Об одной краевой задаче в неограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95 ББК В 161.62

А. А. СТАКУН

ОБ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный и непрерывный спектры, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотика, спектральное разложение, краевая задача, уравнения смешанного типа, задача Дирихле, точка поворота, неограниченная область.

Решена задача Дирихле для уравнения смешанного типа с двумя точками перехода на бесконечной области. Решения структурированы с помощью индефинитной метрики. Использованы полученные ранее автором спектральные разложения для дифференциального операторов с точкой поворота.

A.A. STAKUN

THE BOUDERY PROBLEM ON UNBOUDED DOMAIN, ASSOCIATED WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS ABOUT TWO TURNING POINT

Key words: operator, resolvent, discrete and continuous spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, boundary problem, equations about a different type, Di-richlet problem, turning point, unbounded domain.

The present article considers the Dirichlet problem for the equation about a different type on an unbounded domain, associated with the singular differential operator about two turning points. The indefinite inner product is useful for classification of this problem.

The consideration concerned with the author’s article associated with differential operators about a turning point.

Рассмотрим задачу Дирихле на бесконечной полуполосе

q(x)ut + uxx + R(x)u = 0 , (x, t) e D = [-a; + ro) x [0; T]; q(x) = (x + a)rl(x), rl(x) < 0, x < 0; q(x) = xr(x), r(x) > 0, x >-a ; a,T,a > 0; (1)

Уравнение (1) - смешанного типа (эллиптическое при д(х) > 0, гиперболическое при д(х) < 0). Уравнение (1) есть уравнение типа Чаплыгина [10. С. 303], которое моделирует некоторые аэродинамические процессы. При переходе через линии х = -а, х = 0 меняется тип уравнения, что отвечает переходу от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым.

Дополнительно предположим, что

q(x),R(x) e C2[-a;+ro) ; q'(x) = O(q),x ^+ro ; q(x) > q0 > 0,x > 1;

|F (x)q~1/2( x)| e L'[1;+ro), F (x) = -R( x) + 90( x), 90( x) = -Vroo'( x) (1/^/ю„'( x))'',

Рассмотрения будем проводить, в основном, в пространстве Ь2^[-а; +да] с метрикой

u(x;0) =ф(x), u(x; T) = y(x); u(-a; t) = a(t).

(2)

(3)

(4)

ф(x),y(x) e C2[-a;+ro); ф(0),у(0) = 0 ; ф(x),y(x) e L2 q[-a;+ro); ф(x), y(x), ф', у', ф'', y''e L'[0;+ro), |R(x)| < C ; a(t) eC3[0;T ], a(0) = 0, a"(t) = 0, a(T) = 0, a"(0) = 0.

(5)

(f; g) = Jl q(x)\f (x)g(x)dx ■-

(6)

и индефинитной метрикой [1. C. 14]

[ f; g ] = J q( x) f (x) g (x)dx.

(7)

-a

Граничным условием на бесконечности для задачи (1)-(3) является ограниченность решения и(х; ґ) (принадлежность решения Ь2д(В) = Ь2д[-а; +«) ® £2>?[0; Т], где знак ® означает тензорное произведение).

Задачу (1)-(3) разобьем на две составляющие: (1)-(2)-(3)0 и (1)-(2)0-(3), где индекс 0 означает однородные (нулевые) граничные условия. Будем применять метод разделения переменных и(х; ґ) = X(x)T(ґ). В результате из уравнения (1) получаются два следующих:

Т"/Т = А,2; (8)

-X"(х) -Я(х)X(х) = А2д(х)X(х). (9)

Рассмотрим задачу (1)-(2)-(3)0. В этом случае, добавив граничное условие

X (-а) = 0, (10)

необходимо рассмотреть спектральную задачу (9)-(10). Подобные задачи рассматривались в работах [6-8](на конечном отрезке аналогичная задача с двумя точками по-

ворота рассмотрена в работе автора [9]). Приведем необходимые здесь сведения из этих работ. Введем для этого функции:

х

£,0(х) = §у[д(()Ж, а^0 = 0, х > 0, а^0 = 3/2л , х < 0;

