АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧI ОПТИМАЛЬНОГО КЕРУВАННЯ ДЛЯ ЛIНIЙНОї СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОї СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.977.1

Асимптотичне розв'язання задали оптимального керування для лшшно!' сингулярно збурено!" системи диференщальних р1внянь

О. В. Тарасенко*, В. П. Яковець**

*Шжинський державний ушверситет iM. М. Гоголя, Ншин 16600. E-mail: [email protected]

** Державний вищии навчальнии заклад "Ушверситет менеджменту освюи Кшв. E-mail: [email protected]

Анотащя. Розглядаеться задача оптимального керування процееом, який описуеться лшшною системою диференщальних р1внянь з малим параметром при похщних, у випадку кратного ко-реня вщповщного характеристичного р1вняння. Застосувавши принцип максимуму Понтрягша та методи асимптотичного штегрування .liiiiiiiinx сингулярно збурених систем диференщальних р1внянь, побудовано асимптотичний розв'язок дано! задачь

Клгочов! слова: оптимальне керування, асимптотичш розвинення, гранична в'язка матриць.

1. Постановка задач1

Розглянемо оптимальний процес

£h = A(t,e)x + C (t,e)u, (1)

T

J =—г (D(t,£)u,u) dt ^ min, (2)

2£h j u

0

який переводить систему i3 стану

x(0, £) = Xi(£) (3)

в стаи

x(T,£)= X2(£) (4)

за фжсований пром1жок часу Т, де A(t,e) — дшсна квадратна матриця n-го порядку, C(t,e), D(t,e) — (n х m) та (m х т)-матрищ вщповщно, x(t,e) — п-вим1рний вектор стану, u(t, £) — т-вим1рний вектор керування, £ Е (0, £0] — малий параметр: £о < 1 h Е N, t Е [0;Т].

© О. В. ТАРАСЕНКО, В. П. ЯКОВЕЦЬ

Псщбна задача, яка описуеться системою диференщальиих р1внянь з повшьно î ,х i î » » » » i » ,х 11 » коефщентами, розглядалась в [7], [8], де передбачалось, ТЦО ВС1 BJIclCHl значения головно!' матрищ A(t, 0) уявш. У бшьш загальнш постановщ задача (1), (2) вивчалась у робот1 [6] за умови, що Bci власш значения матрищ A(t, 0) npocTi.

У данш робота вивчаеться можлившть побудови асимптотичного розв'язку n,ieï задач! у бшьш складному випадку, коли матриця A(t, 0) мае кратний спектр. При цьому використовуються результати асимптотичного анал1зу лшшних сингулярно збурених систем, проведеного в [9], [4].

Будемо припускати, що виконуються таю умови:

1°. Матрищ A(t,e), C(t,e), D(t,e) допускають на вщр1зку [0; T] piBHOMipHi асимптотичш розвпнення за степенями малого параметра e:

A(t,e) - ^ekAk(t), C(t,e) - ^ekCk(t), D(t,e) - ^ekDk(t). (5) k>0 k> 0 k> 0

2°- Afc (t), Ck (t), Dk (t) e C0T], k = 0,1, 2,....

3°. Вектори початкового i кшцевого сташв зображаються у вигляд1 розвииень

те те

хг(е)^ £k x£\ x2(e) = Y, zk x?. (6)

k=0 k=0

4°. Головна матриця А0(г) системы (1) мае кратне власне значения А0(г), крат-носта и, якому вщповщае елементарний дшьник тако'1 само!' кратность 5°.

ЯвАо(г) < о, Уг е [0;т].

6^. Матриця 0(г,е) додатно визначена, причому

йеШо(г) = 0, Уг е [0; т].

7°. Область допустимих значень для керування и(г, е) зб1гаеться з ушм задании га-вим1рним простором.

За впконання цпх умов будемо дослщжувати питания про побудову асимптотики оптимального керування и(г,е), за допомогою якого дана система може бути переведена ¿з стану Х\(е) у стан х2(е), та вектор-функщ!' х(г,е), яка задае вщповщну траекторто.

2. Побудова формального розв'язку

Застосувавши принцип максимуму Л.С. Понтрягша [3], приходимо до крайово!' задач1

ен — = А(г, е)х + С (г, е)и,

аг

е" ар =

0 = C*(t,£)p - D(t, £)u, x(0,£)= X1(£), x(T,£) = x2(£).

Позначивши

y(t,£) = Col(x(t, £) , p(t, £), u(t, £)) , цю задачу подамо у вигляд1

£hBt =

My(0,£) + N»(T, £) = x(£),

B(t)

M =

E 0

0 E

0 0

E 00

0 00

A(t, £) 0 C(t, £) A(t,£)= | 0 -A*(t,£) 0

0 C*(t,£) -D(t,£)

(7)

(8)

(9) (10)

N

0 0 0 E 0 0

x(t,£) =

xi(£)

x2(£)

Е — одинична матриця п-го порядку, а нулями позначено нульов1 блоки вщповщ-них розм1р1в. При цьому

Ä(t,£) £кАк(t),

к> 0

B(t)

E00 0 E 0 0 0 0

Ak (t) 0 Ck (t) Ak (t) = | 0 -Ak (t) 0

0 C*k(t) -Dk(t)

k = 0,1,

Таким чином, задача оптимального керування (1)-(4) звелась до вироджено!' крайово!' задач1 (9), (10). Оскшьки

