ПРО ПОБУДОВУ АСИМПТОТИЧНОГО РОЗВ’ЯЗКУ ДВОТОЧКОВОї КРАЙОВОї ЗАДАЧI ДЛЯ ЛIНIЙНОї СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОї ДИФЕРЕНЦIАЛЬНO-АЛГЕБРАїЧНОї СИСТЕМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.928

Про побудову асимптотичного розв'язку двоточково1 крайово!" задали для лшшно1 сингулярно збурено!" диференщально- алre6pai4Hoi" системи

М. Б. Bipa

I Пжпнеькпп державний ушверситет iM. М. Гоголя, Шжин 16600. E-mail: VyraMaryna@mail.ru

Анотащя. Дослщжуеться можливють побудови асимптотичного розв'язку двоточковоТ крайовоТ задач1 для лшшноТ сингулярно збуреноТ системи диференщальних р1внянь з тотожно виродже-ною матрицею при похщних у випадку кратного спектра гранично!' в'язки матриць. Знаходяться умови гснування единого розв'язку щеТ крайовоТ задач11 побудована його асимптотика у вигляд1 розвинень за дробовими степенями малого параметра. В ход1 дослщження використовуються результата асимптотичного анал1зу загального розв'язку лшшних сингулярно збурених систем диференщальних рпшяш. з виродженнями

Клгочов! слова: сингулярш збурення, гранична в'язка матриць, кратний спертр, асимпто-тичний розв'язок

Розглянемо двоточкову крайову задачу

пх

енВ (г) — = Л(г,е)х + / (г,е), (1)

Мх(0, е) + Мх(Т, е) = П(е), (2)

де х(г,е) — шуканий п-вим1рний вектор, г Е [0; Т]; е Е (0; е0] — малий дшсний параметр, Н Е N Л(г, е), В (г) — квадратш матрищ п-го порядку; М, N — (п—1)хп-вим1рш матрищ з1 сталими елементами; / (г,е), П(е) — задаш п \ (п — 1)-вим1рш

ВбКТОрИ В1ДПОВ1ДНО.

Нехай виконуються таю умови:

1° матриця Л(г, е) 1 вектор / (г,е) допускають на вщр1зку [0; Т] р1вном1рш

е

те те

Л(г,е) ^ екЛк(г); /(г,е) ^ ек/к(г); к=0 к=0

2° коефщенти розв инень Лк (г), /к (г) 1 матри ця В (г) нвскшчбнно диференцшо-ваш на вщр1зку [0; Т];

3° в (г) = 0, уг е [0; т];

© М. Б. BIPA

4° гранична в'язка матриць

L(t,X) = Ao(t) — XB(t)

регулярна при Bcix t Е [0; T] i 36epirae на цьому вщмзку сталу кронекерову структуру, тобто кратноста Bcix власних значень гранично!' в'язки i вщповщних скшченнпх та нескшченних елементарних дшьнпюв е сталими на даному isi.ipi ку.

Кракова задача (1), (2) розглядалась у роботах [1,4] за умови, коли гранична в'язка матриць A0(t) — XB(t) мае та вщр1зку [0; T] простий спектр. У цш статт1 розглянемо можливкть побудови асимптотичного розв'язу крайово!' задач1 у значно складнипому випадку, коли гранична в'язка матриць мае на [0; T] кратний спектр, а саме: один скшченний елементарний дшьнпк (X — Xo(t))p кратшстю p i один нескшченнпй — кратшстю q (p + q = и).

Як показано в [2, с.97-98], скшченному елементарному дшьнику (X — X0(t))p вщповщае жордашв ланцюжок вектор1в матрищ A0 (t) вщносно B(t) завдовжкп p, векторп якого визначаються впразамп pi(t) = [H(t)B(t)]i-lp(t), i = l,p, де H(t) - нашвобернена матриця для матрищ A0(t) — X0B(t), a p(t) — власний вектор ще1 в'язки матриць. Нескшченному елементарному дшьнику вщповщае жордашв ланцюжок вектор1в матрищ B (t) вщнос но A0 (t) завдовж кп q, векторп якого визначаються виразами p(t) = [G(t)A0(t)]i-1<p(t), i = l,q, де G(t) — нашвобернена матриця для матрищ B (t).

