CC BY
7УДК 517.928.2
Асимптотика загального розв'язку лшшних сингулярно збурених систем диференщальних р1внянь вищих порядюв з виродженнями у випадку кратного спектра гранично!' в'язки матриць
С. П. Пафик
Нацюнальний педагопчний ушверситет iM. М. П. Драгоманова, Ки1в 01601. E-mail: procentum35@ukr.net
Анотац1я. Використовуючи теор1ю пол1ном1альних матричних в'язок, побудовано асимптотику лшш-но незалежних розв'язюв однорщно! сингулярно збурено! системи лшшних диференщальних р1внянь дов1льного m-го порядку з матрицею при старших пох1дних, яка вироджуеться з прямуванням малого параметра до нуля. Розглядаеться випадок кратного спектра характеристичного полшома. А саме, передбачаеться, що вш мае юлька ск1нченних i юлька неск1нченних елементарних д1льник1в однаково! кратноси. Наведено вiдповiднi асимптотичнi оцiнки.
Ключов1 слова: полiномiальна в'язка матриць, сюнченний елементарний дiльник, нескiнченний еле-ментарний дшьник.
1. Постановка задач1
Розглянемо систему диференщальних р1внянь вигляду
d^^ x dm 1 x dx
emhAm(t, e) — + e(m-1)hAm-!(t, e)+ • • • + ehAr(t, e) — + Ao(t, e)x = 0, (1.1)
де x(t, e) — шуканий п-вим1рний вектор, Ai(t, e), i = 0, m, — дшсш або комплекснозначш (n x п)-матрищ, e € (0; eo] — малий дшсний параметр, h € N,t € [0; T]. Припускаемо, що виконуються наступш умови:
1°. Матриц Ai(t,e), i = 0,m, допускають на вщр1зку [0; T] р1вном1рш асимптотичш розвинення за степенями e:
Ai(t,e) - ^ekA(k)(t),i = 0,m; (1.2)
ko
2°. Матриц A(k)(t), i = 0, m, k = 0,1,..., — нескшченно диференцшоваш на вщр1зку
[0; T ];
3°. det Am (t) = 0, yt € [0; T]; 4°. Гранична в'язка матриць
m
P(t,\) = Y, AiA(0)(t) (1.3)
i=0
© С. П. ПАФИК
системи (1.1) регулярна при вс1х Ь € [0; Т] 1 мае г > 1 скшченних елементарних дшьниюв (Л — Ло(Ь))р кратшстю р > 1 1 в > 1 нескшченних елементарних дшьниюв кратшстю д (рг + дв = тп).
Питання побудови асимптотичних розв'язюв системи (1.1) за степенями малого параметра вивчалось р1зними авторами [3, 6, 7, 8]. Однак ними розглядались в основному системи р1внянь другого порядку. Системи ж р1внянь вищих порядюв досл1джувались лише в найпрост1ших випадках 1, як правило, за умови, коли матриц А^(Ь,е), % = 1,т — 1, нульов1, а Ат(Ь, е) — одинична [1]. Бшьш загальна система при Н = 1 1 одиничною матрицею при старшш похщнш розглядалась у [2], де для побудови асимптотичних розв'язшв використовуеться розклад характеристичного полшома дано'1 системи на лшшш множ-ники. При цьому вивчався випадок, коли характеристичний полшом мае простий спектр.
У данш робот вперше розглядаеться випадок кратного спектра, коли характеристичний полшом мае юлька скшченних та нескшченних елементарних дшьниюв однаково'1 кратность Для досл1дження асимптотики лшшно незалежних розв'язшв системи (1.1) використовуеться теория полшом1альних матричних в'язок, викладена в [4]. У пункт 2 доводиться основна теорема, якою визначаеться вигляд формальних розв'язшв системи (1.1). У процес доведення ще1 теореми даеться алгоритм, за яким визначаються коеф1-щенти в1дпов1дних формальних розвинень. У заключному пункт 3 сформульовано умови, за виконання яких побудоваш формально розв'язки мають асимптотичний характер, 1 наводяться вщповщш асимптотичш оцшки.
2. Побудова формальних розв'язк1в
2.1. Побудова розв'язшв першоТ групи, як вщповщають скшченним елементарним дшьникам
Розв'язки, що вщповщають скшченним елементарним дшьникам гранично'1 в'язки матриць P(t, X), будемо шукати у вигляд1
x(t, ß) = u(t, ß) exp ^e-h j X(t, ß)d^j , (2.1)
де u(t, ß) — п-вим1рний вектор, а X(t, ß) — скалярна функщя, яю зображаються у вигляд1 формальних розвинень
те
u(t,ß) = У ßk u
(t,ß) = J2 ßku(k) (t), (2.2)
k=0 те
X(t,ß) = J2 ßk X(k)(t), (2.3)
k=0
в яких Ц = ре.
Покажемо, що вектор (2.1) формально задовольняе систему (1.1). Диференщюючи вектор-функцда (2.1) к раз1в, отримаемо рекурентний вираз
dXX = ЕЕ £-3h°k D-j [Xj]exJe-h fx(T,ß)dA,k = 1Щ, (2.4)
г=0 j=0 \ J0 /
де
j
Djj] = Yl IlrUAU = lj,i = Tm, (2.5)
«1+S2H-----=i-j a=1
— суми всеможливих добутюв j оператор1в Г8а [А] = dpa A(t, ß), а = 1, j, з цшими невщ'емними шдексами, сума яких дор1внюе i — j. Оператори диференщювання, яю мютяться в Г8а[А], ддать на весь вираз праворуч вщ них.
Наприклад, D2[A2] = ^ S1 +S2=2Г«1 [А]Г52[А]. Перебравши вс можлив1 набори шдекав sa, а = 1, 2, дютанемо D2[A2] = Г2[А]Г0[А] +Г1[А]Г1[А] +Г0[А]Г2[А]. Згщно 3i структурою оператор1в Г8[А], s = 0,1, 2, остаточно матимемо
d2A2(t,ß) + d (A(t ) dA(t,ß)\ i A(t ) d2A(t,ß)
D2[A2] = + |(A(t,ß) + A(tß
dt2 dt dt dt2
Пiдставивши вектори (2.4) у систему (1.1), а потам, видшивши доданки, в яких k = i = j, отримаемо
m m k—1 i jk—i (4 \
YDo[Ak]Äk(t,e)u(t,ß) = —££Y,£(k-j)hClDi-j[Aj]Ak(t,e)d ¿-Г — k=0 k=1 i=0 j=0 dt
(2.0)
m k-1 v 7
YJY,e(k-j)hDk-j [Aj ]Äk (t, e)u(t, ß).
k=2j=1
Оскiльки функцiя A(t, ß) зображаеться у виглядi формального розвинення (2.3), то функ-цй' Di-j[Aj], j = 1,i, i = 1,m, якi визначаються формулою (2.5), теж можна подати у виглядi формальних розвиненнь за степенями ß:
те
Di-j[Aj] = £ßkD- [Aj],j = M,i = 1^, (2.7)
k=0
де
D—[Aj] = £ Л Г^А], j =TTi,i = 174 (2.8)
)(k) а] i-j
«1+S2H-----hsj =i-j k1+k2+-----hk,=ka=1
(пiдсумовування здiйснюеться за вома можливими наборами цiлих невщ'емних iндексiв sa, ka, а = 1, j, причому сума нижшх шдекав дорiвнюе i — j, а верхнiх — k).