ёе! (^А(г,е) — ХВ(Ь)^ = (—1)п+тйе1(А(г,е) — ХЕ^ (А*(г,е) + ХЕ)йеШ(г,е),

а с1еШо(£) = 0, УЬ € [0; Т] при досить малих е > 0, то ¿вдАе1(А(1,е) — ХВ) = 2п = тапкВ. Отже, вироджена система (9) задовольняе критерш "ранг-степшь"[1], а тому И загальний розв'язок являе собою лшшну комбшащю 2п лшшно незалежних розв'язюв, яю необх!дно знаити. Гранична в'язка матриць

Ао(Ь) — ХЕ 0 Со(Ь)

Ао(г) — хВ= | о —А*0(г) — ХЕ о

0 СО (Ь) —Бо(Ь)

регулярна i мае два кратш скшченш елементарш дшьники (A-Ao(t))n i (А + \0(t))n та m простих нескшченних. Згщно з Teopiero асимптотичного штегрування лшш-ннх внродженнх сингулярно збурених систем, розробленого в [4], у даному ви-падку скшченним елементарним дшьникам вщповщають аспмп го гимн! розв'язки вигляду

yi(t,e) = щ(г,е)ехр | £-h J(Ao(t) + Ai(r,£))dr |, i = l,n; (11)

T

y3(t,e) = vj(t,£)exp ( -£-h i [~\o(r) + \3(r,e)j dr j , j = Щ (12)

(де ui(t,£), Vj(t,£), i,j = l,n, — 2п-вим1рш вектор-функщ!', Ai(t,£), \j(t,£), i,j = 1,n, — скалярш функщ!', яю зображаються у вигляд1 розвинень за дробовими

£

матриць Ak(t), k = l, 2,...), а розв'язки друго!' групи, що вщповщають нескшчен-ним елементарним дшьникам, вщсутнь Тому вектор-функцй' (11), (12) утворюють фундаментальну систему розв'язюв системи р1внянь (9).

Для побудови цих розв'язюв застосуемо теорно, викладену в [4]. Шдставивши (11) у (9), дктанемо

Ä(t, £)Ui(t, £) = (Аo(t) + Ai(t, £))BUi(t, £) + £hBu'i(t, £).

Поклавши

' „.(Q,., (3).

Ui(t,£) = col ^U(1)(t,£),U(2)(t,£),U(3)(t,£)j

де u(1) (t,£), u(2) (t, £) — п-вим1рш вектори, a u(f"l(t,£) — m-BHMipHi, i взявши до уваги структуру матрищ A(t,e), отримаемо систему трьох векторних р1внянь

A(t, £)u(1) (t, £) + C(t, £)u(3) (t, £) = (Ao(t) + Ai(t, £))u(1) (t, £) + £h \u(1) (t, £)) ;

-A*(t,£U\t,£) = (aAo(t) + A(2)(t,£)) U(2) + £h (u(2)(t,£))'; C*(t,£)ui(2)(t,£) - D(t,£)u(f)(t,£) = 0. Розглянемо кожне з цих р1внянь окремо. Запишемо друге з них у вигляд1

^Ä*(t,£) + (Ao(t) + A<f\t,£)) E + £hU<f\t,£) = 0.

Оскшьки Ä*(t,£) + (Xo(t) + Ai2)(t,£)) E + £hft = A*(t) + A0(t)E + O (£a), де а — деяке додатне число i det(Ag(t) + A0(t)E) = 0, Ш E [0; T], то звщси вииливае, що

(2) (3)

ui (t, £) = 0. Тод1 з умови 6° вииливае, що й u\ (t,£) = 0. Таким чином,

U(1) (t, £) _

Ui(t,£)= ( 0 j , i =l,n, (13)

а вектор и(1"1(Ъ,£) задовольняе р1вняння

лц,£)и{-)а,£) = (Хо(г) + хг (г,е))и(1)(г,е) + £Н ',

до якого [4] зводиться задача про побудову асимптотичних розв'язюв однородно!' системы

£Н ^ = ЛЦ,£)х. (14)

Як показано в [4], за виконання умови 4° система (14) мае розв'язок вигляду (11) (де заметь иг(Ъ, е) покладаемо и(1) (Ъ, £^) тод1 1 тшьки тод1, коли функщя Хг(Ъ, е) задовольняе р1вняння розгалуження

<х <х

К + £ ^os + £ £ esLks [А?] = 0, (15)

s=1 k=1 s=1

коефщентп якого виражаються формулами

Los = ¿(-1)'" ф), s = 1,2,..., (16)

j=i

[ Ь ] Э-^Н

^ ХЯ ^Т.-1)°г1 ХЯ (Р—Ц (Н;НГ)^Ф), к, в = 1,2,..., (17)

¿1=0 3=0

де р(Ъ) — власний вектор матрищ А0(Ъ), що вщповщае И власному значенню Х0(Ъ), ф(Ъ) - нуль матрищ (А0(Ъ) — Х0(Ъ)Е)*, Н(Ъ) — нашвобернена матриця до матрищ (А0(Ъ) — Х0(Ъ)Е). Символом РЗ-(НГ) позначена сума вс1х можливих "добутюв"^ операторних "множниюв"НГк1 ,...,НГк. з натуральными шдексамп, сума яких

к\ + ... + к = в, Гк — оператори вигляду

&

Гк = Ак (Ъ) — 5к,н—, к = 1, 2,..., аъ

6к,Н — символ Кронекера. При цьому в ушх доданках перший множник Н "вщби-раеться":

РЭ(НГ)= Гк1 НГк2 ...НГк.. (18)

к1+...к^=з

Вираз Р£з (Н; НГ) являе собою суму вс1х можливих "добутюв" к множнпюв Н 1 ] множнпюв НГ^, НГк2,..., НГк:), сума шдекав яких дор1внюе в; при цьому, як

