CC BY
30
УДК 517.9
А.А. СТАКУН
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЙ
Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный и непрерывный спектры, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотика, спектральное разложение, полнота, краевая задача, контурный интеграл, уравнения смешанного типа, уравнение Шредингера, разделение переменных, задача Коши, устойчивость решений.
Изучена задача Коши на полуоси и всей числовой оси для уравнения смешанного типа и родственных с ним параболического (гипоэллиптического) уравнения и нестационарного уравнения Шредингера. Решения структурированы с помощью индефинитной метрики и имеют конкретный вид, позволяющий решить вопрос об их области существования и устойчивости. Использованы полученные ранее автором спектральные разложения для дифференциального оператора специального вида.
A.A. STAKUN CAUCHY PROBLEM FOR A CLASS OF EQUATIONS
Key words: operator, resolvent, discrete and continuous spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, completeness, boundary problem, contour integral, equations about a different type, Schrodinger equation, Cauchy problem, equation stability.
The present article considers the Cauchy problem for some classes equations about a different type and for associated Schrodinger equation and parabolic equation on the axes or infinity part of the axes. The indefinite inner product is useful for classification of this problem. The consideration concerned with the author's article associated with eigenfunction expansions for differential operators about a special type.
Понятия и обозначения, используемые ниже без пояснений, можно найти в [1, 5, 7]. Применяемые в различных оценках константы c, 8, s, если это не оговорено (например, с(Х)), зависят только от оператора и областей изменения параметров и переменных, которые всегда указываются.
§ 1. Необходимые сведения. Рассмотрим оператор
Lu = -u" - Xq(x)u, q(x) = sign(x),u(-b) = 0,b > 0;
X = a + ix,ц = s + i0,X = ц2,u(-0) = u(+0),u'(-0) = u'(+0) . (1)
Несмотря на несколько частный вид оператора (1), его теория достаточно сложна - соответствующее спектральное разложение обобщает классическое синус-преобразование Фурье (при граничном условии u(-b) = 0, косинус-преобразование) и требует использования индефинитной метрики. Условие u (-b) = 0 используется для компактности изложения, более общее условие au(-b) + cu (-b) = 0 рассматривается аналогично. Результаты переносятся на случай достаточно произвольной функции q(x) (со скачком в нуле).
В работе [10] изложена спектральная теория вышеуказанных операторов, в частности найдены соответствующие спектральные разложения. Данная работа посвящена решению краевых задач (задач Коши) для соотносящихся уравнений с частными производными, что и изложено в следующем параграфе. Здесь приводится необходимая для этого сводка результатов.
В дальнейшем мы используем следующие решения уравнения Lu = 0:
1. Im ц > 0,0 < x < да : Y = exp(/|ox);
- b < x < 0: Y = ((1 - ^ехр(-цт) + (1 + i)exp(^r)) / 2, i2 = -1; (2)
2. Imц > 0,-b < x < 0: y = (-ехр(-ц(x + b)) + ехр(ц(x + Ь)))(2ц)-1;
0 < x < +да: у = (4ц) 1 ((-ехр(-цЬ) + ехр(цЬ)) + і(ехр(-цЬ) + ехр(цЬ))) х х ехр(-іцх) + (4ц)-1 (-ехр(-цЬ) + ехр(цЬ) - і(ехр(-цЬ) + ехр(цЬ)))ехр(іцх);
у (-Ь ) = 0, у ' (-Ь) = 1. (3)
Отметим, что:
Іт ц = 0: Y (х;-я) = Y (x; s), Vx є [-Ь; да); (4)
Іт ц = 0: у(х;-я) = у(х;5), Іту(х;5) = 0, Vx є [-Ь;да). (5)
Резольвента оператора (1) есть интегральный оператор ІГ1д с ядром
О = у(х)У(ґ)д(ґ)W^l[y■;Y],х< ґ. (6)
При х > ґ выражение для ядра симметрично, W[у; У] - вронскиан.
