CC BY
46
УДК 517.95 ББК В 161.62
А. А. СТАКУН
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТИПА ЛАВРЕНТЬЕВА-БИЦАДЗЕ
Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный и непрерывный спектры, индефинитная метрика, собственные функции, асимптотика, спектральное разложение, краевая задача, контурный интеграл, уравнения смешанного типа, задача Дирихле, ограниченная и неограниченная области.
Решена задача Дирихле на бесконечной полуполосе и на прямоугольнике для уравнения смешанного типа (гиперболическо-эллиптический тип). Попутно изучены спектральные задачи, ассоциированные с вышеуказанной краевой задачей.
A.A. STAKUN THE DIRICHLET BOUDERY PROBLEM ASSOCIATED WITH DIFFERENTIAL EQUATIONS ABOUT A DIFFERENT TYPE
Key words: operator, resolvent, discrete and continuous spectra, indefinite metric, eigenfunctions, asymptotic, expansion, boundary problem, contour integral, equations about a different type,, Dirichlet boundary problem, bounded, unbounded domain.
The present article considers Dirichlet problem for some classes equations about a different type. The indefinite inner product is useful for classification of this problem. The consideration concerned with the author’s researches associated with differential operators about a singular turning point.
Уравнение Лаврентьева-Бицадзе, известное в аэродинамике больших скоростей [S. C. 303], имеет вид utt + sign(x) • \x Iу Uxx=a 0 < у < 2. В данной работе будет рассмотрена задача Дирихле на бесконечной полосе и на прямоугольнике для случая у = 1 и уравнения более общего вида utt + p(x)uxx + P(x)u = 0, где p(x) = x/r(x), r(x) > 0, т.е. функция p(x) произвольна (с ограничениями на гладкость), а P(x) имеет специальный вид.
§ 1. Постановка задач. Спектральные задачи. Рассмотрим краевую задачу q(x)utt + uxx +0(x)u = 0, q(x) = r(x)/x , r(x) > 0, r(0) = 1;
x є [-a; +a)), a > 0 ; t є[0; T]; T > 0 ; r(x)єС2[-a; + <»); B = [-a; +ro) x[0; T]; (1)
u( x;0) = ф( x); u( x; T) = y(x); (2)
u(-a; t) = a(t). (3)
На бесконечности требуется ограниченность решения уравнения (1) (фактически, в ряде случаев, решения стремятся к нулю). Условия сопряжения решений при x = 0 будут указаны позднее.
Требования на функции ф^), y(x), a(t) будут указаны. Вид функции 0(x) указывается ниже, а именно: x
£(x) = Jyjq(t)dt; argg) = 0, x > 0; argQ = л/2, x < 0; w(x) = (£,/2) ;
0
0( x) = ->/ w'( x) (1/y[w\x))''. (4)
Отметим, что при q(x) = 1/x имеем 0(x) = 0. Позднее также будут указаны условия сопряжения решений уравнения (1) при переходе через линию x = 0. Пока предположим: a(t) є С2[0; T], a(0) = a(T) = 0; ф^), y(x) є C([-a; +ro)nZ2,q[-a; +то)), ф(-a) = y(-a) = 0 (позднее требования будут уточнены).
Нам часто придется использовать индефинитную [1. C. 13] форму
+Х
[ g;f ] = J q( x) g(x) f (x)dx, (5)
-a
где интеграл в (5) при необходимости понимается в смысле главного значения по Коши. Очевидно, что форма (5) определена на всем £2,д[-а; +«>), т.е. на стандартном гильбертовом пространстве с метрикой
(я; /) = Ц д(х)|I(х) / (х)^ (6)
-а
и индефинитной метрикой (5) [1. С. 34]. Если считать для определенности, что г(х) > с > 0, то Ь2 ц[-а; +да) с £2[-а; +го). Ограничиться пространством £2,д[-а; +да) мы не можем, потому что базисы, с которыми приходится работать, вообще говоря, не принадлежат этому пространству (векторы этого пространства по ним разлагаются, но не только они). Решения уравнения (4), например, надо включать в рассмотрение, а они большей частью не принадлежат £2,д[-а; +да). Форма же (5) на них определена. Вообще (5) определена на всюду плотном множестве в £2[-а; +«) (£2[-а; +Р), р > 0). В полном описании области определения оператора 4и, связанного с краевой задачей (см. ниже), нет необходимости. Потому что в теореме разложения интегрируется по контуру Од/, где О - резольвента. Вот там и будет описано множество функций / (а значит, и и = /-1/), для которого работает теорема разложения, на этом множестве форма (5) определена.
