УМОВА IСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКУ СЛАБКОЗБУРЕНОї КРАЙОВОї ЗАДАЧI В БАНАХОВОМУ ПРОСТОРI Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Умова юнування розв'язку слабкозбурено! крайово! задач! в банаховому простор!

6. В. Панасенко

Запор1зький нацюнальний ун1верситет, Запор1жжя, 69600. Б-таИ: [email protected]

Анотащя. Розглядаються крайов1 задач1 для системи звичайних диференщальних р1внянь з малим параметром е у р1внянш та у крайов1й умов1. Шукаеться умова, коли виникае хоча б один розв'язок слабкозбурено! крайово! задач1 в банаховому простор1. Задача була розв'язана завдяки певним власти-востям оператора Во, який будуеться з використанням збурюючих доданюв у диференщальнш систем1 та у крайовш умов1.

Ключов1 слова: слабкозбурена крайова задача, породжуюча задача, б1фуркащя розв'язюв, узагальнено-оборотний оператор.

1. Вступ

У статт дослщжено проблему юнування розв'язку слабкозбурених лшшних неодно-р!дних крайових задач в банаховому простор! в припущенш, що оператор В0 : В1 ^ В2 е узагальнено-оборотним [3, 4, 12]. Апаратом дослщження е апарат теорп узагальнено-обернених операторов [2, 12] та метод Вшика-Люстерника [5]. Розв'язки шукаються у вигляд! ряд^в Лорана за степенями малого параметру е, як! мютять вщ'емну степень е.

Виршенню ц1е1 проблеми у випадку В1 = Мга, В2 = Мт присвячено роботи [1,2]. Кр1м того, умовам б^фуркащ! множини обмежених на всш ос! М = (—то; розв'язюв слаб-ко збуреного диференц1ального р1вняння в банаховому простор!, присвячено роботу [11]. Для зл1ченновим1рних систем у так званому некритичному випадку, коли В1 = В2 = М збуреш задач! розглядались у робот! [9]. У статт1 [4] встановлено умови б^фуркацп розв'язк!в крайово1 задач! та отримано оц!нку потужност! множини розв'язк!в л!н!й-них неоднор!дних крайових задач в банаховому простор!. В дан!й робот! встановлюеться умова, коли виникае хоча б один розв'язок слабкозбурено1 крайово1 задач! в банаховому простор! та будуеться зб!жний !терац!йний алгоритм побудови розв'язку задач!, який представляе окремий практичний !нтерес.

2. Постановка задач1

Розглянемо в банаховому простор! В1 диференщальне р^вняння:

^ = А(г)х(г) + еЛ1(1)х(1) + / (г) (2.1)

де вектор-функщя /(г) д!е з вщр^зка [а; Ь] у банахов простер В1:

/(г) е С ([а; Ь], В1) :=\ /(•) : [а; Ь] ^ В1,\\\{||| = вир \\{00\\ 1 ,

[ Ща;Ь] J

© е. В. ПАНАСЕНКО

C ([a; b], Bi) — банах1в простар неперервних на [a; b] вектор-функцш; оператор-функцп A(t) i Ai(i), що ддать з банахового простору Bi в себе, сильно неперервш [7, c.141] з ноРмами: |||A||| = supie[a;6] \\A(t)\\ < ж, |||Ai||| = supie[a;6] \\A1(t)\\ < ж, e << 1 — малий параметр.

Разом з операторним рiвнянням (2.1) розглянемо крайову умову

lx(^) = а + elix() (2.2)

де оператори l i li е лшшними неперервними на [a; b] векторними функщоналами, що дiють з простору C ([a; b], B1) в банахiв простiр B2: l : C ([a; b], B1) ^ B2; li : C ([a; b], B1) ^ B2; а елемент простору B2 : а € B2. Тодi шд розв'язоком рiвняння (2.1), будемо розумгги розв'язок x(t) = x(t,e) штегрального рiвняння

x(t,e) = x0 + / (A(s)x(s) + eAi(s)x(s) + f(s))ds,

J a

який е неперервно диференцiйованим в кожнш точцi t € [a; b] i задовольняе рiвняння (2.1) всюди на [a; b]. Отже розв'язок x(t,e) рiвняння (2.1) будемо шукати в просторi Ci ([a; b], Bi) неперервно-диференцшовних на [a; b] функцш зi значеннями в банаховому просторi Bi. Задача

dxt)= A(t)x(t) + f (t), (2.3)

lx(^) = а, (2.4)

яку отримаемо iз (2.1),(2.2) при e = 0, називаеться породжуючою для крайово!' задачi (2.1),(2.2).