Пiдставивши в (2.6) розвинення (1.2), (2.2), (2.3), (2.7) та прирiвнявши доданки при однакових степенях ß, отримаемо нескшченну систему алгебра'чних рiвнянь
P (t,A(0)(t))u(0)(t) =0; (2.9)
P (t,A(0)(t))u(a)(t) = b(a)(t),a = 1, 2,...; (2.10)
де
m а
b(a)(t) = — Ys Ys D(oß)[Ak ]Ä<f)(t)u(a-ß)(t) + g(a)(t),a = 1, 2,...; (2.11) k=1ß=1
m а—p L p J
9(a)(t) = -ЕЕ E D0ß)[Xk]AkY)(t)u(a—Yp)(t)-
k=0 ß=0 y=1
k—l г a — (k—j)phl P J dk—iu(a—ß—1p—(k—j)ph)(t)
-,-STSr T T Ci n(ß\ [\j]A(Y)(t)d u( ß j)p)(t)_
[g-ß-(k-j)ph]
m k — l г а—(k—j)ph l p J
EEE E E ckD— [xj]At\ty- dtk—г
k=i г=0 j=0 ß=0 7=0
,, л , Г a-ß-(k-j)ph ] m k — 1 а — (k—j)ph Y p J
EEE E D— [Xj ]A(Y)(t)u(a—ß—Yp—(k—j)ph)(t), а = p,p + 1,....
k=2 j=l ß=0 7=0
Покажемо, що з ще! системи можна визначити будь-яю коефщенти розвинень (2.2), (2.3). З р1вняння (2.9) одразу дютанемо
X(0)(t) = X0(t), (2.12)
де X0(t) — власне значення в'язки матриць (1.3). Р1вняння (2.10) розв'язш тод1 i тшьки тод1, коли виконуеться умова
(b(a)(t),^j (t)) = 0,j = 1,Г,а = 1,2,..., (2.13)
де фj(t),j = 1,r, — базиснi елементи нуль-простору матрицi P*(t,X0(t)), спряжено! з P(t, X0(t)). Символом (x, y) тут i надалi позначаеться скалярний добуток в п-вим1рному комплексному простора Слщуючи [6] введемо в розгляд оператор проектування Q, який вщображае п-вим1рний векторний простiр E на його r-вимiрний пiдпростiр E0 наступним чином
r
Qu(t) = (u(t),&(t))<fii(t),Mt) £ E,t £ [0;T],
i=l
де фi(t),i = 1,r, — базиснi елементи нуль-простору матриц P(t,X0(t)). Ыдпростар E0 е лiнiйною оболонкою векторiв фг(t), i = 1,r, якi визначимо так, щоб виконувались включення фг^) £ Сте[0;T], i = 1,r, що згiдно з [6] завжди можливо. Тщд умова (2.13) буде еквiвалентна наступнш:
Qb(a)(t)=0,a = 1,2,.... (2.14)
За виконання ще! умови вектори u(a\t), а = 0,1,..., визначатимемо за формулами
u(0Ht)= y(0\t), (2.15)
u(a)(t) = H (t)b(a)(t) + y(a)(t),a = 1,2,..., (2.16)
де H(t) — нашвобернена матриця до матрищ P(t,X0(t)) (яку виберемо так, щоб H(t) £ Cте[0; T], що можлива згщно з [6] та умовою 2° ), а y(a)(t),a = 0,1,..., — вектори з тд-простору E0, яю шдлягають визначенню. Умову ж (2.14) використаемо для визначення
функцш A(j)(t), j = 1, 2,... i векторiв u(i)(t), i = 0,1,.... З щею метою перетворимо ви-раз для векторiв b(a)(t), а = 1, 2,..., пiдставлятимемо послщовно (2.15), (2.16) в (2.11). При а = 1 маемо b(1)(t) = — D01)[Ak]Ak°}(t)y(0)(t). Позначимо
Pik)(A)= ^ A(j1 )(t)A(j2)(t) ...A(js)(t) (2.17)
j1+j2h-----hjs=k
суму всеможливих добуткiв s функцiй A(j) (t) з натуральними iндексами ji, i = 1, s, сума яких дорiвнюе k. Враховавши (2.8), (2.17), дютанемо
D0j)[Ak] = £Ck(X0(t))k-ip(j)(X),k = 1, m,j = 1,2,.... (2.18)
i=1
Скориставшись (2.18), вектор b(1)(t) представимо у виглядi
m
b(1)(t) = — £ Ck(A0(t))k-1P1(1) (A)Ak0)(t)y(0)(t). k=1
Використавши формулу
f Ck (A0(t))k-iAf(t) = ^(tA^ ,i =1m,
i!dA'
k=i
остаточно отримаемо
b(1)(t) = —P1(1)(A)9P (t)) y(0)(t). (2.19)
Провiвши аналогiчнi мiркування при а = 2, дiстанемо
b(2)(t) = —Pf(A) H.W + y(0)(t)—
— P,(2)(A)dP ^(i)) y(0)(i) — P1(1)(A)dP ^(t)) y(')(t),
де
k
(2.20)
Hk(t) = —H(t)d , k = ^ (2.21) Скориставшись формулами
a1(H1,H2,...,Hm) = ß; (2.22)
min(i-1,m)
ai(H1,H2,...,Hm)= Y Hj (t)ai-j (H ,Щ,... ,Hm),i = 2, 3,..., (2.23)
j=1
рiвностi (2.19), (2.20) подамо у виглядi
b(1)(t) = —P1(1)(A)dP ^(t)) o\Hb H2,..., Hm)y(0)(t),
КЧ) = ЛНи Hm) + ЛНи -, Hm)} y(°\t)-
- Pi2'(Л) dP (t£(t))&1(Hi, . . . , Hm)y(°l (t) - P'" (X)dP (ta^(t)) ^„....Hm^Ht).
Взявши до уваги, що gla^(t) = 0 при а < p, методом математично'1 шдукцп встановимо, що
а-1 a—k mm(i, m' ■
b(a'(t) = — ЕЕ E p(a-k)( X)д jj» ai-j+1(Hi,H2,...,Hm)y(k'(t), k—0 i—1 j— 1
а = 1,p — 1.