Разделим переменные в задаче (1)-(3), положив и(х;?) = X(х)Т(?):
Т" =- Х"+е( х) х =^2 (7)
Т д(х) X
Рассмотрим первую задачу (1)-(2)-(3)0, где индекс 0, здесь и везде, означает однородное (нулевое) условие. Из (7) возникает спектральная задача
- X"-Х2д(х)X -Є(х)X = 0, (8)
X (-а) = 0. (9)
На бесконечности требуется принадлежность Ь2д[-а; +да). Решением уравнения (8) (см. (4)) являются функции вида
и(хЯ) =-=^=Шх))2іШх)), (10)
УІМ/ (х)
где ^ в (10) функция Бесселя порядка 1 [9. С. 179]. Основным является вопрос продолжения («склейки») решений уравнения (8) через точку х = 0 (неинтегрируемая особенность). Безусловно требование существования и единственности продолжения на весь интервал [-а; +да) решения, заданного, например, данными Коши в точке х = -а (или любой другой точке х Ф 0, х є [-а; +«)). «Естественное» продолжение обходом (в комплексной плоскости) точки х = 0 («аналитическое» продолжение) на практике не рассматривается, ибо приводит к «частично» комплексным решениям. В работе автора [7] требуемые условия получены:
1. у(-0;Х) = у(+0;Х) = у(0;Х); (11)
2. УуЗ іип (у'(х;Х)/1п|х|) = Л2(Х) = -2X^(0;X); (12)
3. (у'(х;X)-Л2Іп|х|)|+0 = (у'(х;X)-^ (0;X). (13)
Причем и(0; X), о'гег(0; X) играют роль начальных условий, решение и(х; X) при любом х є [-а; +да) аналитично по X в области аналитичности и(0; X), о'гег(0; X) по X. Любое решение, заданное на [-а; 0], однозначно продолжается вправо (и наоборот). Вронскиан любой пары решений, «склеенных» по принципу (11)-(13), не меняется на всем интервале [-а; +да). Из (11)-(13) следует, что если решение и(х; X) є С'[-а; р], то
оно продолжается через х = 0 обычным образом. Заметим, что для решений уравнения (4) (с избранным продолжением) определена индефинитная форма [д; /р вида
Р
[д;/]р=| чфх,р> о. (14)
-а
Условия (11)-(13) являются дополнительными для задачи (8)-(9). Условия (11)-(13) показывают вид дополнительных условий сопряжения решений при переходе через х = 0 для задачи (1)-(3), именно:
и(-0;X) = и(+0;X); ЗНших(х;г)/1п|х| = Я2(г);
(их (х; г) - К21Пх|)|-0 = (их - ^21Пх|)|+0. (15)
Введем в рассмотрение решения уравнения (4) вида:
и;(х;X) = х))Н(])(Х^(х)),] = 1,2 , хе [0;+»);
1 у/м>(х)
V] (х;Х) ^-?=^(Х^(х))Я1(;)(Х^(х)),] = 1,2,
^w\x)
х е[-а;0]; W[и1; и2] = сХ2; W[У\У2] = с^2; и(х;Х) = и1(х;Х), х е[0;+»), и е £2?[1;+о));
у (х; X): у (-а) = 0, у' (-а) = 1. (16)
Отметим, что
и;(х;X) = 0(4~1/4(х)|X11/2ехр((-1)]-11шХ-|(х)), 1шХ>0, хе[1; +»); (17)
у(х;X) = 0(qr1/4(x)|X|-1exp(ImX•£,(x)), 1шX>0, хе[1; +»). (18)
Причем оценка (17) может быть использована при '^, 1ПЛ > 0, х ^ » и при х е [1; +»), 1ПЛ > 0, X ^ ». Оценка (18) может быть уточнена до оценки вида (17),
если X = Xm - собственное значение. Оценки (16)-(18) следуют из (4) и свойств бессе-
левых функций [9. С. 182, 190, 222].