Н

Нарепт, О3[Хк] — це сума "всеможливих"добутюв к множнпюв ХД ] "множ-ниюв"О = прпчому останшм множнпком у вс1х доданках цього виразу е Х, а оператор дпференщювання О д1е на весь вираз, розмицений праворуч вщ нього, наприклад, О2 [Х2] = О2Х2 + ОХгОХг + ХгО2Хг = (2Хг+ (\гХгУ + ХХ = 3 (Хг)2 +

4ХХ-

Вщповщний вектор u(1) (t,e) зображаеться розвиненням

h— 1 те тете

u(1) (t,e) = у + J] AkHkу + J] £sHi0*у + ^ E £SH¿ks №] У, (19)

k=1 s=1 k=1 s=0

s

Lo* = Y.-1)3 Р1(НГ), s = 1, 2,..., =1

[ h] s—hii

Lks |Ak] = E E (-1)jDi1 [Ak] P—iljH,HГ), k,s = 1,2....

il=0 j=0

Зидно 3 Teopiero, розробленою в [4], формулы (16), (17), за якими визначаються коефщенти р1вняння розгалуження (15), мктять певну шформащю про структуру асимптотичних розвинень для шуканих функцш Ai(t, е) i вщповщних вектор-функ-цш uf\t,e) в залежноста вщ поведши збурювальних матриць Ak(t), k = 1, 2,....

Для спрощення викладок розглянемо найпростшшй випадок, коли вщмшний вщ нуля головний коефщент L01 р1вняння розгалуження, тобто виконуеться умова

(Т1У,Ф) = (A1(t)v(t)Mt)) - (y'(t),m) = 0, Vt е [0; T]. (20)

Тод1 вщповщна .йаграма Ньютона, побудована на координатнш площпш Oks за коефщентамп р1вняння (15), являе собою вщр1зок, що з'еднуе точки (0; 1) i (n; 0).

Оскшьки тангенс кута нахилу ipe'i .йаграмп до вщ'емного напряму oci абсцпс дор1внюе 1, то зидно з методом д1аграм [2] функцп' Ai(t,e) i вщповщш вектори uf\t,e) можна знайтп у впгляд1 розвинень за степенями еn:

те

K(t,e) = Y, S AÍ\t), (21)

k=1

те

u((1)(t,e) = Y, Vku%(t), » = еn. (22)

k=0

При цьому перший коефщент A1\t) розвинення (21) знаходиться Í3 визнача-льного ршняння

L01 + (A(1i)(t^ " = 0, (23)

звщки

Aj (t) = V\(Г1У,Ф)\ {cos wPMOn+W-1 + г sin ,

j = 1,n.

Для знаходження наступних коефщентав розвинення (21) пщставимо ряд (21) у ршняння (15). Перегрупувавши доданки, шсля нескладних перетворень, пов'я-заних г; шшою ждскпв. маемо

оо [ n ] k—sn

Е^pk(Ai) + E /Lo,k + E E E ^Ljs iPk-nS(Ai)} = 0, (25)

k=n k=n k=n+1 s=1 j=1

де L0 k = 0, якщо k те дшиться на n,

' n

РвА)= Е а5:),а5;),...,а5;),

Л + ...+3к =8

а оператор д1е на кожний доданок виразу Рк—пв(Аг) за тим же правилом, що й на А(3).

Прир1внявши в (25) коефщенти при однакових степенях дктанемо несюн-ченну систему р1внянь

[ к—ей

Рк(Аг) + ¿0,п + Е Е 3 [Рк—ПЗ(Аг)} =0, к = -и,и + 1,.... (26)

8=1 3=1

к=и

(23), з якого визначаеться А1\г). 3 наступних р1внянь можна послщовно знайтп будь-яю Ак\г), к = 1, 2,.... Дшсно, якщо А8\г) вщом1 прп 5 < к, то, поклавшп в и+ к к

[ 1 п+к—вп

Рк+к(Аг) + ¿о,+ Е Е 3 [РП+к—Пв(Аг)}=0. (27)

8=1 3=1

Взявши до уваги, що

,л\п— 1 /л

и . А(гМ Аг)

P':+k(Ai) = n(A(ii^" Ak+1 + Pm+k(Ai),

де pn+k A) — та частина виразу Pn+k(Ai), яка те MicTить A^, а два mini доданки в (27) мктять лише Ti Aj\t), шдекси якпх не иеревищують k, дктанемо

___ г п + к — 1 ]

Ак+1(г) = — п(\(^(ь))п—1 , (28)

к = 1, 2,....

Шдставивши ряд (21) у (19) 1 згрупувавши доданки з однаковими степенями отримаемо таю формулы для коефщшнтав розвинення (22):

и0г) ( г) = ф), (29)

k [ n ]k-sn э k (

bki (°) = P j (/Ъ)н У i HL0, k У i / . / . Ljs j

j=0 s=1 j=1

ui:](t) = Y;Pjk(^)h3у+hlo,nv+E J2~Ljs [ptns(xiЯ У' k = i'2>--- - (3°)

Цим самим побудовано cepiro Í3 n лшшно незалежних розв'язюв системы (9) вигляду (11), де вектори мД^е) мають вигляд (13), а вщповщш функцп' \i(t'£) i вектор-функгщ u(1) (t, е) зображаються розвиненнями (21), (22), коефщенти яких визиачаються за рекуреитиими формулами (24), (28), (29), (30). ГТ i дс тав и вш и в систему (9) вектор-функщю (12), маемо

Ä(t'£)Vj (t'£) = (Xo(t) + Mt'£)) Bvj (t'£)+ £hBvj (t'£).