Спектр оператора (1) определяется обычным образом как особенности резольвенты. Во-первых, это нули знаменателя в (6), которые являются собственными числами оператора (1) (полюсы резольвенты). Получаем W[у;У] = -У (-Ь; ц) = 0 : (1 -і)ехр(-цЬ) + (1 + і)ехр(цЬ) = 0,
цп = і(п -1/4)(п / Ь), Хп =-((п -1/ 4)(п / Ь))2, п = 1,2,... (7)
Во-вторых, полуось X = о є [0; да) относится к непрерывному спектру оператора (1) (из-за очевидного скачка резольвенты (6) при переходе через эту полуось).
Рассмотрения ведем в гильбертовом пространстве 12[-Ь; да), но вместе с этим необходимо использовать в этом пространстве еще индефинитную метрику вида (соответствующее пространство обозначается І2 )
р +да ------
[и;у] = I q(x)u(x')v(x)dx . (8)
і -Ь
Собственные функции, отвечающие дискретному спектру (7), удобно выбрать так (см. (2), (3)):
ип = 8Іи((п/Ь)(п-1/4)(х + Ь)), х є [-Ь;0],
ип = ((-1)п+' /л/2)ехр(-(л/Ь)(п-1/4)х), х є [0;да), п = 1, 2,... (9)
Отметим, что при цп Ф цт (Хп Ф X т) соответствующие собственные функции ортогональны в индефинитной метрике пространства І2 , а именно:
р да
[ип; ит ] = \_ъЧипитЛх = 0, п Ф т. (10)
Непосредственно вычисляются нормы в указанной метрике
[ип; ип ] == Ь/2. (11)
«Собственные функции», отвечающие непрерывному спектру оператора (1) в определенном смысле, тоже удовлетворяют аналогу (10).
Приведем спектральное разложение (равенство полноты) [10], соответствующее оператору (1). Введем функцию у( х; я) в интервалах [-Ь;0], [0; да), соответственно, следующим образом:
_1_
у(х; я) = п 2(-ехр(-я(х + Ь)) + ехр(я(х + Ь)))(ехр(-2Ья) + ехр(2Ья)) 2;
у(х; я) = п 2 (ехр(-2Ья) + ехр(2Ья)) 2 ((ехр(-Ья) + ехр(Ья)) 8Іи(ях) +
+ (ехр(Ья) - ехр(-Ья))ео8(ях)). (12)
Спектральное разложение, отвечающее оператору (1) (с учетом (12)), имеет следующий вид [10]:
ад ад ад ад
и(х) = |у(х; s)ds | д(?)у(?; s)u(t-^ ип (х)(2/Ь){ д(?)ип(?)п(ґ)& . (13)
0 -Ь П=1 -Ь
Отметим это еще в виде стандартного равенства полноты, которое, кстати, демонстрирует ортогональность «собственных функций», отвечающих непрерывному спектру, в индефинитной метрике (8):
адад
{0 Лх;s)v(t;8^)^-£п=1(2/Ь)ип(х)ип(^) = 5(t-х), (14)
где 5(t - х) - дельта-функция Дирака.
Стандартным методом из (12)-( 14) получается аналог равенства Парсе-
валя (в индефинитной метрике (8))
2 2
{-^х)|и(х)\ ^={0Ш|-ЕГ=іКІ2 (15)
ад ад
для любой и є Х2[-Ь;ад) (Ь2 q), где А(я) = {qvudx, сп = V2/Ь {qunudx .
-Ь -Ь
Замечание 1. При Ь ^ 0 разложение (13) переходит в представление
рад р ад
и (х) через синус-преобразование Фурье и = (2/п){ 8Іп(5х)^ sin(st)u(t)dt.