При а > p у вираз bla>(t) входять вектори g(a\t). Позначимо доданки, яю мютять щ вектори, через b(a\t). Якщо продовжувати подстановку (2.15), (2.16) в (2.11), то отри-маемо вираз вигляду (2.24) та доданки bla>(t), яю мютять вектори gla\t), а = p,p+1,.... Для останшх маемо
bl\t) = g"> (t); l>l"+1,(t) = —Pi'>( X)dP ^(t)) H (t)g<"(t)+ g<'+1'(t);
*»>(,) = P'2'(X)[( H M)' — ^^ H(t)]gl"'(t)- (2.25)
— p12'(X) ЩЛО3- H (t)gl"](t)-
HOX
— Pl1](X)dP ^Xf^ H (t)gl"+1\t) + gl"+2'(t).
Вв1вши позначення Hj(t) = — ^>>H(t), j = 1,m, та використавши (2.23), вектори
bl"+1\t), bl"+2\t) запишемо у вигляд1
bl"+1> (t) = Pl1 (X)a2(H1,H2,Hm)gl"'(t)+ gl"+1\t); (2.26)
bl"+2> (t) = [pl2)(X)as(H1, H',..., Hm) + Pl2)(X)a2(H1, H',..., Hm)] gl"'(t) +
+ Pll1)(X)a2 (H1H2,..., H m )gl"+1'(t)+ gl"+2'(t). (2.27)
Проанал1зувавши вирази (2.25), (2.26), (2.27) i пров1вши шдукщю по а, дютанемо
a—"—1a-"-j
bla'(t)= E E Pt—"—j)(X)ai+1(H1,...,Hm)gl"+j'(t)+ gla'(t), а = p,p + 1,.... j—0 i—1
(2.28)
Об'еднавши вирази (2.24), (2.28), остаточно маемо
a—1 a—k mm^m' airX-i \ UW
bla'(t) = — EE E pla—k'(X)дP-i—j+1(H1,H',...,Hm)ylk'(t)+ k—0 i—1 j—1 j' a—"— 1 a—"—j
+ E E Pla—"—j'(X)ai+1(H1,H2,...,Hm)gl"+j'(t)+ gla)(tt),a = 1,2,.... (2.29) j—0 i—1
Перейдемо тепер до визначення функцш A(a)(t), а = 1,2,..., i векторiв y(i)(t), i = 0,1,.... Оскшьки за умовою 4° в'язка матриць (1.3) мае r > 1 скшченних еле-ментарних дiльникiв кратнiстю p > 1, то, як показано в [4], 1м вщповщае r жорданових ланцюжюв завдовжки p кожний. Ц ланцюжки складаються з власних векторiв фk(t), k = 1, r, та вщповщних приеднаних векторiв vk^(t), k = 1, r, i = 2,p, яю задовольняють спiввiдношення
P(t, A0(t)Vk(t) = 0, k = VT; (2.30)
P (t^t)^^
min(i-1, m)
£
j=1
vj)^* =17,, =
(2.31)
а рiвняння
min(p,m)
P (t,A0(t))yk + £ dPj фkP+1-J)(t) = 0,k = 17,
j=1
нерозв'язнi вiдносно векторiв yk. Вектори фj(t), j = 1, r, як i власш вектори Vi(t), i = 1, r, визначаються неоднозначно, проте при будь-якому 1'х виборi
det
k=1
= 0,m £ [0;T],
(2.32)
i,j=1,r
тобто система власних i приеднаних векторiв, якi вiдповiдають скiнченним елементарним дшьникам в'язки матриць (1.3), е повною, у цьому неважко переконатися, користуючись методами [6, с. 106 - 108], [4]. Виконання умови (2.32) дае змогу визначити вектори фj(t), j = 1, r, так, щоб виконувались сшввщношення
Vinpm) дkP(t,A0(t))
kdAk ф
>+1-k)
(t)^j(t) I = öij,i,j = l,r,
(2.33)
k=1
де bj — символ Кронекера, що ми й будемо передбачати в подальших викладках. Якщо спiввiдношення (2.33) для векторiв фj(t), j = 1,r, не виконуеться, то, як i в [6, с. 108], заметь них можна взяти 1'х лiнiйнi комбшацп Xj(t) = k=1 a—j(t^k(t), j = 1, r, де а-1^) — елементи матрищ, обернено'1 до матрицi
(t)ll1 =
min(p,m) k
^ дkP(t,A0(t)) (p+1-k) / У uaik Vi
k=1
k!dAk
)(t),фj (t)
Виразимо приеднанi вектори vk^(t), k = 1, r, i = 2,p, через власш вектори (t), k = 1, r. Оскшьки vki)(t) = — ^m=I1(i-1'm) H(t)^ vki-j)(t), k = 1,r, i = 2,p, то, скористав-
шись (2.21), дютанемо ф^ (t) = ^j=n(i-1'm) Hj(t)vki-j)(t), k = 1,r, i = 2,p, звiдки
vki)(t) = ^(H1, H2,..., Hm)Vk (t),k = 1,r,i = 2,p.
(2.34)
r
1
1з врахуванням (2.34) сшввщношення (2.33) запишемо у вигляд1
^тт(р,т) д к р д \ _
Е т\к " аР-к+1(Н1, Н, ■■■Нт)Фг(Ь), Фз (г)] = 5г1, г ,3 = 1 , г. (2.35) к=1 ' )
Виходячи з розв'язност1 р1внянь (2.30), (2.31) та сшввщношень (2.34), (2.35), легко пере-конатися в таких властивостях оператора ((: якщо вектор и(г) € Ек, то
т Е^ ( °кРтхк{т аг-к+1 (Н1,Н2,Нт)и(г) = о,г = 1Р-1; (2.36) к=1 '
"е"0 ( д к РшХхк{т °р-к+1 (Н1,Н2,Нт )и(г) = и®. (2.37) к=1 '
1з (2.29), (2.36), (2.37) випливае, що при а < р умова (2.14) виконуеться, а при а = р запишеться у вигляд1
Р(Р)(А)у(0)(г) - (9(р)(г) = 0. (2.38)
Оскшьки РРр)(А) = (А(1)(г))г 1 ^(г) = -К(г)у(к)(г), де
т т , т к-1 лхг/'-Л
К (г) = £ Ак тк^г) + ¿1,^ Скк-1А0к-1(^)Ак0)(^) | + ¿1,^ Е А0к-1-г(;) ^ 4°) (г), к=к к=1 к=2г=1
то з р1вняння (2.38) д1станемо
(А(1) (г))ру(к) (г) + (Ку(к) (г) = о. (2.39)
Оператор (К вщображае прост1р Е на г-вим1рний шдпрост1р Ек. Позначимо зву-ження цього оператора на шдпрост1р Ек через Ль Виходячи з означення оператора ((, неважко переконатися в тому, що в базис фк(г), к = 1,г, шдпростору Ек оператор Л1 зображаеться (г х г)-матрицею
ВД) = || (к (г)фг (г),Фз (г))^.^ •
Тод1 р1вняння (2.39) у базис1 шдпростору Ек матиме вигляд
(ЗД) + ( А (1)(г))рЕ)у(к)(г) = о,
де Е — одинична (г х г)-матриця.
