ь], отслоившееся вдоль верхней стороны от окружающей его упругой среды. На верхней стороне включения считаем известными значения выражения тху + роу и производной ду/дх нормальной компоненты вектора смещения:

т+у(0 + ро+(0 = <?(0, (ду/дх)+(г) = Н3(г), г е (а,Ь), (Х.Х)

а на нижней стороне включения — значения производных ди/дх, ду/дх горизонтальной и вертикальной компонент вектора смещения:

(ди/дх)-(г) = Ъх(г), (ду/дх)~(г) = Ь.2(г), г е (а,Ь), (1.2)

1 Ильина Ирина Игоревна (ir_rus@mail.ru), кафедра высшей математики Чувашского государственного университета, 428015, Россия, г. Чебоксары, Московский пр., 15.

2Сильвестров Василий Васильевич (v_silvestrov@mail.ru), кафедра высшей математики Российского государственного университета нефти и газа, 119991, Россия, г. Москва, Ленинский пр., 65.

где р — коэффициент трения между включением и упругой средой, тху, оу — касательная и нормальная компоненты вектора напряжений. Вне включения полуплоскости жестко соединены друг с другом, что выражается в непрерывности вектора напряжений и вектора смещений.

На то составной плоскости заданы значения напряжений и вращения:

связанные между собой условиями неразрывности смещений на бесконечности [1]:

Здесь и далее индекс ”1” соответствуют верхней полуплоскости, индекс ”2”— нижней, Kj = 3 - Фу у, у = 1,2.

В плоскости, вне включения, в точках гу, у = 1,2,..., п действуют сосредоточенные силы Хуи пары сил с моментами Му относительно точек гу. Для определенности будем считать, что Пх точек относятся к внутренним точкам составной плоскости, а п - пх точек расположены на оси включения. Кроме того, считаем заданным значение главного вектора Хо + гТо внешних сил, приложенных к включению.

Требуется определить плоское напряженное состояние кусочно-однородной упругой плоскости, при котором напряжения и вращение в вершинах включения могут обращаться в бесконечность порядка меньше единицы, в точках приложения сил и пар сил — в бесконечность порядка не больше двух, а вне любой фиксированной достаточно малой окрестности множества сингулярностей они ограничены.

2. Краевая задача для комплексных потенциалов и их поведение в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил и пар сил

Для нахождения напряжений ох, оу, тху, вращения ш и частной производной по х от вектора смещения и + 1У в точке г = х+1у составной плоскости воспользуемся предложенными Г.П. Черепановым видоизменениями известных формул Колосова-Мусхелишвили [2]: в верхней полуплоскости 1т г > 0

(х.3)

Ц2(х + Кх)Ох - Цх(! + К2)02 = (ЦхК2 - Ц2К + 3(Ц2 - Цх))0,

(х.4)

2ЦхЦ2(Шх - Ш2) = (Цх - Ц2)т.

ох + оу = 4ИеФ(г), 2цхш = (! + Кх)1тФ(г),

ву - пху = Ф(г) + П(г) + (г - г)Ф'(г),

(2.х)

2[11(и + Щ'х = К1Ф(г) - П(г) - г)Ф'(г);

в нижней полуплоскости 1т г < 0

ох + оу = 4ИеФ*(г), 2^2ш = (1 + к2)1тФ*(г),

Оу - пху = Ф*0) + П*(г) + (г- г)ФІ(г),

(2.2)

2\12(и + Щ'х = к2Ф*(г) - П*(г) - (г - гЖ(г),

Ф*(г) = ахФ(г) + а2П(г), П*(г) = азП(г) + афФ(г),

х + ц*кх х - ц* ц* + к2

сч = -------, а2 = ------------, а3 = -------------,

х + к2 х + к2 х + к2

К2 - Ц*Кх Ц2

СЦ — л > [-А-* — >

х + К2 Цх

где Ф(г), П(г) — кусочно-голоморфные функции с линией разрыва Ь = [а, Ь], на концах которой они могут иметь особенности интегрируемого характера [3], а в окрестности то имеют вид:

Ф(г) = 71 + — + 0(г~2), П(г) = у2 + — + 0(г~2), г г

ох + о 2цхшх

У1 = ^Г + гТ7^’ У2 = а-п-у х> (23)

X + ІУ К2(Х + ІУ)

------------------> Ї4 - ----------------------->

2п(1 + Ц*Кі) 2л(^* + К2)

Уз = .......ч, 74 = .........ч, X + ІУ = ^(Ху + /Ту).