Теперь рассмотрим случай, когда оператор (1) задан (без граничного условия у(-Ь) = 0) на всей числовой оси (х є (-ад;+ад)). В этом случае [10] дискретный спектр отсутствует, а непрерывный спектр - заполняет всю действительную ось в плоскости X . В результате получается спектральное разложение, обобщающее классический интеграл Фурье, следующего вида:
1 +ад 1 +ад
и( х) = ^= {v( х; я)и (s)ds , и (я) = ^= {q( x)v( х; я)и( x)dx . (16)
у1п -ад л/п -ад
Функция v( х; я) в (16) определяется так: я > 0, х < 0 : v(х; я) = ехр(ях); я > 0, х > 0 : v(х; я) = cos(ях) + sin(ях);
я < 0, х < 0 : v(х; я) = cos(ях) + sin(ях); я < 0, х > 0 : v(х; я) = ехр(ях).
Имеют место равенство полноты
<• +ад
I q(t)v(x; s)v(t; s)ds = 5^ - х) (17)
3 -ад
и равенство Парсеваля
{ q(x)|u(x)|2dr = { |и (З^2^-{ |и (у)2^, (18)
в соответствующей (8) индефинитной метрике
+ад
[и; v] ={ q(х)и (x)v(x)dx . (19)
-ад
Как в случае оператора (1), так и в случае оператора на всей оси порождается каноническое разложение [1. С. 27]
ь2л = П+ + П- (20)
на ортогональную в метриках (8), (19), соответственно, сумму инвариантных
подпространств (положительного и отрицательного в этих метриках [1. С. 9,
С. 26]), отвечающих соответствующим частям спектра этих операторов. Соотношение (20) согласуется с формулами (12)-(15) и (16)-(18) (см. также [10, 9, 8]).
Рассмотрим теперь оператор:
Ми = -и"-Хд(х), д = р(x)sign(х), р > 0, р(0) = 1, и(-Ь) = 0, (21)
где р(х) е С2[-Ь;+да). Далее, на р(х)(д(х)) налагаются дополнительные ограничения - подробности в работе автора [10]. Весовой множитель в (21) при х = 0 имеет такой же скачок, как и у оператора (1). Условия сопряжения при х = 0 для (21) совпадают с таковыми для оператора (1). Дискретный спектр оператора (21) действителен [10] и имеет асимптотику
ц п =п/| £(-Ь)|_1(п -1/4), X п =-п2|^(-Ь)| -2 (п -1/4)2, п = 1,2,....
Собственные функции ип = и( х; ц п) ортогональны в индефинитной метрике типа (8). Полуось X е [0; да) заполнена непрерывным спектром оператора (21). Справедливо [10] спектральное разложение
и( х) = ^да=1 ип (х) £Ь )ип ^ )и^ ^ ) |ип V )|2 Ж +
+ П52и(-Ь;5)| 2и(х; s)ds д({)и(^ 5)и(^)Ж^. (22)
Имеют место аналоги (14), (15), (20). Подробности - в работе автора [10].
§ 2. Краевые задачи. Полученные результаты позволяют достаточно полно изучить структуру решений краевых задач для соответствующих уравнений с частными производными, в том числе смешанного типа (дифференцирование по переменной задается с помощью соответствующего нижнего индекса). Далее через t будем обозначать переменную в уравнениях, а при использовании формул из предыдущего параграфа (там это была переменная интегрирования) будем использовать Е или I.
Рассмотрим следующую задачу (и(х; t), х е [-Ь; да), t е [0; да)):
д(х)иа - а2ихх = 0,и(х;0) = ф(х), и (х;0) = у(х),и(-Ь;0) = 0. (23)
Формально это задача Коши на полупрямой с однородным граничным условием в левом конце. Но уравнение в (23) - гиперболическое при х е [0; да) и эллиптическое при х е [-Ь;0). Естественно, при этом добавляется условие склейки (по аналогии [11. С. 147]):
и (-0; t) = и (+0; t), их (-0; t) = их (+0; t). (24)
Для компактности изложения мы опускаем рассмотрение случая, когда в правой части уравнения стоит функция / (х; t), а граничное условие в левом конце - неоднородно, хотя в рамках применяемого метода это возможно.