Теорема 1. [3] Якщо оператор Q = IU(•), що die з банахового простору B1 в банаховий npocmip B2 e узагальнено-оборотним, то неоднорiдна задача (2.3),(2.4) розв'язна для тих i лише тих неоднорiдностей f (t) € C ([a; b], B1) та а € B2, яга задовольняють умову

PN (Q*)

cb

a - i K(•,t)f (t)dr

0, (2.5)

i при цьому загальний розв'язок крайовог задачг мае вигляд

х(1) = и (1)ТМ (д)С + и (1)Я-а + (С/)(г),

де и(Ь) - еволюцшний оператор одоргдного диференцгального ргвняння (2.3) [7, с.147], Q = Iи(•) - оператор, отриманий пгдстановкою в крайову умову (2.4) еволюцгйного оператора; Q- — узагальнено-обернений оператор до оператора Q [12], (д) = I — Q-Q й д*) = I — QQ- е операторами проектування, якг проектують банахгв простгр Бх на ядро N^) г коядро Nоператора Q вгдповгдно; (С/)(Ь) — узагальнений оператор Гргна задачг (2.3),(2.4), який дге на вектор-функцгю /(Ь) € С ([а; Ь], Бх) наступним чином:

г Ь г Ь

(С/)(Ь):= К(Ь,т)/(т)йт — ит- • I К(;т)/(т)йт.

■) а ■) а

3. Теорема про юнування розв'язку слабкозбуреноУ крайовоУ задач1

Припустимо, що у породжуючш крайовш задача (2.3), (2.4), отримано!' 1з (2.1), (2.2) при е = 0, не 1снуе розв'язк1в при довшьних неоднор1дностях f (Ь) € С ([а; Ь], В1) в ди-ференщальнш система 1 довшьних а € В2 у крайовш умов1 (2.4). Зг1дно теореми 1 це означае, що критерш розв'язност1 (2.5) крайово!' задача (2.3),(2.4) не виконуеться.

Виникае питання, чи можна за допомогою лшшних збурень зробити задачу (2.1),(2.2) розв'язною, 1 якщо можна, то якими повинш бути доданки А1(Ь) в диференщальнш система (2.1) 1 функщонал £1х(-) у крайовш умов1 (2.2), щоб крайова задача (2.1),(2.2) була скр1зь розв'язною. Вщповщь на це питання дае оператор Во

Во = VN (q*)

hü(-)Vn(Q) - l\ K(,T)Ai(T)U(T)Pn(Q)dT

: Bi ^ B2, (3.1)

побудований з урахуванням збурюючих доданюв а1(ь) 1 £1. Використовуючи метод В1шика-Люстерника [5], знайдемо ефективн1 коефщ1ент1 умови виникнення розв'язку крайово'! задача (2.1),(2.2). Розв'язок будемо шукати у вигляд1 частини ряду Лорана за степенями малого параметру е 1 який мютить один доданок з вщ'емним степенем е:

x(t,e)=Y, eixi(t). (3.2)

i=-i

Шдставимо ряд (3.2) в крайову задачу (2.1),(2.2) i прир1вняемо коефщенти при од-накових степенях е. При е-1 приходимо до однородно!' крайово'1 задачi

X-i(t) = A(t)x-i(t), (3.3)

Ix-i(-) = 0. (3.4)

Згiдно теореми 1 задача (3.3),(3.4) мае розв'язок

x-i(t,c-i) = U (t)PN (Q)C-i, (3.5)

для довшьного елемента c-i € B1, який буде визначено нижче.