і=о

Функции Ф(г), П(г) будем считать такими, что для всех точек г линии Ь, кроме концов,

Пт - z)Фr(z) = О, Ііт(г - г)П'(г) = 0. (2.4)

Из условий (1.1), (1.2), (2.1), (2.2), (2.4) следует, что на берегах включения функции Ф(г) и П(г) должны удовлетворять следующим краевым уло-виям:

К2ахФ-(0 + К2а2П-(г) - азП+(г) - а4Ф+(г) = 2^(йх(г) + іМО),

кхФ+(г) - П (г) - К1 Ф+(г) + П (г) = 4і^1Йз(г), (2 5)

2 ід(ї)

Ф+(0 + П“(г) - с(Ф+(г) + П-(0) =-------—, г е Ь,

х - гр

где с = (! + гр)/(х - гр). Добавим к ним условие, получаемое из первого равенства (2.5) путем сопряжения обеих частей:

К2ахФ (г) + К2а2П (г) - азП+(г) - афФ+(г) = 2ц2(йх(г) - ^0)). (2.6)

Учитывая выражения функций Ф(г), П(г) через соответствующие верхней и нижней полуплоскостям комплексные потенциалы Мусхелишвили, а также их представления в окрестностях точек приложения сосредоточенных сил и пар сил [4], получаем следующие представления этих функций

вблизи точек Zj и Zf если Imzj > Q, то

Xj + iY j a4

O(z) = —-------------- + 0(1), Q.(z)---------Ф(г) при z -> zj,

2n(l + Kl)(z - zj) аз

K^Xj + iYj) (Ij-Zj)(Xj-iYj) + i(\+Kl)Mj (2.7)

Q(z) = ^ ^ ^ _ +—-----7T~7\---—----------------- + 0(1),

2jt(1 + Ki)(z - Zj) ' 2jt(l + Ki)(z - Zj)2

O(z)-----(а2/аі)П(г) при z -> zu

если Im zj < 0, то

Xj + iYj

O(z) =-----------------------1-0(1), O(z) ограничена при z —> zu

2nai(1 +K2)(z-Zj)

K2(Xy+ iYj) Czj-Zj)(Xj-iYj) + i(l + K2)Mj (2.8)

H(z) =-------- ----+ —— ------------- ---- --------------- + 0(1),

2ла3(1+K2)(z-zy) 2ла3(1 + k2)(z - Zj)2

Ф(г) ограничена при z —>Zj', если Im Zj = 0, то

Xj + iYj

= “o---7Г-------V-------Л + °<1)*

2nai(1 + K2)(z - Zj)

K2(Xy + iYj) KMj-ZjYj)

H(z) =--------- ------ -----+----------------- -—h + 0(1) при z -» Zj.

2ла3(1 + k2)(z - Zj) 2iia3(z-zj)2

(2.9)

Представления (2.7) и (2.8) получены при условии, что точка Zj не совпадает ни с одной из остальных точек Zk (к Ф ]). Если какие-то точки Zj и гк совпадают, то в точках Zj = 1к и Zк = Zj происходит наложение особенностей функций Ф(г), П(г), что выражается в суммировании соответствующих представлений этих функций при г —> Zj и г —> Zj■

3. Сведение краевой задачи к матричной краевой задаче Римана

Введем в рассмотрение вектор-функцию Р(г) с компонентами Fх(z), Р2(г), ^з(г), F4(z) так, что

Р\^) = Ф(г), ^(г) = Ф@, Fз(z) = П(z), F4(z) = П©, (3.1)

и вектор-функцию ¥(г) = Р-1Р(г) с компонентами ^(г), ^2(г), ^з(г), ^4(г), где Р — неизвестная пока невырожденная матрица.

В силу представлений (2.3) функции ^(г), к = 1,2,3,4 в окрестности бесконечно удаленной точки имеют представления:

Ч'йСг) = ^іуі + Чк2~! і + ЯкзЧ 2 + Чы~12 +

, _ , (3-2)

+ \Чк\Ъ + чт3 + Чкъу4 + ту4)г 1 + ОСг 2), к = 1,2,3,4,

где чи] — элементы матрицы Р-х. Кроме того, на основании (3.1) и равенства Е(г) = Р^(г) функции (г) должны удовлетворять двум условиям ’’симметрии”:

4 _____ 4 4 ____ 4

2 2 Р2^М), ^ Рз^Д) = 2 /Ч/У/Сг). (3.3)

]=х ]=х ]=х ]=х

В окрестностях особых точек Zj и 1] функции ^(г) на основании (2.7)—(2.9) имеют вид:

если ImZj > 0, то

Xj + iYj , а4

'Vk(z) = -z—;------------- --------------------------------------------------~{qk\-Чкз) + 0(1) при z -> zj,

