CC BY
31
5. Назаров А.А., Никитин В.В. Имитационная модель для оценки модернизационной политики социально-экономического развития региона // Вестник Чувашского университета. 2011. № 4. С. 457-462.
6. Никитин В.В., Назаров А.А. Безопасность региональных социально-экономических систем и её оценка средствами имитационного моделирования // Вестник Чувашского университета. 2010. № 4. С. 395-400.
НАЗАРОВ АЛЕКСАНДР АЛЕКСЕЕВИЧ - магистрант факультета дизайна и компьютерных технологий, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (xukvagpam@yandex. ru).
NAZAROV ALEXANDER ALEXEEVICH - master’s program student of the Design and Computer Technology Faculty, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
НИКИТИН ВИКТОР ВАСИЛЬЕВИЧ - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры актуарной и финансовой математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (vvn22@yandex.ru).
Nikitin VICTOR VAsIleViCH - candidate of physical and mathematical sciences, professor of Actuarial and Financial Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
УДК 517.95
А.А. СТАКУН
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ,
СВЯЗАННЫЕ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ С ТОЧКОЙ ПОВОРОТА
Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный и непрерывный спектры, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотика, спектральное разложение, полнота, краевая задача, контурный интеграл, уравнения смешанного типа, уравнение Шредингера, разделение переменных, задача Коши, устойчивость решений, задача Дирихле.
Изучена задача Коши на полуоси и всей числовой оси для уравнения смешанного типа и родственных с ним параболического (гипоэллиптического) уравнения и нестационарного уравнения Шредингера. Рассмотрена также задача Дирихле. Решения структурированы с помощью индефинитной метрики. Использованы полученные ранее автором спектральные разложения для дифференциальных операторов с точкой поворота.
А.Л. STAKUN
THE BOUDERY PROBLEMS, ASSOCIATED WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS
ABOUT A TURNING POINT
Key words: operator, resolvent, discrete and continuous spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, completeness, boundary problem, contour integral, equations about a different type, Schrodinger equation, Cauchy problem, equation stability, Dirichlet problem.
The present article considers the Cauchy problem and Dirichlet problem for some classes equations about a different type and for associated Schrodinger equation and parabolic equation on the axes or infinity part of the axes. The indefinite inner product is useful for classification of this problem. The consideration concerned with the author’s article associated with differential operators about a turning point.
§ 1. Асимптотики. Резольвента. Спектр. Рассмотрим оператор
Lu = —u"+R(x)u — A,q(x)u,q(x) = xr(x),r(x) > 0,r(0) = 1;
Х = ст + /х = ц2, ц = s + i0, (1)
где R(x) e C[-b; да), r(x) e C2[-b; да), b > 0. На r(x), R(x) налагаются дополнительные ограничения. Будут использованы стандартные понятия и обозначения из спектральной теории операторов [6. C. 173]. Весовой множитель в (1) меняет знак при переходе через
точку х = 0 (т.е. порождает индефинитную метрику [1. С. 12]). Используются специальные функции [15. С. 190]. Проведенное далее рассмотрение опирается на результаты, полученные в работе автора [8], и обобщает результаты автора, изложенные в [7] (см. также [9, 12, 13]). Граничное условие для оператора (1) для компактности изложения следующее:
п(-Ь) = 0. (2)
Функции (см. [8])
у(х;|) = ^'(х))-1/2(|£(х))1/32ш(|£(х)), где £ = |0У Ч(1 )^, агв £ = 3я/ 2, х < 0 ,w = (3£/2)2/3, ^/3 - функции Бесселя порядка 1/3
[15. С. 181], удовлетворяют уравнению -у"-Хду -Эу = 0 (см. [8]). В частности, мы
будем часто использовать функции
У1,2 (х; |) = (^ (х))-1/2 (|£(х))1/3 ^ (|£(х)), Ж[уг;У2] = сХ2/3, где #1/3 - функции Ганкеля [15. С. 190]; с = -4/^3/я^2.
