ДОСТАТНI УМОВИ БIФУРКАЦIї РОЗВ’ЯЗКУ IМПУЛЬСНОї КРАЙОВОї ЗАДАЧI ЗI ЗБУРЕННЯМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Достатш умови б1фуркацп розв'язку 1мпульсно1 краиово1 задач1 31 збуренням

Т. В. Шовкопляс

Ки1вський нацюнальний ушверситет iM. Тараса Шевченко Ки1в 03022. E-mail: [email protected]

Анотащя. Розглядаеться л1н1йна неоднор1дна 1мпульсна крайова задача 3i збуренням для си-стеми звичайних диференцiальних рiвнянь другого порядку, яка не завжди е розв'язною. Роз-глядувана крайова задача мае породжуючу iмпульсну крайову задачу, яка не мае розв'язшв при довшьних неоднорiдностях, а це означае, що для не!' виконуеться критичний випадок. Встанов-лено достатш умови, при виконанш яких розглядувана лшшна неоднорiдна iмпульсна крайова задача зi збуренням е розв'язною, а, також, знайдено умови, при яких вщбуваеться бiфуркацiя 11 розв'язку. Знайдено розв'язок розглядувано'1 задачi.

Ключов1 слова: лшшна неоднорщна iмпульсна крайова задача зi збуренням, породжуюча iм-пульсна крайова задача, критерш розв'язностi, критичний випадок, збурення, бiфуркацiя.

1. Вступ. Постановка задач1

Зустр1чаються випадки, коли лшшна 1мпульсна крайова задача 3i збуренням не завжди е розв'язною на деякому числовому промiжку. Така ситуащя вимагае знаходження умов, при виконанш яких дана задача буде розв'язною. Проблемi вивчення умов розв'язност крайових задач зi збуренням для систем лшшних ди-ференцiальних рiвнянь I-го порядку присвяченi працi [1,2,8,12]. Умови бiфуркацil та розгалудження розв'язюв крайових задач для вироджених систем наведеш в [3]. Питання встановлення умов розв'язност слабкозбурених крайових задач для систем лшшних диференщальних рiвнянь другого порядку дослiджено в [10].

У цш роботi шукаються умови розв'язност лшшноТ неоднорщноТ iмпульсноl крайово!' задачi зi збуренням для системи звичайних диференщальних рiвнянь другого порядку.

Розглядаеться лшшна неоднорщна iмпульсна крайова задача зi збуренням

(P(t)x')' - Q(t)x - eQi(t)x = f (t), t e Uo, (1.1)

△ (P (t)x' )l = -вгх' (ti - 0) - aix(ti - 0) + eaux(ti - 0) + Yi,i = 1, 2,...,p, (1.2)

I I—ti

lx(• ,e ) = a + ellx(• ,e ). (1.3)

Тут [a, b] - вiдрiзок, на якому розглядаеться лшшна iмпульсна крайова задача зi збуренням (1.1)-(1.3), ti, i = 1, 2,...,p, — точки iмпульсноl дп, що належать вiдрiзку [a, b]: ti e [a,b], i =1, 2,... ,p; вважаеться, що a = t0 < tl < t2 < ... < tp < tp+l = b. U0 — числова множина вигляду: U0 := [a,b]\{ti}p—l.

© Т. В. ШОВКОПЛЯС

XX 'x(t, e~) -п-вим!рна дв1ч1 неперервно диференцшовна з розривами в точках 1мпульсно1 дп шукана векторна функщя: x(^,e) Е C2(U0 х (ü,e0]), x'(^,e), x"(^,e) Е C2(Uo х (ü,eo]).

