Задача Коши для гиперболической системы с двумя пространственными переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

Р. К. РОМАНОВСКИЙ А. И. СВАЛОВА

Омский государственный технический университет

ЗАДАЧА КОШИ

ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Для двумерной гиперболической системы с постоянными коэффициентами строится решение задачи Коши с гладкими финитными начальными данными в виде суперпозиции плоских волн, представляющих собой решения вспомогательных задач Коши для одномерных гиперболических систем, строящихся по исходной задаче и направлению на плоскости. Построение плоских волн проводится обобщенным методом Римана. Результат проиллюстрирован на примере двумерной системы уравнений акустики.

Ключевые слова: две пространственные переменные, суперпозиция плоских волн, матрицы Римана первого и второго рода, система уравнений акустики.

УДК 517.9

1. В работах [1, 2] распространен классический метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка на гиперболические системы общего вида с одной пространственной переменной. Ядрами интегральной формулы для решения служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В случае постоянных коэффициентов матрицы Римана эффективно вычисляются. В [3 — 7] аппарат матриц Римана получил приложение к анализу краевых задач для систем этого класса — задачи Коши, смешанной задачи, задачи Стефана. Подробному изложению этих результатов посвящена монография [8].

В последние годы в цикле работ [9—13] получено приложение этого аппарата к задаче теории управления — проблеме граничного управления решениями гиперболических уравнений.

В данной работе аппарат матриц Римана применен к подклассу краевых задач для гиперболических систем с несколькими пространственными переменными. Рассматривается задача Коши для гиперболической системы с двумя пространственными переменными с постоянными коэффициентами и гладкой финитной начальной вектор-функцией. Строится решение этой задачи в виде суперпозиции плоских волн, представляющих собой решения вспомогательных одномерных гиперболических систем. Результат проиллюстрирован на примере двумерной системы уравнений акустики.

2. Приведем для удобства ссылок используемые далее сведения из работы [2] (см. также [8]). Рассмотрим гиперболический оператор

/? .

0І дв

Здесь А, В — постоянные матрицы порядка N

(1)

£к, £к — верхняя ^>0) и нижняя ^<0) часть характеристики s=akt, YJ — объединение открытых углов (^/- ^+і), І=0...п-1, Y0 — объединение открытых углов (#1, 1+п) . Построим матрицы

Ц^), k=1,...,n, V(s,t) по формулам

ик(і) = Ркещ>(РкВРкі),

Рк=г йіад(0,...0,Ік,0,...,0)2~\

У(з,і) =

У,-, МєУ,, І = 1........л-1,

О, (яД)єУ0,

У1 =

(2 пі)

-2

аі а;+і уху

Я ехр

аі -а

7+1

где у — окружность ІYІ = R достаточно большого радиуса, проходимая в положительном направлении,

А.]=г сИад(Х111,...,Хп1п)г~1 +В, {ак-^+№Ц^-ак)ц

Матрицы Цк, V — матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора (1) с постоянными коэффициентами [2].

ТЕОРЕМА 1 [2]. Задача Коши

-^и = 0' и|г=0=11(8)

с гладкой начальной функцией ц: /Я^С’^ однозначно разрешима в классе гладких функций и: Я!2^СЫ. Решение дается формулой

1к — единичная матрица порядка Ык. Проведем через точку (0,0) характеристики s=akt, к=1,...,п, и пусть

им = Рг\=^ик Л(5-а*() +

*=1

ї-аЛ

+ |У(я-аД) г|(ст) йа,

(3)

ї-а,(

здесь и , V — матрицы Римана оператора £?. 3. Введем семейство ортов

V сов ф

_(02_ 8Ш ф

.

Рассмотрим двумерный гиперболический оператор

8 8 8

Ь — —н А1-------------н Ап-н В,

3? дх1 дх2

х = (х1,х2)єі

і є!

(4)

Іц = 0,

и:/

Я (5)

Из требований на Л вытекает оценка на норму преобразования Фурье :

(6)

где

Л(х)= |Лф(ю1х1 +ш2х2) <*Р. о

Лф(я) = (2я)-21 е!геЛ(д»)г сіг.

(7)

(8)

В этом случае акф и матрица Zф непрерывно зависят от ф, тем самым в силу формул п. 2 матрицы ик(Д, ф), V(s,t, ф) непрерывно зависят от ф. Обозначим и (в,Д) решение задачи Коши

1фи = 0, и|^0=Лф(5),

где Л — функция (8). Формула (3) дает:

(10)

N

ифМ= Ти к(іМ\{є-ак!9і) + к=1

+ |У(8-СТ,^ф) (ІСТ.

*-(а1ф

(11)

Здесь Ак, В — постоянные матрицы порядка Ы, требование гиперболичности означает, что при любом ф е [о, 2я] матрица

Аф = И1А1+ИА

имеет вид (2), где в общем случае п, Ык, ак зависят от ф. Построим семейство одномерных гиперболических операторов

Ч=|: + Лр£ + Д фе [о, 2тг]

Матрицами Римана первого и второго рода оператора (4) будем называть матрицы Римана ик(Д, ф), V®, Д, ф) семейства L .

Рассмотрим задачу Коши

Нетрудно усмотреть: функция (11) непрерывна по ф и гладкая по в, Д.