Дополнительные требования на д( х) имеют вид
Э /-у/д" є ¿1[-Ь ;да),д'= О(д),х ^да, І^дЛх =да. (3)
0
Требования (3) не являются слишком обременительными. Например, им удовлетворяют следующие семейства функций (х ^да): д = с • ехрфх), р>0, д = сха, а >-2. Но мы в дальнейшем будем использовать более слабое требование на суммируемость, а именно:
^(х)/д/д(х) є Ц [-Ь;+да), ^(х) = Л(х) + Э(х). (4)
Уравнение Ьи = 0 представимо в виде (что и поясняет условие(4)):
- и"-Э(х)и-|2д(х)и + Г(х)и = 0. (5)
Все рассмотрения будем вести в полуплоскости Іт|> 0 . Нам понадобятся следующие решения (см. [8]) и, и уравнения (5):
и:и(-Ь) = 0, и'(-Ь) = 1, и(х;|) = (у1(-Ь)у2(х)-у2(-Ь)у1(х))/^[у1;у2];
и: и = у1(х;|) + £“К(х;/;|)Р(/)и(/)Л. (6)
Решение и(х;|) при Vх є[-Ь; да) является целой функцией от |, причем при
1т|=0, Vх є [-Ь;да)
и(х-) = и(х; s). (7)
Решение и из (6) удовлетворяет «граничному» условию на правом конце интервала [-Ь; да), т.е. при Іт|> 0 и є Ь2д [-Ь;да). Здесь и в дальнейшем Ь2д [-Ь;да) -гильбертово пространство с метрикой
(и;у) = ^Ьчиу^х. (8)
Наряду с метрикой (8) в Ь2д [-Ь; да) рассматривается индефинитная метрика [1. С. 12] вида
[и; у] = |-да дйуёх. (9)
Из (6) получается асимптотика и(х;|) при фиксированном 0 и х ^+да и равномерная (двойная) асимптотика и (х;|) - для , х є[0;+да). Эти асимптотики, соответственно, имеют вид
и (х; |) = у1(х; |)[1 + О(|х° ^ ^х)], Іт | > 0; (10)
и(х;|) = у1(х;|) + О(ехр(-£(х)Іт|)|-7/6). (11)
Асимптотики (10), (11) можно дифференцировать. Кроме того, из (6) следует:
Vх є [-Ь;да), Ітц = 0: и (х;-s) = -и (х; 5). (12)
Функции и(х;-5) = -и(х; 5), и(х; 5) образуют базис (ФСР) в пространстве решений уравнения (5), ибо их вронскиан, как следует из (10):
^[и (х;-5);и (х; 5)] = с52/3, ц = 5 Ф 0. (13)
Из (12)-(13) решение и( х;ц) представимо в виде (при Ітц = 0):
и(х;5) = [и(х;«)и(-Ь;5) - и(х;«)и(-Ь;5)]/с52/3. (14)
Отметим, что из (14) следует, что и(-Ь; 5) Ф 0, т.е. на действительной оси Ітц = 0 (Х є [0; +да)) нет нулей и(-Ь; ц) - характеристического определителя (см. [8]) оператора (1)-(2).
Резольвента 171д оператора (1)-(2) есть интегральный оператор с ядром
Од = и(х)и(ї)д(ї)/Щи;и], х<ґ, (15)
при х > ґ выражение для О симметрично. Характеристический определитель Щи;и] = -и(-Ь;|) частично изучен выше. Показано, что и(-Ь;-5) = -и(-Ь;5) и и (-Ь; 5) Ф 0 (см. (12)-(14)).
С использованием (7), (12), (14) находится скачок ядра резольвенты (15) 17х д на полуоси Х є [0; +да) при переходе из нижней полуплоскости в верхнюю полуплоскость (разность на положительной и отрицательной полуосях плоскости ц). Его конкретный вид указывается позднее - в теореме разложения. Здесь только отметим, что множество Ітц = 0 (Х є [0; +да)) - непрерывная часть спектра ст(Ь) оператора (1)-(2).