P(t), Q(t), ^1(£)-к:вадратш (n х п)- вим1рш дшсн матрицьфункцп. Елементи матриц P(t) е дшсш, кусково-неперервно диференщйовт на множит U0, з розривами першого роду в точках !мпульсно1 дй': P(t) Е C 1(U0); елементи матриць Q(t) та Q1(t) е неперервними на в1др1зку [a, b]: Q(t), Q1(t) Е C([a, b]). Матриця P(t) е невиродженою: det P(t) = ü. f (^-п-вим1рна кусково-неперервна з розривами в точках !мпульсно1 дп'вектор-функщя: f (t) Е C(U0). ai, a1i, ßi, i = 1, 2,... ,p,-квадратна (пхп)-вим1рш матрищ, елементамияких е дшсш числа, det[P(ti—ü)—ßi] = ü. 7i, i = 1, 2,... , p,-стал! п-вим1рш вектори, елементами яких е дшсш числа. l, l1-лшшн обмежеш т-вим1рн1 векторт функщонали, визначет на простор! п— вим1р-них кусково-неперервних векторних функцш: l, l1:C([a,b]) — Rm. а-т-вим1рний дшсний вектора Е Rm; e-малий невщ'емний параметр.

1мпульсна крайова задача з1 збуренням (1.1)-(1.3) мае породжуючу !мпульсну крайову задачу:

(P(t)x')' — Q(t)x = f (t), t Е U0, (1.4)

△ (P(t)x')| = —ßix'(ti — ü) — aiX(ti — ü)+ Yi, i = 1, 2,... ,p, (1.5)

\t=ti

lx(^e) = a. (1.6)

1мпульсна система диференщальних р1внянь другого порядку (1.4), (1.5) мае загальний розв'язок вигляду: x(t) = X(t)c + x(t), c Е R2n, де X(Ь)-(п х 2п)-вим1рна фундаментальна матриця однорщно'' 1мпульсно1 системи другого порядку (1.5), (1.6) яка складаеться з 2п-лшшно незалежних розв'язюв однорщно'' (f (t) = ü, Yi, i = 1, 2,... ,p) системи (1.4), (1.5); вектор-функщя

b p K(t, s)P-1(s)f (s)ds + Y, K(t, ti + ü)Yi

i=1

е частинним розв'язком системи !мпульсних диференщальних р1внянь (1.4), (1.5); K(t, s)-(v, х п)-вим1рна матриця Кош! [9, 11]. У результат! дй' лшшного m-вим1рного функцюналу l на фундаментальну матрицю X(t) утворюеться (m х 2п)-вим1рна прямокутна матриця D, rankD= п1, п1 < шт(2п,т). Матриця D* е транс-понованою до матриц! D. (2п х т) — вим1рна матриця D+ е псевдооберненою за Муром-Пенроузом до матриц! D [2, 5, 7].

Через PD i Pd* позначимо (2п х 2п)- i (т х т)- вим1рш матрищ-ортопроектори, яю проектують простори R2n i Rm на нуль-простори N(D) та N(D*) вщповщно: PD : R2n — N(D), N(D) = PDR2n; PD : R2n — N(D), N(D*) = PD*Rm. Матриця N(D) мае розм!ршсть r: dim N(D) = 2п-гапк D = 2п — п1 = r, а матриця N(D*) мае розм!ршсть d: dim N(D*) = m—rank D = m — п1 = d. Звщки rank PD = r, а rank Pd* = d. Тобто, матриця Pd складаеться з r лшшно незалежних стовпчиюв, а матриця Pd* складаеться з d лшшно незалежних рядюв. Отже, (2п х 2п)-вим!рну

x(t) = I

J a

матрицю Pd можна замшити (2n х г)-вим1рною матрицею P^r, що складаеться з r лшшно незалежних стовпчиюв матриц Pd; (m х т)-вим1рну матрицю Pd* можна замшити (d х т)-вим1рною матрицею Pd* , яка складаеться з повно'1 системи d лшшно незалежних рядюв матриц Pd* [2].

Для породжуючо!' 1мпульсно!' крайово!' задач1 (1.4)-(1.6) мае мюце тверджен-ня [9].

Теорема 1 (Критичний випадок). Нехай виконуеться умова rank D = nl < min{2n, m}. Тодг однорлдна (f (t) = 0, y = 0, i = 1,2,...,p, a = 0) iмпульс-на крайова задача (1.4)-(1.6) мае r, (r = 2n — nl) i лише r лшшно незалежних розв'язтв.

