ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ ЛIНIЙНОї СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОї СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ВИРОДЖЕННЯМИ У ВИПАДКУ КРАТНОГО СПЕКТРА ГРАНИЧНОї В’ЯЗКИ МАТРИЦЬ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

Задача оптимального керування для лшшно"! сингулярно збурено! системи диференщальних р1внянь з виродженнями у випадку кратного спектра гранично! в'язки матриць

О. В. Тарасенко

Шжинський державний ушверситет 1меш Миколи Гоголя, Шжин 16600. Б-таИ: oxana.tarasenko@gmail.com

Анотащя. Побудовано асимптотику розв'язку задач1 оптимального керування процесом, який опису-еться л1н1йною сингулярно збуреною системою диференщальних р1внянь з вироджуваною матрицею при пох1дних, у випадку кратних елементарних дшьниюв гранично! в'язки матриць. Знайдено умови кнування единого розв'язку ще! задач1. У ход1 досл1дження використано в1дом1 результати асимпто-тичного анал1зу загального розв'язку л1н1йних сингулярно збурених систем диференщальних р1внянь з виродженнями.

Ключов1 слова: оптимальне керування, асимптотичн1 розвинення, гранична в'язка матриць.

1. Постановка задач1

Досл1джуеться задача про знаходження керування и(Ь,е), шд д1ею якого система

екБ(Ь,е) ^ = А(Ь,е)х + С (Ь,е)и, (1.1)

аЬ

переходить 1з стану

х(0,е)= хг(е) (1.2)

в стан

х(Т,е)= Х2(е) (1.3)

за фжсований пром1жок часу Т, м1шм1зуючи квадратичний функщонал

т

1 = —к (Б(Ь,е)и,и) д;Ь ^ ш1п, (1.4)

2еп ] и

о

де х(Ь, е), и(Ь, е) — шукаш п-вим1рний вектор стану та т-вим1рний вектор керування в1д-пов1дно, А(Ь, е), Б(Ь, е) — дшсш квадратш матриц п-го порядку, С(Ь, е) — (п хт)-матриця з дшсними елементами, В(Ь, е) — симетрична матриця т-го порядку, е € (0, ео] — малий параметр: е0 ^ 1; Н € N, Ь € [0; Т].

Аналопчна задача розглядалась в [1], де передбачалось, що гранична в'язка матриць А(Ь, 0) — ХБ(Ь, 0) мае кратний скшченний 1 простий нескшченний елементарш дшьники. У данш статт1 дослщжуеться бшьш складний випадок кратного спектра гранично! в'язки матриць.

© О. В. ТАРАСЕНКО

Передбачаеться, що виконуються наступш умови:

1° Матриц Л(^ е), Б(^ е), С(¿,е) 1 В(Ь,е) допускають на в1др1зку [0; Т] р1вном1рш асимптотичш розвинення за степенями малого параметра:

A(t,e) ~ £ ekAfc(t), B(t,e) ~ ^ ekBk(t),

> >

C (t, e) £k Ck (t), D(t,e) ~ E £k Dk (t)■

k>0 k>0

2° Коефщ1енти Лк(¿), Бк(¿), Ск(£), Вк(¿), к = 0,1,..., розвинень (1.5) нескшченно диференцшовш на [0; Т].

3° Матриця В(^е) додатно визначена на [0;Т], причому ёе!Во(£) = 0. 4° Вектори початкового 1 кшцевого сташв зображуються у вигляд1 розвинень

хг(е) - £екх[1), х2(е) - £екх^. (1.6)

к>о к>0

5° Область допустимих значень для керування и(Ь, е) зб1гаеться з ус1м заданим т— вим1рним простором.

6° detБо(í) = 0, Ш е [0; Т]. 7° Гранична в'язка матриць

Ло^) - ХБо(г) (1.7)

на в1др1зку [0; Т] мае скшченний елементарний дшьник (Л — Ло(Ь))р кратшстю р > 1 1 нескшченний — кратшстю ц = п — р > 1. 8° АоСО < 0, Ш е [0; Т].

9° ^^(¿^ =0, Ш е [0;Т], де ф(Ь) — власний вектор матриц Б0(í), що в1д-

пов1дае п нульовому власному значенню, ф(Ь) — вщповщний власний вектор спряжено'1 матрищ Бо^).

Наявшсть при пох1дних у система р1внянь (1.1) матриц Б(Ь,е), яка вироджуеться при е = 0, вносить суттев1 трудношд в розв'язання дано'1 задача, як1 вдаеться подолати, використовуючи результати асимптотичного анализу загального розв'язку сингулярно збурених систем з виродженнями даного типу, здшсненого в роботах [2], [3],

2. Побудова формального розв'язку задач1 оптимального керування

Завдяки умов1 7°, яка передбачае стабшьшсть кронекерово'1 структури гранично'1 в'язки матриць Ло(£) — ЛБо(Ь), система (1.1) при досить малих е > 0 буде регулярною 1 матиме загальний розв'язок типу Кош1 при заданому и(Ь,е).

Незважаючи на вироджешсть матрица Б(¿, 0) = Бо(£), як показано в [2] за виконання умови 9° матриця Б(¿,е) неособлива при досить малих е > 0. Тому до задача (1.1), (1.4) можна застосувати принцип максимуму Л. С. Понтрягша [4]. Побудуемо функцию Гам1льтона

Н(¿, х,р, и) = е-Н(Л(й, е)х,р) + е-Н((Ь, е)и,р)--^(В(Ъ, е)и, и),

2еп

де р — п-вим1рний вектор спряжених зм1нних.

Тод1 зг1дно з принципом максимуму для м1шм1защ1 критер1я (1.4) необхщно, щоб

= е-НС*(г, е)р - е-НБ(г, е)и = 0,

й

- (Б*(1,е)р) = -&айхИ = -е-НА*(Ь,е)р. Одержимо систему р1внянь

енБ(г, е) ^ = А(г, е)х + С (г, е)и,

енБ*(г,е)ЙР = - (А*(Ь,е)+ ен (Б*(1,е))') р, (2Л)

0 = Се)р - Б(г,е)и.