Кроме того, при Ітц > 0 имеется дискретный спектр - полюсы резольвенты ц,, которые являются нулями функции и(-Ь; ц) - характеристического определителя оператора (1)-(2). При этом необходимо рассмотреть два случая: Я(х) > 0; теє{х: Я(х) < 0} Ф 0(<да).
В первом случае (Я(х) > 0) дискретный спектр Х п =ц2п действителен и отрицателен (ц - чисто мнимые), соответствующие собственные функции ип(х) можно выбрать действительными, нули характеристического определителя и(-Ь; ц) простые, и в индефинитной метрике (9) имеем [ип; ип] < 0. Кроме того, собственные функции ип(х), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны в индефинитной метрике (9). Вычет резольвенты 17х д в полюсе Х п = ц 2п плоскости Х имеет вид
ип(х)ип(ґ )д(ґ)/|-Т д(ґ )| ип (ґ)|2 Жґ. (16)
Из (16) следует, что «нормирование» собственных функций надо производить с использованием индефинитной метрики (9) пространства Ь2,д.
Во втором случае (потенциал Я(х) принимает отрицательные значения), тем не менее дискретный спектр в основном действителен (его, как и ранее, обозначаем Хп = Щ).
При этом для соответствующих собственных функций [ип ;ип] = |+Ь”д(ґ)\ип (/)|2Ж Ф 0,
причем эта «норма» (9), в основном, отрицательна - количество ип(х) с положительной нормой (9) не больше, чем пА, пА - размерность отрицательного собственного подпространства оператора Аи = -и" + Я(х)и, и(-Ь) = 0 (полуограниченного снизу). Это следует из того, что пространство с индефинитной метрикой [и; у]а = (Аи; у) есть пространство Понтрягина [1. С. 84] с конечномерным отрицательным подпространством. Вычет резольвенты 17хд в действительных полюсах Хп плоскости Х имеет прежний вид (21). Сделанное выше утверждение об ортогональности собственных функций в метрике (9) остается в силе. Еще возможно наличие конечного числа простых попарно сопряженных
комплексных собственных значений: Хс = {Х1;...;Х5}, и° = {и[;...;ис8], Хс, ис. Причем 5 < пА (в левую часть этого неравенства входит еще число собственных значений, которым отвечают собственные векторы с положительной «нормой» (9)). Все собственные
функции, отвечающие комплексному спектру, нейтральны в обеих индефинитных метриках: [иС;и^] = [иС;иС]А = 0. Собственные подпространства П, Т, натянутые на иС и
и5, также нейтральної, разумеется, собственные векторы в каждом из этих пространств ортогональны. Системы же ис и и биортогональны в (9): [иС и ] = 86,к. Это позволяет указать вычет резольвенты 17хд в комплексном полюсе ХС (напомним, что сам собственный вектор и°С нейтрален в метрике (9) и его «стандартная» нормировка невозможна -нормирование производится через биортогональность). Пусть Т5 сумма собственных (нейтральных) пространств Т5 =П + Т, из [1. С. 23] следует, что Т5 +Т5 = Ь2д, здесь знак штрих означает ортогональное (в метрике (9)) дополнение. Сумма также ортогональная в этой же (индефинитной) метрике. Подчеркнем, что Т5 ортогонально в метрике (9) всем собственным векторам, отвечающим действительному дискретному спектру, которые, следовательно, лежат в Т .
Из (11), (15) получаем равномерные асимптотики:
Ітц > 0, х є [-Ь;0], ц ^ да: и (х; ц) = /(2д)1/4[ехр(-/|£) + ехр(/ц£)]; (17)
Ітц > 0, ц ^ да: и (-Ь) = /'(2д(-й))1/4[exp(-/'|£(-й)) + ехр(/'!£(-й))]. (18)
Из (18) следует [6. С. 317], что для чисто мнимых цп (действительных Х п = ц 2) имеет место асимптотика, при п ^ да:
цп =т(п-1/4)/|£(-Ь)|, п = 1,2,...; (19)
Х п = -ж 2 (и -1/4)2 / |£(-Ь)|2, п = 1,2,... (20)
Аналогичные формулы получены в [8].