Прирiвнюючи коефiцiенти при е0, маемо крайову задачу для визначення коефщента xo (t):

xо(t) = A(t)xo(t) + Ai(t)x-i(t, c-i) + f (t), (3.6)

£x0(-) = а + £ix-i(-,c-i). (3.7)

Критерш розв'язност (2.5) лшшно!' неоднородно!' крайово! задачi (3.6), (3.7) зпдно теореми 1 мае вигляд:

V

N (Q*)

а

Г b

+ liü(-)Vn(Q)c-i - £ K(■,T) (Ai(T)U(t)Pn(Q)C-i + f (t)) dT

Ja

0,

звщки отримуемо рiвняння вщносно елемента c-i банахового простору Bi:

B0c-i = -PN (Q*)

а - ef K(,t)f (t)dT

a

ь

де оператор Во мае вигляд (3.1).

Припустимо, що оператор Во : Вх ^ В2 е узагальнено-оборотним [2, с.39]. Будемо позначати через В- : В2 ^ Вх [12] узагальнено-обернений оператор до оператора Во. Тод1, як показано в [8], в1н е нормально розв'язним 1 юнують обмежеш проектори Р^(в0) : Вх ^ N (Во) та Ру : В2 ^ У, як1 шдукують розбиття Вх 1 В2 в прям1 тополопчш суми замкнутих шдпростор1в Вх = N (Во) Ф X, В2 = У Ф К(Во). Внасл1док нормально!' розв'язност1 оператора Во р1вняння (3.8) е розв'язним [10] тод1 1 тшьки тод1, коли його права частина задовольняе умову

PN (B**)PN (q* )

а - ef K(■,т)f (т)dr Ja

Остання умова виконуеться, якщо буде виконана умова:

pn (b*)pn (q*) = 0, (3.9)

а операторне р1вняння (3.8) при цьому буде мати хоча б один розв'язок у вигляд1

с_ 1 = -Б-Р,

0 PN(Q*)

а -1 K(■,т)f (т)dT

(3.10)

Шдставляючи c-1 у (3.5), отримаемо розв'язок крайово'! задач1 (3.3), (3.4):

x-i(t) = -U(t)pN(Q)Бо pN(Q*)

а - l K(■,т)f (тd

а крайова задача (3.6),(3.7) мае родину розв'язюв

хо(г, Со) = и(г)Рм(О)Со + хо(1), (3.11)

де частинний розв'язок хо(Ь) неоднородно'! крайово! задача (3.6),(3.7) мае вигляд:

хо(г) = и (г)Я~(а + £гх-г(;-)) + (С[А^)х-1 (•, —) + / (•)])($,

де оператор (С[-])(£) — узагальнений оператор Гр1на задача (2.3),(2.4), визначений у теорема 1, а Со £ Вх - дов1льний елемент простору Вх, що буде визначений на наступному кроц1 1терац1йного процесу.

При е1 для визначення коеф1ц1ента х\(1) приходимо до крайово! задача

х 1(г) = А(г)х1(г) + А1(г)хо(г, со), (3.12)

£х10)= 11хо(;со). (3.13)

Критерш розв'язност1 крайово! задача (3.12),(3.13) мае вигляд:

Рмо)[11и(р(о)Со + £!хо(^) - I I К(•,т)А1(т)(и(т)РМШ)со + хо(тШт = 0.

■) а

Звщки отримаемо наступне р1вняння вщносно елемента Со банахового простору Bi:

fb

Б0С0 = PN (Q*)

hxot) - l f K(;т)Л1(т)Хо(т^т

a

0

b

b

При т!й же умов! (3.9) операторне р!вняння (3.14) мае хоча б один розв'язок у вигляд!

со = -В0 VN(q*)

lixot) - е[ K(;T)Ai(t)Хо(т)dT Ja

(3.15)

Поставивши (3.15) у (3.11), отримаемо розв'язок крайово! задачi (3.6), (3.7). Задача (3.12),(3.13) мае розв'язок

xi(t, ci) = U(t)PN(Q)ci + xi(t), (3.16)

де частинний розв'язок xi(t) неоднородно!' крайово!' задачi (3.12),(3.13) мае вигляд:

xi(t) = U (t)Q-lixo (■,co) + (G[Ai (■)xo(,co)])(t),

для довшьного елемента ci € Bi, що буде визначений на наступному крощ ™рацшного процесу.