Ув1вши в розгляд (2п + т)-вим1рний вектор

у(г,е) = со1(х(г,е),р(г,е),и(г,е)), (2.2)

сшввщношення (2.1) запишемо у вигляд1

енБ(г, е)у = А(г,е)у, (2.3)

де матрищ А(г,е), Б(г,е) зображуються асимптотичними розвиненнями

те те

А(г,е) ^екАк(г), Б(г,е) ^екБк(г), (2.4)

к=0 к=0

( Ак (г) о Ск (г) \ ( Бк (г) о о \

А-к(г) = I о -Ак(г) - (Б—(г))' о I , в*(г) = I о Б*к(г) о I , V о с*к (г) -Бк(г) ) \ о о о)

(к = о, 1, 2,...), — блочш матрищ, в яких символом о позначено нульов1 блоки в1дпо-в1дних розм1р1в. Крайов1 умови (1.2), (1.3) подамо у вигляд1:

Му(о, е) + Му(Т, е) = ( Х^^) = Уо(е), (2.5)

( Е оо ) Д7 ( ооо )

М По о О ^ Ч Е о о) • (2.6)

Таким чином, задача оптимального керування (1.1)—(1.4) зводиться до двоточково!' крайово!'задач1 (2.3), (2.5).

У даному випадку гранична в'язка матриць Ао(г) - XВо(г) системи р1внянь (2.3) регулярна, а 11 кронекерова структура складаеться з двох скшченних елементарних дшьниюв кратшстю р: (X - Х0(г))р 1 (X + Х0(г))р. Що ж стосуеться нескшченних елементарних дшьниюв, то 1х структура значно складшша. Кр1м зазначених скшченних елементарних дшьниюв, гранична в'язка матриць системи (2.3) мае два несюнченш: один простий 1 один кратний — кратшстю 2д - 1. Тому згщно з теор1ею, викладеною в [2], система (2.3) мае 2р лшшно незалежних розв'язюв, що вщповщають сюнченним елементарним дшьникам, 1 2д розв'язюв, яю в1дпов1дають несюнченним елементарним дшьникам.

Перша група i3 2p розв'язшв, що вщповщають сюнченним елементарним дшьникам,

i

побудована у виглядi формальних розвинень за дробовими степенями ep = ßi за вико-нання умови

Lci = -(Aitp, ф) + Ас(Б1ф, ф) + öhh(Bo^, ф) = 0, Ш е [0; T]

(2.7)

у нашш робота [1] з використанням результат роботи [2].

Розв'язки, що вщповщають сюнченному елементарному дiльнику (А — Ao(t))p, буду-ються у виглядi

Vi(t, е) = Vi(t, e) exp | е h J (Ао(т) + Ai(r,e))dr | , i = 1,p,

(2.8)

де Vi(t,e) = col (t, e), 0, 0^, а функцп Ai(t,e) i вектори Vi(t,e) зображуються розви-неннями за степенями ßi:

Ai(t,e) = J2 ßiAf(t),i = 1,p;

(2.9)

k=i

„(i)

(t,e) = £ ßki vff(t),i = l,p.

(2.10)

k=0

Як показано в [1], коефщенти розвинень (2.9), (2.10) визначаються за рекурентними формулами

A?(t) =

V|Loi| exp ^i

arg(—Loi) + 2n(j — 1)\ . —

p

(i) l

Ak+i(t) = —-

pA1

(i)

| exp i^-^-p—^-'- ),j = 1,p,

[p+fe-i]

L p i p+k-sp

Pp+k (A(i)) + E E Lja

s=1 j=1

Pp+k-sp

[kp k-

k-sp

№(t) = E Pk (A(i)) (wФ + HLo,feф + £ E HLs P-PS (A(i))

p s=1 =1

j=0

ф,

(k = 1,2,...), де

Los = Е-lj (Р/(НГ)ф,ф) , s = 1, 2,

Lks

Ak

=

[ h I s-mh

¿ e (—ii)^m

m=o =o

Ak

(pm+hm hb; h г)ф,ф),м = i, 2,...

Lko

Aik

= Ai ök,p, k = 1,p,

H(t) — нашвобернена матриця до матрищ Ao — AoBo; Р?(НГ) — сума всiх можливих добутюв j операторiв Hrki, Hrk2,..., Hrks, сума шдекав яких k 1 + ... + ks = s (при

t

цьому покладаеться Р°(НГ) = Е, Р^(НГ) = о, якщо к > 1, а перший множник Н у вс1х доданках "вщбираеться"), Гк = Ак - Х0Бк - , к = 1, 2,....

РЦ к(НГ; НБ) — сума вс1х можливих "добутк1в"к матричних множниюв НБ^, НБ^, ..., НБгк з цшими нев1д'емними индексами та в операторних множник1в НГт1, НГт2, ..., НГт, сума шдекс1в яких + г2 + • • • + гк + т + т2 + • • • + т3 = ,].

Б^ [Хк] — сума вс1х можливих "добутюв" "множниюв" Б = та к множниюв Х^ при цьому останшм множником у вс1х доданках е Xi, а оператор диференщювання Б д1е на весь вираз, що моститься праворуч в1д нього.

Розв'язки системи (2.3), що вщповщають сюнченному елементарному д1льнику (X + Х0(г))р, знаходяться у вигляд1

T

Vi(t, £) = Vi(t, £) exp | -£-h J [-Xo(t) + h(r, £)} dT I ,i = 1P, (2.11)

де

Vi(t, £) = col (v(1) (t, £), V(2) (t, £), V(3) (t,£)) , i = l,i

(2.12)

в1дпов1дно до структури матриць А(г,е), Б(г,е).

(2)

Вщповщш вектори щ (г,е) будуються, як 1 для першо1 групи розв'язюв, у вигляд1 розвинень за степенями 1Л\ = ре:

Ut,£) = J2 ^ Xk(t),i = 1,p;

k=0

vr\t,£) = £ ßkvki\t), i = 1,p, j = 1, 2, 3, к=0

коефщенти яких визначаються з наступних рекурентних сшввщношень:

(2.13)

(2.14)

^(t) = -$\t),k = 1, 2,....

rM),

Jki

к k+1

(t) = Y. pk-i (x(i)(t)) Mt),k = o,p -1

s=1

(2.15)

(2.16)

*kü(t) = i2 Pk {X(i)) (H B )j Ф + H *F0i k ф - £ "¿(-1)j H F

j=o

[fc^i]

[p J k-sp

E E

s=1 j=1

]S

Pk-ps (x(i)

ф

k = 1,2,..., Vi'\t) = D-1C*0 ф

(2.17)

(2.18)

= D-1

p

(2)

Z^ w j vk-pj,i j=0

cj -Y, Dj v

(3) j v k-pj,i

j=1

k = 1, 2,

(2.19)

к

к

в яких

s

Fos = -Е P-(H*Г), s = 1, 2 j=1

Fko V~

Л:

= (-1)fc+1\fcЕЦИ*B^)k—1, k = 1, 2,...;

[h 1 s—hm

E E (-i)j+fcDm Щ pm+kj(h*b*,h*n,

m=0 j=0

i — —

m=o j

d

П = - Асв*к + (ви)' + В*к-Н±Яо^) = + Ао(*)Во(*),

Ф^) = (ВоЯ-1)3 Со^-1С0 (ЯкВк)8-1~3 ф, Як — матриця, спряжена до

матриц Я.