§ 2. Оценка резольвенты. Теорема разложения. Равенство полноты. Формула Парсеваля. Случай х є Я. В [8] получены равномерная оценка ядра резольвенты и, методом контурного интегрирования, теорема разложения (равенство полноты).
Используя (11), (15), (17)-(20), получаем равномерную оценку резольвенты
(15) (как обычно, вне кружков малого радиуса с центрами в точках
(ц„ )'=пі(п -1/4) /| £{-Ь)\, п =1,2,...):
|О(х;ґ;ц)д(ґ)| < С(д(х)д(ґ))-1/4|ц|-1 ехр[-Ітц | £(х) -£(ґ) |], 0 < х, ґ < да. (21)
На основе оценки (21), применяя стандартный метод контурного интегрирования [8], получаем формулу разложения по собственным функциям оператора (1)-(2), (4). Имея в виду дальнейшие приложения к краевым задачам, ограничимся рассмотрением случая Я(х) > 0 :
g(х) = х 8п2п +|+да А? (5) і( х; 5)Ж5,2п (х) = ип (х)/ V п, г( х; 5) = и( х; 5)/ у(5),
п
Еп = [ип;еЪ А(5) = IXх;5);еОХЪ Vп = -/|ПГд(ґ)Іип(ґ)|2Жґ| ,
v( 5) = ^/ж/ 2 5|и (-Ь; 5)|. (22)
Сходимость в (22) равномерная на компактных подмножествах оси х либо - в метрике Ь2,д[-Ь; да). Последняя обычным образом распространяется на все пространство, т.е. имеют место аналог равенства Парсеваля (с использованием индефинитной метрики (9)) и равенство полноты. Имеем, соответственно,
+да +да 2
| д(х)|я(х)| Жх =[е;е]=-Д?„| +1К0)| Ж5, є Ь2,д[-Ь;да). (23)
-Ь п 0
Равенство полноты имеет вид
X д(ґ)2п (х>п (ґ) + |+“ д(ґ) х(х; 5) 2(ґ; 5)Ж5 =8(ґ - х). (24)
п
Случай x є (-œ; +œ) рассмотрим конспективно, отсылая за подробностями к работам [9, 13, 14].
Теперь оператор вида (1) рассмотрим на всей числовой оси, т.е. речь идет об операторе
Lu = —u"+R( x)u — Хq( x)u, q(x) = xr(x), r(x) > 0, r(0) = 1;
Х=ст + п = ц2, ц = s +i0, (2S)
где R(x) є C(-œ; œ), r(x) є C2(-œ; œ) и налагаются еще дополнительные ограничения, кроме наложенных в первом параграфе. Именно условия и рассмотрения (3)-(S) распространяются также на интервал (-œ; -b]. Изучение оператора (2S) проводится в основном аналогично проделанному нами для оператора (1)-(2). Здесь приводятся лишь конечные результаты, необходимые в дальнейшем для изучения краевых задач. Более подробное рассмотрение оператора вида (2S) можно найти в работах автора [9, 13]. Ограничимся рассмотрением случаев R(x) S О и отсутствия дискретного спектра. Тогда спектр оператора (2S) непрерывен и заполняет всю действительную ось ImX = 0 [9, 13]. Рассмотрение проводится с использованием индефинитной метрики типа (9)
[u;v]l =J q( x)u( x)v( x)dx. (26)
в очевидным образом определенном пространстве L2,q(-œ; œ). Как и в случае оператора (1)-(2), оператор (2S) порождает каноническое разложение (см. [1. C. 27]) L2q = П- + П+ на ортогональную, в метрике (26), сумму инвариантных подпространств (положительного и отрицательного в смысле (26)), отвечающих соответственным частям спектра оператора (2S). Теорема разложения, равенство полноты и равенство Парсеваля (в метрике (26)) (см. [9, 13]), соответственно, имеют вид:
g( x)=J—TZ (x; •s)G(•s)d•s, G(s)=І+Г?( x)Z (x;s) g(s)ds;
g ( x) = J+^q^ )Z ( x; s)Z (t; s)ds = 8(í — x);
[ g ( x); g ( x)] = J0+œ |G(s)|2 ds — J—'œ |G(s)|2 ds. (27)
Функция Z(x; s) в (27) есть некоторое решение уравнения вида (S) (но на всей
числовой оси), удовлетворяющее соотношениям (подробнее, см. [9, 13]) при x ^ +œ:
Z(x; s) = O[exp(sx)/ ql/4], s S 0, x < 0; Z(x; s) = q~1/4O(l), s S 0, x > 0;
Z(x;s) = O[exp(sx)/ql/4], s < 0, x > 0; Z(x;s) = q~1/4O(l), s < 0, x < 0.
