CC BY
49
СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары ([email protected]).
STAKUN ALFRED ANTONOVICH - candidate of physics and mathematical sciences, assistant professor of Higher Mathematics Department, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
УДК 517.9
А.А. СТАКУН
О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ОДНОГО КЛАССА ОПЕРАТОРОВ В R
Ключевые слова: оператор, резольвента, дискретный, индефинитная метрика, эллиптический, псевдодифференциальный, тауберовы теоремы, асимптотика спектра.
Найдена асимптотика спектра эллиптического оператора при наличии знакопеременного весового множителя при спектральном параметре.
A.A. STAKUN
SPECTRAL THEORY FOR A CLASS OF OPERATORS IN Rn Key words: operator, resolvente, discrete, indefinite metric, elliptic, pseudodifferential, tauberian theorems, asymptotic behavior for eigenvalues.
The consideration concerned with an asymptotic formulas for the eigenvalues of an elliptic operator about an indefinite weight factor for the spectral parameter.
Рассмотрим операторный пучок
LX u = A -XB, (1)
где A - эллиптический дифференциальный оператор (с действительными коэффициентами) в Rn, B = q(x)E ,где q(x) - знакопеременная функция (Г0 : q(x) = 0). В дальнейшем по ходу изложения на B накладываются дополнительные условия (как и на A). Понятия и обозначения, используемые ниже без пояснений, можно найти в [1, 4, 6].
В данной работе изучается характер спектра оператора (1) и найдена асимптотика спектра (в рассматриваемых случаях - всегда дискретен). При этом широко используется техника псевдодифференциальных операторов (ПДО) [13. C. 39; 14. C. 24], теория ядерных операторов [6. C. 290] и теоремы тауберового типа. Кроме того, используется еще метод эталонных уравнений (от одной переменной) - см., например, [8].
Для компактности изложения пусть коэффициенты в A, B класса Cш (R). Символ оператора A [13. C. 42] имеет вид (а - мультииндекс):
a( x; j) = Z aa(x)ja = am(x; j)+am-1( x; j),
|a|<m
am (x; j) = Z aa (x)ja , a(x; j) e S? (Rn), am (x; j) * 0, j * 0, (2)
|a|=m
§1. Случай ограниченных коэффициентов. Считаем, что a(x; j) e S? (Rn)
равномерно по x e Rn , т.е. все соответствующие неравенства [13. С. 24] выполняются равномерно по x e Rn . Кроме того, a e HSjm,m (Rn), т.е. гипоэл-липтичен [13. С. 46] (т.е. A e HL??(Rn)), в частности
3 c„ c2, r > 0: (1+| j|)mc1 <|a(x; j) |< c2(1+|j|)m, | j |> r , (3)
Vx e Rn,3c3,c4 > 0: c3 | j |m<| a?(x; j) |< ^4 | j |m . (4)
Будем также считать, что А = А в Ь2(Я") (где А есть замыкание соответствующего дифференциального оператора с Б0( А) = С0(Я") или £>01(А) = 5 (Я"), см. [3. С. 146]).
Кроме того, предположим, что
А > 5Е , 5 > -да (5)
и что А-1 существует и ограничен, а спектр А на [0; 5] - дискретен.
Достаточное условие последнего можно сформулировать, опираясь на исследования в [3. С. 146] - они могут быть аналогичны приведенным в [8, 9, 10, 12] для случая " = 1.
В начале предположим, что
\д(х) \< с /(1+1 х I)™1, т > 0; х)/схк • хк\< 0(|^х)|) ,х ^да, Г0: я(х) = 0. ( )
Так что Б(А) с Б(В) = Ь2(Я") .
Из (3)-(4), (6) следует, что при
УАе С : Цы е ИЦпт(Я"). (7)
Из (7) и из общих свойств гипоэллиптических операторов [13. С. 205] следует, что собственные функции оператора Ьх принадлежат Сда (Я").
Поскольку оператор А е ИИ1'™ (Я") и А-1 (по условию) существует, то А- тоже ПДО [14. С. 78, С. 195], используем параметрикс, т.е. символ А-1:
ач(х;Е)~ у(\Е\) —Ц- +..., (8)
ат (х; Е)
где у(\ Е \) - срезка [14. С. 56].
Причем ядро остатка А (х;у) (после обрывания где-то ряда (8)):
_ I г4-1 (х; у) \< с(к0)/(1+ \ у \)к°, (9)
где к0 = 1, да зависит от длины отрезка ряда (8).