Для побудови друго!' групи розв'язюв, що в1дпов1дають нескшченним елементарним дшьникам, ми вже не можемо скористатись в1домими результатами, викладеними в [2, 5], оск1льки в даному випадку гранична в'язка матриць мае два нескшченш елементарш дшьники р1зно1 кратност1 1 умови теореми 4.4 1з [2] не виконуються.

Проведет нами дослщження показують, що за виконання умови 9° шукаш розв'язки

1

можна побудувати у вигляд1 розвинень за дробовими степенями = £4. Як вияви-лось, вони подшяються на дв1 групи по ц розв'язюв, кожна з яких будуеться за сво1м алгоритмом.

Першу групу розв'язюв побудуемо у вигляд1

уг(1, е) = wг(t, е) ехр I е~н у ^Т^у I ,1 = М, (2.20)

V г0

поклавши

' ,(1)

Wi(t,e) = col (w(1)(t,e);0;0) ,i = 1,q, (2.21)

де нижня межа штегрування to буде встановлена нижче, в процес побудови розв'язку крайово'1 задач1 (2.3), (2.5).

Поставивши (2.20), (2.21) у систему (2.3), дютанемо векторне р1вняння

B(t,e)w(1)(t,e) = (i(t,e)A(t,e)w(1)(t,e) - e%(t,s)B(t,e) (w(1)(t,e))', (2.22)

до якого зводиться побудова вщповщних розв'язюв п-вим1рно-1 системи р1внянь

ehB(t,e) dt = A(t,e)x.

Згщно з теоремою 3.3 i3 [2] функцп £i(t,e) мають задовольняти р1вняння розгалуження

те тете

И + Е eSMos + Е Е eSMks [ek] = 0, (2.23)

s=1 k=1 s=1

коефщенти якого виражаються формулами

s

Mos = E(-1)j {Р](°В)Ф, Ф) ,s = 1, 2,...; (2.24)

j=1

s

M1S [С] = Е—^ (psÄgk; °В)Ф, Ф);

(2.25)

i=0

Mks

min{k-2,[h]} s-hj

ekl = E E (-1)i+jc2Dj [ek-2] (pj(gk; gb)ф, ф),

j=0 i=0

k > 2, s > 1;

(2.26)

Mko

С = СSkq, k = 1, q.

Вщповщш вектори w(1\t,£) зображуються формальними розвиненнями

те тете

;(1)(t,£) = ф + ££sGMos0 + ЕЕ£sGMks kk

wi

s=1 k=1 s=0

коефщенти яких визначаються за формулами

ф,

(2.27)

Mos = J2(-1) Pj(GB), s = 1, 2,...;

(2.28)

j=1

Mks

min{k-2,[h]} s-hj

E E(-1)i+jD с j=0 i=0

k1

Pj (GK; GB), (2.29)

де G(t) — нашвобернена матриця до матриц B0(t), ф(Ь) — власний вектор матриц B0(t), що вщповщае i'i нульовому власному значенню.

Вирази Pj(GB), P£r(GK; GB) тут формуються за розвиненнями Yre=1 £kBk, Ете=0 £sKs, де

d

Ks = As(t) - Bs-h(t) dt, s = 0,1,....

Оскшьки згщно з умовою 9° M01 = — \^В1ф,фJ = 0, то, як показано в [2, с. 98],

i

функцй' Ci(t, £) i вектори wi(t,£) будуються у вигляд1 розвинень за степенями /л2 = £q:

те

Ш,£) = ^2 Vk с®®, (2.зо)

k=1

те

'(1\t,£) = J2 Vk wk!)(t), i = 1q. (2.31)

w

k=0

Пщставивши ряд (2.30) у рiвняння (2.23) i застосувавши метод невизначених коефь цieнтiв, за алгоритмом, описаним у [2, с. 98-105], дютанемо таю рекурентш формули для знаходження функцш £,k\t):

C1j)(t) = W|(В1ф,ф)|ex^ij =1-qi

(2.32)

e(i) (t) =__1_

Ik+1(b) = ( (i) \ q— 1

q(e?y

[q+fe-11

[ q 1 q+k—sq

pqq+k (i(i)) + Mo,q+k + E E Mjs [pq+k—sq (i(i))

q s=1 j=1

(2.33)

(к = 1,2,...), де символом Р^+к (£(г)) позначена та частина виразу Р|+к (£(г)), що не м1стить Ск+1^), а оператори М^ д1ють на кожний доданок виразу р^+к~'13 (£(г)) за таким самим правилом, що й на функц1ю £(г)(^. Вираз Рк(С(г)) формуеться за розвиненням (2.30).

Ыдставивши (2.30) у (2.27) 1 перегрупувавши доданки, з1бравши вирази з однаковими степенями параметра ^2, отримаемо формули для коеф1ц1ент1в векторного ряду (2.31):

[ k-1 i

k [ q 1 k—sq

,(1)(t) = V pk fi(i)\ (GA.)j,

Wki}(t) = EPk (lW) (GAo)jф + GMo,kФ+ E E GMjs [pk—sq (i(i))

j=0 q s=1 j=1

ф,

k = 0,1,.... (2.34)

Другу групу розв'язкiв, що вщповщають нескiнченним елементарним дiльникам гранично!' в'язки матриць, шукатимемо у виглядi

yi(t, e) = Wi(t, e) exp ( e—hf Л| ,i = M, (2.35)

V l

де

w.

