Задача Дирихле для уравнения Чаплыгина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 ББК В 161.62

А. А. СТАКУН

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЧАПЛЫГИНА

Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный спектр, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотика, спектральное разложение, краевая задача, уравнения смешанного типа, задача Дирихле.

Решена задача Дирихле для уравнения Чаплыгина на прямоугольнике. Использованы полученные автором результаты для дифференциальных операторов в пространстве с индефинитной метрикой с двумя точками перехода.

A.A. STAKUN THE DIRICHLET BOUDERY PROBLEM, ASSOCIATED WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS ABOUT TWO TURNING POINTS

Key words: operator, resolvent, discrete spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, boundary problem, equations about a different type, Dirichlet problem.

The present article considers the Dirichlet problem for some equation about a different. The indefinite inner product is useful for classification of this problem. The consideration concerned with the author’s article associated with spectral theory of a differential operator about two turning point.

§ 1. Спектральные свойства оператора. Изучается оператор (краевая задача)

где X - спектральный параметр. Оператор (1) связан с изучением краевых задач для уравнения Чаплыгина [10. С. 304], связанных с моделированием в аэродинамике больших скоростей.

В работах автора [7, 8] построены асимптотики решений уравнения 1хи = 0 в окрестности каждой из точек поворота х = 0, х = -а вида

При этом предполагается, что коэффициенты в (1) класса С (в соответствующей области). При обрывании ряда в (4) остаточный член равномерен (по х и X). Асимптотики можно дифференцировать. В нашем рассмотрении используются

бования на гладкость коэффициентов - соответствующие. В (4) о(х; X) есть решение уравнения

lXu = -u"-X2q(x)u -R(x)u, x є [-а; P]; q(x) = xr(x), x > -a, r(x) > O; q( x) = (x + a)r (x), x < O, -r1 (x) > O;

R( x) є C[-a;P]; r (x) єС 2(-а;Р), r( x) < c; r1(x) є С2[-а$], -r1(x) < c; а,Р,a > O; ^-а) = O, u(P) = O,

(1)

(2)

(3)

(4)

только первые члены, т.е. u(x; X) = o(x; X) + Ol —-[|u(x; X) + |o'(x; X)|] I. Поэтому тре-

1

X2

-о''-Х2ч(х)о-901(х)о = 0; (5)

0о,1 (х) = -д/ю'о,^ х) (1/д/ ю'о,1 (х))''; Юо,1 (х) = (-3 §0,1 (х)

х_____ 3

§о(х) = $у[д(()Ж, а^§0 = о, х > 0, arg§о = -% х < 0;

о 2

§1(х) = Ы - чУ)^; (6)

-а

о( х;Х) = «( х))-1/2(Х§о(х))1/3 г1/з(Х4о( х)); (7)

о( х;Х) = (0)1'(х))-1/2(-/Х^( х))1/3 г„з (-/Х§1 (х)). (8)

В формулах (7)-(8) 21/3 - функция Бесселя порядка 1/3 [11. С. 179]. Решение (7)

используется для х е [-а + е; Р] решение (8) - на [-а; -е], где е > 0 - любое (малое)

фиксированное число. Решения (4) «склеиваются» в точке х0 е (-а; 0).

Нам понадобятся сведения из теории функций класса К [5. С. 318] и из теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой [1. С. 14].

Ядро резольвенты оператора (1)-(3) (краевой задачи (1)-(3)) имеет вид

О(х; /; X) = у(х)Ц(/) / м>[у, Ц], х < /, (9)

для х > / выражение для О симметрично. В (9) у, и - решения уравнения 1Хи = 0, для которыху(к)(-а; X) = 51к, Цк)(Р; X) = 51к, к = 0, 1 (либо простоу'(-а) Ф 0, и'(Р) Ф 0).

Отметим, что -у'(-а)Ц'(-а) или у'(Р)Ц'(Р) могут играть роль характеристического определителя задачи (оператора) (1)-(3). Из (9) следует, что спектр оператора (1)-(3) дискретен, его собственными числами являются нули Д(Х) = ^>\у; Ц]. Задача (1)-(3) находится в пределах действия леммы о спектре, приведенной в работе автора [6]. В общем случае спектр оператора (1)-(3), в основном, действительный, за исключением, быть может, конечного числа взаимно сопряженных комплексных собственных значений X2,Х2^ (отвечающие или собственные векторы - нейтральны [1. С.13, 34]). Все рассмотрения данной работы проходят для общего случая, но для компактности изложения ограничимся случаем Я(х) < 0, при котором комплексный спектр отсутствует.

