CC BY
31
УДК 517.9
А.А. СТАКУН
СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ,
СВЯЗАННЫЕ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный и непрерывный спектры, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотик, разложение, полнота, краевая задача, контурный интеграл.
Доказаны теоремы разложения для сингулярных дифференциальных операторов второго порядка с знакопеременной весовой функцией, связанных с граничными задачами.
A.A. STAKUN
SPEKTRAL EXPANSIONS ASSOCIATED WITH SECOND-ORDER OPERATORS
Key words: operator, resolvent, discrete and continuous spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, completeness, boundary problem, contour integral.
Expansion theorems are proved for singular differential operators of second order about a indefinite weight function, associated with bounder problems.
Понятия и обозначения, используемые ниже без пояснений, можно найти в [1, 2]. Используемые в различных оценках константы c, 5, в, если это не оговорено (например, c(X)), зависят только от оператора и областей изменения параметров и переменных, которые всегда указываются.
§ 1. Оператор, его спектр и резольвента
Рассмотрим оператор
Lu = -u” - Xq(x)u,q(x) = sign(x),u(-b) = 0,b > 0;
X = a + It, ц = s + i0, X = ц2,u(-0) = u(+0),u ” (-0) = u ” (+0) . (1)
Несмотря на несколько частный вид оператора (1), его теория достаточно сложна - соответствующее спектральное разложение обобщает классическое синус-преобразование Фурье (при граничном условии u ” (-b) = 0, косинус-преобразование) и требует использования индефинитной метрики. Кроме того, указанная теория может быть использована для изучения краевых задач для уравнений смешанного типа достаточно общего вида. Условие u(-b) = 0 используется для компактности изложения, более общее условие au(-b) + cu ” (-b) = 0 рассматривается аналогично. Результаты переносятся на случай достаточно произвольной функции q(x) (со скачком в нуле) и при наличии некоторого потенциала R(x), но требуют достаточно объемного изложения. В дальнейшем мы используем следующие решения уравнения Lu = 0 :
1. Imц > 0,0 < x < да: Y = exp(i^x);
- b < x < 0: Y = ((1 - i)exp(-^x) + (1 + i )exp(^x))/2, i2 = -1; (2)
2. Im ц > 0,-b < x < 0 : y = (ехр(-ц(x + b)) + ехр(ц(x + Ь)))(2ц)-1 ;
0 < x < +да: y = (4ц)-1 ((-exp(-^b) + exp^b)) + i(exp(-^) + exp^b))) x x exp(-i^x) + (4ц)-1 (- exp(-^) + exp(^b) - i (exp(-^) + exp^b))) exp(i^x);
У (-*) = 0, у' (-Ъ) = 1. (3)
Отметим, что
1т ц = 0: У (х;-5) = У (х; 5), Ух е[-Ъ; да); (4)
1т ц = 0: у (х;-5) = у (х; 5),
1т у (х; 5) = 0, Ух е[-Ъ; да).
Резольвента оператора (1) есть интегральный оператор 17х д с ядром
О = у(х)У(ґ)д(ґ)Ж-1[у;У], х< ґ . (6)
При х > ґ выражение для ядра симметрично, Ж[у; У] - вронскиан.
Спектр оператора (1) определяется обычным образом как особенности резольвенты. Во-первых, это нули знаменателя в (6), которые являются собственными числами оператора (1) (полюсы резольвенты). Получаем Ж[у;У] = -У(-Ъ; ц) = 0: (1 - і)ехр(-цЬ) + (1 + і)ехр(цЪ) = 0,
цп = і (п -1/4)(п / Ъ), X п =-((п -1/4)(п / Ъ))2, п = 1,2,... (7)
Во-вторых, полуось Х = ое [0;да) относится к непрерывному спектру
оператора (1) (из-за очевидного скачка резольвенты (6) при переходе через эту полуось).
Рассмотрения ведем в гильбертовом пространстве Ь2[-Ъ; да), но вместе с этим еще необходимо использовать в этом пространстве индефинитную метрику вида (соответствующее пространство обозначается Ь2 д )
[и; V] = \ьд (х )и (х )у( х^х. (8)
Собственные функции, отвечающие дискретному спектру (7), удобно выбрать так (см.(2), (3)):
ип = 8т((п/Ь)(п -1/4)(х + Ь)), х е [-Ь;0],
ип = ((-1)п+1 ^л/2)ехр(-(п / Ь)(п -1/4) х), х е[0; да), п = 1,2,... (9)
Отметим, что при ц п Ф Ц т (А п ФА т) соответствующие собственные функции ортогональны в индефинитной метрике пространства Ь2 , а именно:
[ип ;ит ] ={-Ь^ипит^х = 0 п Ф т. (10)
Соотношение (10) проверяется непосредственно, с учетом (9), но оно следует также из свойств оператора (1) (симметричность индефинитной метрике). Непосредственно вычисляются нормы в указанной метрике
[ип; ип ] == Ь/2. (11)
«Собственные функции», отвечающие непрерывному спектру оператора
(1), в определенном смысле, тоже удовлетворяют аналогу (10).