Позначимо ^(t) i ip(t) — Hyni матриць (A0 — X0B)* та B* вщповщно i визначимо

lx так, щоб ВИКОНуВШШСЯ СП1ВВ1ДНОТП6ННЯ

(.B(HB)i-lp,ф) = s^p, i = r;p, (A0GA0y-1p,i) = sjtq,j = r;q,

де Si j — символ Кронекера, що завжди можливо [2]. Зг1дно з теор!ею асимптотичного штегрування впродженпх . liniiiiiiix систем диференщальних р1внянь, розроб-леною в [2,3], асимптотичш розвинення лшшно незалежних розв'язюв однорщно1 системи

ehB(t) dX = A(t, e)x, (3)

що вщповцають скшченному елементарному дшьнику, можна побудувати у виг-

x(t,e) = u(t,e)exp(e-h [ (X0(t) + X(r,e))dr), (4)

0

u(t, e) и X(t, e)

зображаються формальними розвиненнями за дробовими степенями малого пара-

X(t, e)

розгалуження

оо оо оо

Ар + ^esL0s + esLks[\k] =0, (5)

s=1 k=1 s=1

коефщенти якого виражаються формулами

Los = P (H = 1, 2,...

j=i

[ h ] s—ih

Lks[\k] = £ ]>](-1)j^](P—5(HS, ЯГ)р, =1, 2,....

i=0 j=0

Вщповщний вектор u(t,e) зображаеться у вигляд1

те тете

u(t,e) = р + £ £sHLosP + £SHLks[Xk (6)

s=l k=l s=0

Los = I](-1)Ü Ps(H Г), s = 1, 2,... Ü=l

[ h ] s—ih

^ [А' ] = £ £(-1)'" ]Р+Й (НВ, Н Г), к = 1 = 0,(7)

г=0 ]=0

Символом Рт(НВ,НГ) тут позначено суму всеможливих "добутюв"з множни-юв матриць НВ 1 к оператор1в НГ^,НГ2,...,Нз натуральными шдексами, сума яких + + ]к = т, де Гк = Ак(Ь) — 8к^В(Ь)^, к = 1, 2,.... При цьому Н

"множником"у них е або В або Г з вщповщним шдексом. Символом Бг[Ак] позна-

к

"множниюв"А та г "множниюв"О = При цьому оператор Б д1е на весь вираз, який мктиться праворуч вщ нього, наприклад,

О2 [А2] = О2 А2 + БАБА + АО2 А = 3(А')2 + 4АА".

Доведено, що за вщсутноста точок повороту р1вняння розгалуження (5) завжди мае р розв'язюв Аг(Ь,е), яю можна знайти у вигляд1 формальных розвинень за дробовими степенями малого параметра, показники яких залежать вщ поведшки коефщентав Ькз [Ак] 1 визначаються за допомогою д1аграм Ньютона. Розглянемо найпросташий випадок, коли

¿01 = -(Г1^) = (А1^) + 8^г(^,ф) = 0, УЬ Е [0; Т]. (8)

То, и вщповщна .иаграма Ньютона мае вигляд вщр1зка, що сполучае точки з координатами (0; 1)1 (р; 0) (на ош Ох вщкладаемо показники степеня А, а на ос1 ординат — показники степешв е члешв р1вняння (5)). Звщси впплпвае, що тангенс

кута нахилу д1аграми до вщ'емного напряму осп Ох дор1внюе р. Тому вщповщш розвинення для функцш е) можна побудувати за степенями /л1 = ер:

А, (1,е) = ^2 ^ = 1,Р. (9)

к=1

При цьому перший коефщент цього розвинення задовольняе визначальне р1внян-

(\{j)(t))p + Lei = 0, (10)

ня

r\Ü)rj-\ W , 7

ei

з якого знаходимо

'.агд(г1^,ф) + 2n(j - 1)\ , = — Р

Поставивши ряд (9) у р1вняння розгалуження (5), дштанемо

\U)u\ -Г\Г f агд(г1^,ф)+ 2n(j - 1)\ . —

(t) = V\(Г1^,Ф)\ex^ I г-p- 1 j = 1,p.

[ k-1 ]

[ p ] k-sp

ж ж ж i p

Y,ßipPk(\®) + Y,+ E E Y.^Lisipk-sp(^)] = o, (11)

k=p k=p k=p+1 s=1 j=1

де Ь0 к = 0 якщо число к те дшиться на р. Прир1внявши в (11) вирази при ' р ш ш

однакових степенях отрпмаемо нескшченну систему р1внянь

[ к-11

I р 1 к—вр

Ррк (А^) + Ь0> к + £ ]>] Ь33[Рк—вр(А(г))] = 0,к = р,р +1,.... (12)