§ З. Краевые задачи. В этом параграфе рассматриваются различные краевые задачи для различных уравнений второго порядка с частными производными, связанные со спектральными задачами, которые рассмотрены в предыдущих параграфах. Условимся переменную t здесь использовать в качестве второй независимой переменной, а в формулах из § 1, 2, вместо t будем использовать другую переменную.
Рассмотрим задачу
q(x)vtt— vxx+R(x)v=x є [—b;œ), z є [0;+œ);
v(x;0) = ф(x), vt (x;0) = y(x), v(—b;t) = 0. (28)
Требования для коэффициентов уравнения в (28) те же, что и для оператора (1)-(2), причем R(x) S О. Таким образом, v(x; t) рассматривается как решение задачи, содержащей уравнение смешанного типа (эллиптическое при x < О, гиперболическое при x > О).
Разделяя стандартным образом переменные в задаче (28) и используя результаты (23)-(24) для оператора (1), получаем, пока формальное, решение задачи (28):
v( x;0=zr=ltonch(VÑOn Iх ni12 )]zn( x)+
+ Jü”[ Аф (s)cos(st) + Av (s)s—1 sin(st )]z( x; s)ds, (29)
где в (29) коэффициенты определяются по формулам (22).
Для анализа, пока формального, решения (29) используем индефинитную метрику (9) пространства L2,q[-b; œ). Отметим, что (22)-(24) порождает каноническое
разложение [1. С. 31] пространства Ь2[-Ь; да) в прямую ортогональную (в смысле метрики (9)) сумму
1Хч[-Ь;да) = П++П_ , (30)
соответственно, положительного и отрицательного инвариантных подпространств оператора (1)-(2), которые соотносятся с соответствующими частями его спектра. Предполагаем, что, как минимум, ф, у е Ь2^[-Ь; да). Согласно (22), (30), ф, у разлагаются на ортогональные (в метрике (9)) составляющие ф±, у± е П±, для которых в разложении (29) присутствует либо только интеграл (по непрерывному спектру оператора (1)-(2)), либо только сумма (по дискретному спектру). Рассмотрим следующие три случая.
1. Пусть ф, у е П+ (фи, уп = 0) (30), фактически мы изучаем «часть» решения (29), отвечающую ф+, у+. Для компактности изложения рассмотрим сначала случай, когда у(х) = 0. Из (29) следует, что в рассматриваемом случае решение (29) определено корректно при этих минимальных требованиях на ф(х), локально принадлежит Ь2 (т.е. решение понимается как обобщенное), начальному условию удовлетворяет в метрике (8) - это доказывается с помощью соотношения (23). При дополнительных ограничениях на ф(х) решение будет, соответственно, гладким (классическим). Кроме того, в каждом случае, после введения соответствующих метрик, можно показать устойчивость решения (т.е. непрерывную зависимость от ф(х)), естественно, ф(х) меняется в пределах П+, в соответствующем классе. Изложение этих вопросов выходит за рамки одной статьи, подробнее их здесь мы не рассматриваем. В случае, когда у(х) нетождественно равна нулю, рассмотрения аналогичны проведенным выше.
2. Пусть В(к) - инвариантное подпространство, натянутое на собственные векторы 2п(х), п = 1, ..., к. Пространство П- есть ортогональная (в метрике (9)) сумма П- = В(к) +П-.