Рассмотрим ядро резольвенты, связанной с задачей (8)-(9), (11)-(13):
в(х; г; X) = у(х)и (0^[у; и], х < г. (19)
Мы здесь пока не уточняем область определения соответствующего оператора. При непосредственном контурном интегрировании будет определен круг функций, разлагающихся по соответствующему базису.
Оператор с ядром (19) изучаем аналогично рассмотрению, приведенному автором в работах [5-7] в подобной ситуации.
Исходя из свойств функций у(х), и(х) из (16), которые следуют из соответствующих свойств бесселевых функций [9. С. 182, 192] и из свойств характеристического определителя Д^) = W|y, и] = -и(-а; X), получаем: X2 е [0; +») (X е (-»; +»)) - область непрерывного спектра задачи (8)-(9), (11)-( 13)), так как ядро (19) имеет скачок при переходе через луч (X2 е [0; +»)). Кроме того, имеется бесконечный дискретный отрицательный спектр X2 < 0 (при 9(х) < 0 комплексный спектр отсутствует - это предполагается в дальнейшем), совпадающий с X2m , где Xm - нули Д^).
Асимптотику Xm (из которой и следует бесконечность дискретного спектра) найдем далее. Характеристический определитель Д^) = -и(-а; X) выписывается явно через функции Бесселя. Используя их асимптотические свойства [9. С. 222], получаем главный член асимптотики Д^) при ImX > 0, X ^ »:
Д^) = cXffl + й2е^(-а) ]. (20)
Из (20) следует, что Л(Х), 1шЯ > 0 - функция класса К [4. С. 318]. Из свойств функций класса К [4. С. 322] получаем асимптотику дискретного спектра Хт и оценку Л(Х) «снизу»:
Хт = . ' 71 [т-1/4 + 0(1/т)], т ; (21)
|£(-а)|
|Л(Х)| = р(-а;Х)>8|Х|и[е-1«-а)1*еЧ ^«-а)|ЕеЯ], (22)
1шX > 0 , ^| > Х0 >> 1.
Оценка (22) справедлива вне кружков сколь угодно малого фиксированного ра-
~ 1Ж
диуса ^ > 0 с центрами в точках Xm = ------ [т -1/4].
|£(-а)|
Используя явное выражение ядра (10) через бесселевы функции, асимптотические свойства бесселевых функций [9. С. 222], неравенство (22) и методику оценки резольвенты в условиях наличия погранслоя, использованную автором в работах [5-7], получаем
\0(х;(;X) <-^-д1/4(х)д1/4(?)ехр[-1тХ||(х)-§(0|], х > 1V t > 1;
1Х1
р
р( Х';Г;Х)\ <у- , X < 1 Л I < 1. (23)
Оценка (23) имеет место в области выполнения неравенства (22), указанной выше (вне кружков).
В дальнейшем считаем, что 9(х) < 0, тогда спектр действителен, можно выбрать «нормированные» относительно формы (5) собственные функции Хт(х) и справедливо
[Хщ(х);Хт2(х)] = 0, т^т2; [Хт ;Хт] = -1;
\Хт (х)| < с , Ут , х е[-а;+да) ; |Хт (х)| < се~е^(х), х > 1, е> 0;
[X(х;Х);X(х;ц)] = 5(Х-ц); |Х(х;Х)<с , хе[-а;+<»), Хе[0;+да). (24)
В (24) Х(х; X) - «собственные» функции, отвечающие непрерывному спектру X е [0; +да).
§2. Разложение по собственным функциям. Решение краевой задачи. Пусть д~11Хы = / , тогда I- 1д/ = и (т.е. и «истокообразно» представима через ядро). Рассмотрим интеграл по расширяющимся контурам
— Ї - К1фХ = — [ —ії'к . 2л/ I Xх 2га' X
(25)
Г я " ---г
где Гя = С5 и [р; 5] и ур и [-5; -р]; С5: |Х| = 5, 1тХ > 0; ур: |Х| = р, 1тХ > 0. Контур Г обходится против часовой стрелки, подразумевается, что р ^ 0, 5 ^ да. Особенности резольвенты (ядра (19)) - полюсы Хт и скачок на разрезе X2 є [0; +да) (1тХ = 0). Мы не будем здесь полностью разбирать метод контурного интегрирования, отсылая к работе автора [7]. Используются (23)-(24).