Разделяя переменные и используя (12)-(15), получаем, пока формальное, решение задачи (23)-(24):
и(х; t) = -хда= (фпск(а(%/Ь)(п -1/4)?) + уп (а(п/Ь)(п -1/4))-1 х х5Й(а(п/Ь)(п- 1/4)0)ип(х)42ГЬ +1 (Аф(5)ео8(а^) +
+ Ау (5)(а5)-1 8т( аи1 ))у( х; 5)Ж5, (25)
где в (25) коэффициенты находятся следующим образом:
I» со і---- I» со
Фп =J-Jq(xW2/Ьип (х)ф( х)^х, (я) = ]-г^(х)ф(х>(х; ^х, (26)
у п, Лу (я) - определяются аналогично (26). Причем ип (х) - определены в (9), v(х; я), соответственно, в (12), но иногда удобен ее следующий вид v(х;5) = 2sh(s(х + Ь))/тіЇЛСмтЬ), х є [-Ь;0], v(x;я) = (2ch(Ьs)sin(sx) + 2sh(Ьs)cos(sx))/ ^/2п • ch(Ьs), х є [0;ад). (27)
Для анализа, пока формального, решения (25) используем индефинитную метрику (8) пространства Ь2ч [-Ь; ад). Отметим, что (12)-(15) порождает
каноническое разложение [2. С. 31] пространства Ь2ч [-Ь; ад) в прямую ортогональную (в смысле метрики (8)) сумму вида (20)
Ь%ч [-Ь; ад) = П++П- , (28)
соответственно, положительного и отрицательного инвариантных подпространств оператора (1), которые соотносятся с соответствующими частями его спектра. Предполагаем, что, как минимум, ф, у є Ь2ч [- Ь; ад). Согласно
(28), ф, у разлагаются на ортогональные (в метрике (8)) составляющие Ф±, у± є П±, для которых в разложениях (12)-(15) присутствует либо только интеграл (по непрерывному спектру оператора (1)), либо только сумма (по дискретному спектру). Рассмотрим следующие три случая.
1. Пусть ф(х), у(х) є П+ (фп, уп = 0, п = 1, 2,...), т.е. фактически мы изучаем «часть» решения (25), отвечающую ф+, у+ . Для компактности изложения рассмотрим сначала случай, когда у(х) = 0 . Представим ф = ф1 + ф2, где ф1 = ф, х є [-Ь;0]; ф1 = 0, х є (0; ад), ф2 = 0, х є [-Ь;0]; ф2 = ф, х є (0; ад). Из представлений (12)-(15) следует, что при х є[-Ь;0] для ф1( х) возможно «естественное» продолжение (как минимум, в метрике Ь2) в полосу ^ = х + іу, у є (-ад; ад), причем ф1 (х - іу) = ф1(х + іу). При очевидных дополнительных условиях на ф(х) - это продолжение будет гладким (аналитичным). Еще для х є [0; ад), используя (12)-(15), очевидным образом выделяем соответствующие компоненты для представления следующего вида ф2 (х) = ф2п (х) + ф^ (х). После сделанных разъяснений на основе (12)-(15), (25) получаем:
и(х; t) = (ф1(х + іМ) + ф1(х -іМ))/2 = Яе(ф1(х + іМ)), х є [-Ь;0] , t > 0;
и(х; t) = (ф2 (х + а) + ф2(х - а)) /2, х є [0; ад), х - а > 0; (29)
и( х; 0 = (ф2( х + М) -ф2п(М - х) + ф>с2!’(М - х))/2, х є [0; ад), х - а < 0. (30)
Из (29)-(30) следует, что в рассматриваемом случае решение (25) определено корректно (при минимальных требованиях на ф(х)), локально принадлежит Ь2, (т.е. понимается как обобщенное), начальному условию удовлетворяет в соответствующей метрике.