р в=1 3=1

Перше р1вняння ще1 системы (при к = р) збшаеться ¿з визначальним р1внянням

р + к к 1 взявши до увехги^ тцо

ррр+к (А(г)) = р(А(г))р—1Ак)+1 + ррр+к (А®),

де Ррр+к(А ('г')) — та частина виразу Ррр+к(А (г)), яка мштпть тшьки и А^, шдекси

яких ] < к + 1, а третш доданок у (12) не мштить А^, шдексп яких перевищують к ДЛЯ ВИЗНсХЧбННЯ коефщентав розвинення

(9):

/ гр+к-11 \

I 1 р J р+к—вр

Ак) =__1-

+ Р(А1г))Г М " в=1 3=1

V 1

(13)

Щоб одержатп вщповщш розвинення для вектор1в иг(1,е), шдставимо (9) у (6). Перегрупувавши доданки, дштанемо розвинення

sp

PP+k(Х(г)) + Lepp_+k + £ E Ljs[Pp+k-ps(X(i))]

v P s=1 j=1 i

иг (t,e) = ?(t) + Y » uf(t),i =1,Р,

k=1

коефщенти яких визначаються формулами

[ k-11

1 p 1 k-sp

uk

p

(i)

(t) = £ Y, HLjs Pk-PS(A(i))]^ + HL0 , k к k = 1, = 1,p. (14)

s=0 j=1 P

Однородна система (3) кр1м р розв'язюв першо'1 групи вигляду (4), ТДО В1ДПО-вщають скшченному елемеитариому дшьиику гранично!' в'язки матриць А0 — \Б(¿), матиме ще 1 розв'язки друго'1 групи, яю вщповщають нескшченному елементарному дшьнику.

Зидно з теор1ею, розробленою в [2], апшптотпчш розвинення цих розв'язюв можна побудувати у виг. 1я.и

х(г, е) = е) ехр ^ ^ £(")) , (15)

де ь(Ь,е) — п-вим1рна вектор-функщя, — скалярна вектор-функщя, яю

зображаються формальными розвпненнямп за дробовпмп степенями малого параметра. При цьому, функщя ^(¿,е) мае задовольняти р1вняння розгалуження

те те

^ + ЕЕ е*М^к] = 0, (16)

к=1 8=1

коефщентп якого виражаються формулами:

м^е ] = е афф),* = 1,2,...,

тт(к-2;[ % ])

Мк8[ек] = £ (—1)'(ек-2)(Р8'(сТ^йл* = 1,2,..., (17)

3=0

де Б3(е8) — сума всеможливих добутюв ] множнпюв Бе та в — ] множнпюв е> а вщповщний вектор ь(Ь,е) зображаеться у вигляд1

тете

у(г,е) = ф е*0Мк8[ек]Ф, (18)

к=1 8=0

Мко[ек] = екАо(САо)к-1, к =1, 2,...,

тгп(к-1;[ % ])

Мк8[ек] = Е (—1)3'еБ3(ек-1)Р8(сг),к, * = 1,2,.... (19)

3=0

М11

ля, тобто виконуеться умова

(А1 ф,ф) = 0, У Е [0; Т]. (20)

Тещ дин рама Ньютона, побудована за коефщентами р1вняння розгалуження (16)

мае внгляд вщр1зка, що сполучае точки з координатами (1; 1) та (д; 0) (на осп абсцис

вщкладаемо показники степеня а на ош ординат — показники степеня е члешв

ршняння (16)). Тангенс кута нахилу дтграмп до вщ'емного напрямку ош абсцис

дор1внюе довжиш проекщ1 д1аграми на вшь абсцис, а саме д — 1. Звщки випливае,

що це р1вняння мае д — 1 розв'язк¿в £г^,е), I = 1,д — 1, яш можна побудувати у _ 1 вигляд1 розвинень за степенями = е д-1\

<х

= ^ & = Т7д-Г- (21)

к=1

При цьому перший коефщент розвинення (21) задовольняе вщповщне визна-Чсшьне ршняння

(С?У + £?(Ь)Мп = 0, (22)

звщки знаходимо

.arg(-(A1p/<p)) + 2n(j - 1)

К'® = \/ — АР,Ф)ехр[ Г" ^ ^ ""-^ ] Л = 1,д — 1.

Для знаходження наступних коефщентав пщетавимо ряд (21) у р1вняння (16). Перегрупувавшп доданки 1 прир1внявши вирази з однаковими степенями ц2, д!ста-немо нескшченну систему р1внянь

[ fc-1 1 / N

I д-11 к-(д—1)з

рк&(г)) +£ Е м33[рк-{,1-1)3а(г))] = о,к = д+1,....