Позначивши

Vj (t'£) = col (v(1)(t'£)'V<f)(t'£)'V{33\t'£)^j , (31)

приходимо до системи трьох ршнянь

Ä(t' £)v{1 (t' £) + C(t' £)vf (t' £) = (-Xo(t) + \i(t' £)} j (t, £) + +£h (v(1)(t'£))';

-Ä*(t' £)vf (t' £) = —o(t) + X(t, £)) v( 2) (t'£)+ £h (vj 2) (t,£))' ;

(32)

C*(t,£)vf\t,£) - D(t'£)vf\t'£) = 0.

Розглянемо сиочатку друге р1вняння ipe'i системи. Це ршняння не пов язане з двома шшими i мктить лише вектор v(2) (t' £) i функщю \j(t' £). Оскшьки — X0(t) — власне значения матрищ — A0 (t) кратшстю n i йому вщповщае елементарний дшьник тако1 ж кратноста, то зидно з [4] до цього р1вняння зводиться задача про побудову асимптотичних розв'язюв вигляду

Xj(t'£) = vj2\t'£)exp |£-h / {—Хо(т) + \(Г'£)^ dT

T

системи, спряжено!' з (14)

£h ^ = —Ä*(t,£)x. (33)

Оскшьки (33) утворюеться з (14) замшою матрищ A(t'é) на —A*(t'é), то функция \(t'£) задовольняе р1вняння розгалуження, аналоичне (15):

оо оо оо

(—l)n-1\n + J2 £sMos + £sMks ~Xk = 0' (34)

j

s=1 k=1 s=1

коефщенти якого отримаемо, замшивши в формулах (16), (17) матрицю Ä(t'£) на —Ä*(t'£), H(t) — нa —H*(t), у — на аГ^нa —r*k, де

d

rk = Äk + ök,hE-' к =1' 2'....

Виконавши ui . uY. маемо

Mos = -ES=1(-i)j PS(H*г*)ф,^) = -ES=1 (-I)j (ps(HT= -Los,

s = l, 2,

M

ks

Xk

Ei=0 E s—=h (-l)j1+k+1Di \k (P—hi (H*,HT*№,<p)

k, s = l, 2,....

Вираз аналопчний до (19), отримаемо i для вщповщного вектора vj\t,£):

vf\t) = ф - еr=1 £sH*Мо3ф - ЕГ=1 ЕГ=0 £hН*Mks \Ц1Ф, (35)

Mos = -

£(-l)j ps(H *Г*);

s = l, 2,

j=1

Mks [Ц ] = - Ei=0 Es—^(-l)j1 Di

k = l, 2,..., s = 0, l,.... Оскшьки згщно з умовою (20)

Xjk

(P—ji (H *,H *Г*))

M01 = -L01 = - (Г^,ф) =0, Ш E [0; T],

(36)

то р1внянню розгалуження (34) вщповщае така сама .üai рама Ньютона, що й р1внянню (15). Тому, як i для системи (14), функгщ Xj (t,£) i вщиовщш вектори

(2)^ \ - ■ 1 vj (t, £) можна знаити у вигляд! розвинень за степенями ß = £ n\

те

~Xj (t,£) = Y, ßk jt); k=1

те

vf\t,£) = J2 ßk vj (t).

k=0

При цьому визначальне р1вняння матиме вигляд

(-l)n—1 (xj)n - L01 = 0

(37)

(38)

звщки випливае, що

X1j)(t) = -Х?> (t), j = l,n.

(j)

(39)

Шдставивши ряд (37) у р1вняння розгалуження (34) i прир1внявши вирази при одиакових степенях ß, дктанемо нескшченну систему р1внянь

[ n ]k—sn

(-l)n-1Pk(Xj) + M0,n + £ Y.M;

j1s

s=1 ji = 1

Ptsn (Xj

0, k = n,n + l,

з яко! реку рентным чином визначаються Bei насту пш коефщеити цього ряду:

X(j) (t) =__1

Ak+1 (L+ - ( —1)n-lnAn-1

I n+n 1 ] V"^n+k—sn if + s=1 ¿j = 1 Mjis

(-l)n—1Pn+k(Xi) +

pn+k—sn ^ x

k = l, 2,....

Пор1внюючи формулы (40) i (28), неважко переконатися, що

Xk)(t) = -xÜ)(t), k = 2, 3,....

(41)

Шдставивши ряд (37) у (35) i згрупувавши доданки з однаковими степенями ß та врахувавши (41), отримаемо таю формулы для визначення векторних коефь щеитав розвинення (38):

(2)

v0f(t) = Ф(t);

(2)

«kj (t) = Yi=0Pk (j (H*)^(t) - H*M0,nФ - Es=11] E-JT-lfH** (43) x Mis [Pt—ns( Х)] Ф, k =l, 2,....

Розглянемо теиер трете р1вняння системы (32). Вектор vj\t,£) знайдемо з ньо-го у вигляд1 розвинення

j\t,£) = Y, ßkv%(t).

(44)

k=0

Поставивши в це р1вняння ряди (44), (5) i ирир1внявши в одержанш тотожиоста

ß

D0(t)vj (t) + £ Di(t)vk-m,j (t) = £ C:(t)v—j (t), k = 0, l,....

(3)

(2)

i=1

i=0

6°

v0j) (t) = D-ЩСМШ;

(45)

vk>(f) = D—\t) k = l, 2,....