2n(1 + Ki)(z - Zj) аз

ш / Ki(Xy + iYj) (Ij - Zj)(Xj - iYj) + i( 1 + К0МД

4k(z) = I „ w_ _ 4 , ,, ------=-y----------1X (3.4)

2jt(1 + Ki)(z - Zj) 2jt(1 + Ki)(z - Zj)2

X\qk3-%kl) + 0(l) при Z~>Zj

если Im Zj < 0, то

X, + iYj

Vk(z) = ------ -------------------------------------------- -~qk\ + 0(1) при z -> Zj,

2nai(1 + K2)(z - Zj)

I K2(Xj + iYj) (zj — Zj)(Xj — iYj)+i(l+K2)Mj\ (3.5)

\2ла3(1+к2)(г - Zj) 2jta3(l + к2)(z - Zj)2

(3.6)

если Im Zj = 0, то

,T, . ч (Xj + iYj)(K2aiqk3 - a3qki) + (Xj - iYj)(K2aiqk4 - аз^^2)

™k{z) =---------------- ------- ------ ------ -----------------+

2naia3(i + K2)(z - Zj)

.(Mj - ZjYj)(qk3 - qk4) .

+ I-------------------+ 0(1) при Z -» Zj.

2na3(z - Zj)2

Тем самым приходим к матричной краевой задаче Римана

Y+(0 = P-iA-iBPY-(t) + P-iA-ig(t), t е L. (3.7)

В краевом условии (3.7) матрицы A, B и g(t) определяются из (2.5), (2.6).

Невырожденную матрицу P возьмем так, чтобы матрица P-iA-iBP была диагональной или треугольной.

Характеристическое уравнение det (A-iB - XE) = 0 является алгебраическим уравнением четвертой степени с комплексными коэффициентами, один из корней которого X4 = i.

Если собственные значения Xk, k = i, 2,3 матрицы A-iB все различны, то в качестве матрицы P можно взять, например, матрицу с элементами

pij = a3Xy - к2а2, p2j = (Xy(c + K^pxj + (c - l)p3j)/(l + Ki),

P3j = K2ai - a4Xj, p4j = (-KiXjpij + Kip2j + P3j)/Xj, j = i, 2,3,4.

Тогда задача (3.7) распадается на четыре самостоятельные краевые задачи Римана:

¥+(0 = хдао + /к(0, г е Ь, к = 1,2,3,4, (3.8)

где /к(?) — компоненты вектора-столбца Р-1А-^(г). Решения задач (3.8) имеют вид:

Ь

/к(0Ж

Х^О^-г)

+ у(_^ + ^ + _^ц + _^ц,+

г-гу (г-гу)2 (г-гу)2'

¥4© =

ь

_1_ [к

2лО ?

- z

+ 2

]=щ +1

«1

*4 +

]'■

ок- нк.

к] к]

Z - Zj (z - Zj)2

а(,)Л+а: + £^ + _^ +

, к = 1,2,3,

е4 .

(3.9)

+

^4 .

+ —Ь' +

(г - гу):

.=П1 +1

С4у + Щ.

Z - Zj ^ - Zj)2

где Xk^) — канонические функции соответствующих однородных задач Х+(г) = ХкХ-(0, ? е Ь, к = 1,2,3. Эти решения существенно зависят от упругих параметров составной плоскости и коэффициента трения р , так как собственные значения Хк, к = 1,2,3, матрицы А-1В могут быть как комплексными, так и действительными числами. В общем случае значения Х^ связаны между собой различным образом. Так, в случае комплексных Х1, Х2, Х3 возможны, в частности, равенства Х2 = 1/Х1 или |Х1| = |Хг| = 1, причем всегда 1Х31 = 1. Приведем решение задачи для этих случаев.

4. Решение задачи для случая Х2 = 1/Х1

Тогда решения задач (3.8) задаются формулами (3.9), в которых канонические функции Xk(z) имеют вид

X1(z) = ^ - а)-а1 -гр1 (z - Ь)-1+а1 +('в1,

X2(z) = (z - а)-а1 +^'вi(z - Ь)-1+а1 ^,

Xз(z) = ^ - а)-1^ - Ь)

-1+а,

[а, Ь],

а^ Хк

вк =

1п |Хк|

0 ^ агд Хк < 2п, к = 1,2,

2л ’ ' к 2л

где у этих функций берутся те ветви, которые однозначны в плоскости с разрезом по отрезку [а, Ь] и в окрестности то имеют представления

V ^ _ 1 , Ь ~ (а1 “ ~ й) , -Зч , _ л о

:) — —I--------------------------------------------------т.-ь 0{т, ), к — 1,2,

г

г

z

1 Ь - а, (Ь - а) .

Х3(г) = - +---------\---------+ 0(г~3).