При дополнительных ограничениях на ф(х) решение будет, соответственно, гладким (классическим). Кроме того, в каждом случае после введе-
ния соответствующих метрик можно показать устойчивость решения (т.е. непрерывную зависимость от ф(х)), естественно, ф(х) меняется в пределах
П+ в соответствующем классе. Изложение этих вопросов выходит за рамки одной статьи, подробнее их здесь мы не рассматриваем.
В случае, когда у( х) не тождественный нуль, рассмотрения аналогичны проведенным, только в (29)-(30) появятся еще интегралы. Соответствующих формул мы здесь не приводим. Отметим только определенную аналогию с формулами Даламбера [11. С. 49].
2. Через В (к) обозначим инвариантное подпространство, натянутое на собственные векторы {ип (х)}п=к . Пространство П_ есть ортогональная (в метрике (8)) сумма П_ = В(к) + П- . Пусть теперь ф(х), у(х) е П++ В(к), тогда имеем разложение на ортогональные (в (8)) составляющие ф = ф+ + ф-, у = у+ + у- . Решение и+ (х; t), отвечающее ф+, у+ рассмотрено в предыдущем пункте (п. 1). Решение (25) и( х; t) = и+ (х; t) + и- (х; t), где
и- (х; ^ = -^п=1(фпС^(а(п / Ь)(п - 1/4)0 + у п (а(п / Ь)(п -1/4))-1 х
х 5Й(а(л / Ь)(п - 1/4У ))ип (х)42/Ь. (31)
Решение (31) корректно для t > 0, его гладкость определяется гладкостью ип(х). Устойчивость рассматривается для t е [0;Т], УТ > 0.
3. В случае, когда просто ф, уе Ь2д [-Ь; да), для корректности определения решения (25) необходимо накладывать дополнительное условие. Например, достаточное условие вида
Епфп, уп\ехР(а(п/Ь)(п -1 / 4)Т) < да (32)
при некотором Т > 0 обеспечивает корректность определения решения и_ (х; t) (с суммированием в (31) до бесконечности) для t е [0;Т), его соответствующую гладкость и устойчивость (в классе (32)).
Рассмотрим теперь следующую задачу (и(х; t), х е [-Ь; да), t е [0; да)):
д(х)и( - а2ихх = 0, и(х;0) = ф(х), и(-Ь;0) = 0 (33)
при дополнительном условии сопряжения (24). В целом ее рассмотрение аналогично предыдущему. Формальное решение имеет вид
и (х;t) = -ЕГ=1 (фп ехР(( а(п / Ь)(п -1 / 4))21: )уР2/ьип(х) +
+10 Аф(5)ехр(-а2520у(х;5)Ж5. (34)
Рассмотрим, как и выше, три случая.
1. Пусть ф(х) е П+ (фп = 0,п = 1,2,...), из (34) получаем
и(х;?) = | (Аф(^)ехр(-а252?)у(х;5)Ж5. (35)
Решение (35) определено при х е [-Ь; да), t > 0, его гладкость определяется гладкостью у(х; 5), при t > 0 это решение бесконечно дифференцируемо по ?. При t > 0 решение (35) удовлетворяет уравнению в классическом смысле. В общем случае начальное условие выполняется в метрике Ь2. Устойчи-
вость также рассматривается в общем случае в той же метрике. Вопрос о сходимости к начальному условию в других топологиях (при дополнительных условиях на ф) и соответствующей устойчивости остается за рамками этой статьи. Для записи решения можно использовать функцию Грина, которая выписывается явно:
К1 (х;І;t) = -q(l)е-а2*2' х + Ь)) я^яСІ + Ь))^,-Ь < х,І < 0,0 < t;
К2(х;І; t) = 4{; q(l)в~а2'2‘ ^,0 < х, І < ад,0 < ^
п 0 с^(2^Ь)
2 ,да а2.2, V(х. 5)У№ 5)
п} 0 ск^Ь)
У (х; I) = ск(Ь5)$,т( 5х) + 5Й(Ь^) ео8(^х), К (х; I; ?) = diag{Kl; К2} (36)
Теперь решение (35) можно записать так:
(•СО
и(х; ?) =Г К(х; I; ?)ф(/)Ж1. (37)
Л-Ь
Свойства ядра (36) легко изучаются, что позволяет, в частности, рассмотреть вопрос о сходимости к начальному условию (в разных топологиях).