ЕЙ0 cmv^nj (t) - E 21 Di(t)viimj (t)

(46)

Знайшовши вектори vj\t,£), vj\t, £), для визначення вектора v(1(t,£) вико-ристаемо перше р1вняння системи (32). Покладемо

(1)

(t,£) = J2 ßkvky(t)

k=0

k

k

j

Пщставивши цей ряд, а також (44), (5) у перше р1вняння системи (32) i npnpiß-иявши в одержанш тотожноста коефщенти при однакових степенях ß, дштанемо

{Ao(t) + ЫЩ vj(t) = - Е1=0 C^v—"(t) + £¡=1 W(t)-

-еёМФ—"(t)+(vkinhj(t))', k=0,i,....

Оскшьки X0(t) = — А0(t) завдякп yMOßi 5^, то det [A0(t) + X0(t)E) = 0 Vt E [0; T]. Тому, позначивши

R0(t) = Mt) + Mt)E

i взявши до уваги (41), (45) для визначення коефщентав розвинення (47) отри-маемо рекурентш формул и:

v01j>(t) = -R001 (t)C0(t)D0i (t)c0 rn(t)

vkü(t) = -R01 (t) E 1=0 Ci(t)vk-n,j(t) + E 1=1 W(t)vk-ij(t)-

-£ 1=1 Ai(t)vilm j (t)+ (yk-nhj (t))

vik ]

Л Ln J

(3)

yk X (jW, (1)

k = 1, 2,

(48)

(49)

Зокрема, v11>(t) = -R-1(t) C0(t)vj + X 1j)v0j , звщки, знайшовши з (46), (43)

v^jt = Dо 1C0*v(j), vj(t) = X1)H*ф i врахувавши (48), дктанемо v{1(t) = Xj [R-2CD-1^ - R-CD-CH*ф] . Аналопчно, використовуючи формули (49), (46), (43), маемо

v21(t) = -r-1 [C0v2j) + Xpvj + X2j)v(j);

v^t = D-1 C0v(j) v$(t) = X2j)H*ф + (Xjy (Н*)2ф,

звщки, враховуючи (50), (48), отримаемо

(50)

v21j>(t) = x2j) [Rö2C0D0"1C0^ - r-Cd-^^h*ф

+ (Xj

-R-3C0D-1C*^+

-1

+R-2CD-1 CqH*ф - R-1C0D-1C*(H*)2ф .

Продовжуючи так i дал1, методом математично! шдукгщ встановпмо, що

vk'1'_

k = 1,n — 1.

(t) = Ek=0 Pk (j ES+¡(-1)1R01CoD01C¿(Hг+°ф

(51)

Позначивши

J2(-l)1R01CoDо1C*(н*)Sо1ф = ф.

s = 0,1,

1=1

2

формулу (51) запишемо у вигляд1

k+1

v<8 (t) = £ pk-i j)) k = м-г. (53)

s=1

Перейдемо тепер до побудови розв'язку крайово!' задач1 (9), (10). Використову-ючи побудовану вище фундаментальну систему розв'язюв (11), (12) системи (9), розв'язок дано!' задач1 будемо шукати у вигляд1 'ix лшшно! комбшагщ

y(t, е) = ß1-n [E"=i Ui(t, £)о(г) (е) exp ^f (Х0(г) + Хг(т, е)) dYj + + E"=i V (t, е)с(,)(е) exp(s-h f (Х0(т) + Х,(т, е)) dYj

(54)

де о(г\е), c(j)(е), i,j = 1,n — скалярш множники, що зображаються формальными розвиненнями

оо

о(Не) = ^ ßkСи)(е) = ^1 ^(55) k=0 k=0

коефщенти яких визначимо i3 крайових умов (7).

Враховуючи структуру (8), (13), (31) вектор1в у^,е), щ^,е), Vj(t,е), шдставимо вираз (54) у крайов1 умови (7):

т

,1-n^Tn . u(1) (0 е)с('1)(е) + ,,1-n^Tn i,W(0 е)C(i)(е)expíе-Н

ß1-^n=1 u(1) (0, е)о(г) (е) + ß1-^n=1 v((1) (0, е)с(г) (е) exp(е-н f (Хо(т)+

v о v

+Х^(т,е)^ d^ = Х1(е);

ß1-n ЕП=1 u(1) (T, е)е(г)(е) exp (е-h f (Хо(т) + Хг(т, е)) dY) + +ß1-n ЕП=141)(Т,е)с(Це) = х2(е)° Зиехтувавши експонеищально мал ими додаиками, днтаномо

£ щ'(0, е)с(\е) = ^-1х(1\е), (56)

i=1

n

J^v^^^^^) = ßn-1 х(2'1 (е). (57)

i=1

Розглянемо кожнб з цих р!внянь окрвмо. Пщставивши в р!вняння (56) В1ДПО-вщш розвииеиия (22), (6), (55), прир1внявши вирази при одиакових степенях ß,

(i)

отримаемо нескшченну систему ршнянь вщносно шуканих констант ck :

nk

T^u^^ct, = xkk-1), k = 0,....

i=1 j=0

n

Поставивши формули (30), якими виражаються вектор-функгщ uj\t), i пере-групувавши доданки, цю систему запишемо у вигляд1

k k n

Е Е Е Pj (А(1)(0Й HS(0M0)ct3 = dk, k = 0,1,...,

s=0 j=s 1=1

dk = x^-1 ) - ЕП=1 Ek=o H(0)L0tn v^c® j-

--° ' n ^

n ' — 1

- еп=1 e?=o es=\] ег=г l rs [jks( m)} mctj, k = n - 1,n,... (при k < n - 1 dk = 0).