Оператор А1В также ПДО, его символ ах; Е) о д(х) и ядро (Шварца) Кл-В (х; У) = | е1(х-у)Ча-\х; Е) о д(х)Щ, (10)
Я"
всегда далее считаем для компактности, что dЕ = • • • /(2п)" .
Если в (2) т > "/2 и т1 > "/2 в (6), то из (8)-(10) следует, что ядро К_1В (х; у) е Ц2[Я" х Я"], А~1В - оператор Гильберта-Шмидта, т.е. компактен. Отсюда немедленно следует:
Лемма 1. Спектр оператора (1) при вышеуказанных требованиях на А и В дискретен, действителен, за исключением, быть может, конечного числа попарно сопряженных комплексных значений а К = {А,^...; ХЖ} и аК = {Х^;...; ХЖ }, где Ж < "А - размерности отрицательного собственного подпространства А. Причем соответствующие собственные векторы фК нейтральны [4] в метриках [ы; у]А = (Аы; V), [ы;у]В = (Вы; V), где (ы;V) - скалярное произведение в Ь2(Я") (заметим, для любых А^ц - собственные векторы ф(х; А) ^ф(х; ц) в этих, вообще-то, индефинитных [4] метриках).
Нейтральны также собственные подпространства Н (НС ), отвечающие ак (Ск), причем собственные векторы из этих подпространств образуют биортогональную систему в вышеуказанных индефинитных метриках. Кроме того, собственное подпространство Н иа - проекционно полно, т.е.
Накиак © (Накиак У накрывает все пространство.
Доказательство. Оператор Л1Б - компактен. Следовательно, спектр оператора (1) дискретен. Нейтральность указанных векторов и пространств И и
На очевидна. Их конечномерность следует из того, что пространство 0(Л) с
индефинитной метрикой [ •, • ] Л является пространством Понтрягина [4].
Биортогональность очевидна. Проекционная полнота доказывается на основе самосопряженности Л в метрике [ •, • ]Л .
Лемма 1 доказана.
Таким образом, резольвента Ц1 оператора (1) определена и аналитична всюду в С , за исключением лишь дискретного множества а(Ц) = ак ^Сд , Сд с Я (с предельной точкой на бесконечности).
Замечание 1. Доказывается, что спектр оператора (1) удовлетворяет условиям леммы 1 и в случае, когда т, т1 > 0 (естественно, при этом Л1Б не обязательно есть оператор Гильберта-Шмидта, но он компактен). Поэтому далее просто предполагаем выполнение условия
т1 > т . (11)
Далее будет использована тауберова теорема Икехара [14. С. 124] и метод построения комплексных степеней оператора [14. С. 91]. Для этого изучим поведение резольвенты Щ в секторах
с С, = {Хе С !аг§ X Т п/2 |< у), 0 <у<п/2, (12)
и, в частности, на контурах:
II Г' . = 1,2, уе :|Х|=8> 0,
1^+1,-4 (13)
Г =уе и г; , . = 1,2, уе :|Х|=8> 0, Г' = [(-1) .+1 /е;(-1) .+1 /»),
где у > 0 может быть сколь угодно малым (фиксированным в каждом рассмотрении), у8 - выбирается так, чтобы спектр а(Цх) лежал вне круга | X |< 8, направление обхода контуров Г будет ясно из контекста (при использовании теоремы Коши о вычетах). При этом предполагается, что на мнимой оси нет собственных чисел оператора (1), иначе за базовый можно взять другой луч из С+: 1т Х>0 (из С_). Имеет место:
Теорема 1. В секторах (12) имеет место оценка резольвенты ЦХБ :
|| Ц?Б ||< с/1 X |х , х > 0, х> 1 - П2т . (14)
Доказательство. Отметим, что при X е Г. (X е
Хд(к)(х)
ат (х; £) - Хд( х)
< с(х). (15)
При построении 1-к при фиксированном X е 5у используется стандарт
для гипоэллиптического оператора на основе параметрикса:
Я0:У (ат (х; Е) -Хд( х)); Ьх Б0 = £ + С0(Х). (16)
Но нам необходимы равномерные (по X и х е Я") оценки. Ядро Кс (х; у; X) легко оценивается в ограниченной области, где q(x) Ф 0. Во всем Я" возникают затруднения из-за наличия «точки поворота» х = да и гиперповерхностей «поворота» Г0 : д(х) = 0 . Применяется следующий метод: в отдельных секторах (на бесконечности и в малой окрестности вышеуказанных гиперповерхностей) оператор Б0 (следовательно, С0 (X)) «подправляется», соответственно, «исправляется» и ядро Ксо (х; у; X). После чего в (16) для обращения Е + С0(Х) при | X |> X0 > 0 , X е 5у можно использовать итерационный процесс, что позволяет выделить главную часть оператора 17ХБ и получить оценку (14) (при этом «исправленный» Б0 и Б0 порождают эквивалентные при X^да, интересующие нас выражения, необходимые для получения асимптотики спектра).