5=1 3 = 1

д + к к

[д+к-11

[ д-1 1 д+к-(д-1)в

РГк (^) + М11[^+1]+ £ £ М^--1^^)^

5=2 3=1

к+1

+ Ё Мц1Рк+1(С (г))]=0. (23)

3=2

Зидно з (17), (22) виконуеться р1вшсть

Р^к а + Ми^] = —(д — 1)&1М11 + р+к (£(г)),

де РУ+к(^(г')) — та частина виразу Р^+к(^(г')), яка те кистить ^к+1- Тод1 ¿з р1вняння (23) дктанемо таку рекурентну формулу для знаходження коефщентав розвинення (21):

[ д+к-11

л [ д-1 1Я+к-( Я-1)в

^(г) =-1-V у М33[Р'1+к-^-1)5(с(г))]+

k+1

+ £ Mji [P,k+1(£(i))]], k = 1, 2,... ,i = М-Г. j=2

Шдставивши ряд (21) у (18) i здшснивши isi.uioisi.uii .ü'i над формальними рядами та згрупувавши доданки з однаковими степенями дктанемо формальш розви-нення для вектор-функгщ vi(t,s):

<х

Vi(t,e) = т + ^ ßk vki) (t),i = TTq—i, k=1

коефщенти яких виражаються формулами

[ 1 k-(q-1)s

vf(t)=Y Ё GMjs[P^k-(q-1)s (e(i))]^,k =1, 2,....

s=0 j=1

Таким чином, за виконанням умов (8), (20), однородна система (3) мае p фор-мальних розв'язюв, що вщповщають скшченному елементарному дшьнику, виг-ляду (4) та q — 1 формальных розв'язюв, що вщповщають нескшченному елементарному дшьнику, вигляду (15).

Частинний розв'язок неоднородно!' системи (1) шукаемо у вигляд1

x(t, s) = V(t, s),

де VV(t,s) — п-вим1рна вектор-функщя, що зображаеться розвиненням

<х

V(t,s) = £ skVk(t). (24)

k=0

Шдставивши останне розвинення у систему (1) i прир1внявши вирази при одна-

s

k

Ao(t)Vk (t) = B(t)VVk-h(t) — £ Mt)Vk-i(t) — fk (t),k = 0,1,....

i=1

Нехай

det A0(t) = 0,yt E [0; T], (25)

тод1 i3 останньо! системи одержимо

k

Vk(t) = A-1 (t)[B(t)V'k-h(t) — £Ai(t)Vk-i(t) — fk(t)],k = 0,1,.... (26)

i=1

Припустимо тепер, що виконуються умови:

Re\0(t) < 0, Ref1°(t) < 0,i = TJ, Re^j) > 0, j = l + 1,q — 1. (27)

Тод1 розв'язок крайово1 задач1 (1), (2) будуемо у вигляд1 суми лшшно! комбшацй розв'язюв однородно! системи i частинного розв'язку неоднородно!' снстемн:

p г-1

x(t, е) = ßi^'^Y Ui(t, ßi)ci(z) exp(e-h \(т, ßi)är) +

i=1

>0

ft

är

ß- £ vi(t,ß2)Ci(e)exp(e h —--) +

j=1 Jo &(.T,ß2)

q-1 r- T äT

+ßl(q~l~2)J2 Vi(t,ß2)Ci(e)eM-e~h ~7T~ \)+ C(t,e), (28)

де ci(e), i = 1,p Cj(е), j = 1,q — 1 — скалярш множники, яю розкладаються в формальш степенев1 ряди

те

Ci(e) = Y ß' Ci,i = hP, k=0

<x

Cj (e) = Y ß'CKj = 1,q — 1,ß = Р(д-1Ге,

k=0

коефщенти ЯКИХ Ck у Ck у k = 0,1,..шдлягають визначенню i3 крайово! умови (2). Поставивши вектор (28) у крайову умову (2) i знехтувавши, на шдстав1 умови (27), експоненщально малими доданками, отримаемо:

pl ß-(p-1)(q-1^ Mui(0, ßi)Ci(e) + ß~(l~1)pY Mvi(0, ß2)C(e)+

i=1 i=1

q-1

+ß-(q-l-2)pY NVi(T,ß2)Ci(e) = ä(e) — MC(0,e) — NC(T,e). i=l+1

Припустимо, p > q — 1. Тод1 (p — 1)(q — 1) > (l — 1)p,

(p — 1)(q — 1) > (q — l — 2)p. Помноживши останне р1вняння на ß(p-1)q-1 i npnpiB-