Звщси, враховуючи лшшну незалежшсть вектор1в Hs = 0,n - 1, дштанемо

kn

А(1)(0)) с- = 0, k = 0,n - 2, s = 0,k, (58)

c(1) ck-j

j=s 1=1 n-1n

EXP( А(1)(0^ С- j = d(ks\ k = n - 1, n..., s = 0,n - 1, (59)

j=s 1=1

де dks) — коефщенти розкладу вектора dk за базис ом H s(0)y(0), s = 0,n - 1:

n-1

dk = £ d^H s(0)v(0).

k = n- 1

(1)

s = n - 1 c0

Ec01) = 0;

1=1

n

EAf)(0)c01) = 0;

1=1

n 2

£( а!'(°)) n-2 c01) = 0, i=1

n 1

E( AfiO)) <0 = d

i=1

яку, позначивши

c0 = col ^c01), c02),..., c0n^ , a0 = col ^0, 0,..., 0, dn-i^ ,

W (t)

1 1 ... 1

X?\t) X?\t) ... \<n\t)

(^\t)) (X?\t))~ ... (^(t))-

запишемо у векторно-матричнш форм1

W (0)co = ao.

Оскшьки зидно з (20) визначник матрищ Вандермонда detW(t) = 0, Vt Е [0; T],

co

co = W-1(0)ao.

Об'еднавши иередостанш р1вняння з (58) (при к = l,n — 2, s = к — l)i р1вняння

(59) при к = n — l, s = n — 2 та при к = n, s = n — l), дктанемо аналопчне р1вняння

и (!) (п)\

для визначення вектора констант c\ = col(c\ ,... ,c\ ):

W (0)ci = аъ

ai = co¡{0;—EhPhm)^;—Ehp3(m)<0\ ..; — Eh P¡n-2)(xi(0))c0); dt-2) — En=i PtY^mc^; dnn—i]),

зв1дки

ci = W-i(0)ai.

Продовжуючи так i дал1, визначимо bcí Н600Х1ДШ СТЭЛ1 c^ , к = 0, l,..., i = 1,n. Аналопчно, поставивши в р1вняння (57) вщиовщш розвинеиня (47), (55), (6)

i прир1внявши впразп при однакових степенях ß, дштанемо нескшченну систему

~(i).

ршнянь в1дносно сталих cк -

n к

Е Е j) (0)€ j = , к = 0, l,.... (60)

• 1 • п п

i=i 3=0

Врахувавши формулы (51), якими виражаються вектори j\t), i перегрупу-вавши додаики, при к < n цю систему подамо у вигляд1

к+i к n

Е Е Е 3i (x(i)(T)) Г(Т)<£3 = Skn-1x02), к = м—г.

s= i j=s— i i= i

Припустимо, що виконуеться умова: 8o. Вектори

^s(T) = J2(—l)iR^i(T )Co(T )D—i (T )C*(T )(H *(T ))s—i^(T), s = l,n, (61)

i=

Л1НШНО незалежнь

Тещ, розклавши вектор x02) за базис ом ф^Т), s =1,n

n

хо = У Y

ЕЛ(т ),

i=1

з р1внянь (60) маемо

kn

-Si)

>*(T)) j = 0' к = 0'П — 2' s = 0'к; (62)

k-j

j=s i=1

n- 1 n

EEP'ÍMT)) П-1-j = 7¡S?1' s = 0;n—l. (63)

j=s i=1

Взявши ос тан н i р1вняння з цих сукупностей, дштанемо

W (T )со = ßo'

де со = col (с01)'С02)'...' с0п)) ßo = col (0, 0,..., 7П°}), звщки

со = W-1(T )ßo. При к = n р1вняння (60) запишемо у вигляд1

n n- 1

ее^1 (t )сп- j=—Е vxv i)

i=1 j=0 i=1

Пщставивши в нього формули (53), дктанемо

nnn

Е Е (T)ctj = — Еv^T)^'

s=1 j=s-1 i=1 i=1

звщки

n- 1 n

~,(i) = Y (1) сп j

j=s i=1

Е Е Pj (^i(T)) П-j = Y$1, s = 0,n — l' (64)

де s = 0,n - 1, — коефкценти розкладу вектора - En=1 v'ni(T)Cq'), за базисом ips(T), s = 1,n.

Взявши тепер передостанш р1вняння з (62), (63) i останне р1вняння з (64), отримаемо

W-1(Т )С1 = ß1, ISSN 0203-3755 Динамические системы, том 1(29), №1 (2011)

де с 1 = col (c(11), , • • •, с 1n)^,

01 = col(0; - ЕГ=1 P2( А(,)(Т)С0г), - ЕГ=1 P3( \í)(T))$,..., - Eh РП-2(Ыт))&; Yn-i - Eh Pnn--2!(X(i)(T))á0i);7П1}),

звщки

с i = W-1(T )в1.

Продовжуючи так i дал1, знайдемо наступи! вектори Ck = col(cj\ ..., Cj^), k =

2, 3,.... Цим самим завершено побудову формального розв'язку крайово'1 задач! (9), (10).