Укажем результат:
+х
Уи : и =^ итХт (х) +| Аи (Х)Х (х; Х)й?Х ,
т=1 0
(26)
ит = [Хт(х);и(х)], Аи (X) = [Х(х;Х);и(х)]. (27)
Сходимость в (26) равномерна на каждом конечном интервале. Здесь мы не обсуждаем вопросы, связанные с распространением (26)-(27) на все пространство ^2,д[-а; +да) и
описанием всего множества разлагаемых функций и. Поскольку строим гладкие (классические) решения исходной краевой задачи (обобщенные решения - не рассматриваем). Поэтому и считаем достаточно гладкими, обращающимися в нуль при х = 0 (возможно, с некоторыми производными) и достаточно быстро стремящимися к нулю на бесконечности. Для таких и метод контурного интегрирования при выводе формул (26)-(27) заведомо проходит [7]. Можно даже, при необходимости, вывести аналог равенства Парсеваля. В этой статье это не рассматривается.
Введем множество В'= Вд и Вх, где Вд - множество тех и е Ь2д в (26), для которых
+да
2 (|ит|тх) <дал ||Аи (X)|Xl;dX<да, т = 0,1,2. (28)
т 0
Уже говорилось о предполагаемых свойствах функций и. Здесь для компактности изложения не рассматриваются достаточные условия на и, обеспечивающие (28). Хотя формулируются достаточно просто, но их обоснование технически громоздко.
+да
Множество В - множество всевозможных сумм вида 2СтХт (х) +1С^)Х(x;X)dX ,
т0
где
+да
2(|Ст|тТ) <дал||С(X)|XтdX < да. (29)
т0
Из (28)-(29) ясно, что классы Вд и В пересекаются. Мы специально выделяем Вд, ибо для него можно указывать разные достаточные условия принадлежности функций этому классу. Класс В описывается вполне конструктивно.
Очевидно, что для класса В имеют смысл и выполняются (11)-(13), функции этого класса принадлежат С[-а; +да) п (С2[-а; 0) и С2(0; +да)). Класс В представим в виде
+да
В'= В- + В+ ; В_ : 2СтХт ; В+ : |С(X)Х(х; X)dX. (30)
т0
В (30) сумма В- + В+ ортогональна относительно формы (5), Уg е В: g = g- + g+, g- е В-, g+ е В'+, g- ± g+ (относительно (5)), g-, g+ определяются однозначно, [g-; g-] < 0, [§■+; g+] > 0. Отметим, что, если и е Ь2д[-а; +да), «проекции» g-, g+ не обязательно принадлежат этому пространству (из-за их поведения около х = 0).
Замечание. Вообще говоря, на В имеет место аналог равенства Парсеваля (оно для нас не является необходимым, ибо строим классические решения со стандартным выполнением граничных условий), поэтому и не приводим его здесь.
Теперь построим пока формальное решение задач (1)-(3), (15). Предположим дополнительно, что ф(х), ,(х) в (2) принадлежат В', т.е.
да да
ф(х) = 2фтХт (х) + |Аф(X)Х(х^^ , (31)
т=1 0
,(х) - разлагается аналогично. Из (7) следует, что решение задачи (1)-(3) имеет вид
да +да
и(х;/) = и- (х;/) + и+ (х;/) = 2Тя (0Хт (х) + |Tx(/)Х(х;X)dX , (32)
т=1 0
т Ь \+ I ^т -фт COS(|Xт|Т) • |л |, /оо\
Тт (0 = фт с^^т \? + ! Г Г~, SІп|Xт|? ; (33)
^П.|X т |Т
Tx(?) = (1-е-ХТ)-1[(Аф -А,е-XT)е-^ + (А, -Афв-XT)еХ(?-Т)]. (34)
В силу (28) - (29), (34)
и+ (х;?) е С([-а;+да) х [0;Т]) п (С2[[-а;0) х [0;Т]] п С2[(0;+да) х [0;Т]]),
|и+(х; ?)| < С и и+(х; ?) удовлетворяет условиям (15). Что касается и-(х; ?), т.е. (33), то эта часть решения имеет такую же гладкость при выполнении условия
НXm|T| >5! > 0. (35)
Вообще, условие существования функции из (33) есть
КТ , (36)
что соотносится с соответствующими условиями в [2, 3]. Дополнительно предположим, что условие (36) может нарушаться только для конечного числа т е М (п е Ы) и, кроме того, при т е М : ^ т\Т-Ч >5 2 > 0 (тогда выполняется и (35)). Достаточным условием выполнения этого дополнительного требования, например, является следующее: пусть Т/||(-а)| = к/$ - несократимая рациональная дробь, тогда вышеуказанное дополнительное условие выполняется при нечетном к - это следует из асимптотики (21). Иные достаточные условия здесь не рассматриваются, данное - достигается небольшой вариацией входных параметров решаемой задачи. В силу непрерывности и(х; ?) вплоть до границы граничное условие (2) выполняется стандартным образом. Если (36) нарушается (для конечного числа т е М), тогда должно быть:
фт, Vт = 0,т е М , т.е. ф(х),,(х) 1 Хт (х), т еМ. (37)
Ортогональность в (37) - относительно формы [5]. При выполнении (37) анализ решения аналогичен сделанному выше. Задача (1)-(2)-(3)0, (15) решена, для вышеуказанного класса граничных функций ф(х), ,(х). Решение в данном классе граничных условий единственно (с учетом (37)). Это следует из базисности набора собственных функций (24). Подробнее здесь на этом вопросе не останавливаемся.