2. Пусть ф ортогональна П-, т.е., ф = ф+ + ф_, ф_ е В(к), тогда
и(х; ?) = и+ (х; ?) + и_ (х; ?), где первое слагаемое отвечает ф+ и находится по формуле (37). Второе, согласно (34), имеет вид
и(х; ?) = -^п=! (фп ехр((а(п /Ь)(п -1 / 4))2?)42Гь^ (х). (38)
Решение (3 8) найдено для ? > 0, его гладкость зависит от гладкости ип (х), бесконечно дифференцируемо по ?, устойчиво для ? е [0;Т).
3. Наконец, в общем случае ф е Ь2д [-Ь; да), как и ранее, для корректности решения (34) необходимы дополнительные условия (аналогичные (32)). Например, условие следующего вида
Еп|фп|ехр((а(п/Ь)(п -1/4))2Т) < да. (39)
Условие (39) обеспечивает существование решения для ? е [0;Т), его, соответствующие, гладкость и устойчивость.
Рассмотрим следующую краевую задачу (аналог нестационарного уравнения Шредингера)
-/д( х)и? - а2ихх = 0, и( х;0) = ф( х), и(-Ь;0) = 0 (40)
при дополнительном условии сопряжения (24). Решение имеет вид и( х; ?) = -£“ 1 (фп ехр(/(а(п / Ь)(п -1 / 4))2 ? )42ГьЫп (х) +
+1да Аф (5) ехр(-/а2 52? )у( х; 5)Ж5. (41)
Решение (41) определено при любом фе Ь2д [-Ь; да) для всех ?, принад-
лежит Ь2 [(-Ь; да) х (0; Т)], начальное условие выполняется в метрике Ь2 (как и устойчивость). При дополнительных условиях на ф( х) получаются гладкие классические решения. Интересно отметить, что, несмотря на отсутствие в (40) потенциала, имеется бесконечное число связных состояний. «Свободное» движение отвечает ф(х) е П+ .
Далее используем разложения из §1 для изучения рассмотренных выше уравнений с частными производными в случае, когда х е Я .
Рассмотрим задачу Коши
#(х)ы,, - а2ихх = 0,и(х;0) = ф(х),и? (х;0) = у(х), х е (-да;+да). (42)
Далее изучение идет по схеме, примененной выше для задач на полуоси, только использовать будем результаты, изложенные в §1 для всей оси, в частности формулы (16)-(19).
Сначала рассмотрим случай ф = ф+ + ф-, у(х) = 0 (обозначения аналогичны использованным ранее, П± - видоизменились очевидным образом, согласно (16)-(19), но по-прежнему дают каноническое разложение Ь2д[Я]).
Продолжение в комплексную плоскость и выделение отдельных компонент делаются аналогично предыдущим. Приведем итоговые формулы.
Формальное решение:
ы(х;?) = | [Ф+ (^)оо8(а5?)]у(х;5)Ж5 +
С 0
+ | да [Ф_(^)сй(а5?)]у(х;5)Ж5 = и+ (х;?) + и_ (х;?).
Далее получаем:
ы+ (х; ?) = (ф+ (х + а?) + ф+ (х - а?)) /2, х - а? > 0, х е Я+;
ы+ (х; ?) = (ф+ (х + а?) + ф+оя (а? - х) - ф+т (а? - х)) / 2, х - а? < 0, х е Я+;
и+ (х; ?) = (ф+ (х + 1а?) + ф+ (х - 1а?)) /2, х е Я-. (43)
Заметим, что в (43) ф+ (х + 1а?) = ф+ (х - 1а?) и формула (43) вполне ассоциируется с формулой Даламбера. Что касается и_ (х; ?), то оно корректно определено, например, при дополнительном условии: Ф_ (5) - финитна на
- да или |°да [|Ф_ (^)ехр(-а^Т)]Ж5 <да. Во втором случае решение и_ (х; ?) рассматривается только для ? е [0; Т).