§ 2. Оценка резольвенты
Для доказательства теоремы разложения (полноты системы собственных функций оператора (1)) методом контурного интегрирования необходима равномерная оценка резольвенты, т.е. ядра (6).
Из (7) следует, что вне кружков 17х д фиксированного малого радиуса в << 1 с центрами в точках цп (7) в полуплоскости 1т ц > 0 имеет место равномерная оценка снизу
\Ж[у;¥] = \У (-Ь; ц)|| >5 ехр(|Яе ц|), 5> 0. (12)
Рассмотрим несколько следующих случаев, при этом, учитывая
(2),(3),(6),(7),(12), получим (вне вышеуказанных кружков):
1. 1тц> 0,0 < х < I: < (с/|ц|)ехр(- 1тц|х - ); (13)
2. 1тц> 0,-Ь < х < 0 < (: \Од\ < (с/|ц|)ехр(- 1тц + х|Яец|); (14)
3. 1т ц> 0,-Ь < х < I < 0: \Од\ < (с /|ц|)ехр(-|Яе ц||х - ^|). (15)
Для х > ^ получаются аналогичные оценки. Константы 5, с не зависят от
ц.
Из (13)-(15) следуют соответствующие равномерные оценки ядра (6) в плоскости А (вне кружков фиксированного малого радиуса в1 с центрами в
точках А п (7). Только в этих оценках вместо ц надо использовать
л[х
§ З. Спектральное разложение. Равенство полноты
Пусть u є D(L), выберем в плоскости Я следующую систему расширяющихся контуров:
Yr u cr; cr : |Я| = r ; уr :[0;r] + 0i U [0;r] - 0i;r ^да . (і6)
В (1б) берега разреза по непрерывному спектру оператора (1) проходятся дважды (в противоположных направлениях) так, чтобы направление обхода контура у r u cr было положительным по отношению к внутренней области. Конечно, контуры уr u cr не задевают системы кружков, использованной в предыдущем параграфе при оценке резольвенты. Через у = [0;+да) обозначим положительную полуось в плоскости Я .
Используя (б), (2)-(5), (Т), (9)-(11), (13)-(15), теорему Коши о вычетах и устремляя r к бесконечности, получаем:
u = (-i/2ni) |у (La+ 0i-q - Z-^-q^^
2
+ ІГ=1 un (x)(J“ q(t)un (t)u(t)dt / J“q(t)(t)| dt);
1 f* да f* 0
u(x) = n_ J0 dsJ bq(t)(-exp(-s(x + b)) + exp(s(x + b)))x
x (-exp(-s (t + b)) + exp(s (t + b)))(exp(-2bs) + exp(2bs))- u (t )dt +
+ n-1 J0 ds J0 q (t)((exp(-bs) + exp(bs ))sin(sx) + (exp bs - exp(-bs ))cos(sx)) x
(1Т)
X ((ехр(-Й5) + ехр(Й5)) 8Ш(St) + (ехр(Ь5) - ехр(-Ь5)) 008(St)) X х (ехр(-2Ь5) + ехр(2Ь5))- и^)dt -£Г= и„ (х)(2/Ь)J0<b q(t)и„ ^)и^)Л. (18)
Сходимость в (18) равномерная (на компактных множествах в [-Ь; да)) и еще в метрике Ь2[-Ь;да). Соотношение (18) и представляет собой спектральное разложение по собственным функциям оператора (1). В столь развернутом виде оно приведено для того, чтобы легче было проследить за процессом его вывода. Далее используется более компактная его запись.
Введем функцию v(х;5), заданную на интервалах [—Ь;0], [0;да), соответственно, следующим образом:
_ 1 _ 1
у(х;5) = п 2 (-ехр(-5(х + Ь)) + ехр(5(х + Ь)))(ехр(-2Ь5) + ехр(2Ь5)) 2;
_ 1 _ 1
у(х; 5) = п 2 (ехр(-2Ь^) + ехр(2Ь5)) 2 ((ехр(-Ь^) + ехр(Ь^)) 8т(5х) +
+ (ехр(Ь5 ) _ ехр(-Ь5 ))е08(5х)). (19)
Заметим, что (18), согласно (19), принимает следующий компактный вид:
О О О о
и(х) = |у(х; 5)|)v(t; 5)и(t)dt - ^и„ (х)(2/Ь) |)и„ ^)и^)dt.