Решим задачу (1)-(2)0-(3), (15). Из (7) получаем
Тп(?) = V2/Т sin, п = 1,да . (38)
Для Хп(х) из (7) получаем теперь
-Хп"-xXnq(х)Х-9(х)Хп = °У^п = -(^_Т_) , (39)
Хп (-а) = 1, \Хп (х)| < С.
Если выполняется (36), то в качестве Хп(х) можно взять (см. (16))
Хп(х) = Р(х; /Т ^/р^-а; /^ . (40)
В силу дополнительных к (36) требований X,, = 1%п/Т попадает в область выполнения неравенства (22), поэтому |Хп(х)| < С - равномерно ограничены, более того при х > 1: Хп(х)| < Сдч/4(х)е-е^(х), е > 0 - малое фиксированное число.
Решение задачи (1)-(2)0-(3), (15) имеет вид
да
и( х;0 =2 апТп (?) Хп (х), (41)
п=1
где ап - коэффициенты разложения а(?) по базису Фурье Тп(?), п = 1, да. Если а(?) е С3[0; Т], а"(0) = а"(Т) = 0 (в дополнение к ранее наложенным на а(?) условиям), то 2 пт К| <да, т = 0,1,2. Тогда для решения (41) выполняется (15) и
п
и1 (х;?) е С[[0;Т] х [-а; да)] п (с2 [[0; Т] х [-а;0)] и С2 [[0; Т] х (0; да)]).
Причем имеем | и(х; ?)| < Сд-1/4(х)е-е^(х), х > 1.
Если (36) нарушается (для конечного числа п е Ы), то должно быть: ап = 0, п е Ы, т.е. а(?) ± Тп(?), п е N (ортогональность в метрике £2[0; Т]). Анализ решения такой же, как прежде. Задача (1)-(2)0-(3), (15) решена. Здесь не рассматривается вопрос единственности решения, определяемый базисностью набора функций и единственностью решения краевых задач, как достаточно очевидный.
§ 3. Ограниченный случай. Прямоугольник. Рассмотрим уравнение (1) на прямоугольнике Вр = [-а; Р]х[0; Т], р > 0. Условия на коэффициенты остаются в силе, но только теперь отнесены к отрезку [-а; р]. Граничное условие теперь имеет вид (аналог (2)):
и(х;0) = ф(х), и( х;Т) = ,( х), х е[-а;Р], (42)
где ф(х), ,(х) е С[-а; р], ф(-а) = ф(Р) = ,(-а) = ,(Р) = 0. В дальнейшем требования
на ф, , будут уточнены. Условие (3) теперь:
и(-а; ?) = а(?), иф;/) = Ь(?), (43)
где а((), Ь(() е С2[-а; р]; а, Ь = 0 при ? = 0, Т. Здесь также используются функции, за-
Р _
данные в (4), пространство Ь2с[[-а;р] с общей метрикой (g;/)р = |\q\gfdK и инде-
-а
финитной метрикой [§■;^р (см. (14)).
Условия (11)-( 13) продолжения решений уравнения (8) при переходе через точку х = 0 носят локальный характер и здесь мы их по-прежнему используем. Следовательно, для задачи (1), (42), (43) необходимо использовать еще дополнительные условия (15) сопряжения решений при переходе через линию х = 0.