Если у(х) не тождественный нуль, формальное решение принимает вид: ы(х; ?) = | [Ф+ (5) ео8(а5?) + ^+ (5) 8т(а5?) / а^]у(х; 5)Ж5 +
Г 0
+ 1 [Ф-(5)сй(а5?) + ^_ (^)5Й(а5?)/а^]у(х; 5)Ж5 = ы+ (х;?)+и- (х;?). (44)
3 -да
Далее из (44) можно получить аналог (43), содержащий интегралы от у(х).
Рассмотрим следующую задачу Коши:
д(х)ы, - а2ихх = 0, ы(х;0) = ф(х), х е (-да;+да). (45)
Используем формулы (16)-(19). Приведем формальные решения для (45):
/• со
и+ (х;?) = I д(/)К1(х;1;?)ф+ (I)Ж1, ? > 0; х, I е [0;да);
0
0
ы+ (х;?) =1 д(/)К2(х;/;?)ф+ (I)Ж1, ? > 0; х, I е[-да;0); (46)
3 -да
1 р да 2 2
К1 = —I [ео8(^(х -1)) + 8т(5(х+1))]ехр(-а 5 ?)Ж5; п •'0
1 /* 2 о
К2 = —I ехр(5(х +1))ехр(-а 5 ?)Ж5. п0
Другая составляющая решения имеет вид:
и-(х;?) =1 ехр(а2$2? + 5х)Ф-(^/л/лЖ1, хе[0;+да);
3 -да
и_(х;?) = I ехр(а252?)(оо8(^х) + 81п(^х))Ф-(^/л/ЛЖ1, х е [-да; 0). (47)
Решение (47), в отличие от (46), корректно определено при дополнительных условиях, например аналогичных приведенным в предыдущем пункте.
Как и в (40), рассмотрим задачу Коши для аналога уравнения Шредингера
- 1д(х)и? - а2ихх = 0, ы(х;0) = ф(х), х е (-да;+да) (48)
при условии сопряжения (24). Формальное решение имеет вид:
Р да 2 2 Р 0 2 2
ы(х;?) = I Ф+ (5)ехр(-/а 5 ?)у(х;5)Ж5 + I Ф-(5)ехр(/а 5 ?)у(х;5)Ж5. (49)
3 0 * -да
Функция у(х; 5) задана в (16)-(19). Решение (49) понимается как обобщенное, когда ф(х) е Ь2(Я). При дополнительных условиях на ф(х) решение (49) имеет соответствующую гладкость. Во всех случаях решение устойчиво (в соответствующих классе и метриках).
Рассмотрим теперь оператор (21) с соответствующей ему формулой (22), реализующей спектральное разложение. В отличие от предыдущих случаев, когда функция д( х) имеет конкретный вид, в этом случае д( х) произвольная (разрывная в нуле) функция при указанных дополнительных условиях. Как и выше, в текущем §2, можно провести все рассмотрения типа (23)-(49) и получить аналогичные формулы и выводы, рассмотреть различные краевые задачи, отвечающие оператору (21). Естественно, решения не будут иметь столь законченный вид (из-за произвольности д( х)), но будут носить более общий характер.
Рассмотрения этой статьи связаны с работой автора [6], но там изучается иной класс уравнений. Дифференциальные операторы вида (1) на конечном отрезке рассматривались в [3. С. 200]. В работе [2] рассматривается случай краевых задач с разрывной д( х), но знак д( х) не меняется. Уравнения смешанного типа рассмотрены в работе [4], где есть обширная библиография.
Литература
1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.