0

£і( х) = \4-д(7)Ж , а^^ = 0, х >-а, а^^ = 3/2л , х <-а;

-а

®0(х) = (3/2^0(х))2/3, Ю1(х) = (3/2^(х))2/3; 0ОД 7^7)"; (11)

1 1 -

«(х;А) = __(А^(х))1/3^(А^х), у(х;А) = -= (-/А^)3^1/3(-/А^1). (12)

Vю 0 (х) Vю 1

В (12) 21/3 - функции Бесселя порядка 1/3 [11. С. 179]. Функции (12) удовлетворяют, соответственно, при х > -а и х < 0 уравнению

-У"-Я(х)У-А2д(х)У-001У = 0. (13)

Введем два решения уравнения (9) у(х; А), и(х; А), обладающие следующими свойствами:

у(-а;А) = 0, у'(-а;А) = 1;

«1 (х; А) = К (х))1/2 (А§0 )1/3 Я® (А^0), и (х; А) = «1 (х; А) + о| д 4/4 ^ехр(- 1т А-^)

А ^ да(1тА > 0) равномерно по х є [0;+да), где Я^ - функция Ганкеля [11. С. 189]. Заметим, что главный член асимптотики функции Ганкеля имеет вид Я^^(Г)~ сгч/2ехр(/Х), г ^-«(Гпе > 0) и что у(х) = О(д~1/4ехр(1тА^0)), х є [0;+да), 1т А > 0 .

Ядро резольвенты задачи (9)-(10) имеет вид

G(x; ґ; А) = у(х)и(ґ)/м\у;и~], х < /. (14)

Для х > ґ выражение симметрично.

В работах [6-8] изучены аналитические свойства резольвенты. Спектр непрерывен на [0; +ю) (А2 є [0; +«)), и имеется бесконечное число дискретных собственных

значений А2т, в основном, действительных и отрицательных (А2т < 0). При этом возможно наличие конечного комплексного дискретного спектра (собственные числа попарно сопряжены). В случае, когда Я(х) < 0, комплексный спектр отсутствует.

В работах [6, 7] указаны асимптотики дискретного спектра

" 1 А1

т-----+ ОІ

2 V т

Из (14) следует, что Ш[у; Ц = -П(-а; А) является характеристическим определителем резольвенты. В работах [7-9] (см. еще [5. С. 320]) указана методика оценки характеристического определителя снизу, именно:

и (-а; X) > 5[ехр(| І! (-а) Іт X -|а Яе X) + ехр(| ^ (-а) Іт X + |а Яе X)] X]* (16)

при ІтХ > 0, |Х| >> 1, 5 > 0 вне кружков фиксированного (малого) радиуса ^ > 0 с центром в точках X = іж(т -1/2)/1а. Кроме того, верна теорема о разложении (см. [6-8]):

то +то

V/(х) є Ігл : /(х) = X/тХт(х) + 14,(X)X(х;Х)^Х ;

т=1 о

+то +то

/т = І Ч(х)Хт (х)/(х)й?х = [Хт; /(х)], 4/ (X) = І дХ(х^)/(х)йх ; (17)

-а а

где Хт(х) - ортонормированные в индефинитной метрике (7) собственные функции,

отвечающие дискретному спектру, т.е. [Хк; Х^] = -5^; Х(х; X) - «собственные» функции, отвечающие непрерывному спектру: Х(-а; X) = 0, [Х(х; X); Х(х; ц)] = 5(X - ц), 5 -дельта-функция Дирака. Отметим еще равномерную ограниченность:

\Хт (х)| < С ехр(-є^0(х))д 4(х), х > 1; \Хт (х) < С1, х є[-а;+то)); |Х (х^) < С.