Разделение переменных и(х; ?) = Х(х)Т(?), как и ранее, приводит к соотношению (7).
Рассмотрим задачу (1), (42), (43)0, (15). Из (7) получается спектральная задача, связанная с уравнением (8) и граничным условием:
Х (-а) = 0, Х (р) = 0. (44)
Спектральная задача (8), (44), (11) - (13) изучена автором в работе [7]. Здесь будут приведены только необходимые сведения. Спектральная задача (8), (44), (11)-(13) (оператор 1ри = -и"-X2qu -9( х)и, и(-а) = и(р) = 0) имеет чисто дискретный, в основном, действительный (при 9(х) < 0 - только действительный) спектр, состоящий из двух бесконечных ветвей X2 т < 0, X2 т > 0 асимптотиками: (21) для X-m; для X+m, соответственно,
ж
x+m =;?(р)[т-1/4+0(1/т)] т ^да. (45)
Для компактности изложения предположим, что 9(х) < 0 и, следовательно, спектр только действительный.
Характеристический определитель задачи (8), (44), (11)-(13) имеет вид Д^) = -и(-а; X) = у(р; X), где у(х; X) аналогично предыдущему (см. (16)), Р(х; X): Р(р) = 0, РУф) = 1. Для Д(X) справедлива следующая асимптотика (главный член):
Дф) = сW\gle~П1 + g2enl + g3eПl + g4e_ Ц ], (46)
□1 = +X||(-а)+/^Кр), -е<argX< ж + е,0< е < ж/2,X ^ да .
Отметим, что Д^) является функцией класса К [4. С. 318, 322]. Для Д^) имеет место оценка «снизу»
|Д(X)| > 5(^)[е°2 + е~°2 + е°3 + е1x1х ;
^2 =||(-а)|Ке X + |(Р)Im X, = ||(-а)|Ке X-^•Кр), (47)
5(л) > 0, -е < argX<ж + е , IX > X0 >> 1 вне кружков сколь угодно малого фиксированного радиуса "л > 0 с центрами в точках X+m и X-т.
Для любой функции g из области определения оператора /ри имеет место раз-
да
ложение в равномерно сходящийся ряд g =2 g- тХ- т (х) + g+тХ+т (х),
т=1
g±m =[Х ±т (х); g (х)]р. (48)
В (48) Х±т(х) - собственные функции, «нормированные» с использованием формы (14) [-;-]р. Эти функции «ортогональны» относительно индефинитной формы [-;-]р:
[Хк;Х,]р= 0, к * * ; [Х-т;Х-т]р = -1; [Х+т;Х+т]р = 1. (49)
Кроме того, Х±т(х) равномерно ограничены по х е [а; р] и т, т.е. |Х±т(х)| < С. Введем пространство функций Ор = БрС и Эр, где ЭрС с 12,с[-а;+да): 2тт| g+m| <да.
т
Функции из Ор - суммы рядов 2С±тХ±т(х), таких, что 2тт\С±т\<да,т = 0,1,2.
т т
Очевидно, что функции из О удовлетворяют условиям (11)-(13). Формальное решение задачи (1), (42), (43)0, (15) имеет вид
и(х;0 = и-(х;/) + и+ (х;/) = 2Т±т(/Х(х), (50)
т=1
Т (/) = ф+т -^+те X+тТ е-\+тг . У+т -ф+те X+mT ex+m (/-т) (51)
Т+т (/) = 1 -е-2X+mT е + 1 -е 2X+mT е , (51)
т1 /Ь 1А I ^ - т - ф-т C0S(|X -т |Т) • л- |,\ /слч
Т-т (О = ф-т C0s(X-m|t)+-----—------|^Т--— Sln(X-т /) . (52)
-т |Т )
Пусть ф(х), у(х) е Вр, тогда из (50)-(52) следует
и+ (х;/) е С([-а;р]х[0;Т ])п(с 2 ([-а;0) х[0;Т ])и С2 ((0;р]х[0;Т ]) и удовлетворяет условиям (15). Если потребовать, чтобы
ИКтТ)>5 > 0, (53)
это же утверждение справедливо и для и-(х; /). Тем самым задача (1), (42), (43)0, (15) решена.