Для начала при т = 2, А = Д, ат =| Е |2, Г0 : #(х) = х1 р(х),р(х) > 0 (т.е. на Г0 х1 = 0 - нуль первого порядка, на бесконечности - порядка т1 > 2), положим х = (х1; х(1)), Е = (Е1; Е(1)) и рассмотрим
л1 2 л1 / л1 л1 л1
I и = « и/2 +1 Е(1)|2 и + ^„(х) и-Xq(x) и , (17)
и1 = и1 х-Е(1)) = й1^ Е.;...;Е") = |и(х,х«)е-(х<1),Е<1)).
Я"-1
В соответствии с работой автора [10] предположим: %(х))«)/дхк • = 0((^(
Заметим, что А удовлетворяет аннонсированным в начале статьи требованиям, например, при (х) > с > 0, |х| > г >> 1; - с е 11 (Я").
Возможны иные, чем (17)0, условия на ^¿(х) (см. работу автора [10]).
Введение функций и уравнений (см. работу автора [10]):
Еп = Xq(s; х(1)) - х(1))Ж ; Ел ;
д((^)(х))(Щ))/дхк • \хк\ = 0((^(х)(Щ)),х ^ да,Щ = 0,1;к = 1,...,". (17)0
х
п(х^Е(1)) = П0(Е0)) + {зтЕп(^Оп^;Е0))Ф0^;х(1);Е(1);ЭД, (18)
х
да
п(х1;Е(1)) = П0 + 151П(Щ1;х1)П(Щ1;Е(1))Ф0^ , (19)
х1
Е01 = , V = <X1/2Еol)1/3Я1/з<Еo1X1/2)w-1/2,
0
где Н1/3 - функции Ганкеля (подробнее см. [10]), позволяет построить ФСР уравнения (17) (из (18)) и решение (17), удовлетворяющее условию на +да (из (19)). С использованием Ел производятся аналогичные построения на
(-да;-X] . Затем с помощью функций у(х1;х1строится ФСР уравнения (17) в окрестности х!=0, т.е. на отрезке [-X;X]. После этого, аналогично [10], можно строить и оценивать ядро резольвенты (Ц )-1
Б10 : О(1) = YЛ (х,) • Yп (О/; Yп ], х, <
м/[
ЦХ Б1 = Е + £>0.
(20) (21)
При оценке £ необходимо оценивать ядра {1), О';(1)х(Г), что дает нужные нам для итерационного процесса оценки при |хх| >> 1 и в окрестности х1 = 0 . В соответствующих секторах «подправляем» оператор С0 в (16) и его ядро ксо с помощью . Остановимся подробнее на виде указанных секторов, отсылая при этом за подробностями оценок к работе автора [10]. Отметим только, что вне указанных секторов стандартно используется оператор Б0.
Оценки производится при
х <5, У <|Х|-8+1/2, |х(1)| < (>)с, |^,...,у < с;
х\>52 >>1,^<С,|х2<|Х|Р,|хз,...,хи|<с и т.д. в секторах подобного типа. В указанных секторах подменяем оператор Б0 оператором Б1, оператор С0 - оператором £ (получим С), следовательно, ядро оператора С0 заменяем ядром оператора С. В указанных секторах имеет место оценка ¿0(Х) < с /|Х|8, 8> 0, Хе Бу. В остальных случаях при |хх| < 5Х или |хх| > 52 >> 1 оценка производится стандартно - с использованием Б0. Таким образом, при |хх| <5Х или |хх| >52 >> 1 имеет место общая оценка: С"0(Х) <с/|Х|8,8>0,ХеБу. Далее рассматриваются и2,...,ип и проводятся аналогичные рассмотрения в области 5Х < |хх| < 52. В результате в окрестности Г0 и окрестности да получается оценка |Со(Х) < с /|Х|8, 8 > 0, Х е Бу. В оставшейся области С0 оценивается с помощью Б0. Получаем:
Е + (С,
(Х)]-1
= Е -С,(Х) + (С0)2 -...;
(22) (23)
С0(Х) <с < 1, | Х|>Х0 > 0, Хе Бу;
Ц Б?0 = Е + С,; Ц Б?0(Е + С0)-1 = Е; ЦХ = Б?0(Е + С0)-1; Ц-Б = Б0(Е + С0)-1 Б .