Неоднорiдна iмnульсна крайова задача (1.4)-(1.6) розв'язна modi i тлльки modi, коли вектор-функщя f (t) Е C(U0) i сталий вектор a Е Rm задовольняють умову розв'язностл

PD*d [a — lx(^)]=0, (d = m — nl). (1.7)

При виконант цих умов iмnульсна крайова задача (1.4)-(1.6) .мае r-парамет,рич-ну слм'ю лшшно незалежних розв'язтв x(t,cr) = Xr(t)cr + (G[f, Yi])(t) + X(t)D+a, t Е [a,b], V cr Е Rr, де Xr(t)-(n х r)-вимiрна матри-ця, стовпчики яког утворюють повну систему r лттно незалежних розв'язтв oднoрiднoг iмnульснoг системи другого порядку (1.4), (1.5): Xr(t) = X(t)PDr;

PDr -(2n х r)-вимiрна мат,риця-орт,опроект,ор, яка складаеться з r лшшно

незалежних стовпчитв матрищ PD; cr -довыьний! вектор-стовпчик з простору Rr;

(G[f,Yi])(t), i = 1, 2,... ,n, t Е [a, b], - узагальнений оператор Грша, який дiе на довыьну вектор^ф>ункцш f (t) Е C(U0) 'та вектори y Е Rn, i = 1, 2,... ,n:

d f rb гь

(G[f,Yi])(t) =f K(t,s)P-l(s)f (s)ds — X(t)D+l K( • ,s)P-l(s)f (s)ds+

J a J a

P P

+ K (t, ti + 0)Yi — X (t)D+1 J] K (,U + 0)Yi, i =1, 2,...,p.

i=l i=l

. Умови розв'язност 1мпульсно1 краиово1 задач1 31 збуренням

Припустимо, що породжуюча 1мпульсна крайова задача (1.4)-(1.6) не мае розв'язюв при довшьних неоднорщностях f (t) Е C (U0), y Е Rn, i = 1, 2,...,p, та a Е Rm , тобто, мае мюце критичний випадок (rank D = nl < n) i в силу до-вшьного вибору неоднорщностей f (t) Е C(U0) та a Е Rm критерш розв'язност (1.5) для породжуючо!' iмпульсноl крайово'! задачi (1.4)-(1.6), взагалi кажучи, не виконуеться.

Тому, потр1бно всатановити, чи е таю умови, при виконанш яких 1мпульсна крайова задача 3i збуренням (1.1)-(1.3) буде розв'язною, при умов^ що i'i пород-жуюча iмпульсна крайова задача (1.4)-(1.6) розв'язкiв не мае. Покажемо, що вщ-повiдь на це питання можна отримати, побудувавши за допомогою коефiцiентiв iмпупьсноl системи матрищ B0 та Б\: Покладемо

Bo := PD%[hXr(• ) -1 J K(• ,s)P-1(s)Q1(s)Xr(s)ds - l^K(;U + 0)auXr(U - 0)},

i=1

(2.1)

B0-(d x r)-вимiрна матриця, PBo-(r x r) вимiрна матриця-ортопроектор, PBo:Rr ^ N(B0); B*-(r x d)-вимiрна матриця, спряжена до матрищ B0, Pb*-(d x d)-вимiрна матриця-ортопроектор, PB*:Rd ^ N(B*); (r xd)-вимiрна матриця B+ е псевдообер-неною за Муром-Пенроузом до матрищ B0. Щоб отримати новi умови юнування розв'язку iмпульсноl крайово!' задачi зi збуренням (1.1)-(1.3) , введемо (d x r)-вимiрну матрицю B1:

Bi := Pb*Pd*[liGi( •) - l i K(•,s)P-1(s)Qi(s)Gi(s)ds-

J a

P

- l^K(;ti + 0)aiiGi(ti - 0)}Pbo, (2.2)

i=1

де

Gi(t) = (G[Qi(s)Xr (s)])(t) + X (t)D+hXr (•). (2.3)

B*-(r x ^)-вим1рна матриця, транспонована до матрищ Bi; Pb 1 -(r x г)-вим1рна матриця-ортопроектор, яка проектуе г-вим1рний евклвдв прост1р Rr на нуль-прост1р N (Bi) матрищ Bi; Pb*-(d x ^)-вим1рна матриця-ортопроектор, яка проектуе ^-вим1рний евклвдв просир Rd на нуль-простар N(B*) матрищ B*. Мае мюце теорема.