При е2 для визначення коефщента x2(t) приходимо до крайово! задачi

x2(t) = A(t)x2(t) + Ai(t)xi(t, ci), (3.17)

£x2(-)= £ixi(-,ci). (3.18)

Критерш розв'язност крайово! задачi (3.17), (3.18) мае вигляд:

Pn (q*)[IiU (-)Vn (Q)ci + £ixi (■) - et K (-,T )Ai(T )(U (T )Pn (Q)ci + Xi(T ))]dT = 0,

a

Звщки отримаемо наступне рiвняння вщносно елемента co банахового простору Bi:

rb

Boci = -PN (Q*)

lixit) - el K (,T )Ai(t )xi(T )dT

a

(3.19)

При тш же умов! (3.9) операторне р!вняння (3.19) мае хоча б один розв'язок у вигляд!

ci = -Bo pN(Q*)

lixit) - if K (•, T)Ai(T)xi(T)dT

a

(3.20)

Поставивши (3.20) у (3.16), отримаемо розв'язок крайово! задач! (3.12), (3.13). Задача (3.17),(3.18) мае розв'язок

X2(t, С2) = U(Î)Vn(Q)C2 + X2(t), (3.21)

де частинний розв'язок x2(t) неоднородно! крайово! задач! (3.17),(3.18) мае вигляд:

X2(t) = U (t)Q-liXi{;Ci) + (G[Ait)Xi (•,Ci)])(t)

для довольного елемента C2 € Bi, що буде визначений на наступному кроц! !терац!йного процесу.

Д!ючи за !ндукц!ею, для визначення коеф!ц!ента Xi(t) при ег ряду (3.2), приходимо до крайово! задач!

Xi(t) = A(t)xi(t) + Ai(t)xi-i(t, Ci-i), (3.22)

£xi(0= c—i). (3.23)

При тш же умов! (3.9), крайова задача (3.22),(3.23) мае розв'язок:

Xi(t,Ci) = U (t)VN {Q)Ci + Xi(t), (3.24)

де частинний розв'язок Xi(t) неоднородно!' крайово'! задач! (3.22),(3.23) мае вигляд:

Xi(t) = U(t)Q-£1Xi-1(; C-i) + (G[A1(^)Xi-1(; C-i)])(t).

Дов!льний елемент Ci € Bi знаходиться за формулою:

ci = - B-V

0 PN(Q*)

£\Xi(-) - if K (-,r )Ai(t )xi(T )dT Ja

(3.25)

(G[Ai()xi-i(,Ci-i)])(t) — узагальнений оператор Гр!на задач! (3.22), (3.23), який д!е на оператор-функц!ю Ai(•)xi-i(^Ci-i) € C([a; b], B1) наступним чином:

(G[A1(^)xi-1(^,Ci-1)])(t) := I K(t,r)Ai(r)xi-i(r,Ci-i)dr-

J a

- U(t)Q-l f K(•, T)Ai(T)x-i(t, Ci-i)dT.

a

Доведення абсолютно!' зб!жност! отриманих ряд!в при достатньо малому ф!ксованому параметру е € (0, е*] проводиться методом мажорування ряд!в [12].

Отже, критерш розв'язност! крайово! задач! (2.1),(2.2) в банаховому простор! може бути сформульований наступним чином.

Теорема 2. Нехай оператор Q = IU(•), що die з банахового простору B1 в банахо-вий простiр B2 e узагальнено-оборотним i породжуюча крайова задача, отримана i3 (2.1),(2.2) при е = 0, при довльних неоднорiдностях f (t) € C ([a; b], B1) та a € B2 немае розв'язтв. Тоdi якщо виконуються умови:

1) оператор B0 е узагальнено-оборотним;

2) PnBPNQ) = 0,

то слабко збурена крайова задача (2.1), (2.2) при довльних неоднорiдностях f(t) € C ([a; b], B1) та a € B2 мае хоча б один розв'язок у виглядi ряду:

+ ГХ

xi

i=-l

o(t,e) = £iXi(t),

абсолютно збiжного при довыьних фжсованих е € (0,е*], а оператор B0 мае вигляд

,-ь

B0 =

N (Q*)

liU(-)Vn(q) -1 i K(■, t)Ai(T)U(T)'Pn(Q)dT

a

i коеф^енти 'ряду визначаються таким чином:

Xi(t, Ci) JU(t)PN(Q)—_ ЯКЩ0 1 = -1l (3.26)

IU (t)PN (Q)Ci + xi(t), якщо 1 = 0, то.

ci =

-B0 PN(Q*) -B-PN (Q*)

а - £jba K(-,T)f (t)dT Ix (■) - l fab K (;T )Ai(T )xi(T )dT

якщо i = -1;

якщо i = 0, то.

xi(t) =

= \ U(t)Q-(a + lix-i(■, c-i)) + (G[Ai(-)x-i(■, c-i) + f ())(t), якщо i = 0; l U (t)Q-lixi-i(-,ci-i) + (G[Ai(-)xi-i(-,ci-i)])(t),

(G[Ai(-)xi-i(-,ci-i)])(t) :=

якщо i = 1, то.

=

Sab K (t,T )(Ai(T )x-i(T, c-i)+ f (T ))dT -

-U(t)Q-l fb K(,T)(Ai(t)x-i(T,c-i) + f (t))dT, якщо i = 0; ¡a K(t,T)Ai(t)xi-ifT,ci-i)dT-

-U (t)Q-l fb K (.,T )Ai(T )x-i(t, ci-i)dT,

якщо i = 1, то.

(3.27)

(3.28)

(3.29)

Зауваження 1. Побудований ггерацшний процес (3.26)-(3.29) знаходження хоча б одного розв'язку слабкозбурено! крайово! задачi (2.1),(2.2) вiдрiзняеться вщ побудованого гте-рацшного процесу у статт [4], в якш встановлено умови бiфуркацil розв'язшв крайово! задачi i показано, що множина лшшно незалежних розв'язюв залежить вщ розмiрностi пiдпростору оператора Pn(q)Pn(b0).

4. 1люстративний приклад

Розглянемо збурену крайову задачу (2.1),(2.2) iз злiченновимiрною матрицею злiченновимiрним вектор-стовпчиком f (t):

\2t 2t A(t) = diag < , , 0,...

2t

i крайовою умовою виду

1 + t2' '1+ t2' '' " '1+ t2 f (t)= col {fi(t),f2(t),...,fn(t),...} ,

lx(-) := Mx(0) - Nx(1) = а,

■ 4

де

M=

5 0

0 0

(

N=

2 0

0 0

2k

00 00

2k

0

3

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

...

\

A(t) i

(4.1)

(4.2)

(4.3)

li = 0; а = col{а1 ,а2,..., а2к} € R2k; а,1 = const, i = 1, 2k

Розв'язок дано! задачi будемо шукати у виглядi неперервно диференцшовано! вектор-функцп x(t) = col{xi(t), x2(t),..., xn(t),...} € Ci ([0; 1], M) зi значеннями у просторi M. Еволюцшний оператор задачi мае вигляд

U (t) = diag{1 + t2,1,1+12,1, Обернений до U (t) оператор

1 1

1 + t2,1,...}.

U-i(t) = diag ■

1+12'1 1 + t2'

1,

(

Q = M - NU(1, 0) =

2k

1 0

0

V 0 l

2k

1

1 + t2

1,

1 0 .. 0 \ 0

0 0 .. .0 0

Q-= 0 0 .. .1 0

0 0 .. .0 0

0 0 .. .0 0

^. . .. . /

Проектори вщповщно дорiвнюють:

Pn (Q) = I - Q-Q = diag \ 0,1,0,1,.. , 0, 1, 1, 1, ... ,

2k

0 0

0 0

M M,

PN(Q*) = 1 - QQ =

00

0 0

2k

00 00

Породжуюча задача розв'язна тодi i тшьки тодi, коли:

а2 = -3 fj ¡2(t)dT, а4 = -3 f0i U(t)dT,

а2к = -3 /q f2k (t)dT.

0 1

R2k —>• R2k.

Припустимо, що породжуюча задача нерозв'язна, тобто умова (4.4) не виконуеться. Тепер розглянемо, яким чином потр1бно збурити породжуючу задачу, щоб збурена крайова задача (2.1),(2.2) 1з зл1ченновим1рною матрицею А(Ь) вигляду (4.1), зл1ченновим1р-ним вектором f (Ь) вигляду (4.2) 1 крайовою умовою виду (4.3) була завжди розв'язною (навиъ для тих f (Ь) € С ([а; Ь], М), а € М.2к, як1 не задовольняють умову розв'язност1 (4.4) .