ß

[1 [ k-(q-1)(p-1)+p(l-1) ,

p [ q— 1 1 l [ p 1

(q-1)j + E E MVT (0Ck-(q-1)(p-1)+p(l-1)-pj +

i=1 j=0 i=1 j=0

, k — (q—1)(p—1)+p(q — l — 2) , 1 [ p ]

q-

Vj (T)Ck-(q-1)(p-1)+p(q-l-2)-pj = l k — (l—q1}'f) — 1) ■

i=l+1 j=0

+ E E Nj (T)Ck-(.q-1)(p-1)+p(q-l-2)-pi = l ———P—1) ,k = 0, 1

(29)

де lk = dk — Mvk(0) — Nvk(T), причому la = ^що a те дшиться на b або | < 0. Нехай

det Uo = 0, (30)

Uo = [Mp(0),MH (0)B(0)p(0),..., M [H (0)B(0)]P-V(0),

MV(0),MG(0)Ao(0)V(0),..., M[G(0)Ao(0)]i-1V(0),

NV(T), NG(T)Ao(T)V(T),..., N[G(T)Ao(T)]q-l-2L(T)].

Шдставимо вщповщш вектор-функгщ у систему (29). Взявши до уваги (7), (19) i змшивши порядок сумування, дктанемо

[ qh 1[ ¿г 1

Е Е Е Pj(A(i)(0))cÜ^(q_1)jM(HB)>(0) +

i=1 s=o j=s

[ k-(q-1)(p-1) + p(i-1) 1 [ k-(q-1)(p-1)+p(i-1) 1

+E E E pjj & (i)(0))vk^ (q_1)(p_1)+p(l_1)_pj M (GAo)sK(0) +

i=1 s=o j=s

[ k-(q-1)(p-1)+p(q-l-2) 1 [ k-(q-1)(p-1)+p(q-l-2) 1

q—1 [ p 1 [ p 1

+ E E E Psj (^(i)(T))Vfc—— (q-1)(p-1)+p(q-l-2)-pj X

i=l+1 s=o j=s

xN (GAo)sV(T )= Vk ,k = 0,1,..., (31)

~ p [ -1

lk = lk (q i)(p г) — ЕЕ MHLo jK(0)ck_( 1)j

p(q — 1) -' ^-' 'P УЧ 'J

i=1 j=o

1 [-11 . [q 11 [ p 1j-p

E E EEmh Lrs[p;-ps(A«(ö))]ck!(,-1)j ^(0)-

P q 1 L p J j-ps

MH V [Pj-Ps(\(i)(0))L

~Jk-(q-i=1 j=o s=1 r=1

[ k (q 1)(p 1)+p(l 1) 1 [ 1-11 . ,

l [ p 1 [ q—11 j-(q-1)s

ЕЕ ЕЕ Mrs[pr(q-1)s(z(i) (0))]vki^(q-1)(p-1)+p(i-1)-pj

i=1 j=1 s=1 r=1

X

[ k (q 1)(p 1)+p(l 1) 1

k (q 1)(p 1)+p(l 1)

Li)

q-1.....„,-(q-1)(p-1)+p(l-1)-pj

XMGL(0) ^ ]>] MGMo,^ ^M0)^(q-1)(p-1)+p(l-1)-

i=1 j=o

[ k (q 1)(p 1)+p(q l 2) 1[ j-11 .

q-1 [ p 1 [ q-11 j-(q-1)s

E E ЕЕ Mrs[Prj-(q-1)s(£ (i)(T ))]Vk-(q-1)(p-1)+p(q-l-2)-pj X

i=l+1 j=1 s=1 r=1

[ k-(q-1)(p-1) + p(q-l-2) ,

q-1 [ p ]

xNG^(T) - £ £ NGM0,j (ТШ^-^-^-г-^-

q-1

i=l+1 j = 1

Проанал1зуемо одержан! р1вняння. При k < (q- 1)(p- 1) у цб ршняння входять вектори M(HB)V(0), s = 0,p - 2, M(GA0)i^(0), i = 0,l - 2, N(GA0)j¡p(T), j = 0, q - l - s, яю e стовпцями матрищ U0. А оскшьки матриця U0 неособлива, то щ вектори лшшно незалежш. KpiM того, lk = 0 при k < (q - 1)(p - 1). Тому, враховуючи лшшну незалежшсть цих вектор1в, i3 (31) дштанемо

Р [q-1]

(A(i)(0))cÜ^(q-1)j = 0, s = 0,

i=1 j=s

' k '

0,

[q - 1J

[ к (q 1)(p 1)+p(l 1) ]

s = 0,

k - (q - 1)(p - 1) + p(l - 1) P

s = 0,

k - (q - 1)(p - 1)+ p(q - l - 2)

p

Розглянемо р1вняння (31) при k = (q - 1)(p - 1):