ТЕОРЕМА 2. При условии (9) функция

(12)

2п

и(х,Ц= +ш2х2,£) <2фг

о

где иф строится, по формулам. (8), (11) — решение задачи Коши (5).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Подставляя (12) в (5), с учетом соотношений (7), (10) для Ли и и равенств

8и 2? 8ик

т— = <ок I

8х- і Яс

8в

гіф, к = 1,2,

+со9х,

получим:

2 п

где 4=Й1, 42). Представляя, с учетом этого, Л(х) интегралом Фурье

ВД = (2яГ2| ^

—оо—оо

и переходя в двойном интеграле к полярным координатам: = гю, получим

и(х,0) = ]\ (т^! + ш2х2) <їф = Л(х), о

2я

Іц=|іц| гіф = 0,

что и требовалось.

ЗАМЕЧАНИЕ. Изложенная схема построения решения задачи Коши (5) может быть распространена, с очевидными видоизменениями, на гиперболические системы с любым числом пространственных переменных и Ак, B = const. Отметим, что близкая схема в частной ситуации была применена ранее в работе [12].

4. Распространение звуковой волны р(х, Д) в газе, движущемся со скоростью г?(х, Д) под действием диссипативной силы («трения») с плотностью f(x, Д), описывается задачей Коши для системы уравнений акустики ([14], с. 158)

Нетрудно получить, с учетом (6), что Лф гладкая по в, ф.

Будем далее предполагать, что при каждом ф е [о, 2л] собственные числа акф матрицы Афразличны:

Аф — 2ф(^Ш0г(О1фГ,..гС[^уф)2ф , С^ф > ... > ОЕ^ф. (9)

1 ф

+<Ііу г? = 0,

Росо 01 8&

Ро—+дтб. р = -/,

от

р(х,0), г?(х,0) - заданы.

(13)

Здесь р0, с0 — плотность газа в состоянии термодинамического равновесия и скорость звука. В предположении, что течение газа двумерное: г?=^1, г?2)Т, х=(х1, х2), начальные данные достаточно гладкие и финитные и плотность силы f пропорциональна ско-

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

31

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012

рости газа: f=k&, к = со^^0, задача Коши (13) принимает вид (5), где N=3, и=(р, г?і, г^2)Т, Ь оператор (4) с матрицами

Лі —

0 -р0с0 0

— 00

Ро

0

0

а2 -

0 0 1 сч© о 0 а 1 и■ 'о 0 о'

0 0 0 , В=-— 0 1 0

1 0 0 Ро 0 0 1

.Ро

Вычисления по формулам п. 2 дают

“

с0 0 0 '

0 0 0 z~'^ ^<р '

0 0 - -со.

РосО 0 РосО

®1 а>2

ю2 -СО! -ю2

(14)

кі

\ = е> 2Ро

с7і(ґ,ф)=є *р°г^ркг~' (*=і,з), _ ІҐ

и2(іМ=е Ро г^р2г~\

(15)

Ы

кр 2р°

У(в,І,ф) = -----------2,

4р0с0

VII 0 ^31

0 0 0

у13 0 узз

7-1

(16)

Со

где

V г2 ^Ро у г2 2р0

, 4(®) —

^Ро с0

функции Бесселя мнимого аргумента, Рк = ^ад^ь^,

52к, §зк), 6„ — символ Кронекера.

Из формулы (14) для матрицы Аф следует, что здесь выполнено требование (9) (при этом собственные числа Аф не зависят от ф). Поэтому, в силу теоремы 2, решение задачи Коши (13) вычисляется по начальным, данным, и параметрам, ро, с^, к по формулам. (8), (11), (12), где N=3, а^Со, а2=0, а3=— с^, и^

V-мaтрицы (15), (16).

Библиографический список

1. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 267, № 3. - С. 577-580.

2. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р. К. Романовский // Матем. сб. — 1985. — Т. 127, № 4. — С. 494 — 501.

3. Романовский, Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными / Р. К. Романовский // Матем. сб. — 1987. — Т. 133, № 3. — С. 341—355.

4. Романовский, Р. К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами / Р. К. Романовский // Применение методов функционального анализа в задачах математической физики. — Киев, 1987. — С. 47 — 52.

5. Романовский, Р. К. Усреднение гиперболических уравнений / Р. К. Романовский // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 306, № 2. — С. 286 — 289.

6. Романовский, Р. К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журнал. — 2000. — Т. 41, № 3. — С. 531—540.

7. Романовский, Р. К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений / Р. К. Романовский, Е. Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2004. — Т. 7, № 3 (19). — С. 119—131.

8. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Е. В. Воробьёва, Р. К. Романовский, Е. Н. Стратилатова. — Новосибирск : Наука, 2007. — 170 с.

9. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом тепло-переноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения. — 2007. — Т. 43, № 5. — С. 650 — 654.

10. Жукова, О. Г. Двустороннее граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2007. — Т. 10, № 4(32). — С. 32 — 40.

11. Жукова, О. Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. — 2008. — Т. 44, № 1. — С. 82 — 88.

12. Романовский, Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустриальной математики. — 2008. — Т. 11, № 3(35). — С.119 — 125.

13. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. — 2009. — Т. 45, № 12. — С.1794— 1798.

14. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. — М. : Наука, 1979. — 392 с.

РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры «Прикладная математика и фундаментальная информатика».

СВАЛОВА Анна Ивановна, студент-магистрант группы ВМ-511, кафедра «Прикладная математика и фундаментальная информатика».

Адрес для переписки: [email protected]

Статья поступила в редакцию 14.06.2012 г.

© Р. К. Романовский, А. И. Свалова