Теорема 2. Нехай для iмпульсног крайовог задачг зг збуренням (1.1)-(1.3) мае мгсце критичний випадок (rank D = ni < n), тобто, гг породжуюча гмпульс-на крайова задача (1.4)-(1.6) не мае розв'язтв при довыьних неодноргдностях f (t) Е C(U0), Yi, i = 1, 2,... ,p, та a E Rm, i PBo = 0 i критерт розв'язностл не виконуеться. Якщо умова

Pb* PB* = 0, (2.4)

виконуеться, 'то ллтйна мпульсна крайова задача 3i збуренням (1.1)-(1.3) розв'язна i гг розв'язок можна подати у виглжН частини збiжного (при достат-ньо малому фжсованому £ Е (0 ,£0}) ряду Лорана:

<х

Х(;£)=^ £kXk(t). (2.5)

k=-2

Доведения. Шдставимо ряд (2.5) в задачу (1.1)-(1.3), 1 тод1 при кожному степен1 е отримаемо в1дпов1дну 1мпульсну крайову задачу.

При е-2 маемо однор1дну 1мпульсну крайову задачу:

(Р(г)х-2)' - Я(г)х-2 = 0, г е щ,

△ (Р (г)х-2)1=и = - 0) - агх-2(1г - 0),г = 1, 2,...,р, (2.6)

I х-2( • ,е) = 0.

За теоремою 1 задача (2.6) мае г-параметричну с1м'ю розв'язюв:

х-2(г) = хг(г)с-1, с-1 е яг, (2.7)

с- 1-дов1льний г-вим1рний вектор, який буде знайдено з умови розв'язност1 крайо-—1

во1 задач1 при е 1.

При е-1 маемо неоднор1дну 1мпульсну крайову задачу:

(Р(г)х-1)' - Я(г)х-1 = Я1(г)х-2, г е щ,

△ (Р (г)х'-1)1=и = вгх— 1 (г г-0)-агх-1(гг-0)+аих-1(и-0), г = 1, 2,...,р, (2.8)

I х-1(^,е) = ¡1х-2(^,е).

Застосуемо теорему 1 до 1мпульсно'1 неоднор1дно'1 крайово'1 задач1 (2.8). Зг1дно не1 умова розв'язност1 задач1 (2.8) е такою:

Рв* | кх-2^) - I а К (,8)Р-1Ш1(в)х-2Шв - I К (•г + 0)аих-2 (гг - 0) | = 0,

^ (2.9)

d = т - п1.

П1дставивши в (2.9) значення вектора х-2(г, с-1), виражене р1вн1стю (2.7) та зробивши в1дпов1дн1 перетворення, враховуючи позначення (2.1), отримаемо ал-гебра1чну систему:

ВоС-1 = 0. (2.10)

Алгебра1чна система (2.10) завжди розв'язна в1дносно г-вим1рного вектора с-1 е Яг [2, 5]:

с-1 = Рв0с-1г, с-1г е Кг. (2.11)

Маемо значення вектора с-1 вигляду (2.11), тому можна вказати г-параметричну с1м'ю розв'язк1в 1мпульсно1 крайово1 задач1 (2.6):

х-2(г) = хг(г)Рв0с-1г, с-1г е кг. (2.12)

Поставивши (2.11) в (2.7), отримаемо r-параметричну множину розв'язюв iM-пульсно! крайово! задачi (2.8):

x-l(t) C-i) = Xr(t)c0 + х-г(г), C-i £ Rr, (2.13)

тут X-1(t)-частинний розв'язок крайово!' задачi (2.8). За теоремою 1, враховуючи рiвностi (2.11), (2.12) i позначення (2.3), вектор x^^-матиме вигляд:

X-i(t) = Gi(t)Pß0c-ir, c-ir £ Rr, де матриця-функщя Gi(t) визначена таким чином:

r-Ъ г-Ь

Gi(t):= K(t, s)Qi(s)Xr(s)ds - X(t)D+l K(•,s)Qi(s)Xr(s)ds+

Ja Ja

P

+ K(t,ti - 0)auXr(ti - 0)-

i=1

p

- X (t)D+lJ2 K (•, ti - 0)aiiXr (ti - 0) + X (t)D+IX (•). (2.14)

i=1

Вектор со-невщомий, його буде знайдено з крайово!' задачi при е°. При £ маемо iмпульсну крайову задачу вщносно вектора x0(t):

(P(t)x0)' - Q(t)xo = Qi(t)x-i + f (t), t £ Uo,

△(P (t)x'o)\t=ti = -ßix'o (ti - 0) - axo (ti - 0)+ aux-i(ti - 0) + 1г,ъ =1, 2,...,p, (2.15)

lx0(^,£) = l1x-1( • , £) + a. Запишемо умову розв'язност iмпупьсно! крайово! задачi (2.15):

PDi{li x-i(^) + a - lj K(•,s)P-1(s)(Qi(s) x-i(s) + f (s))ds--lYi=i K(,U - 0)[aux-i(ti - 0) + Yi]} = 0, d = m - ni.

(2.16)

Зробивши вiдповiднi перетворення в (2.16), та враховуючи позначення (2.2), умова розв'язност iмпульсно! крайово! задачi (2.15) зведеться до алгебра'!чно'! си-стеми вiдносно невiдомого вектора co £ Rr:

Boco = po - BiPb0c-i, (2.17)

де ipo визначена таким чином:

n Ъ p

<Po = -Pd*{a - M K(•,s)P-i(s)f (s)ds - ^K(,U - 0)7i}.

Ja i=i

Ъ

Умова розв'язност! алгебра!чно! системи (2.17) е такою:

Pb*{ф0 - BiPb0— } = 0, (2.18)

зв!дки, алгебра'!чна система в!дносно вектора c-i £ Rr мае вигляд:

B!— = Pb* Фо- (2.19)

Умова розв'язност! алгебра!чно! системи (2.19), е такою:

Pb* • Pb* Фо = 0. (2.20)

Якщо виконана умова

Pb* • Pb* = 0, (2.21)

то умова (2.20) завжди виконуеться. Виконання умови (2.21) означае, що алгеб-ра'!чна система (2.18) розв'язна, а ïï розв'язок е г-вим!рний вектор:

Со = Pbocor + В0+[фо - B! • Pb0C—ir]. (2.22)

Значення вектора c0 вигляду (2.22) шдставимо в (2.13), у результата отримаемо r-параметричну с!м'ю розв'язюв !мпульсно! крайово! задач! (2.8):

x-i(t, co) = Xr(Î)Pb0cor + X-i(t),

тут x-^^-частинний розв'язок !мпульсно! крайово!' задач! (2.8) вигляду: x-!(t) = Xr (t)B+^o - Xr (t)B+BiPBo c-!r ] + Gi(t)PBo c-!r.

r-параметрична с!м'я розв'язюв !мпульсно! крайово!' задач! (2.15) е такою:

x0(t, ci) = Xr(t)c! + X0(t), c! £ R,

де x0 (^-частинний розв'язок:

X0(t) = Gi(t)[PBoc0r + В+ [Ф0 - BiPboc-ir]] + G2(t)PBoc-ir + +(Gf)(t) + X(t)D

+

a,

тут матриця-функц!я Gi(t) мае вигляд (2.14), а G2(t) визначена таким чином:

г-Ъ г-Ь

G2(t) := K (t,s)Qi(s)Gi (s)ds - X (t)D+l K ( • , s)Qi(s)Gi(s)ds +

Ja Ja

P P

+ J2 K (t, ti - 0)auGi(U - 0) - X (t)D+lJ2 K (•, tг - 0)auGi(U - 0) + + X(t)D+liGi( •).

Вектор ci буде знайдено з умови розв'язност! !мпульсно! крайово! задач! в!д-носно вектор-функц!'! xi(t), яка утворюеться при е!.

Продовжуючи цей процес, при £к маемо таку !мпульсну крайову задачу:

(P(t)x'k)' - Q(t)xk = Qi(t)xk-i, t £ U0,

△(P (t)Xk )\t=ti = -ßiX'k(t% - 0) - агхк (ti - 0) + auxk [1г - 0), г = 1, 2,...,p, (2.23)

lxk (•,£) = hxk-i(^£).