Припустимо, що виконуеться умова:
5°. Матриця ВД) мае на в1др1зку [0; Т] г простих, вщмшних в1д нуля власних значень Пг(г), г = 1,г.
Тод1 з останнього р1вняння знайдемо рг р1зних, вщмшних вщ нуля функцш А(1)(г):
A(1)(t) = ^Mi)
k = 1, r, j = 1,p,
arg(—nk(t)) + 2n(j — 1) + i arg(—nk(t)) + 2n(j — 1)
cos +p i ЬШ
pp
(2.40)
лшшш сингулярно збуреш системи диференщальних рвнянь
263
1 г вщповщних векторов у(к)(г):
У(к) (г) = фк (г), к = (2.41)
де фк (г), к = 1, г, — власш вектори матриц Л1(г), що вщповщають власним значенням Пк(г), к = 1,г. Визначивши у(к)(г), за формулою (2.15) знайдемо вектор и(к)(г).
1нш1 коефщ1енти розвинень (2.2), (2.3) знайдемо рекурентним способом. Зафжсуемо одну з функцш А(1)(г) 1 в1дпов1дну вектор-функщю у(к)(г), як1 визначаються формулами (2.40), (2.41) вщповщно. Власне значення 1 власний вектор матрица Л1(г), яким вони в1дпов1дають, позначимо через п(г) 1 фк(г) . Нехай вщповщш функцп А(г+1)(г) 1 вектор-функцп и(г)(г) при г < к вже вщомь Тод1 для визначення функцп А(к+1)(г) та вектора и (к)(г) використаемо умову (2.14) при а = р + к. Зг1дно з (2.29), (2.36), (2.37) ця умова запишеться у вигляд1
k-1
P
p
P(p) ( A)y(k) (t) + Pp(p+k) ( A )y(0) (t) + £ PP?+k-Y) ( A)y(Y) (t)+
7=1
k— 1 p+k-Y min(i,m)
k— 1 P+k- I """у,'"-/ \ i+W
+ E E E ^(P+k-7)( A)Qд jA0 ^i-j+1(H1, H2,..., Hm)y(Y)(t)
j!d Aj
Y=0 i=p+1 j=1 J
k-1 k-j
— E E P(k-j)(A)Qai+1(H1, H2,..., Hm)g(p+j)(t) — Qg(p+k)(t) = 0. j=0 i=1
Оскiльки PPp)(A) = —n(t), g(p+k) (t) = —K(t)y(k)(t) + #(p+k) (t), де #(p+k)(t) — вже вщомий вектор, то з останнього рiвняння отримаемо
k-1
QKy(k)(t) — V(t)y(k)(t) = —PPP+k)(A)y(0)(t) — £PPP+k-Y)(A)y(Y)(t) —
Y=1
k-1 p+k-Y min(i, m) j-D(+ \ UW
— £ £ E P(P+k-Y)(A)Qд Pj -i-3+1(H1,H2,...,Hm)y(Y)(t) +
Y=0i=p+1 j=1 j!
k- 1 k- j
+ £ £ P(k-j)(A)Qai+1(H1, H2,..., Hm)g(p+j)(t) + Qg(p+k) (t). (2.42) j=0 i=1
Тад рiвняння (2.42) в базисi шдпростору £0 матиме вигляд
(R1(t) — n(t)E)y(k)(t) = —PPp+k)(A)v*(t) + fk (t), (2.43)
де
k-1 k-1 k-j fk (t) = — £ Pp(p+k-Y)(A)y(Y)(t) + £ £ P(k-j)(AQi+1(H1 ,H2, ..., Hm)g(p+j)(t) —
Y=1 j=0 i=1
k-1 p+k-Y min(i,m) „,-p,, ,
E E E P^p+k-Y)(A)Qд ja?^i-j+1(H1 ,H2,...,Hm)y(Y)(t) + Q^(p+k)(t)
j!дAj
Y=0 i=p+1 j=1 J
— вже вщомий вектор з шдпростору Ео.
Нехай ф*(t) — елемент нуль-простору матриц (Ri(t) — n(t)E^) , спряжено'1 з матрицею Ri(t) — n(t)E. Осюльки за умовою 5° власне значення n(t) матриц R\(t) просте, то йому вщповщае жордашв ланцюжок вектор1в завдовжки 1, тобто
(Ri(t) — V(t)E )<p*(t) = 0,
а р1вняння
Ri(t) — V(t)E)y = <p*(t) нерозв'язне вщносно вектора y, звщки
(<p*(t)^*(t)) = 0, ш е [0; T].
Вектор ф* (t) виберемо так, щоб виконувалось сшввщношення
(<p*(t)^*(t)) =1, ш е [0; T].
Використавши умову розв'язност р1вняння (2.43), матимемо
PiP+k)(X) = (fk (t)^*(t))- (2.44)
Вираз Pip+k)(\) запишемо у вигляд! P(p+k) (X) = pX(k+i) (t)(X(i) tf- + Pppp+k)(X), де доданок p(p+k)(X) мютить лише т1 функцп X(i)(t), в яких i < k. Тод1 з р1вняння (2.44) дютанемо
X(k+i) (t) = (fk ш*т—PPp+k)(x) (2 45)
X (t) = p(x(i)(t))p-i • (2.45)
Тепер р1вняння (2.43) буде розв'язним i з нього знайдемо
y(k)(t) = Н (t)fk (t), (2.46)
де Н(t) — матриця, нашвобернена до матриц! Ri(t) — n(t)E, а fk(t) — вираз у правий частиш р!вняння (2.43). Визначивши вектор y(k\t), за формулою (2.16) знайдемо вектор u(k)(t).
Рекурентш формули (2.41), (2.15), (2.46), (2.16), (2.12), (2.40), (2.45) дають змогу визначити будь-яю коефщенти формальних розвинень (2.2), (2.3). 1снування похщних, як! входять в щ формули, гарантуеться умовою 2° та вщповщною гладюстю функцп X0(t), вектор-функцш ф*(t), ф*(t), ^i(t), фi(t), i = l,r, та матриць H(t), H(t). Зпдно з (2.40) описаним способом можна знайти pr р!зних формальних розв'язюв системи (1.1).