(t, e) = col (w(1)(t,e);ßl—1w(2)(t,e);ßl—1w(3)(t,e)) , (2.36)

а функц11 £,г^,е) 1 вектор-функцп W(3)(t,е), j = 1, 3, зображуються формальними розви-неннями за степенями

те

1,кс(г)!

к=1

Лi(t,e) = Еßleki)(t), (2.37)

w('(t, e) = Е ßkwk»(t),j = 1, 3. (2.38)

k=o

Пiдставивши (2.35), (2.36) у (2.3), приходимо до системи трьох векторних рiвнянь B(t, e)w(1)(t, e) = Ü(t, e)A(t, e)w(1) (t, e) + ß\—1Ut, e)C(t, e)w(3) (t, e)-

(2.39)

-ehii(t,e)B(t,e) (w(1)(t,e))';

В * (t,e)w(2)(t,e) = -ii(t,e)A* (t,e)w(2\t,e) - ehUt,e) (B * (t,e))' w(2)(t,e)--ehIi(t,e)B*(t,e) (w(2)(t,e))';

(2.40)

C* (t, e)w(2) (t,e) - D(t, e)w(3) (t, e) = 0. (2.41)

Розглянемо кожне iз цих рiвнянь окремо. Шдставивши розвинення (2.37), (2.38) у рiвняння (2.40) i прирiвнявши в одержаны тотожностi вирази при однакових степенях параметра V2, отримаемо нескiнченну систему векторних рiвнянь

В0 W02) = 0;

В0 wk2) = bk!,k = 1,2,.

де

т=-е j:,A0wk-j,,+dks,k=!, 2,...

(2.42)

(2.43)

(2.44)

j=1

r(i) 4* w(2)

swk-j-qs,i

k-q [ q ]

dk)(t) = —ее «f a

j=1 s=1

\k-qh-j "1 lk-qh-j "I

k-qh L q i k-qhy q J

B

(2) w

^ k-qs

s=1

(2.45)

+ £ £ j (B* — £ £ j B*(

j=1 s=0 j=0 s=0

w

(2)

k-qh-qs-j,i

(k = q,q + 1,...).

Покажемо, що за виконання умови 9° ця система рiвнянь розв'язна, i вкажемо алгоритм визначення з не! коефщентав вщповщних формальних рядiв. З рiвняння (2.42) знайдемо

w02)(t) = ag' m(t),

(i)

(2.46)

де a0\t) — нескiнченно диференцiйовна функцiя, яка буде визначатись даль Рiвняння (2.43) будуть розв'язними тодi i тiльки тодi, коли !х правi частини будуть ортогональни-ми до вектора ф(Ь):

bii>(t)^(t))=0,k = 1, 2,.... (2.47)

За виконання ще! умови вектори w^^t) з цих рiвнянь знаходитимемо за формулою

w(2(t) = G * (t) tfüt + ak:)m(t), k = 1,2,...

(2.48)

де ak (t) — нескшченно диференцшовш функцп, якi шдлягають визначенню.

Для знаходження функцiй «k\t) використаемо умову (2.47). З щею метою перетво-

(2)

римо вираз (2.44) для векторiв bk/(t). Здiйснюючи взаемну пiдстановку формул (2.46), (2.48), (2.44), при k < q дютанемо

2i

b(2) = a(i) b3i = a0

(2) (i)

a

b12) = —«?)®0^А0ф ; V^Y A0G*А0ф - &)А0Ф

- СТЧ^ ;

- «1'М А0(G *А0)2ф + 2Vl^l^G *А0ф - Г;)А0Ф

+

(i) +a1

(Vi0) A0G *А0ф - V((i)A0ф

- «1^а2^А0ф;

3

Аналiзуючи щ формули, доходимо висновку, що в загальному випадку мае мюце формула

Л(2)

bki

k1

ks

(t) = E

(i)

(-1)jpk—s (l~(i)) A0 (G*A0)j—1 ф,k = 0, q - 1,

s=o j=1

(2.49)

яка доводиться методом математично1 1ндукц11.

(2) (2) При к > д у склад1 Ьы (t) з'являються "члени другого роду як1 м1стять вектори с^ (t).

(2)

Позначивши ц1 члени символом Ьк/(t), продовжимо взаемну подстановку формул (2.46), (2.44), (2.48) при к > д. Тод1 "члени першого родуяк1 продукуються першим додан-ком виразу (2.44), 1 дал1 утворюватимуть вираз вигляду (2.49), а для "член1в другого роду"матимемо

Ь(2) = с!2)-

qi

qi

i(2) = Л^) А*G*d(2) + гЛ2) ;

bq+1,i = -|1 A0G dqi + dq+1,i;

b(2) bq+2,i

I«) (A0G *)2 - Л2> A0G

(i)

гЛ2) |(i)A*G*d2) + d(2) ;

dqi - Л2 A0G dq+1,i + dq+2,i;

2

■i

Методом математично!' шдукцп встановимо, що в загальному випадку справджуеться формула

bq+k,i(t) = Е E(-1)jPk—s (l10) (A0G *)j 42+s,i + k = 0,1,.... (2.50)

s=o j=1

Об'еднавши члени "першого"i "другого родудютанемо

к—1 k—s

Ш)(t) = Еa«E(-1)jPk—s (Л(i)(t)) A0 (G *A0)j—1 ф(t) +

s=o j=1

k—q—1k—q—s

+ E E (-1)jPk—q—s (Л%)) (A0G *)j dq+s,i(t) +

s=o j=1

(k = 1, 2,...).