Рассмотрения проводят в пространстве Х2,ч[-а; Р] с обычной и индефинитной метриками вида:

Р _

(/; я) =| |ч( х)|/(х) я(х)Ах; (10)

-а

р _

[/; я] =| ч( х) / (х) я(хУх. (11)

-а

Используя разложения (4), «сшивку» решений (асимптотик) уравнения 1Хи = 0 в некоторой точке х0 е (-а; 0) и асимптотические свойства функций Бесселя (подробнее см. [9], где автором рассмотрена аналогичная ситуация), получим асимптотическое представление характеристического определителя Д(Х) задачи (1)-(3) (главный член асимптотики):

Д(Х) = СХ*КХ? + -Х?а - в‘Х^а + е^ + ^а ], (^)

% 3

где -у+е< а^ Х< — %-е, Х^-да. Остаточный член равномерен (по X) и §а =l^№ЩdX, §+=|^(а)| + §о(Р).

-а

Из (12), используя свойства функций класса К [5. С. 320], получаем, что действительный спектр оператора (1)-(3) не ограничен в обе стороны и имеют место асим-

птотические формулы для К-т < 0 и К+т > 0-собственных значений оператора (1)-(3) при т ^ да:

і ■ % К-т =1 ~Т

~>й

К = —

К+т к

т + с + О| 1

т + с+ + О\ 1

с=- 2, (13)

с+> 0. (14)

,, .л

К -т = і—

т

Кроме того, из свойств функций класса К [5. С. 322] следует, что при |К| > К0 >> 1 вне кружков сколь угодно малого фиксированного радиуса ^ > 0 с центрами в точках

11 л і Л г т

т — , К +т = — [т + с+ ] имеет место оценка снизу

_ 2 J §+

|А(К)| > 8|К|х[е?+ 1КеК+е?й 11шК1 ]. (15)

Оценка, аналогичная (15), имеет место и в плоскости К2.

Из (9), (4), (13), (14), (15), используя разработанную автором методику оценки ядра резольвенты при наличии пограничного слоя (см. [7, 8] и, особенно, работу [9]), получаем следующую оценку ядра резольвенты (9)

|0(х; ґ; К) < С /|К , (16)

естественно, при |К| > К0 и вне вышеуказанных кружков с центрами К\т ,К-т.

Если Я(х) < 0, то из (1)-(3) следует, что отрицательному собственному значению К2-т < 0 отвечает отрицательный собственный вектор и-т(х; К-т) в индефинитной метрике (11), т.е. [и-т; и-т] < 0, соответственно:

К + т > 0 - Кт (Х;К+т ХКХ;К+т ] > 0.

Кроме того, легко показать, что собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в индефинитной метрике (11). Введем нормированные (в метрике (11)) собственные векторы Х±т (у) = п±т /\[и±т;ы±т ]| , тогда имеем

[Хк;Х,] = Й£п(к)-5Ь, (17)

где 5кх - символ Кронекера (дискретная 5-функция). Отметим еще (см. [8, 9]), что Х±(х)| < с, т.е. равномерно ограничены.

Используя стандартный метод контурного интегрирования [7, 9], получим для любой / є С2[-а; Р], / (-а) = / (Р) = 0 разложение в равномерно сходящийся ряд

да да

/(Х) = Е /-тХ-т (Х) +Е /+тХ+т (х), /±т = [Х±т ; /], (18)

т=1 т=1

при этом имеет место аналог равенства Парсеваля

да о да

[ / ( х); / (х)] = -£| /-т |2 + Ц /+т I2. (19)

т=1 т=1

Разложения (18)-(19) стандартным образом распространяется на все £2,?[-а; Р], только сходимость в (18) в общем случае будет в метрике (10) при сохранении (19).

Исходя из метрик (10) - (11), отметим, что £2,?[-а; Р] разлагается в ортогональную (в метрике (11)) сумму положительного и отрицательного подпространств: Ь2л = П1 + П2; соответственно компонентам векторов: /х) = /1(х) + /2(х); /1(х) = /х), х < 0, /1(х) = 0, х > 0; /2(х) = 0, х < 0, /2(х) = /х), х > 0. Оператор (1)-(3), как следует из (18)-(19), порождает другое разложение

Ь2д [-а; Р] = П - + П + , (20)

ортогональное в метрике (11), где / (х) = /_ (х) + /+ (х), /- (х) = £ /-тХ-т (х),

т

/+ (х) = £ /+тХ+т (х).

т

Замечание 1. Нетрудно показать (см. подробнее [9]), что если А(х) е С4[-а; р], /к)(-а) = /к)(Р), к = 0, 1, 2, 3, то в (18)/±т = 0(1/т4), т ^ да.

§ 2. Задача Дирихле на прямоугольнике. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения типа Чаплыгина [10. С. 303], ассоциированную с оператором (1)-(3), а именно: д(х)ии + ихх + Я(х)и = 0, х е[-а; Р], , е[0; Т],

В = [-а; Р] х [0; Т ]; (21)

и(х;0) = ф(х), и(х; Т) = у(х); (22)

и(-а; ,) = а(,), и(Р; ,) = й(,). (23)

Задача (21)-(23) - смешанного типа, уравнение (21) - эллиптично при д(х) > 0 и гиперболично при д(х) < 0.