Остановимся на условии (53). Условие существования формального решения (50)-(51) и-(х; /) имеет вид
IX-тТ *жп . (54)
Условие (54) соотносится с условием в [2] и условием в [3]. Предположим, дополнительно, что (54) может нарушаться только для конечного числа индексов
-т е М (конечного числа п е Ы) и что для -т £ М (п £ Ы), где М может быть и пусто, выполняется ||-XтТ-жп\>52 >0 , т.е. выполняется (53). Мы здесь не анализируем все возможные достаточные условия для выполнения дополнительного к (54) предположения. Укажем лишь одно: Т/||(-а) = ,/к - рациональная дробь и , - нечетное число (это следует из асимптотики (21)).
Если (54) нарушается, по условию, для конечного числа -т е М, то должно быть: ф-т, у-т = 0, -т е М, т.е. ф(х), у(х) ортогональны относительно формы (14) [•;-]р к конечномерному подпространству, натянутому на векторы Х-т(х), -т е М. Тогда опять-таки получается решение вышеуказанной гладкости. Полученное решение в рассматриваемом классе начальных условий, а значит, и решений (с учетом (54)) единственно.
Рассмотрим теперь задачу (1), (52)0, (53), (15). Функции {Тп(/) = V2/Т sinжп//Т,п = 1,да}
являются решениями уравнения (8) для Т(/): (Тп(0) = Тп(Т) = 0). Соответствующие уравнения (8) для Хп(х):
-Х"п-М с(х)Хп-9(х)Хп = 0. (55)
Если выполняется условие (54), то определены решения уравнения (55):
y‘f (x) = U(x';iT)/и^-a;jTj , y^ght(x) = y^X;iT)/T
Отметим, что, в силу определения y, U: ye (-a) = 1, ye (P) = 0, yright(-a) = 0,
yight (p) = i. Если выполняются дополнительные к (54) условия, то Xn = iпри
n >> N0 >> 1 попадает в область действия неравенства (47) (для A(X), y(P; X), U(-a; X)) при соответствующем выборе п > 0. Поэтому ykft, yright равномерно ограничены, т.е.
Vx е [-a; P], n: (x),y"ght(x)| < C.
Далее предположим дополнительно, что
a(t), b(t) е C3[-a; P] л a" (0) = a'' (T) = b'' (0) = b"(T) = 0 ,
тогда ^ nx (an | + |bn |) < да, т = 0,1,2 - это следует из теории рядов Фурье.
П
Решение задачи (1), (52)0, (53), (15) имеет вид:
u(x;t) = Ё Tn(t Ы*(x)+bnyrnght (х)]. (56)
n=1
При вышеуказанных условиях
u1 (x;t) е С[[- a; P] x [0;T ]] n (c 2 [[-a;0) x [0;T ]] n C2 [(0; p] x [0;T ]]).
Если условие (54) нарушается для конечного числа -т е M, значит, для конечного числа n е N, то, очевидно, требование an, bn = 0, n е N, т.е. a(t), b(t) L {Tn(t),ngN}, ортогональность в метрике L2[0; T]. При выполнении данного условия решение (56) также имеет вышеуказанную гладкость.
Единственность найденных решений следует из базисности X±m(x) (либо Tn(t)) и единственности решения соответствующих краевых задач. Подробнее эти вопросы здесь не рассматриваются.
Литература
1. Азизов Т.Я., Иохвидов И.С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.
2. Нахушев А.М. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. 1970. Т. 6, № 1. С. 190-191.
3. Сабитов К.Б., Сулейманова А.Х. Задача Дирихле для уравнений смешанного типа второго рода в прямоугольной области // Известия вузов. Сер. Математика. 2007. № 4. С. 45-52.
4. СадовничийВ.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999.
5. Стакун А.А. Краевые задачи, связанные с дифференциальными операторами с точкой поворота // Вестник Чувашского университета. 2012. № 3. С. 32-40.
6. Стакун А.А. О свойствах дифференциального оператора с кратной точкой поворота // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 2з, № 6. С. 993-999.
7. Стакун А.А. Спектральные свойства дифференциального оператора с особенностью типа полюса // Математические модели и их приложения: сб. науч. тр. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2013. Вып. 15. С. 61-68.
8. Франкль Ф.И. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука, 1973.
9. ЯнкеЕ., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. М.: Наука, 1968.
СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
STAKUN ALFRED ANTONOVICH - kandidat of physics and mathematical sciences, assistant professor of Higher Mathematics Chair, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