г г2

В окрестности то функции Чк(г) имеют вид:

Чк(г) = Бк + (Лк + йк Вк)г~х + О(г“2),

^4(г) = Л4 +

Ь

1

П1 П 1 Г

^(с4] + о4])+ £ о'4]~ — J МОЛ

у=1 у=П1 +1 а

+ О©2),

dk = Ь - (аі - (— 1)кг’Рі)(Ь - а), к = 1,2, = Ь - а3(Ь - а).

Из условий ’’симметрии” (3.3) находим

А = ~^Аг, В2 = ^-В^,

Р22 Р22

Л3 = (§3 + г)1шЛ3, Б3 = (§3 + г)1шБ3, Л4 = (1 + ф)ИеЛ4,

Г' — ^ Г) Г) — ЕА}-Ґ^ 77 — Т7 Т7 — ^11 Т7

С2у - ----и\р и 2у - ------------Сі у, £,2у - --------г і], Ґ 2; - -------^іу,

Р22 Р22 Р22 Р22

£>3 у = —Сз у, ^з У = —£3 у, Б4 у = сС4 у, ^ у = с£4 у, ] = 1, «і,

Р23 Р23

_ ^11 7Т _ /*1177

2у - Н2у - ~ 1і’

Р22 Р22

03 у = (§3 + г)Іша3 у, н3 у = (§3 + г)1шЯ3 у,

С4]- = (1 + гр)ИеС4у, Я4у = (1 + гр)ИеЯ4у, ] = «і + 1, и,

■' 1 - р2

§3 =

+ кН (а3((ИеХ3) - 3(ІшХ3) )ИеХ3 - 2к2а2а3((ИеХ3) -

1 + р2

-(1тХ3)2)+к?а?ИеХ3) н—^^(а?(3(Ие)\.3)2-(1т)\.3)2)1т)\.3-2а3(2к2а2+

2 2 1+р2 3

+а4)ИеХ3ІшХ3 + к2(а1а3 + а2а4)(ІшХ3 - рИеХ3) + р(а3а4((ИеХ3)2-

-(ІшХ3)2) +к^а1а2)+к^а^шХ^ /[(1 + к1)(а^-2к2а2а3ИеХ3 + к^а^], „ Г/1

% =

1 - р2

+ к 11 (а?(3(ИеХ3)2 - (ІшХ3)2)ІшЛ3 - 4к2а2а3ИеХ3ІшХ3+

і IV м ^3

1 + Р2 / 3

2р

+к9а91тХ3)------------(а,((ИеХ3) - 3(1тХ3) )ИеХ3 - (2к2а2а3 + а3а4)х

22 1 + р2 3

х((ИеХ3)2 - (ІшХ3)2) + к2(а1а3 + а2а4)(ИеХ3 + рІшХ3) + к2а2ИеХ3-

- 2к2а2а3ИеХ3 + к2а2)

-2ра3а4ИеХ3ІшХ3 - к|а1а^ /[(1 + к1)(а2 - 2к2а2а3ИеХ3 + к|а2)], §3 = -§3/(1 - §3).

Переобозначим постоянные Лк, Бк через Лк, Бк, к = 1,2, ІшЛ3, ІшБ3, ИеЛ4, ІшС3у, ІшН3у, ИеС4у, ИеН4у соответственно через Л3, Б3, Л4, 03у, Н3у,

г

04j, Н4j. Тогда решения (3.9) при к = 1,2 примут вид

ТО = Х^)

- Г-

2т 3 Х[

тйг

Х+(г)(г - z)

+ А1 + 5lZ +

\ а

П1 / £

7=1 Х

С1

] ^1}

+ —

Z - Zj Z - Zj

Е1 j ?1 j

+--------------— +-----------— I +

¥2© = Х2©

7=П1 +1

/2(0Ж рп

011

н1

]

2л^ Х+(г)(г - z) ' Р22

- z -)2 т в

а

1 /

z - z/

Си +-----— +

F

1 /

Е

1 /

г - Zj (г - Zj)2 (г - Zj)2

+ X

1=П1 +1

о

1]

н

+

1]

Z - Zj (z - Z/)2

а при к = 3,4 — вид

¥3© = Хэ© Н3 /

/4(0^ 2т J X3(t)(t-z)

а

+ (?3+0

• —, \Z-Zi

]=п +1 ' ■*

Аз+Взг+ £ (^+

(z - Z/)2

П1

+2

/=1

+

Е3

С /

z - Zj ' (z - Zj)2 ~ Р23

] + Р\ъ

+

Е3 /

С3/

z-zj ' (г-г])1

¥4(z) =

ГА

2лО (

- z

+ (1 + гр)

04

]