Для начала предположим, что все граничные функции в (22)-(23) непрерывны на соответствующих отрезках и на концах этих отрезков обращаются в нуль. По ходу

решения задач (21)-(23) эти требования будут уточняться (видоизменяться). Коэффи-

циенты д(х), Я(х) пока те же, что и в (1)-(3), но будут в дальнейшем усилены требования относительно их гладкости.

Сначала рассмотрим задачу (21)-(22)-(23)0, где индекс 0 означает однородные (нулевые) условия (здесь и далее). Используя метод разделения переменных и(х; ,) = Х(х)Т(Г), получим:

Т" = Х2Т ; (24)

- х''-Я(х)X -Х2д(х)X = 0 ,

X (-а) = X (Р) = 0. (25)

Задача (25) для X(x) совпадает со спектральной задачей (1)-(3). В результате можно строить формальные решения задачи (21)-(22)-(23)0.

В соответствии с (20) имеем в (22)

ф(х) = ф+(х) + ф-(х), у(х) = у+(х) + у_(х).

Соответственно, решение и(х; ,) = и+(х; ,) + и_(х; ,). Из (20), (24) имеем

Т ''= ^2 Т

+т +т +т

и

[ф е~Х+т‘ +Ш е~К т (,-Т ] -Ш е~К т ^} -ф +Х"' ]

Т (,) = 11- т_____ I ■ т__________I ■ т__________1т_________-1_ (26)

Т+т(,) 1- е-2^+тТ •

Решение

да

и+ (х;,) = £ Т+т (,) -X+т (х), (27)

т=1

как следует из (26), бесконечно дифференцируемо по , при , е (0; Т), гладкость по х совпадает с гладкостью X+m(x). Следовательно, решение (27), как минимум, класса С2 внутри области В, т.е. является классическим решением. Очевидно, что

и+(х; ,) е Ь2(П). Если граничное условие (22), имеем:

да 2

[ф+ (х) - и+ (х;,); ф+ (х) - и+ (х;,)] = Е|ф+т - Т+т (,)| . (28)

т=1

Ряд (28) - следствие равенства Парсеваля (19), сходится равномерно по , в окрестности точки , = 0. Следовательно,

[ф+ (х)-и+ (х;,);ф+ (х)-и+ (х;,)]^0 , ,^0,

т.е. ряд (27) сходится к ф+(х) в метрике (10) в силу знакоопределенности пространства П+. Для у+(х) при , ^ Т имеет место аналогичное утверждение. Следовательно,

для ряда (27) граничные условия (22) выполняются в метрике (10). Таким образом, и+(х; ,) вполне «легитимное» решение рассматриваемой части задачи (21)-(22)-(23)0, когда ф(х), у(х) е П+.

Если же ф+т, y+m = о[-2- |. m ^ да (для этого достаточно, чтобы ф(х).

V m _2

у(х) е C2[-a; PJ). то и + (х;t) е C(D) и граничные условия (22) выполняются обычным образом.

Теперь обратимся к и-(х; t). В этом случае из (24) следует

T-m "(t) = X2_mTm (t)A-m .< 0. ПоЭтомУ T-m (0 = ^-m H^-m^ + Bm H^-m/l . Учитывая (20) и

(22). получим

T-m (t) = ф-m CCs|X-m|t + ^ - ф ^ sin|X-m|t. (29)

Sm| X-m|T

Используя (28). пока формально можем указать и_(х; t), а именно:

да

и- (x;t) = ZT-m (t)X-m (х). (30)

m=l

Сразу же отметим. что выражение (30) корректно в случае. если знаменатель в (29) ни при одном -m не обращается в нуль. таким образом. возникает условие существования (и единственности) решения и_(х; t) в виде (30):

sin|X-m|T*0»|X-m|T*nn. n = 1.2.... (31)

Условие (31) соотносится с условием в работе [2]. Мы будем предполагать. что выполняются следующие условия: 1) условие (31) выполняется полностью либо нарушается только для конечного числа индексов -m е M (соответствующее конечное число n е N); 2) для -m еM (M может быть и пусто) имеет место равномерная оценка снизу |X-m|T -пл>81 > 0 для Vn (следовательно. sin|X-m|T >82 > 0). Мы не останавливаемся здесь на анализе всех условий. при которых п. 1. 2 выполняются. Приведем лишь в качестве примера следующее достаточное условие: пусть Tl|a = kls - несократимая рациональная дробь (см. асимптотику (13)). тогда п. 1. 2 выполняются. если k - нечетно. Кстати. малой вариацией «входных данных» рассматриваемой задачи это достигается. При выполнении (31) (и п. 1. 2) ряд (30) сходится в L2q(D). решение и_(х; t) является обобщенным. граничные условия для него выполняются в среднем. Если ф-и. xV-m = O(1lm2) (достаточные условия уже обсуждались выше). то и-(x;t) = C(D] и является. вообще говоря. обобщенным решением уравнения (21). граничные условия выполняются в метрике C.