В общем случае сходимость в (17) в среднем, т.е. в метрике (6). При достаточной гладкости /(х) (например, /х) принадлежит области определения оператора (9)-(10)) сходимость в (17) равномерная. Имеет место аналог равенства Парсеваля следующего вида:

то +то. ,2

[/; /] =-Ц /т І +14/ . (18)

т=1 0

В общем случае (/ є Х2д[-а; +то)), как говорилось, сходимость в (17) в метрике (6). Если предположить, например, что/т = О(1/т2), т ^ то, А^) = О^^2), X ^ то, то сходимость в (17) равномерна и, следовательно, /х) є С[-а; +то). Указанные требования на коэффициенты выполняются, если /х) є С2[-а; +то), /(-а) = 0, /(х), /(х), /”(х) є і1[-а; +то). Покажем это:

1 +то

І (-X "т/ ( х) - Я( х) Хт/ ( х))ёх =

X т -а

С

|/т| = |[ Хт; / (х)]| =

1 +то

тг-[ І (Хт/"(х)¥х- ІК(х)Хт(х)/(х))й?х] І(/"| + |/(х)|)й?х <-

X т -а

-а

1 +то

IX» | - Xт I

А (X) = ТГ I(-X"(X*)/(X) -Я(X)Хт/(х))сЬс

^ -а

1 С

I С(\Г'(Х)\ + |/ (х)|^х <--2, Н> 1. (19)

N -а N

Очевидно, что при более точных оценках требования на /х), Я(х) можно ослабить (видоизменить).

Полагая в (8), соответственно, X2 =Х2т и X2 =Х2, X2 е[0;+го), строим пока формальное решение задачи (1)-(2)-(3)0. При этом отметим, что в соответствии со спектром задачи (9)-(10) пространство £2,Д-а; +го) представимо в виде суммы ортогональных (в метрике (7)) подпространств (см. (17)-(18)) - положительного и отрицательного:

Ь2л [-а;+го) = П+ П+; (20)

V/еЬ2л :/(х) = /-(х) + /+ (х); /-еП-, /_=Ъ/пХш ; /+еП+ ,

т

+го

/+ = |А/(X)X(x;X)dX; /_ 1 /+ , [/;/] = [/;/]+[/+;/+ ]; [/;/-]<0, [/+;/+ ]>0. (21)

-а

Решение задачи (1)-(2)-(3)0, соответственно, представимо в виде

и(х;/) = и-(х;/) + и+ (х;/),

где

го +го

и- (х;/) = Е?т (/) Хт (х), и+ (х;/) = |7;_ (/) X (x;X)dX,

Тт (/) = Фт С08|Xm + ((ф т - Фт С03|Xm |Т) / 8ш|^) ¡¡ш|Xm |* ;

Т(/) = АГ-АТ1Г-е- + АГ-Аф1Г-е^1(Т-,); Аф(X) = [X;ф],А,(X) = [X;,]. (22)

1-е 1-е

Из (22) следует, что и+ (х;/) е С 2[-а;+го) х (0;Т)] и является классическим решением уравнения (1). Если при этом Аф(X), А,(X) = 0(1/X2), X ^ го, то и+ (х;/) = С[0] и

граничные условия для него выполняются стандартно.

Решение и_(х; /) определено пока формально. Введем дополнительное требование (соотносится с работой [2])

^ т |Т *%П ^ X2m * -[т~) . (23)

Кроме того, будем предполагать, что условие (23) может нарушаться лишь для конечного числа т е М (конечного числа п е Ы) и еще что при т еМ

> Sj, 5j > 0 ^ |sin|xm\T\ > S2 > 0.

Оба условия выполняются, например (см. (15)), если T/|a = k/s - несократимая рациональная дробь и k - нечетное. Другие достаточные условия мы здесь не приводим, тем более, что вышеуказанное реализуется небольшой вариацией входных параметров задачи.

При выполнении условия (23) (и дополнительных условий) ujx; t) существует и принадлежит L2([-a; Р]х[0; 7]) при Vp > 0 и u_(x; t) и является обобщенным решением уравнения (1). Если при этом, фт, ym = O(1/m2) (см. (19)), то u-(x;t) e C(D) и граничное условие (2) выполняется стандартно - по непрерывности. Если же (не останавливаясь на достаточности) фт, ут = O(1/m4), то u-(x;t)eC2(D) - классическое решение.