Для розв'язання ще'! проблеми виберемо оператор А-(Ь), наприклад, у вигляд1 д1а-гонально'! зл1ченновим1рно'1 матриц А-(Ь) = , , ■ ■ ■, , ■ ■ ■} та знайдемо

оператор Во, що в данному випадку е зл1ченновим1рною (2к х то)-матрицею:

Во = VN (q*)

t\ K(■, T)AI(T)U(T)Pn(Q)dT

PN (Q*) l

0 0

V 0

-N i U(1)U~1(T)A1(T)U(T)PN(Q)dT о

2k

3n 4

0

00

00

0 - f

0 0 0

/

Оператор В0 мае узагальнено-обернений оператор (представляе собою зл1ченнови-м1рну (то х 2к)-матрицю) у вигляд1:

/

Во- =

0 0

0 0 0

V .

_4_ 3п

0 0 0

2k

0 0

\

0 0

0 - 3П

. /

Проектори вщповщно дор1внюють:

V

N (в0) = I - В-Во = diag I ^МЛ^ДД 1,1,..., 1,

2k

PN(B*) = 1 - В0В0

1 0

00 00

2k

0 0

0 0

ь

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Умова Pn(b*)Pn(q*) = 0 теореми 2 завжди виконана:

(

2k

PN (B*)PN (Q*)

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

Зпдно теореми 2 крайова задача (2.1),(2.2) !з зл1ченновим1рною матрицею А(Ь) вигля-ду (4.1), зл1ченновим1рною вектор-функщею f (Ь) вигляду (4.2) 1 крайовою умовою (4.3) при довшьних неоднорщностях f (Ь) € С ([а; Ь], М), а € М2к мае хоча б один розв'язок. Згщно класифжацп С.Г. Крейна [8] така задача називаеться ё-нормальною.

Отриманий результат застосовуеться для дослщження юнування розв'язюв найпро-ст1ших зл1ченних систем звичайних диференщальних р1внянь. Лшшне збурення вдаеться шд1брати таким чином, щоб збурена крайова задача мала розв'язок 1 у тому випадку, коли породжуюча крайова задача немае розв'язку. Кр1м того, збурення можна п1д1бра-ти у вигляд1 постшно! зл1ченно1 матрищ. На приклад! спостер1гаемо появу розв'язюв з точки е = 0.

Перелж цитованих джерел

1. Бойчук А. А. Конструктивные методы анализа краевых задач. — К: Наукова думка, 1990. — 96 с.

2. Бойчук А. А., Журавлёв В. Ф., Самойленко А. М. Обобщённо-обратные операторы и нётеро-вы краевые задачи. — К: Институт математики НАНУ, 1995. — 320 с.

3. Бойчук О. А., Панасенко 6. В. Крайов1 задач1 для диференщальних р1внянь в банаховому простор! // Нелшшш коливання. — 2009. — Т. 12, №1. — С. 16-19.

4. Бойчук О. А., Панасенко 6. В. Слабкозбуреш крайов1 задач! для диференщальних р1внянь у банаховому простор! // Нелшшш коливання. — 2010. — Т. 13, №3. — С. 291-304.

5. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущениях в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук. — 1960. — Т. 15, №3. — С. 3-80.

6. Гохберг И. Ц, Крупник Н. Я. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных операторов. — Кишинев: Штиинца, 1973. — 426 с.

7. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. — М: Наука, 1970. — 536 с.

8. Крейн С. Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. — М: Наука, 1971. — 104 с.

9. Самойленко А.М., Теплинский Ю.В. Счётные системы дифференциальных уравнений. — К: Институт математики НАНУ, 1993. — 308 с.

10. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М: Наука, 1980. — 496 с.

11. Boichuk A. A., Pokutnyi A. А. Bounded solution of linear perturbed differential equations in a Banach space // Tatra Mountains Mathematical Publications. — 2007. — Vol. 38. — P. 29-40.

12. Boichuk А.А., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and fredholm boundary-value problems. — Utrecht-Boston: VSP, 2004. — 317 p.

Получена 01.06.2013