Если же условие (31) нарушается (из п. 1 - для конечного числа -m е M). то очевидно дополнительное к (31) условие

ф(х). у(х) L X-m(x), -m е M. (32)

Ортогональность в (32) в индефинитной метрике (11). Условие (32) означает. что ф(х). у(х) ± nM с П- (ф-(х). у- (х) ± nM). здесь nM подпространство. натянутое на векторы X_m, -m е M. Анализ решения и-(х; t) в этом случае аналогичен предыдущему. Таким образом. задача (21)-(22)-(23)0 изучена и решена. решение дается формулами (27). (30).

Рассмотрим задачу (21)-(22)0-(23). Пусть an. bn - коэффициенты разложения a(t).

по базису <{ V2lT sin—t \ . ортонормированному в L2[0; T] Из теории

b(t) из (23) по базису jv2lT sin—tj

I T і n=l

рядов Фурье известно, что если а(/), Ь(/) е С2[0; Т], а(0) = а"(0) = а(л) = а"(Т) = 0, Ь(0) = Ь"(0) = Ь(л) = Ь'(Т) = 0 и а’", Ь'" - кусочно-непрерывны, £пк(|ап| + |Ьп|) <да, где

т

к = 0, 1, 2. Мы предполагаем, что эти требования на а(/), Ь(/) выполняются.

В § 1 были введены решения уравнения 1Хи = 0, обозначенные у(х; X), П(х; X). Также отмечалось, что у(Р; X) = -Ц-а; X) = Д(Х), где Д(Х) - характеристический определитель оператора (1)-(3), для которого имеет место оценка снизу (15), вне указанных там кружков сколь угодно малого фиксированного радиуса ^ > 0.

В силу выполнения требований из п. 1. 2. дополнительных к условию (31). для -m е M (значит. n е N . причем N может быть и пусто) значения An = inn IT (A2n = -n2n21T2) попадают в область действия оценки (15). Поэтому функции

иnf = U(x;+innIT)IU(-a;innIT) .

и;'"* = y( x;+inn IT )l y(P;inn IT). (33)

равномерно ограничены (по х и n).

Если в (24) взять A,2 = A2n =n2n21T2. то {Tn(t) = 4TTf sin(nnt IT)}да=1. А для Xn(x) получим уравнение -Xn"-R(x)Xn -(n2n2IT2)Xn = 0. nf (х). и^(х) удовлетворяют этому уравнению и иlf (-a) = 1. иlf (Р) = 0. и"sht (Р) = 1. и"sht (-a) = 0. Очевидно. что решением задачи (21)-(22)0-(23) будет

и(х;/) = Tn (t^a/f (х) + Ьпи?ы (х)]. (34)

где иnft. иг'&ы определены в (33). предполагается. что выполняется условие (31). Если же условие (31) нарушается (для конечного числа n е N). то естественным образом возникает требование

a(t). b(t) 1 П,. (35)

где П, - подпространство. натянутое на векторы V2IT sin(nntIT).n е N. Ортогональность в (35) в смысле метрики в L2[0; T].

В силу предположений относительно a(t). b(t) во всех случаях

и( X;t) е C 2([-a;P]x[0;T ]) и являются классическим решением задачи (21)-(22)0-(23).

Сопоставляя решения (27). (30). (34). получим решение задачи (21)-(23).

Задаче Дирихле в прямоугольнике для уравнений смешанного типа посвящены работы [3. 4]. где есть обширная библиография.

Литература

1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука. 1986.

2. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа II Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190-191.

3. Репин О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области. эллиптическая часть которой - полуполоса II Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 4. С. 565-567.

4. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода в прямоугольной области II Известия вузов. Сер. Математика. 2007. № 4. С. 45-52.

5. СадовничийВ.А. Теория операторов. М.: Высш. шк.. 1999.

6. Стакун А.А. Краевые задачи. связанные с дифференциальными операторами с точкой поворота II Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 32-40.

7. Стакун А.А. О свойствах дифференциального оператора с кратной точкой поворота II Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 6. С. 993-999.

8. Стакун А.А. О свойствах оператора Шредингера с комплекснозначным потенциалом II Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32. № 3. С. 483-486.

9. Стакун А.А. Спектр и резольвента оператора с двумя точками поворота. связанного с уравнением Чаплыгина II Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та. 2013. Вып. 15. С. 61-68.

10. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973.

11. ЯнкеЕ., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука. 1968.

СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ. См. с. 34.