Н4

]

+х

]=1

]=П1+1

п1 ( Г' Т7

4у 4у

Н--------------т + С

Z - Zj ^ - Z]•)2

- У Л2

Сл

+

] Е4 ]

+

z - Zj (г - Zj)2

Из разложений функций ¥к^), к = 1,2 в ряды Лорана в окрестностях точек оо, Zj и Zj, используя представления (3.2), (3.4)—(3.6), находим

В\ - <7пУ1 + 91271 + 91372 + 91472’

^1 - 9п7з + 9127з + 91374 + 91474 “ ^\В\, (1\ - Ь - (ах+ г|3Х)(Ь - а);

Си =

X] + гУ/ а4

--------------О? 11 — — ^ 1 з)> ^ 1 / = 0 >

2л(1 + кОХ^гу) а3 ]

_ (гУ “ г;)(хУ “ гТу) + г’(1 + к1)м^„ а2 ч

“ о /1 . \у \ \^13 #11/>

7 2л(1 + кОХ1(гу) а1

К1(Х; + г'У/) а2

/) 1 ; = -^—(,Я\Ъ ~ Ян) ~ ^1^1 /?

] 2л(1 + кОХ1(гу) а1 ]

а + г в — 1 а + гвл

к\ =-----------;-----------------, если > 0;

Хз + У

2па1(1 + К2)Xl(z/)

дп, Е1 / = 0,

Ь

+

Ь

Р = ~ ~ гУу) + /(| + к2)М]

1] 271а3(\+к2)Х1(1]-) д13’

к 2(Xj + ІYj)

и 1 ; =

\] = т;---~л----,913 - Й1^1у, если \rnzj < 0;

7 2ла3(1 + к2)Х1(гу) 7 7

(X/+гУ]-)(а1К2913-а3^11) + (Х.-гУ/)(а1 К2914-а3412) 7 гт

См / =-------------------------------------------------------/21 /21

2ла1а3(1 + к2)Х1(гу)

м/ - ZjУj

я!] = ----тгт—7(913 - 914), если 1тгу = 0.

2^3X1^])

При к = 3 и к = 4 постоянные находятся по формулам

Яз - (93171 + 93271 + 9зз7г + 9з47г)/(?з + 0,

_ 9з17з + 9з27з + 9зз74 + 93474 / „ , _ , ' ч

А3 — ----------------—---------------------— и-ъВ з, аз — Ь — <ХЛЬ — и),

Ь + 1

А4 = (94171 + 94271 + 94372 + 9447г)/(! + ф);

X/ + гУ/ а4

Сз] = ~п ,, ,--------\V . Ч(931---------9зз),

2п(1 + Кl)Xз(Z]•) а3

Ху + /Уу 04

2л(1+К1)^41 а3 Х7 + 1У7

С4] = -^_,л .-7(941---94з), £*/= 0, £ = 3,4, если 1тг/ > 0;

Сз / —---------------------<7з1>

^ 2яа1(1+к2)Х3(гу)^

Х] + гу]

с4/ = ------7:-----7941, Ек; = 0, £ = 3,4, если 1тг/< 0;

7 2па1(1 + к2) 7 7

.(М] - ZjУj)(qзз - 934) .(М] - ZjУj)(943 - 944)

Нъ4 = I----------Г----------------, Нл1 = 1-----------------------------,

7 2ла3(£з + г)Х3(гу) 7 2ла3(1 + гр)

(Х]-+гУ]-)(а1 К2933-а3 931) + (Х]-гУ])((а1 К2934-а3932)) ,

------------------------------------------------------------------/

2па1 а3(1 + К2)(%3 + 0X3^)

(Х] + гУ])(а1 К2943 - а3941) + (Х] - гУу)(а1К2944 - а3942)

2па1а3(1 + гр)(1 + к2)

, а3 - 1 а3

/г, =--------------, если 1т г/ = 0.

^ - Ь ^ - а

Комплексные потенциалы Ф^) и П(z) вблизи вершины z = Ь имеют вид:

Ф(г) = 1

2(2^)^ - Ь)1-а1

К\ - гХ2 Рп(К\ + гХ2)

(г - Ь)~1^ 1 />22(г -

, Р1з(Ъ + *Жз , , |Ч

+-----------;-----------т + 0( 1п |г - Ь|),

2(2пт)а3 ^ - Ь)1-а3

+

ад =

1

2(2пт)а1 ^ - Ь)1 а1

РЗ\(К\ - 1К2) Р32(К\ + 1К1)