Если (23) нарушается (по условию - для m e M, M- конечно), то должно быть

фщ, XVm = 0, m e M »ф(x), y(x) 1 Xm (x), m e M. (24)

Ортогональность в (24) в индефинитной метрике (7), т.е. ф(х), y(x) должны быть ортогональны в метрике (7) конечномерному подпространству Пм с П-, натянутому на векторы Xm(x), m e M. Анализ гладкости решения u-(x; t) в этом случае аналогичен предыдущему. Задача (1)-(2)-(3)0 - решена.

Единственность (в соответствующем классе с учетом (24) - при необходимости) u-(x; t) следует из базисности {Xm (x)}^ в подпространстве П_ и единственности решения соответствующей краевой задачи для уравнения (8) с очевидными оговорками в случае использования условия (24).

Теперь рассмотрим задачу (1)-(2)-(3)0, решение обозначим V(x; t). В уравнении

(8) положим X2 = Х2т = -^rj и добавим граничные условия

T (0) = T (T) = 0. (25)

Спектральная задача (8)-(25) порождает ортонормированный в метрике L2[0; T] í %nt

базис T (t)=V2/T sin-í . Пусть an - коэффициенты разложения a(t) в условии (3)

*■ n t n=1

по этому базису

, "nt

a(t) = 2апШГ sin — =2a„T„(t) . (26)

n=1 7 n=1

Из условий (5) и из теории рядов Фурье следует

2 nk\an\<<», k = 0,1,2. (27)

n

Из (9) следует, что задаче (8), (25) отвечает следующая краевая задача

-X"-Я(х)X" =-[^ТП] Ч(х)X , X(0) = 1. (28)

Причем X(x) должна быть ограничена на бесконечности (фактически X(x) ^ 0, х ^ +го). Из асимптотик решения и(х; X) при х ^ +го следует, что решения

< ад-1/4е-8?0(х), х е[1; + го), где

Яп

и| х; | удовлетворяют уравнению (28) и

ттг -жпл

и (х; 1т)

е > 0 - малое фиксированное число. Далее, если выполняется условие (23) (вместе с дополнениями), то точки Xn = I попадают во внешность кружков фиксированного

малого радиуса ^ > 0, где действует оценка снизу (16), поэтому

япV,/ ппЛ

ип(х) = и [ х;'т)/и[^-а; IтЛ (29)

равномерно ограничены сверху некоторой константой |ип (х)| < с на [-а; + го], точнее

и

(х)| < се 8?0(х), х е[1; + го) .

Сопоставляя (26), (28), (29), получаем решение задачи (1)-(2)0-(3):

го го ____ пп/ г

V(х;/) = ^апТп(/)и‘п(х) = £апШГып—и‘п(х) . (30)

п=1 п=1 т

Из (27) следует, что V(х;/)еС2(Б), ¡V(х;/)|<С, ¡V(х;/)|<Сд~1/4(х)е~е’°(х),

х е[1; + го). Тем самым получено классическое решение задач (1)-(2)0-(3). Единственность решения (в соответствующем классе) следует из базисности {Тп (/)} и единст-

венности решения краевой задачи (28).

В случае, когда (23) нарушается (по условию для конечного числа п е Ы), то очевидное дополнительное условие ап = 0, п е Ы, или

а(/) 1 Тп (/), п е Ы, (31)

позволяет найти решение однозначно. Ортогональность в (31) в метрике ¿2[0; Т]. Отметим работы [3, 4], где рассматривались подобные задачи и имеется библиография.

Литература

1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

2. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.

3. Репин О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой - полуполоса // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 565-567.

4. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Известия вузов. Сер. Математика. 2007. № 4. С. 45-52.

5. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999.

6. Стакун А.А. Краевые задачи, связанные с дифференциальными операторами с точкой поворота // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 32-40.

7. Стакун А.А. О свойствах дифференциального оператора с кратной точкой поворота // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23, № 6. С. 993-999.

8. Стакун А.А. О свойствах оператора Шредингера с комплекснозначным потенциалом // Дифференциальные уравнения. 1996. Т. 32, № 3. С. 483-486.

9. Стакун А.А. Спектр и резольвента оператора с двумя точками поворота, связанного с уравнением Чаплыгина // Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 61-68.

10. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.

11. ЯнкеЕ., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.

СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ. См. с. 34.