3. Асимптотичний характер формального розв'язку

Покажемо тепер, що цей розв'язок мае асимптотичний характер при е ^ 0. По-будуемо m-наближення, перемноживши в (54) ряди, якими зображаються Ui(t,e),

c(i)(£) та vj(t,£), C(j)(£) i об1рвавши утвореш розвинення на ш-у члеш:

ym(t, £) = ß1-n ЕП=1 ЕГ=0 ßk EU j(t)ct j exp (£-h } (Xо(т) +

0

+ Em=1 ßkXf (T))dT) + ß1-n En=1 Em=0 ßk Ek=0 vi(t)cf- . exp{s-h f(Хо(т) +

+ Ek=1 ^ (T ))dT)'

де згщно з (13), (31) Uji(t) = col ^uj1 \ 0, 0j, Vji(t) = col (vj^vj2\ vji j-

За побудовою цей вектор задовольняе крайову задачу (9), (10) з ТОЧН1СТЮ до

0(^ш+2-п)_ тобто

A(t,e)ym(t,e) - ehBdymj^ = ¡j,m+2-na(t,e), (65)

x(e) - Муш(0,е) - Nym(T,e) = lim+2-nb(t,e), (66)

де a(t,e) — деякий (2n + т)-вим1рний вектор, píbhomípho обмежений на [0; T] при

досить малих е > 0, a b(t, е) — 2п-вим1рний вектор, також обмежений при досить

е

Точний розв'язок задач1 (9), (10) будемо шукати у вигляд1

y(t, е) = Уш(t, е) + zm(t,e), (67)

де z^t^) — нев'язка, яку треба ощнити за нормою.

Поставивши (67) у (9), (10) i врахувавши (65), (66), для вектора z^t^) отри-маемо таку крайову задачу:

е]1В^ШШ = A(t, е)ш + /im+2-na(t, е); dt

Mzm(0,e) + Nzm(T,e) = ßm+2—nb(e). Поклавши вущовущо до структури вектора ym(t,£)

zm(t,£) = col (zm)(t,e),zm)(t,e),zm)(t,e)) ,

a(t, £) = col (ai(t, £), a2(t, £),a3(t, £)) i визначивши

zm)(t,£) = D—i(t,£)C *(t,£)z(m)(t,£)+ ßm+2—nD—i(t,£)a3(t,£),

2n

Zm(t,£) = col {z{m)(t,£),z{m)(t,£)) :

h dzm

A(t,£)Zm + ßm+2—ng(t,£)

MiZm(0,£) + NiZm(T,£) = ßm+2—nd(£),

A(t£)=l A(t,£) C (t,£)D — i(t,£)C* (t,£) A(t,£)=\ 0 —A*(t,£)

Mi

E 0), Ni = ^ EE g(t,£)i d(£) — обмежеш вектори. Як показано в [9], фундаментальна матриця однородно!' системи

^ ж = A(t'£)z'

яка вщповщае (71), виражаеться асимптотичною формулою

Z(t, £) = Um(t, £) + O (ßm+2—n(h+i)) exp[ £—h 0 Лm(т, £)dr ) ;

T

Vm(t,£) + O (ßam+2—n(h+i)) exp( £—hJ Лm(r,£)dr

де Лm(t,£) = diag {\o(t) + Em=i xk\t)ßk;...; Xo(t) + Y,m=i W(t)ßk},

Um(t,£), Vm(t, £) утвореш 3 2п-вим1рних вектор-стовпщв:

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

а матрищ

«ML ßk (t), 0 , «* £ ßk (t) , £ ßk v™ (t) , i = l,n.

=o

=o

=o

Розбивши матрицю Z(t, £) на дв1! Z(t,£) = Zi(t,£) + Z2(t,£), де

Zi (t,£) =

Um(t,£) + O [ßm+2—n(h+i^) exp I £—h Лm(т,£)dт I ;0

t

Z2(t,e) =

т

0; (Vm(t,e) + O (^m+2-n(h+D)) exp | e-h [ A*m(r,£)dr

розв'язок задач1 (71), (72) шукаемо у вигляд1

г

гт(Ь,е) = X(Ь,е)е(е)+ Zl(t,e)Z-1(т,e)g(т,e)dт-

о

т

- ^+2^+1) у х2^,е)Х-1(т,е)д(т,е^т. (73)

г

ГТ1 дс т<з.в и вш и цей вираз у крайову умову (72) 1 врахувавши структуру матриць Иь N та взявши до уваги умову 5^, дктанемо таке р1вняння вщносно с(е):

т

(Рт(е) + О ([т+2-п(ь+1))) с(е) — ^т+2-п^+1) (И^ Х2(0,е)Х-1(т,е)д(т,е^т-

о

т

- N1! Х1 (Т,е)Х-1(т,е)д(т,е^ + [m+2-nd(e), (74) о

де Пт(е) = с11а§ е); Ут\т,е)^, а и^п^(0,е), Ут\т,е) — (п х п)-матрищ,

Ет к (1) (4-\ глт к (1) • _ ~л • •

к_о [ и>кх ^) Та / ук_о [ ^къ ^) 1 г — П, В1ДПОВ1ДНО.

Зидно з (29), (30), (53) при т > п - 1 Ц1 вектор-стовпщ являють собою лшшш комбшагщ вектор1в Иг-1(0)р(0), г — 1, ^^ та ф3(Т), э — 1 , Пу В1ДПОВ1ДНО. Оскшьки вектори Иг-1у лшшно незалежш як таю, що утворюють жордашв ланцюжок матрищ А0 (^, а вектори лшшно незалежш згщно з умовою 8^, то при т > п - 1 матрищ и(п"'(0,е), У^ (Т, е) неособлпв1 при досить малих е > 0. При цьому обернет до них матрищ матпмуть особлпвкть по [ а саме пол юс (п - 1)-го порядку в точщ [ — 0 [9]. Тому кнуе

(Пт(е) + О ([т+2-п(ь+1)))-1 = [1-пд(е) + о ([т+2-п(^+1)) ,

де Q(e) — обмежена за нормою матрпця, а р1вняння (74) однозначно розв'язне с(е)