Оскшьки згiдно з [2, c. 98]

(2.51)

(A0(G *A0)j—1 ф, ф) = (ф , Ao(GAo)j—1^ = (Ao(GAo)j—1ф, ф) = j, (2.52)

то з формули (2.51) випливае, що при k < q умова (2.47) виконуеться, а при k = q записуеться у виглядi (- 1)qao^ (li^) + (ß^gi,^ = 0. Взявши до уваги, що згщно з (2.45), (2.46) dg) (t) = -В**wo2) = -аЦ)В*1 ф, звiдси маемо

(i) ao

-ту - (в *Ф,ф)] =0. (2.53)

Нареш(, врахувавши, що у вiдповiдностi з (2.32) ^В*= (^В1ф,фj = ,

( Vi))q (t (i))q •

дiCтанемо I —« 14 = I «1 ) , звiдки випливае, що

V?(t) = -V^)(t),i = 1^. (2.54)

Взявши до уваги, що (G*A0)s ф = 0 при s > q, з формули (2.51) маемо

b{2lß) = a0i) t,(-1)3Pq+1 (V(i)) A0 (G*A0)j-1 t+ j=1

+a1i) Y.(-1)jP] (V(i)) A0 (G *A0)j-1 ф - «(i)A0G+ dt-^. j=1

У свою чергу з (2.45), врахувавши (2.54), (2.48), дютанемо

d(2) (t) = t(i) А * w(2) В * w(2) . t(i) (В * w(2))' = a(i)£(i) 4* ф

dq+1,i(t) = -V 1 A1w0i - B1 w1i - ö1,h4 1 ^B0w0i J = -a0 « 1 А1ф "

-В* (—«i^a^G* А0ф + a1i)ф ) - S^ctf (В0ф )' = = — a0i)t^i) (А1 ф - В*G*А0ф) - a^B**ф Тодi умова (2.47) при k = q + 1 запишеться у виглядi

"(i) [(-1)qPqq+1 («(i)) +Vt1i) (A0G *B*ф,ф) (А1ф,ф) +

a

+V1i) (В*G*А0ф,ф)] + af [(-1)q ( «f)' - (В*ф,ф)

0.

Оскiльки згiдно з (2.53) вираз бшя a^ використовувався на попередньому крощ для знаходження то звiдси випливае, що мае дорiвнювати нулю вираз бiля ca^. Тому,

взявши до уваги, що P^+1 («(i)) = q«2^ («1^) , i врахувавши (2.54), маемо

v(i)

V2i) (t) = (^q-1 [ ((A0GB1 + B1GA0) ф,ф) - (А1ф,ф)

q (Ii)

Порiвнявши цей вираз з формулою (2.33), приходимо до висновку, що = — «2^, i = 1,q. Продовжуючи цей процес при k = q + 2,q + 3,..., встановлюемо, що

Vki) = - «k],k = 0,1,.... (2.55)

Функцп ж ak\t) поки що залишаються довiльними.

(2)

Шдставивши в рiвняння (2.41) вiдповiднi розвинення для вектор-функцш w\ (t,£), w(3) (t, £) та прирiвнявши вирази при однакових степенях параметра V2, отримаемо ре-курентнi формули для коефщентав w^^^(t):

w03)(t)= a0i) D-1C* ф; (2.56)

wki'(t) = D—1

ЕС w^j; Dj wk—ji

j=o j=1

,k = 1, 2,.... (2.57)

Розглянемо тепер рiвняння (2.39). Шдставимо в нього вiдповiднi розвинення i в одер-жанiй тотожностi прирiвняемо коефiцiенти при ßk, k = 0,1,.... Врахувавши (2.55), прий-демо до нескшченно!' системи рiвнянь

Bowoi) = 0; (2.58)

= ffi),k = 1, 2,..., (2.59)

де

bkV (t) = - Е eTAowk—jii + dUk = 1, 2,...; (2.60)

j=1

[k+1-q-j] [ k-j]

k+1—q L q J k—ql q J

dü'W = " E E lji)C*w£+1_,,_j_,,s,i - £ E .......-

(i)A w(1)

k+1—q—j—qs,i / у / у s k—j—qs,i

j=1 s=o j=1 s=1

k k — qh —

\k-qh-j 1

l k—qh[ q J

EBswkÜqsi + E £ IfBs {willqh—qj,

s=1 j=1 s=o

(2.61)

(к = д + 1, д + 2,...).

Встановимо розв'язшсть ц1е1 системи в1дносно вектор1в (t) под1бно до того, як це було зроблено для системи р1внянь (2.42), (2.43). Дана система буде розв'язною тод1 1 т1льки тод1, коли вс1 вектори Ь^ (t) будуть ортогональними до вектора ф(1), тобто, коли виконуватиметься умова

(Ь^),^) =0,к = 1, 2,.... (2.62)

За виконання ц1е! умови вектори (t) будемо визначати за формулами

WS) (t) = Ф^), (2.63)

W<jг (t) = ОЬкК^, к = 1, 2,.... (2.64)

Умову ж (2.62) використаемо для знаходження функцш акг)(^, к = 0,1,..., як1 м1стяться в (2.51) 1 до цього моменту залишались невизначеними. З ц1ею метою перетворимо вираз (2.60) для вектор1в Ь^^) шляхом взаемно!' п1дстановки формул (2.60) 1 (2.63), (2.64). М1ркуючи так само, як 1 в процес1 аналог1чного перетворення виразу (2.44), методом математично1 1ндукц11 встановимо, що

k

bÜ)(t) = £(-1j'Pf (l(i)) Ao (GAo)j—1 ф+ j=o

k

k

k—q—1k—q—s

+ Z Z (-1)jpk—q—s (i(i) (t)) (AoG) ^+dk1), (2.65)

s=o j=1

(k = 1, 2,...).

З ще!' формули випливае, що при k < q умова (2.62) виконуеться автоматично завдяки

(i)

сшввщношенням (2.52). Тому процес визначення функцш ak)(t) розпочинаеться на q-му щ. Взявши до уваги (2.52), при k = q Оскiльки згiдно з (2.61), (2.63), (2.56)

крощ. Взявши до уваги (2.52), при k = q матимемо (- 1)q + (¿(11>,ф) = 0.

<q) = -l1i)Cowo3) - В^?) = -^^CoD—1Co*ф - B1 ф,

припустивши виконання умови

(Co(t)D0—1 (t)C5(t)$(t),$(t)) =0, Ш е [0;T],

(2.66)

дютанемо

a(i) (t)

(-1Г (l1°)q - (В1ф,ф )

I(i) (CoD—^ф,ф)

(i)

(-1)q (в 1ф,ф) - (В1ф,ф ) l(i) (CoD—CJ,ф)

(2.67)

Наступнi функцп ak) (t) визначатимуться рекурентним чином через попередш. Щоб вивести вiдповiдну рекурентну формулу, розглянемо умову (2.62) на q + k-у кроцi. Для

цього видшимо доданок, який мiстить функцда aki)(t) у складi виразу для вектора

(1)

dq+ki(t). Поклавши в (2.61) q + k замiсть k, i врахувавши формули (2.57), (2.48), (2.49), маемо

Л(1) m — ,Si)c(i)n тл—1п*Л I л(1)