Ри^-Ь)-^ 1 Р22^-Ь)1^

Р33(Ъ + г)К3

+-

2(2^)^ - Ь)1-а3

+ 0(1п ^ - Ь|),

где

К1 - 1К2 =

2(2гаи)а1 р\\ (Ь - а)а1 гв1 п1

т

2га

г—а\а1+гв1

Й1 7 + + ру

^Аь~^ ь~гу (Ь ~гу)2^ у=^+1 ^_ (й _ ^')2

/ 2пт \а3 Кз = 2(^) 1т

+ > '-^ + ;г^ + -^| +

£—1Жа3^ ^ Д - а\и3

С1У + Я1У

2га

а

а3 Г / г - а

+

]=П1 +1 ' ]

п1

+ 2

]=1

+ (^3 + г) (Аз + ВзЬ+

Сз] Р13 Съ]

Ь-г; Р2зЬ-г;

\Ь - Zj (Ь - Z/•)

Аналогично находятся представления комплексных потенциалов вблизи левой вершины z = а включения

Ф^) =

1

2(2пт)1 а1 (а - z)аl

__________1_________

2(2пт)1-а1 (а - z)al

К\ - гХ2 ^12(^1 + 1К2)

(а - z) гв1 Р22(а - z)^вl

Р13(?3 + г)К3

+ - , /

2(2лот)1-аз(а - z)aз Р31Ж1 ~ 1К2) Ръ2(К\ + гХг) Pn(a-zУфi Р22(а~г)1^ , Рзз(Ъ + г)Кз

+ 0(1п |а - z|),

+-

где

К1 - гК2 =

-2(2ли) а1рп (6-а)1-а1-гр1

2га J \г-а

2(2пт)1-аз(а - z)aз Ь

+ 0(1п |а - z|),

+А1 +

^г\1-а1-г'в1

+ -----------=- +

^\а-гу а-гу (й - гу)2

+

С1У + Я1У

К3 = -2

(2пш Ь - а

-1 +а*

1ш

•“.Да - Zj (а - Z/)2

]=П1 +1 ' 7 ]

/ Ь >

£-1паз Г (Ь - Лаз

—— I /з(0 ( -) Л + (?3 + О X

2га J \г - а)

+

+

+

X

Аз+Вза + ^ ]=п1+1

a-zj

(a-Z/)2

п1

+ 2

]=1

С3у р13 С3у

+

a-zj Р23 a-zj,

+

5. Решение задачи в случае |Х1| = |Х2| = 1

Тогда канонические функции Х^), Х2© в формулах (3.9) в предположении, что все Хк — различные, имеют вид

Хк^) = (z - а)~а'к^ - Ь)-1+а, к = 1,2.

У функций Хк^), к = 1,2 берутся те ветви, которые однозначны вне разреза

по отрезку [а, Ь] и в окрестности то имеют представления

1 Ь - а, (Ь - а) .

Х(г) = - +------------+ 0(г“3).

z z2

Каноническая функция Хз^) не меняется.

Используя условия ’’симметрии” (3.3), приходим к соотношениям

Ак = (Чк + г')1шЛк, Вк = (Чк + г)1шБк,

1)к1 = —Ск], = ^Ёк] ] = Ьщ-,

Р2к Р2к

0к] = (Чк + г)1ш0к], Нк] = (Чк + г)1шНк], к = 1,2, ] = П1 + 1, п,

\к = -Чк/(1 - Чк),

22

Чк =

1 Р + К! | (а2((Ие^)2 - 3(1т^)2)Ие^ - 2к2а2а3((Ие^)2-

1+р2

-(Тт^Нк^Ие)^) + ^^■(а2(3(Ке^)2-(1т^)2)1т^-2аз(2к2а2+

+а4)ИеХк 1шХк + К2(а1 а3 + а2а4)(1шХк - рИеХк) + р(а3а4((ИеХк)2-

-1шХк)2) + к|а1а2) + к|а21шХк]/[(1+к1)(а3 - 2к2а2а3ИеХк + К^а^],

Чк = 1‘

1 - р2 2 2 2

+ К1 (а^ЗГЯел/,)- - (1тЛ/.) )1тЛ/. - 4к2а2а3Ие^1т^+

I 1^1 I ^3

1 + р2 3

2р

+к2а2\ткк) - у-^(а3((Ие^) - 3(1т^) - (2к2а2а3 + а3а4)х

х((ИеХк)2 - (1шХк)2) + К2(а1 а3 + а2а4)(ИеХк + р1шХк) + к2а2ИеХк--2ра3а4ИеХк1шХк - к^а2]/[(1 + К1)(а2 - 2к2а2а3ИеХк + К2а2)].