2.2. Побудова розв'язк1в другоТ групи, як вщповщають нескшченним елементарним дшьникам
Слщуючи [6], другу групу розв'язюв системи (1.1), як! вщповщають несюнченним елементарним дшьникам гранично! в'язки матриць (1.3), шукатимемо у вигляд!
x(t, v) = v(t, v) V-qh-i 0 Jdhy) , (2.47:
де п-вим1рний вектор v(t, v) i скалярна функщя £(t, v) зображаються у вигляд1 формаль-них розвинень
те
,k„
v(t, v)
= Y vkv(k)(t), (2.48)
k=0 те
£(t,v ) = £ v k£(k)(t), (2.49)
k=0
за степенями v = qre.
Використавши формули (2.4), (2.5), матимемо
dk x k i <jk / С t
YY v—(qh+1)jCk e*p(v-qh-7 jdhs) = 0^' (2.50)
i=0 j=0 ^ J0 ' ''
де
j
Di-j [Cj ] = £ Пг.. [rtj = 1'i'i = 1'
m.
-jb J - ц
«1 +«2 +-----hSj=i j «=1
Поставивши вектори (2.50) у систему (1.1), отримаемо
Y Y Y vq(k-j)h-jCkDi-j [rj]Ak(t,e) = 0-
k=0 i=0 j=0
Помноживши цю рiвнiсть на функцiю vm£m(t, v), а потам, видшивши тут доданки, в яких k = i = j, та взявши до уваги, що D0[£«] = £a(t, v), дiстанемо
m m k- 1
vm-k D0[£m-k A (t, e)v(t, v ) + YJ2 v q(k-j)h+m-j D0[£m]Dk-j [£—j ]Ak (t, e)v(t, v) + k=0 k=2j=1
m k— 1 i -¡k_i /i \
+ EEYvq(k—j)h+m—jCkD0[C]Di—j[£—j]Ak(t,e)d ) = 0.
dtk—i k=1 i=0j=0
(2.51)
Подамо шукану функцiю £(lu) = £(t, v) у виглядi формального ряду за степенями параметра v:
те
ät,v ) = £ v ke(k)(t), k=0
коефiцiенти якого визначаються за рекурентними формулами
1
e(0)(t) =
£(0)(t):
f(k)(t) = ^g^k = 1,2,----
Згщно з (2.7), (2.8) маемо
те
D— [Q] = £ vkD- [Q],j = l,i,i = l,m, (2.52)
J - ^i-j k=0
де
) (k) [P] = V^ V^ TT г (M
D\-j[P]= E E ПГаа)ш =ш = 1
si +-----+sj=i-j ki+-----+kj =ka=l
Поставивши в (2.51) розвинення (1.2), (2.48), (2.49), (2.52) i прир1внявши вирази при однакових степенях v, дютанемо несюнченну систему алгебра!чних рiвнянь
At\i)v (0)(t) = 0; (2.53)
A-m(t)v(a\t) = a(a)(t),a = 1, 2,... ; (2.54)
де
rri—l a—m+k
a(a)(t) = — ^ Y, D(0ß)[C—k ]A<£\t)v(a—ß—m+k)(t) + g(a)(t),a = 1, 2,... ; (2.55) k=0 ß=0
g(a) (t) = g[a) (t) + gia) (t) + gia) (t), a = q,q + 1,... ;
[a — ß— m + k
q J
g(a)(t) = - £ £ E D((ß) [C—k ]A(Y)(t)v(a—ß—Yq+k—m)(t),a = q, q + 1,... ;
k=0 ß=0 Y=1
[ a — ß — Y — 0(k,j) ]
m k—1 a—e(k,j) a—ß—0(k,j)V q J
g(a)(t) = -ЕЕ E E E D(0\m]D—[P]A(kS)(t)v(a—ß—Y—tq—°(kj))(t),
k=2 j=l ß=0 Y=0 ¿=0
a = qh + m — l,qk + m,... ;
[ a — ß—Y — 0(k,j) ]
m k—l i a—e(k,j) a—ß—d(k,j) q J
g(a)(t) =—EEE E E E сd^cd— [P]Aks)(t)x
k=l i=0 j=0 ß=0 Y=0 ¿=0
dk—iv(a—ß—j—Sq—e(k,j)) (t) dtk—i ;
a = qh + m,qk + m + l,... ; 9(k,j) = q(k — j)h + m — j.
Покажемо, що з ще! системи можна послщовно визначити будь-яю коефщенти роз-винень (2.48), (2.49). Система (2.54) сумюна тодi i тшьки тодi, коли виконуеться умова
(a(a) (t), ipj (t)) = 0,j = 1,8, a = l, 2,..., (2.56)
де ipj(t), j = l, s, — базисш елементи нуль-простору матриц (Am (t))*, спряжено!'до мат-
рицi Aim'(t). Введемо оператор проектування Q, який вщображае п-вим1рний векторний простiр E на його s-вимiрний пiдпростiр E0, наступним чином:
s
Qv(t) = Е (v(t),î>j (t)) Ф (t), Vv(t) G E, j=i
X
де ipj(t), j = 1, s, — базисш елементи нуль-простору матриц Am(t). Шдпростар £0 е лшшною оболонкою вектор1в (pj (t), j = 1, s, яю визначимо так, щоб виконувались вклю-чення (pj(t) € Cте[0;T], j = 1,s. Тод1 умова (2.56) буде екв1валентна наступнш:
Qa(a)(t) = 0,а = 1,2,.. За виконання умови (2.57) вектори v(a)(t), а = 0,1,.
v(0)(t) = z(0)(t),
(2.57)
визначатимемо за формулами
(2.58)
v(a)(t) = G(t)a{a>(t) + >(t),a = 1,2,...,
(0)
»
(a)i
(2.59)
де G(t) — матриця, натвобернена до Afn'(t), яку визначимо так, щоб G(t) € Cте[0; T], а z(a)(t) — вектори з шдпростору ро, яю необхщно визначити.