Пусть теперь ф, у е П+ + В(к), тогда имеем разложение на ортогональные (в (9)) составляющие ф = ф+ + ф_, = у+ + у_. Решение у+(х; ?), отвечающее ф+, у+, рассмотрено в предыдущем пункте (п. 1). Решение (29) есть v(х;?) = у+ (х;?) + у_ (х;?), где
V- (х;0 =ХП=1[фпсКл/М0 + Уп М 12 (х). (31)
Решение (31) определено для ? > 0, его гладкость, очевидно, определяется гладкостью 2п(х). Устойчивость надо рассматривать для ? е [0; Т], УТ > 0.
3. В случае, когда ф, у е Ь2^[-Ь; да), для корректности определения решения (29)
необходимо накладывать дополнительное условие. Например, достаточное условие вида ___
Еп|фп,уп|еХР(л/МТ) <да (32)
при некотором Т > 0 обеспечивает корректность определения решения у_(х; ?) (с суммированием в (31) до бесконечности) для ? е [0; Т), его гладкость и устойчивость (в классе (32)).
Рассмотрим теперь задачу (сохраняя условия задачи (28) на коэффициенты уравнения):
я(х)ч _ + я(х>=0; Чх;°)=ф(х); Ч-Ь;0=°. (33)
В целом ее рассмотрение аналогично предыдущему. Формальное решение имеет вид (см. (29)):
Кх;0 = Еда=1фп ехР(К1?К (х)+10+да Аф 0)ехр(-.Л) г(х; я)Ж. (34)
Рассмотрим, как и выше, три случая.
1. Пусть ф е П+ (фп = 0), из (34) получаем
у(х;/) = |+да Аф (я)ехр(-я2/)7(х; я^сЬ. (35)
Решение (35) определено при х е [-Ь; да), ? > 0, его гладкость определяется гладкостью 2(х; я), при ? > 0 это решение бесконечно дифференцируемо по ?. При ? > 0 решение (35) удовлетворяет рассматриваемому уравнению в классическом смысле. В общем случае начальное условие выполняется в метрике (8) - доказывается с помощью (23). Устой-
чивость также рассматривается в той же метрике. Вопрос о сходимости к начальному условию в других топологиях (при дополнительных условиях на ф(х)) и соответствующей устойчивости остается за рамками этой статьи. Для записи решения можно использовать функцию Грина.
2. Пусть ф(х) ортогональна П- (см. п. 2 задачи (28)), т.е. ф = ф+ + ф_, ф- е В(к), тогда у(х; ?) = у+(х; ?) + у_(х; ?), где первое слагаемое отвечает ф+(х) и находится по формуле (35), второе, согласно (34), имеет вид
V- (х;0 =ЕП=1фп ехР( Хп?К (х). (36)
Решение (36) определено для ? > 0, его гладкость определяется гладкостью 2п(х), бесконечно дифференцируемо по ?, устойчиво для Т > ? > 0.
3. Наконец, в общем случае ф е ¿2,Д-Ь; да), как и для предыдущей краевой задачи, для корректности решения (34) необходимы дополнительные условия (аналогичные (32)). Например, условие следующего вида
¿ЫехР(МТ) <да. (37)
Условие (37) обеспечивает существование решения для Т > ? > 0, его соответствующие гладкость и устойчивость.
Наконец, задача для аналога уравнения Шредингера,
-¥хК - у* + к(х)у=0; у(х;0)=ф(х); у(-Ь;0=о. (38)
Формальное решение имеет вид
у( х; ?) = ЕП=1 [фп ехР(| хп (х) + 10+да Аф (5)ехР(-/52? Жх; я)Ж;. (39)
Решение (39) определено при любом ф е Ь2ц[-Ь; да), для всех ?, принадлежит ^2,^([-Ь ; да)х[0; 7]), начальное условие выполняется в метрике (8) (как и устойчивость). При дополнительных условиях на ф(х) получаются гладкие классические решения. Интересно отметить, что имеется бесконечное число связных состояний. «Свободное» движение отвечает ф(х) е П+.
Обсудим задачи, аналогичные (28)-(39) для х е (-да; +да). При этом используется оператор (25) и материал, изложенный в (25)-(27).