Переобозначим 1шАк, 1шВк, 1ш0к], 1шНк] соответственно через Ак, Вк,

Ок], Нк]. Тогда решения (3.8) при к = 1 и к = 2 примут вид

¥к ^) = Хк ^)

/к Шг

2л^ Х+(г)(г - z)

+

]=П1 +1

+

Нк]

Ок]

Z - Zj (Z - Zj)2

+ (Чк + О (Ак + Bkz+

V/ С*у +§(—+

+

£*/• Р1*

(г-г/)2 №

Ск

]

+

Ек

1

z - г] (г - Zj)2

, к = 1,2.

Из разложений функций ¥к^), к = 1,2 в ряды Лорана в окрестностях точек оо, Zj и Zj, используя формулы (3.2), (3.5)—(3.7), находим

Вк = (<ШУ1 + Чк2У 1 + 9ВУ2 + <?мУ2)/& + О,

ШУЗ + Чк2Уз + ЧкЗУ4 + , 1 0

^-----:----------------акВк, к = 1,2,

Чк + г

Ск] = -

х/ + У

Ск] = -

2п(1 + К1)Хк (zj) Х] + гу]

2па1(1 + ^Хк^;)

а4

(<Ш----------Чкъ), Ек; = 0, к = 1,2, если 1тг/ > 0;

а3

9кь Ек] = 0, к = 1,2, если Imz/• < 0;

(Ху+гТу)(а1К2дв ~ азш) + (Ху-гТуХсцкгдм ~ а3<ш) 2ла1а3(1 + к2)& + г)Х*Сг;)

- НкНк],

М] - ZjУj

#*/ = г---------—------ (дв - 9н), к = 1,2, если 1шгу = 0,

2паз(Чк + г)Хк (Z/)

dk = Ь - (ак + г'Рк)(Ь - а), Нк =

ак - 1

а

Зная функции ¥k(z), можем найти комплексные потенциалы, следовательно, напряжения. Изучим поведение функций Ф^) и П^) на концах включения. Вблизи вершины z = Ь они имеют вид:

Ф^) =

Р11 (Ч1 + г)К1

Р12(Ч2 + г)К2

2(2пт)а1 (z - Ь)1-а1 2(2^)'^ - Ь)1-а2

Р13(Ч3 + г)К3

+-

2(2^)'^ - Ь)1-аз

+ 0(1п |z - Ь|),

Р31(Ч1 + г)К1

Р32(Ч2 + г)К2

2(2^^)^^ - Ь)1 а1 2(2лm)a2(z - Ь)1 а2

Рзз(Чз + г)К3

+-

2(2^)'^ - Ь)1-аз

+ 0(1п |z - Ь|),

где

К = 2

^ / 2ш \а(:

\Ъ - а)

1ш

/О /

Г1Жак Г / г - а \ак

2га- J Л(0 г | + & + О (^ + +

+

Е

У=«1 +1

Як/

Ск/

О - г/ (О - zj)2

П1

+Е

/=1

Ск/

Рхкр-к]

Ь~г; Р2кФ~г;)

к = 1,2,3.

Аналогично находятся представления комплексных потенциалов вблизи правой вершины включения г = а

Ф(г) =

Р11(?1 + 0К1

+

Р12(?2 + 0К2

2(2пт)1-а1 (а - г)а1 2(2пт)1-а2(а - г)а2

- +

+-

Р1з(Ъ + Щз 2(2лш)1_аз(а - г)“3

+ 0(1п |а - г|),

. Р31(?1 + 0К1 Р32(?2 + 0К2

;--------т +-----------—;---------т +

2(2пт)1 -а1 (а - г)а1 2(2пт)1 -а2 (а - г)а2

Рзз(Чз + *Жз „л , |Ч +-------------;--------г + 0(1111а - г|),

2(2пт)1-аз(а - г)аз

где

(2лт \

1-а.

Кк = -2

1т

Г“ак Г Ю - г Л(0

2ш J

1-а

& +

+ & + о

/=П1 +1

Як/

г/ (а - г/)2

П1

+2

/=1

Ск] Р\к.Ску

а-гу Р2к(.а-1])

к = 1,2,3.

В обоих рассмотренных выше случаях поведение комплексных потенциалов, следовательно, и напряжений вблизи вершин включения, определяется тремя действительными параметрами К1 , К2, К3, которые примем за коэффициенты интенсивности напряжений. Эти коэффициенты являются нелинейными функциями от упругих параметров составной плоскости и коэффициента трения р. Они также зависят нелинейно от длины включения и линейно от заданных на то напряжений. В случае Х2 = 1/А.1 напряжения вблизи вершины г = О включения помимо степенных особенностей, определяемых функциями (г - О)-а1 и (г - О)-аз, имеют еще и осциллирующую особенность, определяемую функцией (г - О)'в1, тогда как в случае |Х1 = |^| осциллирующая особенность отсутствует.