Умова розв'язност 1мпульсно1 крайово'1 задач! (2.23) е такою: } Р

Pd*{li xk-it) - l K(•,s)P-1 (s)Qi(s)xk-i(s)ds - ^K(•,ti + 0)xk-i(ti - 0)7г} = 0

i=1

d = m - n1.

При виконанш умови (2.21), !мпульсна крайова задача (2.23) матиме г-пара-метричну ам'ю розв'язюв: xk(t,ck+i) = Xr(t)ck+i + Xk(t), ck+i E R, де Xk(t) — частинний розв'язок 1мпульсно1 крайово! задач! (2.23):

Xk (t) = Gi(t)ck + G2(t)ck-1 + ... + Gk+i(t)co + Gk (t)PBo c-ir + (Gf )(t) + X (t)D+a, Ck = Pbo ckr + B+{^k - Bick-i + B2ck-2 + ■■■ + Bk+ic-i}, k > 0.

r-b r-b

Gk(t):= K(t,s)Qi(s)Gk-i(s)ds - X(t)D+l K(,s)Qi(s)Gk-i(s)ds+

Ja Ja

P

+ X(t)D+liGk-it) -J2 K(t,ti - 0)aiiGk-i(ti - 0)-

i=i

p

- X(t)D+^K(•,ti - 0)aiiGk-i(ti - 0), k > 2.

i=i

Bk := -Pd* [liGk-i(^)Bk-i - liGk(•) - l í [K(•, s)Qi(s)Gk-i(s)Bk-i - Gk(s)]ds-

J a

p

- l J] [K (•,ti + 0)aiiGk-i(ti - 0)Bk-i - Gk (ti - 0)]}РБо ]Pb0 , k > 2.

г=1

Якщо умова (2.4) виконуеться, то ва коефщенти розкладу (2.5) знаходяться в явному вигляд1, що доводиться за методом математично! шдукцп.

Таким чином, якщо умова (2.4) виконуеться, то 1мпульсна крайова задача з1 збуренням (1.1)-(1.3) е розв'язною.

Зб1жшсть ряду Лорана доводиться за допомогою традицшних метод1в мажору-вання [4, 6]. □

Зауважимо, що при доведенш теореми використовувався метод Вшика-Люс-тершка [4].

У публжацп [8] розглядаеться нетерова крайова задача для системи диферен-щальних р1внянь першого порядку, розв'язок яко! шукаеться при застосуванш методу простих 1терац1й.

Отримаш в робот результати е узагальненням результатав, наведених в [10] та узгоджуються з рашше отриманими в теор1'! крайових задач результатами [1, 2, 8, 9, 11, 12].

3. Приклад

На в1др1зку [0,1] задана крайова задача з1 збуренням

х''(г) = !(г), х е к2,!(г): [0,1] ^ к2,г е [0, 1], ¡х(^,е) = а + е!1х(^,е),а е К2,1х(•) = Мх(1),М = 0 1 ^ .

(3.1)

(3.2)

В (3.1), (3.2) !(г) та х(г)—двовим1рн1 векторн1 функцп: !(г) : [0,1] ^ К2, х е К2. Встановимо умови, при яких крайова задача з1 збуренням (3.1), (3.2) розв'язна

при збурюючому доданку 11х(•) = Нх( 1), N = ^ 1 2

При е = 0 з крайово'1 задач1 з1 збуренням (3.1), (3.2) отримаемо породжуючу крайову задачу:

х''(г) = !(г), х е к2,г е [0, 1], (3.3)

1х(,е) = а, а е К2. (3.4)

Зг1дно теореми 1.1, породжуюча крайова задача (3.3), (3.4) при довшьних неод-нор1дностях !(г) е С[0, 1] та а е К2 не мае розв'язк1в.

Використовуючи теорему 2.1, встановимо умови, при яких розглядувана крайова задача з1 збуренням (3.1), (3.2) буде розв'язною.