0 -Ь п=1 -Ь
Отметим это в виде стандартного равенства полноты, которое, кстати, демонстрирует ортогональность «собственных функций», отвечающих непрерывному спектру, в индефинитной метрике (8):
10°v(х;,ф(Г;5^)Ж - ХГ=1 (2/Ь)и„ (х)и„ (t)д(t) = 5(t - х), (20)
где 5^ - х) - дельта-функция Дирака.
Стандартным методом из (18)-(20) получается аналог равенства Парсева-ля (в индефинитной метрике (8))
22
Ь,4(х)|и(х)| ёх = |“|А(,у)| -^Г=1 \с„Г , (21)
о о
для любой и е Ь2 [-Ь;да) (Ь2 ) , где А(5) = |qvudx, с„ = V2/Ь |ци„иёх .
-Ь -Ь
Замечание 1. При Ь ^ 0 разложение (18) переходит в представление и(х) через синус-преобразование Фурье и = (2/п)|”зт(5х)|”8т(st)и(t)dt.
§ 4. Случай х е Я
Пусть теперь оператор (1) задан (без граничного условия у (-Ь) = 0) на всей числовой оси (х е (-да;+да)). Рассмотрения, в основном, аналогичны тем, которые проведены в трех предыдущих параграфах. Только дискретный спектр отсутствует, а непрерывный спектр заполняет всю действительную ось в плоскости X . В результате получается спектральное разложение, обобщающее классический интеграл Фурье, следующего вида:
1 +ад 1 +ад
и(х) = ^= |у(х; 5) и(s)ds, и(5) = ^= | q(х)у(х; 5)и(x)dx . (22)
V П -ад д/П -ад
Функция у( х; 5) в (22) определяется так:
5 > 0, х < 0: у(х; 5) = ехр(5х); 5 > 0, х > 0 : у(х; 5) = соб^х) + 8Іп(5х);
5 < 0, х < 0 : у(х; 5) = соб(5х) + біп(5х); 5 < 0, х > 0 : у(х; 5) = ехр(^х).
Имеют место равенство полноты |+адq(t)у(х;5)у(ґ; s)ds = 8(ґ - х) и равенство Парсеваля (в соответствующей индефинитной метрике)
Падq(х)|и(х)|2dx = |0+ади(5)|2ds -|-0ади(5)|2ds .
§ 5. Случай произвольной q (х)
Рассмотрим теперь оператор
Ми = -и” - ^(х)и,q = р(х)sign(х),р(х) > 0,р(0) = 1,и(-Ь) = 0, (23)
где р(х) є С2[-Ь;+ад). Далее на р(х)^(х)) налагаются дополнительные ограничения. Весовой множитель в (23) имеет такой же скачок при х = 0, как и у оператора (1). Условия сопряжения при х = 0 для оператора (23) совпадают с таковыми для оператора (1). Проведенное далее рассмотрение в определенном смысле аналогично работе автора [3].
Функции
У1,2 = ^ (х))-1/4 ехр(±ц4(х)), ^ = {0У^ )dt;arg(^) = 3п/2, х < 0, (24)
на каждом из интервалов [-Ь;0], [0; ад) удовлетворяют уравнению
Му -0у = 0, 0(х) = q”/4q - 5(q')2/16q2. (25)
Заметим, что пара у12 на каждом из вышеуказанных интервалов должна рассматриваться отдельно (не выполняются условия сопряжения) и вронскиан Ж [ у1; у 2] = 2іц.
Дополнительные требования на q (х) имеют вид
ад
0/ ^ є Ц\-Ь;ад), q' = 0(q), х ^ад, jJqdx =ад. (26)
0
Требования (26) не являются слишком обременительными. Например, им удовлетворяют следующие семейства функций (х ^ ад):
q = с • ехр(Рх), р> 0; q = сха, а >-2.
Процесс изучения оператора (23) во многом аналогичен проведенному для оператора (1). Поэтому изложение будет конспективным. Остановимся на основных моментах.
Для построения и изучения резольвенты оператора (23) необходимы решения и,и уравнения Ми = 0 - аналогичные решениям у,У в случае опера-
тора (1). При этом рассмотрения необходимо вести в пространстве Ь2^^ (с метрикой | Ь^||и|2dx), в котором еще используется индефинитная метрика
[и; V] = j-Jьqvudx. (27)
Очевидно, что можно ограничиться рассмотрением полуплоскости 1т ц> 0.