Виразимо вектори a(a)(t), а = 1, 2,..., через шукаш функцп £(j)(t) i вектор-функцп z(j)(t), j = 0,1,____Шдставляючи послiдовно (2.58), (2.59) у (2.55) при а < q, матимемо
a(1)(t) = -^00)[e1]Ain)-i(t)z(o)(t),
a(2)(t) = D.0)[£2] [Ain)-i(t)G(t)Ain)_i(t) - аПО—2(t)] z(0)(t) - ^01)[e1]Ain-i(t)z(o)(t)-
- D0o)[e1]A^—1(t)z(1)(t). Взявши до уваги, що
j !dwj
де
m (t,u)=^2 A(m—j (t)
(2.60)
j=0
i ввiвши позначення Gj(t) = -G(t)93ßdw'° j = 1,m, вектори a(1)(t), a(2)(t) подамо у виглядi
a
^(1)(t) = -d00)[£1] MkO z(0)(t),
a(2)(t) = -d00)[£2]
1!dw
- D00)[£1d^z(D(t).
dM(t, 0) G + d2M(t, 0) -G1(t) + 2!dW2
z(0)(t) - D01)[£z(0)(t)-
1!dw
Нарештi, скориставшись формулами (2.22), (2.23), дютанемо
a(1)(t) = -D™ [С1]
S0)[e1] M3-
1Юш
a(2)(t) = -d00)[£2]
dM(t, 0) 1!dw
a2(G1, G2, Gm) +
d2M(t, 0) ^1(G G G )] z(0)(t) 2!d^2 ° (G1,G2, ... ,Gm) zv J(t)-
- D0 [С ] 1!д^ ° - - - , Gm)z ;(t) - D0 [С ] 1!д^ ° (Gb - - - , Gm)z ' (t) -
Методом математично! шдукцп встановимо, що в загальному випадку
a-i a-k m\-a(i,m) ji\/T(+r\\
a(a)(t) = —ЕЕ E D(a-k-i)[(i]dJM§jl^i-3+i(Gi,G2,-;Gm)z(k)(t), (261)
k=0 i=i j=i j' (2.61)
а = l,q — 1.
При а > q у склад! a(a)(t) з'являються вирази g(a\t), а = q,q + 1, • • • • Тому, продов-живши подстановку (2.58), (2.59) у (2.55), дютанемо вирази вигляду (2.61) та вирази, що мютять вектори g(a)(t). Позначивши останш через a(a\t), а = q,q + 1, • • •, виразимо !х через функцп £(j\t), j = 0,1, • • •. При а = q,q + 1,q + 2 матимемо
a(q)(t)= g(q)(t), ~a(q+i)(t) = —D^0)[Ci]dMt01 G(t)g(q)(t)+ g(q+i)(t), a(q+2)(t) = D^][(™G(t))2 — ^G(t)']g(q"1 (t) — D^]^G(t)g(q\t)
— D{00)[^i]dMt01 G(t)g(q+i)(t) + g(q+2) (t).
Вв!вши позначення Gj(t) = — ^Mj G(t),j = 1,m, ^ скориставшись формулами (2.22), (2.23), дютанемо
a(q+i)(t) = d0o) [£i]a2(Gi, G2, • • •, Gm)g(q)(t) + g(q+i)(t),
a(q+2)(t) = [D0> e ]a* (Gi,G2, •••,Gm) + D01' [^ (Gi, G2, • • •, Gm)\g™(t) + + d0O) [ei]a2(Gi,G.2, •••, Gm)g(q+i\t) + g(q+2) (t).
Пров!вши шдукцда по а, встановимо, що в загальному випадку
a-q-ia-q-j
a(a)(t)= Е Е D0a-q-j-i\eV+i(Gi,G2,...,Gm)g(q+j)(i)+ g(a)(t), а = q,q + 1,.... j=0 i=i
(2.62)
Об'еднавши формули (2.61), (2.62), матимемо
a-i a-k mm(i,m) jn/TUfW
a(a)(t) = —ЕЕ E D(a-k-i)[ei] jj *i-j+i(Gi,G2, • • •, Gm )z(k)(t) + k=0 i=i j=i j' a-q-ia-q-j
+ E E D{0a-q-j-i)[eV+i(Gi,G2,...,Gm)g(q+j)(t)+ g^(t)^ = 1,2,•••• (2.63) j=0 i=i
Перейдемо тепер до визначення функцш £(j\t), ! вектор!в z(j\t), j = 0,1, • • •. Оскшь-ки за умовою 4° в'язка матриць (1.3) мае s нескшченних елементарних дшьниюв крат-шстю q, то згщно з [4] нульовому власному значенню симетрично! в'язки матриць (2.60)
-,(q)i
вщповщае s жорданових ланцюжоюв векторiв завдовжки q кожний. Вектори цих лан-цюжкiв складаються з власних векторiв (pk(t), k = 1, s, та вщповщних приеднаних век-торiв (pki)(t), k = 1, s, i = 2, q, яю задовольняють спiввiдношення
M(t, 0)(k(t) = 0, k = М; (2.64)
min(i-1,m) j M
M (t, 0)(ki)(t)+ £ jj (ki-j)(t) = 0,k = M,i = 2T~q. (2.65)
При цьому рiвняння
min(q,m) •
M (t, 0)Zk + £ jj ф>г+()<f)=°,k = M.
нерозв'язнi вiдносно векторiв Ek. Приеднанi вектори цих ланцюжюв виражаються через власнi вектори за формулою
(ki)(t) = ai(G1,G2,...,Gm)(k (t),k = M,i = 2~q. (2.66)
Жорданiв набiр власних i приеднаних векторiв, якi вщповщають нескiнченним елемен-тарним дiльникам в'язки матриць (1.3) е повним, тобто
det
/min(q,m) „k,,,
E --щтФГ+^Ф(t)
k=1 !
= 0, mt £ [0; T]. (2.67)
i,j=M
Виходячи з (2.67), вектори ipj(t), j = 1,s, визначимо так, щоб виконувались сшввщно-шення
min(q,m) k
£ ЧМ^Фe—k+(\t)lф.j(t) I = ь^.i,j=тт., (2.68)
k=1 ! J
якi, з врахуванням (2.66), запишуться у виглядi
'min(q>m) дk М (t 0) „ , _
Е кЮ k ^q-kh1(G1 ,G2,...,Gm)(i(t),'2j(t)| = bij,i,j = 1,s. (2.69) k=1 ! Ш
Виходячи з розв'язностi рiвнянь (2.64), (2.65) та сшввщношень (2.66), (2.69), встанов-
люемо такi властивостi оператора Q: якщо вектор v(t) £ Е0, то
min(i'm^ & М(t 0) _
Е ЕЕ ^ } ai-k+1(G1,G2,..., Gm )v(t) = 0, i = 1, q — 1, (2.70)
k=1 !
min(q'm^ дk M (t 0) E Qд MZk ^q-k+1(G1, G2,..., Gm)v(t) = v(t). (2.71)
k=1 !