де

dq+k ,i (t) = -af ЛГ CoD—1^ + Лq+k, i,

g ())k , i(t) = ЧГ Co Do1 Co

k—q— 1 k—q—s

E E

s=0 j=1

(i) —1

E a« E(-1y+1Pk—s (l(i)\ (G*A*)j ф +

s=0 j=1

k—q—1k—q—s

+ Z Z (-1)j+1Pk—q—s (|(i)) G* (A*G*)jgq+)s,i + G*Л

* (2) qi

-Ii^CoD—1

ZC^, i D.

j wk—qj,i j=1 j=1

, -, [ k+1-j 1 k+1—q[ q 1

~(3)

jwk—qj i

[k+q-j 1

k [ q 1

Zli C

(i)r< ~(3) w

J k—qj, i~

j=1

Z Z ej )Cswi;))1—j—qs, i Z Z ^^wq+k—j — qs,i

j=1 s=1

[ k+q 1

j=1 s=1

[ k+q 1 [ q 1

Z Bswk1iq—qs,i + Z Z jB.

[k + q qh j 1 k+q—qh[ q 1

(i) R .7,(1)

j Bs wk+q—qh—j—qsi.

(2.68)

s=1

j=1 s=o

Неважко переконатися, що вираз (2.68) мютить тшьки Ti функцп aS^(t), шдекси яких

(2)

s < k (вони мютяться в першому доданку цього виразу, у складi Wk_qj i, а також опо-

середковано — у складi wk_qj i та w(,3|)1_j_qs i згiдно з формулою (2.57)). Отже, з умови

(2.62) на (q + ^-му крощ знайдемо

c^t =

^ [CoD-Cф,ф

_1

(2.69)

Цим самим завершено побудову 2n формальних розв'язюв системи (2.3). Розглянемо побудову розв'язку крайово'1 задачi (2.3), (2.5). З формули (2.32) випливае, що частина з функцш ^(t), i = 1, q, може мати додатш дiйснi частини, а частина — вщ'емш. Будемо припускати, що виконуються такi умови:

10° Re^(t) < 0, yt G [0;T], i = 1,l; Re{ 1'(t) > 0, Ш G [0;T], i = l + 1,q

(i),

11° Ç?(0) = -C1J'(0), i = 1,l, j = l + 1, q; (T) = -C1J'(T), i = 1 + l,q, j = 1,l.

Крiм того, для спрощення викладок, припустимо, що числа p, q взаемно проста i p > q.

Виходячи з умови 10° та сшввщношень (2.55), визначимо межi iнтегрування в (2.20), (2.35) i, слщуючи [6], розв'язок крайово'! задачi (2.3), (2.5) будуватимемо у виглядi

(j)

(i)

(j)

y(t,e) = ß

= ,,_q(p_i)

r

^vi(t,e)c!\e)exp(e_h J (Xo(r) + \l(r,e))dr) +

i=1 n

T

+ E Vi(t,e)c1i)(e)exp le_hJ (Xo(r) + Xi(r,e)) dr

+

+ß

_p(q_ 1)

È Wi(t,s)c^(8)eW le_h / -

i=1 V i Ь

dr

ù(r,e)

+

+ ¿| Wi(t,e)c2)(e)exp (-e_h j ^^ j + £ Wi(t,e)c() (e)exp (e_hJ ^^

T

+ Wi(t,e)c2i)(e)exp i-e_h j -

dr

i=l+1

p о „(i)U\ ï(i)f„-\ ï(i)

ù(r,e)

+

(2.70)

де ß = e pq, а c1 )(e), c1 )(e), c2)(e), c2j) (e) — шукаш скалярнi множники, якi зображуються формальними розвиненнями за степенями ß:

(i)

(e) = ЕßkcHl ^(e) = Eßkc1i), i = hP;

k~ (i) ,

k=o

k=o

те те

c2)(e) = £ßkc2t c2)(e) = Eßk41 i = ^

(2.71)

(2.72)

k=o

k=o

t

t

1

Шдставивши вираз (2.70) у крайову умову (2.5) i врахувавши структуру матриць M, N та знехтувавши експоненщально малими доданками, дiстанемо

¿U(1)(0,e)C1i)(e)+ ßp—q^ w(1)(0,e)c2i)(e)+ ßp—qJ2 wt(1) (0,e)cf (e) = ßq(p—V(e);

P ,(1)(0 e)c(i)(e) , w(1)(0 e)c(i)(

c2

i=1 i=1 i=l+1

(2.73)

E v(1) (T, e)c1i)(e) + ßp—q E w(1) (T, e)cf (e) + ßp—q E w(1)(T, e)c« (e) = ßq(p—1)^(e). i=1 i=1 i=l+1

(2.74)

Розглянемо кожне з цих рiвнянь окремо. Пiдставивши в рiвняння (2.73) вiдповiднi розвинення (2.31), (2.38), (2.71), (2.72) i прирiвнявши вирази при однакових степенях ß, приходимо до нескшченно'! системи рiвнянь

[k] [k-p+q]

p Ы i L p J

EEvjl)(0)c1ik—qj + £ E wj1 )(0)c2i)k—p+q—pj + i=1 j=o i=1 j=o

Г k p+q "I

q L p J

+ E E wji (0)C2,k—p+q—pj = Xk q(p 1) , k = 0, 1,----

i=l+1 j=o pq

Пiдставивши формули (2.34), (2.64), (2.65) i змшивши порядок сумування, цю систему зведемо до вигляду

k k qj p Lq

EEEPj (A(i)(0^ (HBo)sф(0)c<i,k—qj +

s=o i=1 j=s rfc^q-^1 Г k-p+q "I

L p J iL p J

+ E E E Pj (l(i)(0)) (GAo)^(0)c2ik—p+q—pj + (2.75)

s=o i=1 j=s

[ k + q-p 1 Г k p+q 1

[ p 1 q L p J

+ E E E (-1)sPj (i(i)(0))(GAo)^(0)4ik—p+q—pj = ik,

s=o i=l+1 j=s

(k = 0,1,...), де

q

p Lq

ik = x(k1-)q(p-1) -££H^o,pф(0)c(i)

k q(p 1) - ^ ¿^ pф(0)c1,k—qj-

pq i=1 j=o p

r k1 Г j-1] . p LqJ L p J j—ps

ЕЕ E Zhl« [pj—ps(A(i)(0))] ф(0)clik—qj

i=1j=o s=1 r=1

Гk-p+q] Гk + q-p] Г j-1 ]

i L p J i L p J L q J j—qs

E E GMo,qф(0)c2i)k—p+q—pj -£ E E EGMrs[Pj—qs(I(i)(0))]x

Г k-p+q~\

q L p i j-q-1j-q-s

xv^o—jj ^E E E E(-1)r[PrqoStt(40))]G(AoGy

(=i:i j=q:l s=o r=l

Гk p+q!