Фундаментальна матриця однор1дно'1 (!(г) = 0) системи диференц1альних р1в-

10г0

нянь (3.3) е такою: X(г)

( 0 0 \

11 00 11

0 10 t

. Побудуемо (2 х 4)-вим1рна матрицю D

[2]: D

г е [0,1]. В1дпов1дна до матриц1 О, (4 х 2)-вим1рну спряжена

матриця D* е такою: D*

D

т

осктльки задача розглядаеться на

00 11 00 11

дшснш площиш.

Знайдемо базис нуль-простору матриц D*. За означенням нуль-простору [2], N(D*) = {b Е R2 : D*b = 0}, тобто, це означае, що треба знайти таю вектори b Е R2, для яких виконуеться р1вшсть: D*b = 0. Для побудовано! матриц D*

( 0 0\

розв'яжемо р1вняння D*b = 0: D

(t)

0. Звщки, b2 = — bi, отже,

11 00

V1 ч

маемо базисний вектор ф1 = Ь(1 = [Ь1] = [1] простору N (О*).

Осюльки прост1р N (О*) не е порожшм, то зг1дно означення [2] матриц1-ортопроектора Рв* вона в1дм1нна в1д нульово'1 матриц1: Рв* = 0.

Знайдемо матрицю PD* за формулою [2]: PD* = sk=1 ßs к^ФФк Тут s = k = 1, тому матриця PD* шукаеться за формулою: PD* = ßSkL>ф1ф

(-1)„

пФТ,

ß11 = (фТ,ф1) (фТ , ф^-скалярний добуток в вiдповiдному евклщовому IIросторi,

Ф1

^^, ФТ = ( 1 -1 ). Обчислимо ßii: ßii = ( 1 -1 ) ( - )

1 • 1 + (-1) • (-1) = 2. Отже, ß11 = 2, звщки ß

-1 1)1

ф1 • ф1 =

1 -1

= 1

= 2

1 -1

1 -1 11

1 -1 -1 1

Осюльки d = 1, то матриця PD * складаеться з

Отже, PD*

одного лiнiйно незалежного рядка, тому, надалi, замiсть не1, можна розглядати матрицю PD* = 1 ( 1 -1 ).

Зауважимо, що матрицю Pd* можна знайти шшим чином, використовуючи формули: PD* = Im - DD+, D+ = lime^0 D*(DD* + eIm)-1. В цьому прикладi m =2.

Обчислимо D+:

D+

lim

e-)- 0

lim

00 11 00

V1 1 )

00

2 0 1 0 1 ) 0101

00 11 00

К1 ч

+ £

10 01

1

1

e^0 £ + 4

11 00 11

00 11 00 11

Звщки PD* = 2

1 -1 D = И -1 1

мшити на матрицю Pd * = 1 -1 ).За формулою Pd матрицю Pd. В данiй задачi n = 2:

Оскiльки d = 1, то це дозволяе матрицю Pd* за-

I2n - D+D знайдемо

P

D

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 \

0 1 0 0 1 1 1 2 0 1 0 1 ) = 0 1 2 0 1 2

0 0 1 0 - 4 0 0 д0 1 0 1 ) = 0 0 1 0

0 0 0 1 1 1 0 1 2 0 1 2 /

З побудови матрищ Pd зрозумшо, що rank Pd = 3, тому r = 3, а матриця Pd3 е та-

кою: PD3

2 0 0

1 0 1 0

2 0 0 2

0 -1 0

. Обчислимо (d x r)-вимiрну матрицю B0: d = 1, r = 3,

тобто, B0-(1 x 3)-вимiрна. За формулою B0 := PD*l1Xr (•) -1 ja K(•, s)Q1 (s)Xr (s)ds, але, за умовою задачi матриця Q1(s) е нульовою, тому B0 := PD*l1 Xr(•).