+

6. Численные расчеты

Пусть составная плоскость растягивается двумя горизонтальными сосредоточенными силами Х\ = —Хо, Х2 = Хо (Хо > 0), расположенными на линии раздела сред слева и справа от включения (рис. 1). Включение занимает отрезок [—//2,1/2] и расположено между полуплоскостями с упругими постоянными VI = 0,25, V? = 0,125 и |1* = (.ь/Ит = 15, для которых собственные значения матрицы А-1В равны А4 = -0,485-Ю, 07, А,2 = 1/А.1 = -2,018-Ю, 292, Лз = —0, 815 + Ю, 579. Коэффициент трения р = 0,5. Точки приложения сил удалены от концов включения на расстояния Д1 = I, Д2 = I. Все остальные исходные силовые параметры задачи равны нулю.

Рис. 1. Составная плоскость растягивается двумя горизонтальными сосредоточенными силами

/ Хо

Рис. 2. Эпюры контактных напряжений

На рис. 2 приведены эпюры контактных напряжений на сторонах включения. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют значениям 1а+ /Уо, 1о— /Го и 1х~у/Уо. Графики коэффициентов интенсивности напряжений К1, К2, К3 (кривые 1, 2, 3 соответственно) в зависимости от расстояния Д1 при фиксированном Д2 = I и от длины I включения при фиксированных Д1 = Д2 = 1 представлены на рис. 3.

Для случая составной плоскости с упругими параметрами V! = о, 37, v2 = о, 22, = 4,35, когда Л1 = —о, 644 + Ю, 765, \2 = —о, 996 — Ю, о86, \3 = —

—о, 736 — Ю, 677, |^1| = |^21 = |^31 = 1, соответствующие графики коэффициентов интенсивности напряжений приведены на рис. 4. На первом рисунке

0,03

0,01

-0,01

Kj/Xо

- 0,03 1

V \

ч 2 1

0,003

Kj/X0

- 0,003

Al/г

-0,006

_ ^ 1 1 \ \ \ » \ \ \ <м \

V \ \ *ч# 1

* ^ * ч . / со • / / 1 / i

О 0,5 1 0 0,5 1

Рис. 3. Графики коэффициентов интенсивности напряжений

расстояние Д2 = I фиксировано и меняется Дх, а на втором рисунке Дх = 1, Д2 = 0.1 и меняется длина включения I. В обоих случаях в точках ^1 = Д1 + +1/2 и ^2 = -Д2 -1/2 действуют сосредоточенные силы Х1 + г'У1 = -(0,1 + 1)Уо и Х2 + /У2 = (0,1 + 0^о (Ко > 0) соответственно.

Kj/Xо

Kj/X0

Рис. 4. Графики коэффициентов интенсивности напряжений

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 07-01-00038.

Литература

[1] Rice, J.R. Plane problems of cracks in dissimilar media / J.R. Rice, G.C. Sih // Transactions of ASME. Journal of Applied Mechanics. -1965. - No. 32(2). - P. 418-423.

[2] Черепанов, Г.П. Механика разрушения композиционных материалов / Г.П. Черепанов. - М.: Наука, 1983. - 296 с.

[3] Мусхелишвили, Н.И. Сингулярные интегральные уравнения / Н.И. Мус-хелишвили. - М.: Наука, 1968. - 511 с.

[4] Мусхелишвили, Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости / Н.И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

Поступила в редакцию 15/У/2007; в окончательном варианте — 15/У/2007.

PARTIALLY DETACHED THIN RIGID INCLUSION BETWEEN DIFFERENT ELASTIC MATERIALS WITH FRICTION IN A CONTACT ZONE

© 2007 I.I.Il’ina? V.V. Silvestrov4

The stressed state of a piecewise-homogeneous elastic plane which is formed of two different half-planes by glued them together and contains thin rigid smooth inclusion on their line connection is studied. One side of inclusion is perfectly connected to elastic body. Other side of inclusion is detached from elastic body and contacts to body with friction. The finite set of the concentrated forces and pairs of forces is enclosed to a plane outside of inclusion.

The complex potentials describing the stressed state of the plane are found in explicit form using the Riemann-Hilbert matrix boundary-value problem. The behaviour of stresses near the inclusion tips is studied.

Paper received 15/У/2007. Paper accepted 15/V/2007.

3Il’ina Irina Igorevna (ir_rus@mail.ru), Dept. of Higher Mathematics, Chuvash State University, Cheboksary, 428015, Russia.

4Silvestrov Vasily Vasilyevich (v_silvestrov@mail.ru), Dept. of Higher Mathematics, Oil and Gas Russian State University, Moscow, 119991, Russia.