Отметим еще, что
II Б0 Б ||<с/|Х|х,ХеБу, (24)
и что операторы Б0Б и Б0Б «мало» отличаются, так как их нормы отличаются на бесконечно малую высшего порядка при Х^да, Х е Бу. Кроме того, в указанном случае имеем
Лт ко (х; х; Х)ёх «|к0 (х; х; Х)А, (25)
где К0(х; у; X) - ядро оператора Б0Б; К0(х; у; X)- ядро Б0Б. В этом смысле мы будем говорить, что Б0Б есть главная часть резольвенты IX1 Б при X^да, X е 5у. Из (20)-(25) следует оценка (14) в теореме 1.
Для случая, когда функция q(x) имеет кратный корень х1 = 0, рассмотрение меняется незначительно (подробнее, см. [10]), оценка (14), утверждение о главном члене резольвенты IX1 Б, соотношение (25) сохраняются.
В случае, когда а2(х; Е) отличен от | Е |2, незначительно видоизменяется уравнение (17), все остальные рассмотрения проводятся аналогично и получаются соотношения (22)-(25). Естественно, при этом на коэффициенты символа а(х; Е) налагаются требования вида (17)0 и учитываются (3)-(4). В результате получается оценка (14). Кроме того, следует, что
Б0Б: у(ЕЖх)/а (х; Е) - Xq(х)) (26)
есть главная часть оператора 1-1Б (с указанным символом и вышеуказанными оговорками) и получается оценка (14) (в (26) у(Е) - срезка).
Коротко остановимся на случае т > 2 . Рассматривается случай только простого нуля. Используется аналог уравнения (17), только т-го порядка. Соответствующие операторы изучались в работе автора [12]. Рассматриваются только операторы А со следующим символом: ЕГ + '" + Ет + аг(х;Е). В результате получаются (22)-(25), доказывается:
Б0Б : q(х)/^ (х; Е) - Xq(х))у(|Е|) (27)
есть главный член резольвенты IX1 Б (с учетом сделанных выше разъяснений) и получается оценка (14). При этом на аг (х; Е) налагаются соответствующие ограничения, аналогичные (17)0, в частности, может г = 0 (подробнее см. работу автора [12]).
Относительно случая, когда многообразие Г0 достаточно произвольно, не останавливаясь на подробностях (см.[12]) для краткости изложения, отметим только, что используется либо замена переменных, либо соответствующее покрытие Г0 (с разбиением единицы). Теорема 1 доказана.
Следствие 1. Из теоремы 1 следует, что главный член резольвенты IX1 Б (как по порядку, так и по норме) при X е 5у, X ^ да является (с учетом оговорок, которые сделаны при доказательстве теоремы 1):
Б0Б : q(х\ат (х; Е) - Xq(х)]-1 у(| Е |) = q(х)\ (х; ЕМ| Е |). (28)
Замечание 2. Очевидно, что при
в> 1, ^(хМ^д/ат(х;Е)-Щх)]"в/2т е 12(Я2"), (29)
поэтому (Б0Б)"в2т оператор Гильберта-Шмидта при в > 1.
При Яео<-1 + х из (14) следует возможность определения комплексных степеней оператора, аналогично [14. С. 91], вида
А^ =— Г (А - XБ)-1 БXadX=— \XaЦlБdX, (30)
2га Г 2га Г
где разрез для ХС делается по Г' (13). В данном параграфе из-за знакопере-менности д(х) и, значит, неограниченности Сд в обе стороны нам понадобятся обе ДСи). Стандартным образом [14. С. 93] доказывается, что
А^ • А^ = 4Цс2 ^ Ке с, Яе С2, Яе(с + С2) < -1 + х . (31)
Спектр ЛСЛ) - дискретный и состоит из ХСп, где Xп - собственные числа ЬХ. В данной работе нас не интересует продолжение ЛСЛ) во всю комплексную плоскость с (методика, например, в [14. С. 106]).