Рассмотрим задачу Коши
д(х)у?? -ухх + Я(х)у = 0; у(х;0) = ф(х),V?(х;0) =у(х),у(-Ь;?) = 0. (40)
Далее изучение идет по схеме, примененной выше для задач на полуоси, только использовать будем результаты, изложенные в конце § 2, в частности, формулы (26)-(27). Пусть ф = ф+ + ф_, у = у+ + у_, ф±, у± е П±, тогда определяются Ф±(я), ^±(я). Формальное решение задачи (40):
у( х;?) = |0+“[Ф+ (5)003(5/) + Т+ (я)я- зт(5/)]2 (х; +
+ |-1да[Ф- (5)сй(5/) +Т- (5)5(х; = у+ + у-. (41)
Что касается у_(х; /) в (41), то оно корректно определено, например, при дополнительном условии: Ф (я), Т (я) - финитны на -да или | |Ф-(5)Л/-(.^ехР^Т)^<да. Во
втором случае решение у_(х; /) рассматривается только для / е [0; Т). Решение у+(х; /) носит «классический» характер.
Рассмотрим следующую задачу Коши
д(х)у? -ухх + Я(х)у = 0; у(х;0) = ф(х);у(-Ь;?) = 0, х еЭТ. (42)
Используем результаты (25)-(27). Как и ранее, разложим решение задачи (42) у(х;?) = у+ (х;?) + у-(х;?). При этом получается:
у+ (х; ?) = |+даФ+ (^)ехР(-^ 2?)2 ( х; s)ds;
у- (х;?) = |_0даФ- (я)ехР(я 21)1 (х; я)йя. (43)
Решение у-(х; ?), в отличие от у+(х; ?), как следует из (43), корректно определено, например, при дополнительном условии: функция Ф (я) - финитна на -да или /0да|Ф- ОфхР^ 2Т )Ж < да. Во втором случае решение у-(х; ?) рассматривается только для ? е [0; Т).
Как и в (38), рассмотрим задачу Коши для аналога уравнения Шредингера
-¡д(х)у? -ухх + Я(х)у = 0; у(х;0) = ф(х); у(-Ь;?) = 0, х е ^. (44)
Формальное решение задачи (44) имеет вид
у(х;?) = |0+”Ф+ (s)exp(-/s2í)Z (х; + |_0даФ- (s)exp(is2t)Z (х; я)Ж. (45)
Решение (45) понимается как обобщенное в общем случае ф(х) е ¿2^(ЭТ), при дополнительных условиях на ф(х) решение (45) имеет соответствующую гладкость. Во всех случаях решение устойчиво (в соответствующих классе и метриках).
Различные аспекты теории краевых задач для уравнений смешанного типа изучены в работах академика Е.И. Моисеева, здесь приводится только ссылка [2], где есть библиография.
Изложенные результаты апробированы на международных конференциях [10, 11] как составная часть докладов.
В заключение, используя рассмотренную спектральную задачу (1)-(2), кратко изложим решение следующей задачи Дирихле для уравнения типа Чаплыгина [5], описывающего одновременно дозвуковые и сверхзвуковые процессы. Рассмотрим на
области D = [-b; +да)х[0; T] задачу
q(x)vtt + vxx -R(x)v = 0, x e [-b;œ), t e [0;+да); (46)
v( x;0) = ф( x), v( X;T ) = y( x); (47)
v(-b;t ) = a(t ); (48)
где ф, у e L2q[-b; да), ф(-b) = y(-b) = 0; a e C2[0; T]; ct(k) = 0, t = 0, T, k = 1, 0, 2. Коэффициенты уравнения (46) (и налагаемые на них требования) такие же, как и для оператора (1)-(2), причем R(x) > 0. Задача (46)-(48) гиперболически-эллиптическая, причем, уравнение (46) эллиптично в неограниченной части области D. Отметим, что пространство L2q(D) с индефинитной метрикой JDqgfdxdt может рассматриваться как тензорное
произведение пространств L2q[-b; да) и L2[0; T) (с ортонормированным базисом Tm(t) = 4Ш sin(nmt/T), m = 1, да). Соответственно, базис в L2q(D) есть тензорное произведение базисов в L2q[-b; да) и L2[0; T) (ортонормирован в метрике JDqgfdxdt).