Р Р - 1 Р - 1

EEE^ (A(i)(0))C(q-1)(p-1)-(q-1)j M (HB )>(0) +

i=1 s=0 j=s

l l-1 l-1

\s:

+ E E E Pjj (^ (0))2gl-1)-pjM(GAo)s£(0)+

i=1 s=0 j=s

(32)

E E pj ^(i)(°))i-(q-1)(p-1)+p(l-1)-pj =0, (33)

i=1 j=s

[ к (q 1)(p 1) + p(q l 2) J

q-1 L p J

E E Pj' К (i)(T ))^f^(q-1)(p-1)+p(q-l-2)-pj =0, (34)

i=l+1 j=s

q-1 q-l-2 q-l-2

+ E E E Psj(£(i)(T))^(q-l-2)-pjN(GAo)sm = lo- (35)

j=l+1 s=0 j=s

Розкладемо вектор l0 за векторами базису M(HB)s^(0), s = 0,p - 1 M(GA0)iip(0), i = 0,l - 1 N(GA0)j(p(T), j = 1, q - l - 2:

p-1

l0 = E «s(q-1)(p-1))M (H (0)B (0))V(0) +

s=0

l-1

+ Е aP^^ M (G(0)Ao(0))sC(0)+

s=0 q-l-2

+ E ®PH-P-1))N(G(T)Ao(T))sC(T).

s=0

Враховуючи лшшну незалежшсть базисних вектор1в, з р1вняння (35) дктанемо

ЕЕ pj(¿40))$-^)-—» = a{q-1)(p-1),s = wp—r,

i=1 j = s

ЕЕ pj №(0)^

i=1 j = s q-1 q-l-2

E E pj(z{i)(T))

p(l-1)-pj ap+s

(q-1)(p-1)

((q-1)(p-1))

s = 0,l- 1,

>(t(i)(T ))C) . = a

p(q-l-2)-pj "p+l+s

s = 0, q — l — 2.

(36)

(37)

(38)

i=l+1 j=s

Взявши p — 1 р1внянь i3 системы (32) (при k = (q — 1)s, s = 0,p — 2) i останне р1вняння i3 системи (36) (при s = p — дктанемо систему p р1внянь вщносно

• (i) ■ 1-

c0 i = 1 , p

Ec? = 0.

i=1

Е A?\0= 0

i=1

Е

i=1

[A(1i)(0}]p-2c0i) = 0,

E

i=1

[A(1i)(0)]P-1c(0i) = aP--1)(p-1)),

яку можна записати у вигляд!

W1

1

Wc = mo,

1

Ai1)(0) A1*> (0)

V (A(11)(0))P-1 (A12)(0))P-1

(2)

A1P)(0)

(A(p)(0))p-1

1

C0 = соКСЛ c02), ---,c0p)), m0 = col(0, - - -, 0, aP(_q-1)(p-1))).

Визначник матрищ W1 e визначником Вандермонда, i, отже, не дор1внюе нулю, оскшьки A<1i)(0) = Aj)(0) при i = j. Отже,

С0 = W 1 m0-

Взявши р1вняння i3 (33) при k = ps + (q - 1)(p -1) -p(l - 1) s = 0, l - 2 i останне р1вняння i3 (37) (при s = l - 1), дштанемо аналопчну систему р1внянь вщносно

сталих с

(i)

0

1, l:

C0i) = 0,

Е

i=1

Е e!i)(0)c0i)

i=1

Et^Si)(0)J

l-2 (i)

0

i=1

E[^Si)(0)J

(i) l-1 (i)

a

((q- 1)(p-1)) p+l-1 '

i=1

або у векторно-матричному вигляд1

W2C0 = m 0,

W2

е(1)(0)

eil)(0)

V (с!1)(0))1-1 --- (dl)(0))l-17

С = соЦСДСД - - -,c0l)) С0 = col(0, - - -, 0, aP(+l--11)(p-1))^. Оскшькп ^(0) = Й°(0), i = j, то det W2 = 0 i, отже,

С0 = W2-1 ТП0-

Нареши, взявши i3 системи (34) q - l - 2 р1внянь: при k = ps + (q - 1)(p - 1) -p(q - l - 2) s = 0, q - l - 3 i останне р1вняння з (38) (при s = q - l - 2), отримаемо систему р1внянь вщносно сталих С^г) з шдексами i = l + 1, q - 1:

Е c0i) = 0.

i=l+1

q-1

E ^(T)c(i)

i=l+1

0

0

0

1

1

0

0

Е № (T)]

i=l+1

(i)(T )]q-l-^C^) = 0

Е lt?(T)]

i=l+1

-l-2 (i) ((q-1)(p-1))

со = a

p+q-2

яка у векторно-матричнш форм1 записуеться у вигляд1

W3C0 = m о,

W

3 =

( 1 .