Отметим, что на основе теоремы 1 и следствия 1 (см.(28)-(31)) главная часть А0 оператора АСл может быть определена следующим образом:
Л
ёХ. (32)
Vкп ■ " ат (х; Е) ~ХЧ(х)
Из предыдущих рассмотрений (см. (2), (3), (4), (6), (11)) следует, что в (32) можно изменять порядок интегрирования
Л
(•)ёЕ. (33)
аСДО = — [хс( Ге"Е¥(|Е|) ^(х)(-)ёЕ с0^ ^ Л Т У™'ат (х; Е)-Хд(х)
2л7 г
А(С0) (•) = |>(!Е!УхЕ — Г-^^
2п/ Г.ат(х;Е) -Хд(х)
V 1 J
Внутренний интеграл в (36) вычисляется с помощью вычетов, в результате
АсСо)(-) = | у(1 Е !УхЕ(т (х; Е)/д( х))с (-)ёЕ, (34)
яп
где степень (д(х))_С определяется с учетом знака д(х) и разреза по Г' для Ас®.
Подробнее об этом и дальнейшей методике нахождения асимптотик положительной и отрицательной частей Сд (по отдельности) можно посмотреть в работе автора [9], которой мы и будем следовать. Учитывая замечание 2 и (34), можно сделать следующий вывод:
Теорема 2. При Яе с<-п /2т оператор АС) - Гильберта-Шмидта, и при Яе с < —п / т оператор А^) - ядерный. Ядро его главной части есть:
^ = Н Е !УЕ(х—;у)(ат(х;Е)/ч(х))СёЕ . (35)
кп
Следствие 2. Свойство ядерных операторов [6. С. 310] дает (см. (32)-(34)):
8рЛ1') = С; (С) = XXе, +Л(С) = £ ХСйЩХ) + Л(с) = \к„к1)(х; х)ёх = (36)
к
= 2п И Е| )(ат (х; Е)/?(х))С ёхёЕ + с л (с) = с j О(с) + Е л (с), где ^ .д(с) аналитична вплоть до Яе с < — п / т + е1, где е1 > 0 - малое фиксированное число, Л(с) - целая функция от с . Следовательно, особенности ^ л (с) при Яе с < — п / т , что важно при использовании тауберовой теоремы Икехара [14. С. 124], находятся непосредственным изучением функции ^ло(с) . В результате, опираясь на (34)-(36), следуя методике [9] и применяя тауберову теорему Икехара [14. С. 124], получаем:
Теорема 3. Для бесконечного (положительного и отрицательного) спектра оператора (1) при вышеперечисленных условиях имеет место асимптотика
(А)~ А"/" 1-1- Г Г(я+ (х)/ат(х;5'))п/тй5'йх, А^+да, (37)
П (2П) Я" |5|=1
N(А)~ 1 ^(х)^т(х;, А^+да .
Я" 151=1
собственных значений оператора (1), именно
Из (37) имеем асимптотику А+, Ак - положительных и отрицательных
Я+к ~ кт7пп(2п)п/ | (х)/ат(х;5 '))п/т ^'йх, (38)
/ я"151=1
Ак ~ кт7пп(2п)п/1 {(^(х)/ат(х;5 '))п/т й5'йх , к^ да .
/ яп151=1
В частности, при ат (х; 5) =| 5 I имеем
М+ (А) ~ Ап'т 1 -2—{(<?+(х))п/тйх • ^п,
п(2П) Кп
N (А) ~ Апт !—^ [( (х))тйх • 5„, А^+да , п (2п)п Я„ ^ " п' '
А+к ~ кт7п п(2п)п /Бп (х))п'тйх, Ак ~ кт7п п(2л)п/Бп {(^(х))п'тйх ,
/ Яп / Яп
здесь к ^ +да , - площадь поверхности сферы единичного радиуса в Яп.
§2. Случай растущего потенциала. Далее приводим только результаты еще для одного случая, ссылаясь на работу автора [12]. Сохраняются ограничения на оператор А в ЬА, но
(х) ^ +да;, (х) /|д(х)| ^ +да; х ^ да . (39)
Дополнительные условия даны в [12]. Ограничимся случаем, когда ат (х; 5) + ^0( х) - главный член символа а( х; 5). Известно [3. С. 177], что в этом случае оператор А существенно самосопряженный (т.е. его замыкание с С0(Яп) или (Яп) - самосопряженный оператор), спектр А дискретен и полуограничен, число отрицательных собственных значений конечно, если А-1 существует (предполагаем), то он компактен. Теперь в (6) возможно: д(х) > с > 0^д(х) ^ +да; х ^ да. Т.е. в (6) возможно т1 = 0 или т1 < 0 - в этих двух случаях, очевидно, д( х) может обращаться в нуль только на компакте, очевидно, из (39), что О(А) с О(Б). Дополнительные условия [12] обеспечивают ядерность А1Б [6. С. 290]. Справедлива Лемма 2, аналогичная Лемме 1. Рассмотрения аналогичны. Только применяется тауберова теорема Келдыша [5. С. 187, С. 342] (в основном), но техника получения формул (37)-(38) и теорема Икехара тоже используются.