с( е)

(72), який можна подати у вигляд1

т

гт(^е) — [т+3-п(ь+2) I Со^,т,е)д(т,е^г+

о

т+3-2п г7(, \ / / \ , [ т+1-пН\

+ /1т+3-2nZ(t,e)(Q(e) + O (ßm+1-nh)) d(e), (75)

де G0(t,r,e) — матриця Грша дано!' крайово! задач^ яка мае таку структуру:

G0(t,r,e) = <

Q(e) + 0(ßm+l-nh))) MxZ2(0,e)Z-l(r,e) —

-NiZi(T, e)Z-l(r,e)] + ßn-lZl(t,e)Z-l(r,e)

при 0 < r < t < T; (Q(e) + O (ßm+l-nh))) MlZ2(0,e)Z-l(r,e) —

Т, е^-1(т, - 11п-^2{1, е^-1(т, е) при 0 < Ь < т < Т.

Виходячи з умови 5°, неважко переконатися, що вс1 матричш функгщ, яю вхо-дять до складу С0(Ь, т, е), р1вном1рио обмежеш при досить малих е > 0 на вщпо-В1дних вщроках. Враховуючп також обмежешсть матрищ Z(Ь, е) 1 вектора ¿(е), з р1виоста (75) дштанемо, що ||гт(Ь,е)|| <с^т+3-п(к+2\ де с — деяка стала, що не залежпть вщ е. Звщси на пщстав1 (67), (68), (69), (70) та (8) отримаемо шукаш ощнки для вектора керування и(Ь, е) та вщповщно1 траектор11 х(Ь,е):

Цх(1,е) - хт(1)е)!<с1^т+3-п(н+2),

Ци(1,е) - ит(1,е)Ц<С2,

n m k

n ПО k n 110

xm(t,e) = ßl-nEE VkE uß(t)cii-j ew(e-h (\0(r) + £ ßk X« (r)) dr) + i=l k=0 j=0 i k=l

n m k

n m k m

+ ß^YYL ew(e-h (Ur) + Y. Xi (r)) dr) , (76)

i=l k=0 j=0 i k=l

Um(t,e) = ß

n m k но

l-nEE ßkE v»(t)€j ew(e-h (\o(r) + E ^ (r)) dr)• (77) i=l k=0 j=0 { k=l

T

t

4. Висновки

Взявши до уваги умову 6°, шдсумовуючи результати проведених дослщжень, приходимо до тако1 теореми.

Теорема. Якщо виконуються умови 1° — 8°, а також (20), то гснуе единий вектор керування u(t,e), який вирамсаеться асимптотичною формулою

u(t,e) = um(t,e) + 0(e^-(h+2)) ,

що переводить систему (1) гз стану х1(е) в стан х2(е), млтмлзуючи функцюнал

(2), де ит^,е) зображасться у виглядг розвинення (77). В'1дпов'1дна траекторгя,

за якою здтснюсться цей перех'1д, виражасться асимптотичною формулою

х(^е) — хт(^е) + 0(е-(^+2)) ,

де вектор хт^,е) зображасться розвиненням (76).

Аналопчно, використовуючи р1вняння розгалуження (15), (34) 1 метод .иаграм

Ньютона, розглядаються и СИльш складш внпадкн, коли умова (20) не виконуеться.

Перелж цитованих джерел

1. Бояринцев Ю. Е. Численные методы решения сингулярных систем / Ю.Е.Бояринцев, В.А.Данилов, А.А.Логинов, В.Ф.Чистяков. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1989. — 223 с.

2. Вайнберг М. М. Теория ветвления решений нелинейных уравнений / М. М. Вайнберг, В. А. Треногин. — М.: Наука, 1969. — 528 с.

3. Понтрягин Л. С. Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин, В.Г.Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е.Ф.Мищенко. — М.: Наука, 1983. — 392 с.

4. Самойленко А. М. Лшшш системи диференщальних р1внянь з виродженнями / А. М. Самойленко, М. I. Шкшь, В. П. Яковець. — К.: Вища школа, 2000. - 294 с.

5. Самойленко А. М. О приводимости вырожденной линейной системы к центральной канонической форме / А. М. Самойленко, В.П.Яковец // Докл. АН Украины. — 1993. - № 4. - С. 10 - 15.

6. ШкилъН.И. Асимптотические методы в дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнениях / Н.И.Шкиль, А. Н. Вороной, В.Н. Лейфура. — К.: Вища шк., 1985. — 248 с.

7. ШкильН. И. Об асимптотическом решении задачи оптимального управления для систем с медленноменяющимися коэффициентами / Н.И.Шкиль, В.Н.Лейфура // Докл. АН УССР. Сер. А - 1976. - №7. - С. 604 - 608.

8. ШкильН. И. К вопросу об асимптотическом решении задачи оптимального управления системами с медленноменяющимися коэффициентами в случае кратных корней / Н.И.Шкиль, В.Н. Лейфура // Межвед. респ. сб.: Вычисл. и прикл. математика. — К., 1977. - Вып. 31. - С. 81 - 92.

9. Шкиль Н. И. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Н.И.Шкиль, II. II. Струн. В.П.Яковец. — К.: Вища шк., 1989. - 287 с.

10. Яковець В. П. Побудова асимптотичного розв'язку одше1 задач1 оптимального керу-вання / В. П. Яковець, О. В. Тарасенко // Нелшшш коливання. — 2010. — Т. 13. — №3. - С. 420-437.

Получена 27.12.2010