2. Ильин В.А. Смешанная задача, описывающая процесс успокоения колебаний стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. С. 133-142.
3. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: Интернет-Университет Информационных Технологий, 2009.
4. Моисеев Е.И., Могими М. О полноте собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа // Доклады РАН. 2005. Т. 404, № 6. С. 737-739.
5. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999.
6. Стакун А.А. Краевые задачи, связанные с дифференциальными операторами с точками поворота / Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Чебоксары, 2010. 21 с. Деп. в ВИНИТИ РАН 08.11.2010, № 632-В2010.
7. Стакун А. А. О свойствах дифференциального оператора с кратной точкой поворота // Диффе-ренц. уравнения. 1987. Т. 23, N° 3. С. 993-999.
8. Стакун А А. О спектральных свойствах одного класса операторов // Современные проблемы математики, механики и их приложений: материалы Междунар. математической конф. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 50-51.
9. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса операторов // Актуальные проблемы анализа: тез. докл. Междунар. математической конф. Гродно.: ГрГУ, 2009. С. 97-99.
10. Стакун А.А. Спектральные разложения, связанные с дифференциальными операторами второго порядка // Вестник Чувашского университета. 2009. № 2. С. 13-19.
11. ТихоновА.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1986.
СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (asail1@mail.ru).
STAKUN ALFRED ANTONOVICH - candidate of physics and mathematical sciences, assistant professor of Higher Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
УДК 517.9
А.А. СТАКУН
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ В R
Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный, индефинитная метрика, эллиптический, псевдодифференциальный, тауберовы теоремы, асимптотика спектра.
Найдена асимптотика спектра эллиптического оператора при наличии знакопеременного весового множителя при спектральном параметре.
A.A. STAKUN
SPECTRAL THEORY FOR A CLASS OF OPERATORS IN Rn Key words: operator, resolvente, discrete, indefinite metric, elliptic, pseudodifferential, tauberian theorems, asymptotic behavior for eigenvalues.
The consideration concerned with an asymptotic formulas for the eigenvalues of an elliptic operator about an indefinite weight factor for the spectral parameter.
Рассмотрим операторный пучок
LX u = A — XB, (1)
где A - эллиптический дифференциальный оператор (с действительными коэффициентами) в Rn, B = q(x)E ,где q(x) - знакопеременная функция (Г0 : q(x) = 0). В дальнейшем по ходу изложения на B накладываются дополнительные условия (как и на A ). Понятия и обозначения, используемые ниже без пояснений, можно найти в [1, 4, 6].
В данной работе изучается характер спектра оператора (1) и найдена асимптотика спектра (в рассматриваемых случаях - всегда дискретен). При этом широко используется техника псевдодифференциальных операторов (ПДО) [13. C. 39; 14. C. 24], теория ядерных операторов [6. C. 290] и теоремы тауберового типа. Кроме того, используется еще метод эталонных уравнений (от одной переменной) - см., например, [S].
Для компактности изложения пусть коэффициенты в A, B класса Cад (R). Символ оператора A [13. C. 42] имеет вид (a - мультииндекс):
a( x; S) = х aa(x)S<a = am(x; S)+am-і( x; S),
|a|<m
am (x; S) = Х aa (x)Sa , a(x; S) є Slm (Rn), am (x; S) * 0, S* 0, (2)
|a|=m
§1. Случай ограниченных коэффициентов. Считаем, что a(x; S) є S1m (Rn)
равномерно по x є Rn, т.е. все соответствующие неравенства [13. С. 24] выполняются равномерно по x є Rn . Кроме того, a є HS1m,m (Rn), т.е. гипоэл-липтичен [13. С. 46] (т.е. A є Ні??(Rn)), в частности
З Cl, c2, r > 0: (1+|S|)mCl <|a(x; S) |< c2(1+1 S |)m, | S |^ r , (3)
Vx є Rn,3C3,C4 > 0: C3 | S |m<| am(x;S) |< C4 | S |m . (4)