Теорема 4. Оператор 17ХБ - ядерный [6. С. 290, С. 310], и справедливо:
зр^Б =+£ 1 (а* -А)+1/(А* -А)]={ Кф(х;х;А)йх={ {¡(х;5;А)йхй;.
Я Ц А 5=1 Яп А ЯпЯп
Теорема 5. Если с+ (ц) (см. ниже) удовлетворяют стандартным «таубе-ровым» условиям [5. C. 342], то имеет место:
1. 3cj,c2,T > 0: CjC_ (ц) < c+ (ц) < c2c_ (ц), ц > T ^
N+ (ц) «с+ (ц) = JdxdE, , N_ (ц) «с_ (ц) = Jdxdt, , ц^+да (40)
К2 пгл(ат +F00)/q+йц К 2"n,(am + F»)/q_<ц
2. с-(ц) = о(с+ (ц)),ц^да ^ N+ (ц) « с+ (ц),N_ = о(N+),ц^да. Замечание 3. Когда sup q(x) компактен, для N_ (ц) также справедливо
N_ (ц) «с_ (ц) = J dxdE, , ц^+да, (41)
~ k
К 2п п(ат + F00)/q _<ц
m/пп(2п)п/ J J(q_ (x)/am (x; E'))n/m d% dx, k^+да.
/ Rnnq(x)<0 |EI=1
Я"пд(х)<0 !Е!=1
Доказывается это «отделением» отрицательной части спектра с помощью оператора ЛС = А1 — А2), для которого можно применить тауберову теорему Икехара [14. С. 124], аналогично сделано в работе автора [11].
Формулы (40)-(41) имеют аналогию с полученными автором в [7]. Часть результатов данной работы (параграф 1) пересекается с полученными в [2], но там А > 0 (так как применяется вариационный метод).
Литература
1. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968. 749 с.
2. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Асимптотика спектра дифференциальных уравнений // Математический анализ. Сер. Итоги науки. 1977. Вып. 14. С. 10-86.
3. Вайнберг Б.Р. Асимптотические методы в уравнениях математической физики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1982. 294 с.
4. Иохвидов И.Г., Крейн М.Г. Спектральная теория операторов в пространствах с индефинитной метрикой // Труды Московского математического общества. 1965. Т. 5. С. 367-432.
5. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979. 363 с.
6. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Высш. шк., 1999. 368 с.
7. Стакун А.А. Об одном классе дифференциальных операторов, заданных в Я" / Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Чебоксары, 1998. 23 с. Деп. в ВИНИТИ 30.10.1998, № 3129-В1998.
8. Стакун А.А. О резольвенте одного сингулярного дифференциального оператора с точкой поворота // Дифференциальные уравнения. 1985. Т. 21, N° 6. С. 636-646.
9. Стакун А.А. О спектральных свойствах одного класса псевдодифференциальных операторов на замкнутом многообразии / Чувашский государственный университет имени И. Н. Ульянова. Чебоксары, 1998. 19 с. Деп. в ВИНИТИ 30.10.1998, № 3131-В1998.
10. Стакун А.А. О спектральных свойствах сингулярного дифференциального оператора на Я / Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Чебоксары, 2006. 38 с. Деп. в ВИНИТИ 04.12.2006, № 1498-В2006.
11. Стакун А. А. О спектре дифференциального оператора с двумя точками поворота / Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Чебоксары, 2007. 25 с. Деп. в ВИНИТИ 02.07.2007, № 693-В2007.
12. Стакун А.А. О спектре одного дифференциального оператора / Чувашский государственный университет имени И.Н. Ульянова. Чебоксары, 2007. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 02.05.07, № 489-В2007.
13. Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье. М.: Мир, 1984. Т. 1. 359 с.
14. ШубинМА. Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория. М.: Наука, 1978. 275 с.
СТАКУН АЛЬФРЕД АНТОНОВИЧ. См. с. 169.