q L p J

xj(() л(() _ V V (г)

x dq+s,гc2,k+q—p—pj Gdjг Л 2,kop+qopj,

(=i:i j=q

k = q(p - 1), q(p - 1) + 1,.... (2.76)

Враxовyючи лшшну незалежнiсть векторiв (HBo)s^>, s = 0,p — 1, i (GA0)S^, s = 0, q — 1, i беручи до уваги, що lk = 0 при k < q(p — 1), звщси маемо

k

^ p - - rk

E E Pj (л(г)(0^ c^k-q, = 0, k = 0, q(p - 1) - 1, s = 0,...

j=s г=1

г -+1 i E

q

(2.77)

j=s

Ер, (л(г)(о)) cSk+q-p-pj + £ (-1)sPj (л(г)(о)) л

,г=1 (=i:i

= 0,

k = 0,q(p - 1) - 1, s = 0,

k + q — p

p . „(1)

(2.78)

Поклавши в (2.75) k = q(p — 1) i розклавши вектор lo — Xo за базисними векторами:

lo = E lo+1 (HBo)V + E l0p+S+1)(GAo)s^,

s=0 s=0

дiстанемо

EEPj (л(г)(0)) cdp-D-qj = l0S+1), s = öp-I; (2.79)

j=s г=1

E i: p, (л(г)(о)) c2:P(jo()opj +E z—Dp (л(г)(о)) =

г=1 j=s (=i:i j=s

= l0p+s+1),s = M—I. (2.80)

Взявши тепер p — 1 рiвнянь iз системи (2.77) (при k = qs, s = 0,p — 2) i одне рiвняння з системи (2.79), при s = p — 1, отримаемо систему p рiвнянь iз p невщомими c((0, i = 1,p:

p p _ -i

£^(0)) S cío =0, s = ÔP—2; £ (л(г)(0)) p- cÏ0 = l0,

г=1 г=1

яку можна подати y виглядi

W (0)cio = mo, (2.81)

де С10 = col (с(0), с(20),..., с1^), m0 = col (0,..., 0,/0p)),

ж (t) =

A11)(t)

л12) (t)

^(t)

(^(t))P-1 (x?\t))P-1 ... (Ajp)(t))

\P-1

(2.82)

Аналогiчно, взявши q — 1 рiвнянь iз системи (2.78) (при k = ps + p — q, s = 0,q — 2) i останне рiвняння з системи (2.80) (при s = q — 1), прийдемо до системи q рiвнянь з q

• (i) • 1- ~(i) • 1—1—1-

невiдомими c20, i = 1,r, c20, i = / + 1, q:

E («1i)(0^S c20 + E (-1)s (V1i)(0^sc2i) =0, s = M - 2;

i=1

i=l+1

q-1

i=1

;(i) = /(n) -20 = /0 ,

i=l+1

яку можна подати у виглядi

де с20 = col с

(1) 20,

c(l) c(l+1) с20 , с20 ,

^1(0)c20 = П0,

.,cq), П0 = col [0,..., 0,/0n)))

(2.83)

Ü1(t) =

V11)(t)

«^(t)

-V1l+1)(t)

-V1q)(t)

(«1%)q-1 ... («1l)(t))q-1 (-«r\t))q-1 ... (-V(q)(t))

,q-1

Оскiльки згiдно з умовами (2.7) i 10° det^(0) = 0, detQ1 (0) = 0, то з рiвнянь (2.81), (2.83) однозначно визначаються вектори сталих С10, С20:

С10 = Ж-1(0)m0, С20 = ^-Ч0)П0.

(2.84)

Аналогiчно визначаються й наступнi коефiцiенти сЦ, i = 1,p; c^l, i = 1,/, с2], j =

/ + 1,q, s = 1, 2,.... Дшсно, припустимо, що цi сталi вже визначено при s < k i знайдемо (i) _ (i) — (j) -

c\k, i = 1,p, c2k, i = 1,/, tkk, j = / + 1,q. Розклавши вектор /k за базисом:

P-1

s=0

q-1

\s,„ 1 S^l(P+s+1)fnA \s, /k

s=0

/k = E /S+1(HBo)Sф + E k+s+1)(GA0)sф

i взявши до уваги, що (HB0)'вф = 0 при s > p, (GА0)'вф = 0 при s > q, з рiвняння (2.75) дiстанемо

[k ]

[ q] P

E E Pj (ЛМ(0)) с? k-j = /ks+1), s = ÖJ-T, k > (p - 1)q;

(2.85)

j=s i=1

1

1

1

1

1

1

1

Е

j=s

q

EPÏ W) Ü+q-p-pj + E — DP (^(0)) ^^k+q-p-pj

_ ;(P+1-s) _ lk ,

s _0,q — 1,k > (p - 1)q. (2.86)

В1зьмемо тепер i3 системи (2.85) р1вняння при s _ 0 на k-у крощ, при s _ 1 — на (k + q)-y крощ, при s _ 2 — на (k + 2q)-y кроцi, i т.д., при s _ p — 1 — на k + (p — 1)q-y кроцi. Дiстанемо систему рiвнянь

/ y c1k _ 'k '

i=1

Г k + sq ]

p p L q J

£(л(1°(0)) $ _ C? — E E pj Ио)) , s

i=1 i=1 j=s+1

яка y векторно-матричнiй формi запишеться y виглядi W(0)c1k _ mk, де C1k _ col c1k , ■ ■ ■, c1k ), а mk — вектор-стовпець y правiй частинi. Звiдси

C1k _ W-1(0)mk■ (2.87)