Зг1дно з (2.63), (2.70), (2.71) при а < д умова (2.57) виконуеться, а при а = д запи-шеться у вигляд1
]^(к)(г) -(д(<1)(г) = о. Оск1льки ^кк)[С9] = (С(к)(г))9, д(я)(г) = -Лт\г)г(к)(г), то зв1дси маемо
(£(к)(г)Г г(0)(г) + дл(тЧг)г(0Чг) = о. (2.72)
Оператор QAmm в1дображае простер Е на в-вим1рний п1дпрост1р Ек. Позначимо зву-ження цього оператора на шдпрост1р Ек через Л2. Неважко переконатися, що в базис1 фк(г), к = 1, в, шдпростору Ек оператор Л2 зображаеться (в х в)-матрицею
Л2(г) = ||(лт>(г)фг (г),Фз (г))^-^
Тод1 в базис1 п1дпростору Ек р1вняння (2.72) матиме вигляд
(Л2(г) + а(0)(г)у Е )г(0)(г) = о,
де Е — одинична матриця в-го порядку. Припустимо, що виконуеться умова:
6°. Матриця Л2(г) мае на в1др1зку [о; Т] в простих, вщмшних в1д нуля власних значень вз(г), 3 = м.
Тод1 з останнього р1вняння визначимо дв р1зних, вщмшних в1д нуля функций £(к)(г):
e(0)(t) =
k = М, j = TTq,
i s вщповщних векторiв z(0)(t):
arg(—9k(t)) + 2n(j — 1) + . . arg—9k(t)) + 2n(j — 1)
cos i sin
(2.73)
z(0) (t) = фk (t),k = 1,s, (2.74)
де фк(г), к = 1,в, — власш вектори матрица Л2(г), що в1дпов1дають власним значенням вк(г), к = 1,в. Визначивши вектор £(к)(г), за формулою (2.58) знайдемо вектор г(к)(г).
Таким чином, функщю £(к)(г) 1 вектор г(к)(г) визначено. Наступн1 коефщ1енти роз-винень (2.48), (2.49) можна знайти рекурентним способом. Заф1ксуемо одну з функцш {(к)(г) та в1дпов1дну вектор-функц1й г(к)(г), як1 визначаються за формулами (2.73), (2.74) вщповщно. Власне значення 1 власний вектор матриц Л2(г), яким вони в1дпов1дають позначимо через в(г) 1 ф?к(г). Нехай в1дпов1дн1 функцп £(з)(г) 1 вектор-функцп г(з)(г) при 3 < к вже вщомь Тод1 для визначення функцп £(к)(г) та вектор-функцп г(к)(г) викори-стаемо умову (2.57) при а = д + к. Згщно з (2.63), (2.70), (2.71) ця умова запишеться у вигляд1
k-1
\
D0\iq]z(k)(t) + D(0k)[Cq]z(0)(t) + £ D(0k-Y)[Cq]z(Y)(t) +
Y=1
k-1 q+k-Y min(i,m)
k-Y-
I Г I |„/— .
j !c)wj
k-1 q+k-Y j
+ E E E D0q+k-Y-i)[Гi]Е-^Mj1^i-J+1(Gl,G2,...,Gm)z(Y)(t)
Y=0 i=q+1 j=1 k-1 k-j
E E D0k-j-i) [Гi] Е ^i+1(GE1,GE2,..., Gm)g(q+j)(t) — pg(q+k)(t) = 0. j=0 i=1
Оскшьки D00)[£q] = —d(t), g(q+k)(t) = —A(fnl(t)z(k)(t)+g(q+k)(t), деg(q+k)(t) — вжевщомий вектор зпдно з припущенням iндукцiï, то з останньо'1 рiвнiстi отримаемо
QAWz(k)(t) — d(t)z(k)(t) = —D0k)[(q]z(0)(t) — £ Dfy)[(q]z(Y)(t) —
7=1
k—l q+k—Y min(i, m)
E E E D0q+k—Y—i)lC] QjjT°—j+l(Gl>G2 ,-,Gm)z(Y)(t) +
Y=0 i=q+l j = l j '
k—l k—j
+ E E D0k—3—i)[ii]Qai+l(Gl,CQ2,..., Gm)g(q+j)(t) + Qg(q+k)(t). (2.75) j=0i=l
Тад рiвняння (2.75) в базисi шдпростору E0 запишеться у виглядi
(R2(t) — 9(t)E )z(k)(t) = —D(0k)[Çq ]Q(t) + dk (t), (2.76)
де
k—l q+k—Y min(i,m) ojn/TUfW
dk (t) = —EE E D(q+k—Y—i)[Ci]Qd^M)j1 *i—j+l(Gl,G2,...,Gm)z(Y)(t) —
Y=0 i=q+l j = l
E D(ok—l) [? ]z(Y) (t) + EE D{t3~0 № Qoi+l(Gl, G2,..., Gm)g(q+j) (t) + QQ (q+k (t)
Y=l j=0 i=l
— вже вщомий вектор з шдпростору E0.
Нехай iQ*(t) — елемент нуль-простору матрицi (R2(t) — d(t)Ej , спряжено'1 з матрицею R2(t) — 9(t)E, який виберемо так, щоб виконувалось спiввiдношення
(Ф*(t), Ф*(t)) = l, Ш G [0; T]. Використавши умову розв'язност рiвняння (2.76), матимемо
D^m = (dk (t),Q(t)).
Оскшьки D(k)[^q] = qC(k)(t)(C(0)(t))q—l + D(k)[Çq], де доданок D(k)[Çq] мютить лише тi функцп' £(j\t), шдекси яких меншi k, то
,k)(t)= (dk (t),r(t)) — D 0k)[tq] (277)
ç (t)= q^0)^ . (77)
Тепер вектор z(k\t) визначимо з рiвняння (2.76) за формулою
z(k)(t) = G(t)dk (t), (2.78)
де G(t) — матриця, напiвобернена до R2(t) — d(t)E, а dk (t) — вираз у правий частиш рiвняння (2.76). Визначивши вектор z(k\t), за формулою (2.59) знайдемо вектор v(k\t).
Отримаш формули дають можливють визначити будь-яю коефщенти розвинень (2.48), (2.49). 1снування похщних, яю входять в щ формули, гарантуеться умовою 2° та вщповщною гладюстю вектор-функцш p*(t), ip*(t), ¡pj (t), ipj (t), j = 1,s i матриць G(t), G(t). Згщно з (2.73) таким способом можна побудувати qs рiзних формальних розв'язюв системи (1.1).
Потрiбно вiдзначити, що вiдмiннiсть вiд нуля власних значень матриц R2(t) забез-печуе неособливють матрицi Am(t, е) при досить малих е, а це згiдно з [5] забезпечуе iснування в системи (1.1) mn лiнiйно незалежних розв'язшв.