Решение задачи (46)-(47)-(48)0 (индекс 0 означает однородное условие) имеет вид (используется разложение (30)):
да +да
u1 (x; t) = u- (x; t) + u+ (x; t) = X un (x; t) + J u (x; t; s)ds;
n=1 0
un = [Фп С0ФпЮ + ((У n -Фп COs(^n|T))/sin(^nlT))sin(l ^n|0K (x);
u(x;t;s) s [Аф (s)exp(-st) + Ay(s)exp(-s(T -1))]z(x;s). (49)
Решение u+(x; t) бесконечно дифференцируемо по t внутри области определения, гладкость по x определяется гладкостью z(x; s), решение u-(x; t), в общем случае, принадлежит L2 q(D) и понимается как обобщенное решение уравнения (46). Для обоих решений в общем случае граничные условия (47) выполняются в метрике L2q[-b; да) (при дополнительных условиях на гладкость ф, у эти вопросы уточняются).
Решение (49) существует и единственно при выполнении условия
sin(| Ц nlT ) Ф 0 ö Vn, m: VnT Ф mn, (50)
которое соотносится с условием, приведенным в [3]. Если же условие (50) не выполняется (при |£(-b)|/T - нерационально, число таких п e N, m e M- конечно) требуется
наложить еще дополнительное условие ортогональности (в метрике (9)) данных ф(х), y(x) подпространству, натянутому на собственные векторы Zn(x), neN.
Теперь рассмотрим задачу (46)-(47)0-(48), решение которой обозначим как u2(x; t). Это решение можно найти двумя способами: первый - стандартно, граничное условие (48) «отправляется» в правую часть уравнения (46), после чего решается однородная краевая задача с помощью вышеуказанного базиса в L2,q(D); второй способ основан на отыскании ограниченных vm(x) решений задач v" - R(x) = (mn/T)2q(x)v, v(-b) = am, где am -коэффициенты разложения a(t) по базису в L2[0; T]. В обоих случаях требуется выполнение условия (50), в случае нарушения которого возникает дополнительное требование ортогональности a(t) подпространству, натянутому на векторы Tm(t) =4lÏT sin(rcmt/T), m e M в L2[0; 7]. Решение задачи (46)-(48) u(x; t) = u\(x; t) + u2(x; t). Подобные задачи Дирихле рассмотрены в работах [3-5], где имеется библиография.
Литература
1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.
2. Моисеев Е.И., Могими М. О полноте собственных функций задачи Геллерстедта для вырождающегося уравнения смешанного типа // Доклады РАН. 2005. Т. 404, № 6. С. 737-739.
3. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.
4. Репин О.А. Задача Трикоми для уравнения смешанного типа в области, эллиптическая часть которой - полуполоса // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 4. С. 565-567.
5. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Известия вузов. Математика. 2007. № 4. С. 45-52.
6. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999.
7. Стакун А.А. Задача Коши для одного класса уравнений // Вестник Чувашского университета. 2011. № 3. С. 160-169.
8. Стакун А.А. О свойствах дифференциального оператора с кратной точкой поворота // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 6. С. 993-999.
9. Стакун А.А. О свойствах оператора Шредингера с комплекснозначным потенциалом // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 3. С. 483-486.
10. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса операторов // Современные проблемы математики, механики и их приложений: материалы Междунар. матем. конф. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 50-51.
11. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса операторов // Актуальные проблемы анализа: тез. докладов Междунар. матем. конф. Гродно: ГрГУ, 2009. С. 97-99.
12. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса операторов в Rn // Вестник Чувашского университета. 2011. № 3. С. 169-177.
13. Стакун А. А. Спектральные разложения, связанные с дифференциальными операторами второго порядка // Вестник Чувашского университета. 2009. № 3. С. 84-91.
14. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1986.
15. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.
СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (asail1@mail.ru).
STAKUN ALFRED ANTONOVICH - candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor of Higher Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