Далi з системи (2.86) виберемо рiвняння при s _ 0 на (k + p — q)-y крощ, при s _ 1 — на (k + p — q + p)-y крощ, i т.д., при s _ q — 1 — на k + p — q + (q — 1)p-y крощ. Об'еднавши ïx y систему дютанемо

i q

V c(i) + V C(i) _ /(p+1) •

¿_^c2k + C2k _ 'k+p-q•

i=1 i=l+1

Е («ii)(0^s 42 + Е (—1)s (с®(0))s c2k _ /J+C+îU —

i=1 i=l+1

[fc^l fk + sp!

i L pi q L p J

— E E pjj (e(i)(0)) c?k+sp-pj — E E (—1)sPj (e(i)(0)) CiU^,

i=1 j=s+1 i=l+1 j=s+1

c2k _ col fc(1) c(l) с(l+1) с(q)"i

c2k _ co1 ^c2k ,■■■ ,c2k ,c 2k , ■ ■ ■ ,c 2k J

(s _ 1, q — 1), або y векторно-матричнш формi Q1(0)c2k _ nk, де

c(l) С ■ ■ ■ , c2k , c 2

а nk — вектор y правш частиш. Звiдси

c2k _ ^-1(0)nk■ (2.88)

Зазначимо, що Формули (2.87), (2.88) мають рекyрентний характер, оскшьки, як

(i) (i) (i)

неважко переконатися, вектори mk i nk мютять лише та числа c^, c2s, с 2s, шдекси яких s <k.

Под1бним чином з р1вняння (2.74) визначаються й числов1 множники с^, i = 1,p, ¿2\ i = 1,l та cf, i = l + l,q, припускаючи, що вектори фs(T), s = 1,p, i (G(T)Ao(T))s^(T), s = 0,q — 1, лшшно незалежнi, тобто

det

фг(Г),..., фр(Т); ф(Т); G(T)Ao (Т)ф(Т),..., (G(T)Ao(T))q-10(T) = 0. (2.89

Цим самим завершено процес побудови формального розв'язку крайово!' задача (2.3), (2.5).

3. Основш результати

Провывши м1ркування, аналопчш до викладених в [1], встановимо, що за виконання перел1чених вище умов крайова задача (2.3), (2.5) мае единий розв'язок, який зобра-жуеться асимптотичною формулою

у(1, е) = уг (I, е) + О ,

де розглядаеться г-наближення уг(Ь,е), яке одержуеться з (2.70) шляхом обривання в1д-пов1дних розвинень на г-у член1.

Зв1дси, взявши до уваги структуру вектора уг (Ь,е), отримаемо так1 ощнки для шука-них вектора стану х(Ь,е) та керування п(Ь,е):

\\х(г,е) - хг(г,е)\ ^с^+^-р-р^3), \\п(г,е) - п(¿,е)\\ <С2^г+1+2д-р-рд(к+3),

де С1, с2 — деяк1 стал1, що не залежать в1д е.

П1дсумовуючи результати проведених досл1джень, приходимо до тако! теореми.

Теорема 1. Якщо виконуються умови 1°-11°, (2.52), (2.66), (2.89), то гснуе единий вектор керування п(Ь,е), який виражаеться асимптотичною формулою

u(t, е) = ß-q(p-ЕЕ ßk ± j) (t)c %-qj exp i=1 k=0 j=0

T

e-h I I Ao(r) + E ßqk\®(t)| dT I +

k=0

+ ß

-p(q-1)

q r

E E^E j](t)C2)k-Pj exp

i=l+1 k=0 j=0 l r [ p ]

/ \ ( [ P ]

-h I I V^ ,.kpe(i) k

k=1

1

е

EßkP^(T )| dT

+

0

/

( T

+ EE ^E wj31(t)c2)k-Pj exp

i=1 k=0 j=0

h

k=1

-1 \ |

+

(T )l dT

( /

+ O ^r+1+2q-p-pq(h+3^ ,

що переводить систему (1.1) гз стану Х]_(е) в стан х2(е), мгнгмгзуючи функцгонал (1.4).

Bidnoeidna траекторгя, за якою здтснюеться цей перехгд, виражаеться асимпто-тичною формулою

x(t,£)= ß_q(p_l)

££/£ (Ac (T) + £ ,qk А«(т)) dr) +

i=l k=c j=c n k=C

i=l k=C j=C

(lWW

i""" T / [-] \

£-h i |Ac(T) + £ ßqkAki)(T)) dr

k=c

+ a_p(q_l)

££/£ j ^^U exp

i=l k=c j=c

k

k=c

- 7 {£ ^ (r)

c \k=l

l

+

l

-h

dT

+

+ £ £^£wjl)(t)c 2ik-pjexp

i=Z+l k=C j=0

( ).l [p] -£-h I { £ ^(T) k=l

/

+ ££ /£ Wjl >(t)g<ii_pj. exp

i=l k=c j=c

£

_h

V

dT

/

+

/

l

\

k=l

+ £ £^£ wj!^^U exp

i=Z+l k=C j=c

(t) | dT

( T / [p] \ _l \

£_h f ^^(T) I dT k=l

+

/J

+

Коефщенти наведених розвинень визначаються за описаним вище алгоритмом.

Перелж цитованих джерел

1. Тарасенко О. В. Побудова асимптотичного розв'язку задач1 оптимального керування для лшшно'! сингулярно збурено'1 системи диференц1альних р1внянь // Науковий часопис НПУ iMem М.П. Драгоманова. Сер1я 1. Ф1зико-математичн1 науки. — 2012. — № 13. — С. 374-401.

2. Самойленко А.М. Лшшш системи диференщальних рiвнянь з виродженнями /

A. М. Самойленко, M.I. Шкшь, В. П. Яковець. — К.: Вища школа, 2000. — 294 с.

3. Яковець В. П. Асимптотичне штегрування сингулярно збурених систем диференщальних рiвнянь з виродженням: дис. .. .д-ра. фiз.-мат. наук: 01.01.02 / В.П. Яковець. — К., 1993. — 318 с.

4. Поптрягип Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин,

B.Г.Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. — М.: Наука, 1983. — 392 с.

5. Шкиль Н. И. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями / Н. И. Шкиль, И. И. Старун, В. П. Яковец. — К.: Вища шк., 1991. — 207 с.

6. Яковец В. П. Построение асимптотических решений двухточечных краевых задач для вырожденной сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений / В. П. Яковец, М. Б. Вира // Труды Воронежской зимней математической школы С. Г. Крейна. — Воронеж: ВорГУ, 2008. — С. 319-332.

t

Получена 25.10.2013