3. Результати
Теорема. Якщо виконуються умови 1° — 6°, то на вiдрiзку [0; T] система диферен-цiальних рiвнянь (1.1), мае pr формальних розв'язюв вигляду
Xi(t,ß)= Ui(t,ß) exp ^е h J \i(r,ß)dr^ ,i = l,pr,
що вщповщають скiнченним елементарним дiльникам гранично'1 в'язки матриць (1.3), i qs розв'язюв вигляду
Xj(t, V) = Vj(t, V) exp ^V-qh-1 j0 j(TV)) , j =
якi вщповщають нескiнченним елементарним дiльникам ще!' в'язки, де Ui(t,/), Vj(t,v) — n-вимiрнi вектори, а Xi(t,/), (t,v) — скалярнi функцп, якi зображаються у виглядi формальних розвинень (2.2), (2.3), (2.48), (2.49) за степенями параметрiв / = ре та v = qe вiдповiдно. Коефiцiенти цих розвинень визначаються за рекурентними формулами (2.41), (2.15), (2.46), (2.16), (2.12), (2.40), (2.45), (2.74), (2.58), (2.78), (2.59), (2.73), (2.77).
Зазначимо, що дана теорема поширюеться i на той випадок, коли головна матриця A^t) при старшiй похiдний у системi (1.1) неособлива. У цьому випадку гранична в'язка матриць (1.3) матиме тальки сюнченш елементарш дiльники, яким вщповщае pr = mn розв'язкiв вигляду (2.1).
4. Асимптотичш властивост1 формальних розв'язк1в
Формальнi розв'язки, якi будуються за вказаним алгоритмом, лiнiйно незалежш в тому розумiннi, що такими будуть l — наближення, утвореш шляхом обривання розвинень (2.2), (2.3), (2.48), (2.49) на l -му члеш, якщо l > max(p — 1, q — 1).
Методами робта [6, 9], можна довести, що щ розв'язки е асимптотичним розвиненням точних лшшно незалежних розв'язюв системи (1.1) при е —> 0, якщо функцп Re(Ao(t) +
Yk-i A(k\t)), i = 1,pr, i Re(Yl k=0 v k j\t)), j = 1, qs, не змшюють знак на заданому вiдрiзку [0; T]. Для цього необхщно звести систему (1.1) до еквiвалентноl системи рiвнянь першого порядку i застосувати процедуру оцiнки нев'язки, описану в [6, 9]. У результата отримаемо таю асимптотичш оцшки
/,ч i(i + 1-pfe)) + p(1-i) ( , ft ph } , (l,\ \
\Xi(t,e) — x(l)(t,e)\ < Cie ^ sup exp e-h Re(Ao(r) + V /kA(k)(r))dr) ;
te [0;T] \ Jt0 k=1 J
dk Xi (t,e) dk x(l)(t,e)
< Ог£~
dtk dtk
S(l+1-ph))+p(1-S)
<
pS
( [■ t Ph-1
e-kh sup exp e-h Re(Xo(r) + V ßkл(к)(т})dr tS[0;T] \ Jt о k=1
i = 1,pr, для розв'язюв першо!' групи, що вщповщають сюнченним елементарним дшь-никам,i
S(l-qh) + q(1-S)
( -qh-1 ft Re(Ykk о Vk{'k)(r)) \
\\xj(t,e) - xj(t,e)\\ < Cje' ' qS" " Sup expi £ 4q jf -^(T v)|2-dTj ;
tS[0;T ]
dk Xj (t,e) dk xf(t,e)
dtk dtk
S(l-qh) + q(1-S)
<
< Cje qS e kh sup exp ( e
tS[0;T ]
(e^ l
1 Г Re(Ek=0vk j\r))
to ie(l)(T,v)j2
dr^ ,
j = 1,qs, — для розв'язкiв друго!' групи, якi вiдповiдають нескiнченним елементарним дшьникам гранично!' в'язки матриць матриць P(t, А), де Xi(t, e), Xj(t, e) — точш розв'язки
системи (1.1), x(l)(t,e), xj'(t,e) — вщповщш l — наближення, ci,cj — деяю сталi, що не залежать вщ e, 5 = max(p, q).
ß)
5. Висновки
У стати побудовано асимптотику лшшно незалежних розв'язюв системи (1.1) у ви-падку кратного спектра характеристичного полшома (1.3). У даний робота вперше роз-глянуто випадок, коли характеристичний полшом мае юлька сюнченних 1 несюнченних елементарних дшьниюв однаково!' кратность
Встановлено юльюсть розв'язюв системи (1.1). Виведено рекурентш формули за яки-ми будуються вщповщш формальш розв'язки системи (1.1). Наведено умову за виконан-ня яко1 отримаш розв'язки е лшшно незалежними. Наведено вщповщш асимптотичш оцшки.
Перелж цитованих джерел
1. КушнирВ. А. Асимптотические разложения решений систем линейных дифференциальных уравнений высших порядков з малым параметром при производных: Дис... канд. ф1з.-мат. наук: 01.01.02. — Кшв, 1984.
2. КушнгрВ. А., КуштрГ.А. Побудова асимптотичних розв'язюв систем лшшних диференщальних р1внянь вищих порядив з малим параметром при похщних //Науковий часопис Нац. пед. ун-ту 1меш М. П. Драгоманова. / П1д ред. В. П. Андрущенко, Г. I. Волинка. — Кшв: Видавництво Нац. пед. ун-ту 1меш М. П. Драгоманова, 2007. — С. 139-143.
3. ПавлюкЬА. Асимптотичш властивоста розв'язюв неавтономних систем диференщальних р1внянь другого порядку. — Кшв: Вид-во Кив. ун-ту, 1970. — 208 с.
4. ПафикС. П., Яковець В. П. Побудова асимптотики розв'язюв лшшних сингулярно збурених систем диференщальних р1внянь вищих порядюв з виродженнями //Науковий часопис Нац. пед. ун-ту 1меш М. П. Драгоманова. / Шд ред. В. П. Андрущенко, Г. I. Волинка. — Кшв: Видавництво Нац. пед. ун-ту 1меш М. П. Драгоманова, 2012. — С. 201-217.
5. ПафикС. П., Яковець В. П. Про структуру загального розв'язку та умови розв'язност за-дач1 Кош1 для вироджених лшшних систем диференщальних р1внянь вищих порядив // Украшський математичний журнал. — 2013. — Т. 65, №2. — С. 296-306.
6. Самойленко А. М. Лшшш системи диференщальних р1внянь з виродженнями /А. М. Самойленко, М. I. Шкшь, В. П. Яковець. — К.: Вища школа, 2000. — 294 с.
7. Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. — Москва: Наука, 1983. — 352 с.
8. ШкильН. И. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений /Н. И.Шкиль, И. И. Старун, В.П.Яковец. — К.: Вища школа, 1989. — 287 с.
9. Шкиль Н. И. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений /Н. И.Шкиль, И. И. Старун, В.П.Яковец. — К.: Вища школа, 1991. — 207 с.
Получена 20.09.2013