1

4

За формулою Xr(t) = X(t)PDr, r = 3, знайдемо матрицю X3(t):

Mt) =

( 1 о t 0 \ 1

V 0 1 0 t ) 2

2 0 0

1 0 1 0 = 1 2 0 2t

2 0 0 2I = 2\ 0 —t 0

0 —1 0

)

Отже, (2 x 3)-вим!рна матриця X3(t) мае вигляд: X3(t) = 2 ^ лимо ¡iX3(-):

it 2 0 2t 2 \ 0 -t 0

Обчис-

¡1 Xs(\)

(l l)^ (

202

0 1 ■ 2

0

)=!(4 1 M

) 4 V 0 2 0 J

Зв!дси, Bo = К 1 — 1) 4

4 1 2)= 1 ( 4 -12 0 2 0 )= ^ 4 12

Для розглядувано! задач! перев!римо виконання умови Pb0 = 0 теореми. Спо-чатку обчислимо матрицю Pb0 за формулою: Pb0 = I3 — B+B0 ■ Обчислимо матрицю B0+, вона обчислюеться за формулою:

Bo+ = lim B*(BoB* + eh)-1,

£^0

коли B0* = 8

4 -1 2

Отже,

Bo +

lim -

£^0 8

4

1

2 '8

(4 — ^ ^ 1 I —21

4

1

Обчислимо тепер матрицю Pb0 ■ 1 0 0 4

+ e ■ 1

5 4-8

Pb

010 I — 81 —1 I ■ К 4 —1 2 ) = 211 4 20 2

0 0 1

-8 2 17

В результат! обчислень зрозум!ло, що матриця Pb0 в!дм!нна в!д нульово!. Отже, умова Pb0 = 0 для крайово! задач! (3.1), (3.2) виконуеться. Перев!римо виконання умови Pbx* Pb0* = 0.

Обчислимо матрицю PBo* за формулою:PBo* = I3 — B+ B0.

4

Рв

1 — 21 = 0. Оск!льки, в результат!

1 — И 4 —1 2) ■ 2-1 I —1

обчислень отримано, що Pb0* = 0, то можна стверджувати, що умова Рвх*Pb0* = 0 теореми 2 для крайово! задач! (3.1), (3.2) виконуеться.

Зауважимо, що матриця Рвг* обчислюеться за формулою: Рвг* = h — B+B-, коли B+ = lim^o B*1(B-B*1 + eI-)-1, B- = Рв*Рщ¡iG-() Отже, Рв* = 1 — 0= 1.

2

1

Крайова задача без збурення (3.3), (3.4) не мае розв'язюв. Вводячи збурен-

ня lix() = Nx( 1), показано, що з нерозв'язно'! задач1 (3.3), (3.4) можна зробити

розв'язну задачу (3.1), (3.2), i розв'язок матиме вигляд:

— 2 — 1 0 1 /у f /у /у'-' /у

x(t, £) = — + — + ^ + y + .... e2 e1 eu e1

Перелж цитованих джерел

1. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — К.: Наук. думка, 1990. — 96 с.

2. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы краевые задачи. — Кшв: Труди 1нституту математики НАН Украши, 1995. — 318 с.

3. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Бифуркация решений вырожденных краевых задач. — Киев: Препринт ИМ НАН Украины, 2009. — 21 с.

4. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмкщениях в случае матриц и самоспряженных и несамоспряженных диффференциальных уравнений // УМН. — 1960. — Т. 15, № 3. — С. 3-80.

5. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 318 с.

6. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. — М.: Наука, 1979. — 432 с.

7. Кублановская В. И. О вычислении обобщенной обратной матрицы и проекторов // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 1966. — Т. 6, № 2. — С. 326-332.

8. Чуйко С. М. Возникновение решений линейной нетеровой краевой задачи // Укр. мат. журнал. — 2007. — Т. 59, № 8. — С. 1148-1152.

9. Шовкопляс Т. В. Критерш розв'язност лшшно!' крайово'1 задач! для системи другого порядку // УМЖ. — 2000. — Т. 52, № 6. — С. 861-864.

10. Шовкопляс Т. В. Достатш умови виникнення розв'язку слабкозбурено'1 крайово'1 задач! // Динамические системы. — 2009. — № 27. — С. 143-149.

11. Шовкопляс Т. В. Слабкозбуреш лшшш крайов! задач! для системи диференщальних р!внянь другого порядку // Доповщ1 НАН Украши. — 2002. — № 4. — С. 31-36.

12. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems. // Utrecht, Boston: VPS. — 2004. — 317 p.

Получена 21.05.2010