Решение и(х; ц) при х > 0 получается из следующего интегрального уравнения (см.(24)-(26)):
и = У2 + |Х°К(х;V;ц)0^)и^)dt, К = (q(х)q^))-1/4ц-1 8тц(^(х))).
Из вышеуказанного уравнения следует асимптотика
и = ^( х))-1/4ехр(/ц^( х)), (28)
которую можно дифференцировать. Причем асимптотика (28) имеет место как при фиксированном ц Ф 0, х ^ да, так и, равномерная по х, при ц ^ да, т.е. двойная асимптотика. Отметим свойство при 1т ц = 0 :
и (х;-5) = и (х; 5), (29)
которое справедливо также при х < 0, и то, что Ж [и ;и ] = -2/5 . Пара и ,и образует ФСР уравнения Ми = 0. Поэтому при 1т ц = 0:
и = (и(х; 5)и(-Ь; 5) - и(х; 5)и(-Ь; 5))(2/5)-, (30)
где и (х; ц) решение уравнения Ми = 0 такое, что и (-Ь) = 0, и '(-Ь) = 1. Из (30) следует, что и(-Ь;5) Ф 0 . Решение и(х;ц) при фиксированном х является целой функцией от ц (X), действительной и четной по 5 при 1т ц = 0 .
Используя интегральное уравнение вида
и = У1 - |0хК ^; х; ц)0^ )и ^ ^, (31)
можно получить решение и1 с асимптотикой
и1 = у1 + О(ц-1ехр(|Яе ц|^(х)) , х > 0, (32)
причем (32) можно использовать при фиксированном ц Ф 0 ив качестве двойной асимптотики. Отметим, что Ж [и; и1] = -2/ц, ц ^ да .
При х е [-Ь;0] также можно построить пару линейно-независимых решений v12 уравнения Ми = 0 с асимптотикой (равномерной по х)
^,2 = ^(х))~1/4ехр(±/ц^(х)), ц ^ да; Ж[^;v2] = 2/ц . (33)
Соотношения (33) получаются из интегральных уравнений вида (31) (интегрирование от 0 или от - Ь, х е [-Ь;0]).
Решение и с помощью (33) может быть продолжено левее точки х = 0, в частности, можно получить асимптотику и(-Ь;ц). Из (33) получается также асимптотика решения и на [-Ь;0], правее точки х = 0 это решение про-
должается с использованием (28), (32). Все это позволяет найти асимптотику дискретного спектра оператора (23) и получить равномерную оценку ядра (см. (6)) резольвенты M_1q. Эта оценка аналогична (13)-(15), только вместо х,t используются ^(x),E,(t) и еще присутствует множитель (q(x)q(t))_1/4. Дискретный спектр действителен (следует из вида оператора (23)) и имеет асимптотику (получается из асимптотики U (-b; ц))
ц п = ш|^(-b)|-1(n -1/4) , Хп = гс2 |^(-b)| -2(n -1/4)2 , n = 1,2,....
Собственные функции un = u (х; ц п) ортогональны в индефинитной метрике (27). Полуось Хе [0;да) заполнена непрерывным спектром оператора (23) (следует из (6), (29), (30) и свойств решения и). В результате методом контурного интегрирования получается спектральное разложение
и(х) = !Г=1 Un (х)J“q(t)Un (t)u(t)dt / J“ q(t)|Un (t)|2 dt +
2 да 2 да
+—J0 s2U(-b;s)| и(x;s)dsJ bq(t)u(t;s)u(t)dt .
Результаты данной работы апробированы на международных конференциях [4, 5] как составная часть докладов.
Литература
1. СадовничийВ.А. Теория операторов / В.А. Садовничий. М.: Высшая школа, 1999.
2. Азизов Т.Я. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т.Я.Азизов, И.С. Иохвидов. М.: Наука, 1986.
3. Стакун А.А. О свойствах дифференциального оператора с кратной точкой поворота / А.А.Стакун // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 3. С. 993-999.
4. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса операторов / А. А.Стакун // Тезисы докладов международной математической конференции «Актуальные проблемы анализа». Гродно.: ГрГУ, 2009. С. 97-99.
5. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса операторов / А.А.Стакун // Материалы международной математической конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений». М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 50-51.
СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (asail1@mail.ru).
STAKUN ALFRED ANTONOVICH - candidate of physics and mathematical sciences, associative professor of higher mathematics department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