ü+x\t ) ■

\ (^i+1)(T^q^-2 .

Со = сol(C(l+1),Cl+2).,Cq-1)), то = col(0, при i = j, то i det W3 = 0, i, отже,

1

Üq-1)(T) (£i-1)(T)У--2 )

Д a««:^-1»). Оскшьки $ =

со = w3 1m 0.

Аналоично знайдемо стал1 c^, i = 1,p C^, j = 1,q — 1, k = 1, 2,....

Переконаемося, що побудований таким чином формальний розв'язок мае

m

xm (tj е) ß

P m [ q—11 „t

-(p-1)(q-1)EEßk(E Uf^ctq--),)exp(e-h A«^^)+

о

i=1 k=0 j=0

mp

+ß-(l-1)P E E ßkE vf (t)Ck-pj) exp(e-h / i=1 k=0 j=0

äT

q-1 m [p 1 „

ß-(q-l-2)pY Eßk(EvftClpj)exp(—e-h /

i=l+1 k=0 j=0 Jt

0 £m(T,ß2) T äT

) +

t £m(T,ß2)

) +

[ p(m—1)] + E ßkp(q-1)Ck(t),

k=0

M __im] _

Am)(t,ß1) = Ao(t) ßk A(k),i=1,p, cm)(t,ß2) = e ßk üj)(t),j = 1,q—1.

k=1

k=1

k

t

Подавши шуканий розв'язок задач! (1), (2) у вигляд1 x(t,e) = xm(t,e) + ym(t,e), дктанемо таку крайову задачу вщносно нев'язки ym(t,e):

ehB (t) dym = A(t,e)ym + ßm-(p-1)qC(t,e), (40)

dt

Mym(0, s) + Nym(T, s) = ßm+p+q-pqb(s), ß = p(q-^£) (41)

де a(t,s), b(e) — деяю обмежеш вектори.

Як показано в [2], фундаментальна матриця однорщно! системи (3) зобра-жаеться асимптотичною формулою

X(t, e) = [Umi} (t, e) + O(sa); U^ (t, e) + O(ea)J x

xdiag{exp(e-h / Am)(r,e)dr);exp(-e-h / Лm)(т,£)dт)},

J0 Jt

В ЯКШ

m - (p - 1)q - hp(q - 1)

p(q - 1) '

^m)(t,e)=dm g{Am)(t,£),---,Am)(t,£), (m (t,e))-1,---, (cm^e))-1}, Л^^а) = diag{(emm+1)(t,e))-1, - - -, (ml-2)(t,e))-1},

Um(t,e) — прямокутна n x (p + ^-матриця, стовпцями яко! e вектори uUml(t,e), i = 1,p, Vm(t, e), j = 1, l, a U$(t, e) — n x (n - p - l - 1)-матриця, стовпцями яко! e вектори Vm(t,e), j = l + 1, q - 1, де

mm

«m>(t,e) = y tf uki (t), i=1,p,vmm) (t,e) = e ^ vij)(t),j = 1,q -1-

k=0 k=0

Аналопчно виразимо й фундаментальну матрицю спряжено!' системи ehdt B *(t)y = -A*(t,e)y.

Y(t, e) = [U^) (t, e) + O(ea); U^ (t, e) + O(ea)J x

xdiag{exp(e-h / Л^* (r,e)dr);exp(-e-h / Л^* (r,e)dr)}-0t

Елементи матриць Um (t, e), i = 1, 2 визначаються i3 спряжено! системи за тим же алгоритмом, що i елементи матриць U^t! (t,e), i = 1, 2. Введемо позначення

Ym^eH dia g{exp(eh/ \m)(r,e)dr), 0},

0

cT

Ym2)(t,e)^ag{0, exp(-e-h Л® (r,e)dr)}

t

де нульсш блоки мають розм1ршсть (n — 1 — l) х (n — 1 — l) i l х l вщповщно. Тод1

X (t,e) = X1(t,e)+ X2(t,e),

Хг(г,е) = [и£>(1,е) + 0(£а); и(2)(г,е) + 0(ё*)]У®(г,е),1 = 1,2.

Тод1 згщно з [2, с.62-64] загальний розв'язок системы (40) можна подати у вигляд1 ут(г,е) = X(г,е)е(е)+ [ Хг(1,£)У*(т,£)д(т,фт + / Х2(1,£)У*(т,£)д(т,£)ё.т-

.7 0 иТ

Пщставивши

цей вираз у крайову умову (41), встановимо, що ¿з не!' однозначно визначаеться вектор е(£), а шуканий розв'язок задач! (40),(41) виражаеться формулою

ут(г,£) = (Сд)(г,£)+^т+р+1-р1х(г,£)([ми£\о,£)-, ми(2)(1,£)]+0(£а))-1ь(£), (42) у якш

(Сд)(1,£)= Оо(Ь, т, £)д(т, е)йт+ 0

+Х(г,£)([миЦ\0,£); ми(2)(т,£)]-1 + 0(£а))(М^(0,£) + Щ(Т,£)) - &,£), С (г,£) = т(А^,£)Ф,Ф)-1Гд^,£),

а С(Ь,т,£) — матриця Грша, яка мае наступну структуру:

7(1)( >т

(Um(t, е) + O(ea))exp (e-h £ Лi1)(s,e)ä^j х х [U^T е) + 0(еа)] + Km(t, t, е),

Go(t, t, е) = <

якщо 0 < t < t < T, (Ui2)(t,е) + O^+^exp (—е-11 Ц Л(2) (s^ä^j x

x (Ü$*(t, е) + 0(ет+1)) + Km(t, t, е),

якщо 0 < t < t < T,

Km(t, T, е) = (Um(t, е) + 0(еа))(У(1 (t, е) + Y(2(t, е))х x([MU.(1) (0, е); NUi2)(T,е)] + 0(еа))-1х

х [(Мит(0, в) + 0(е*)) ехр(—Л в^фт^т, в) + 0(ва)) —

-тт(Т, в) + 0(еа)) ехр(е-1г £ (в, в^фЦ»(т, в) + 0(еа))].

Взявши до уваги, що

[Ми(1)(0, е) + 0(еа); Ми(2](Т,е) + 0(еа)]- = ^-(р-1)(9-1)Я(в),

де Я(е) — обмежена квадратна матриця (п — 1)-го порядку 1 врахувавши обме-жешсть вшх векторних 1 матричных функцш, яю входять у праву частину р1вноста (42) 1 перейшовши в нш до ощнок за нормою, дштанемо таку асимптотичну ощнку

ДЛЯ Н6В ЯЗКИ Ут(Ъ, в)-

\\Ут(Ъ,в)Н < -р(?-1)(^+1)-(р-1)(2?-1) =

У результат! проведених викладок приходимо до наступно'1 теореми.

Теорема 1. Якщо гранична в'язка матриць А0 — Х0Б мае на вгдргзку [0; Т] один сктченний елементарний дыьник краттстю р г один несктченний — краттстю д = п — р, М, N — прямюкутт матрищ розмлртстю (п — 1) х п, г виконуються умови 1° — 4°, (8), (20), (25), (27), (30), то при досить малих в гстуе единий розв'язок крайовог задачл (1), (2), що виражаеться асимптотичною формулою

х(Ъ,в) = хт (Ъ,в) + 0(в7),

де 7 = т-р(д-1)(^+—-)(р-1)(2—); а вектор хт(Ъ, в) зображаеться у вигляд'1 розви-нення (39), коефгщенти якого визначаютъся за описаним алгоритмам,.

Перелж цитованих джерел

1. В%ра М. Б. Двоточкова крайова задача для вироджених сингулярно збурених лшш-них систем диференщальних р1внянь / М.Б. ЕИра // Науковий часопис НПУ 1м. М.П. Драгоманова. Сер1я 1. <Мзико-математичш науки. Кшв: НПУ 1меш М. П. Дра-гоманова. — 2008. — № 9. — С. 47-64.

2. Самойленко А. М. Дшшш системи диференщальних р1внянь з виродженнями / Са-мойленко А. М., Шкшь М. I., Яковець В. П. — Кшв: Вища 2000. - 294 с.

3. Шкиль Н.И. Асимптотическое интегрирование линейных систем дифференциальных уравнений с вырождениями / Шкиль Н.И., Старун Н.И., Яковец В.П. — Кшв: Вища школа, 1991. — 207 с.

4. Яковець В. П. Про побудову асимптотичних розв'язюв двоточкових крайових задач для вироджених сингулярно збурених систем диференщальних р1внянь /

В. П. Яковець, М. Б. В1ра // Нелшшш коливання. — 2010. — Т. 13, № 2. — С. 272-286.

Получена 02.04-2011