Асимтотический метод решения задачи Коши для квазилинейной гиперболической системы вблизи положения равновесия Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

удк 517.95 р.к< РОМАНОВСКИЙ

Л.А. ГАЛИМОВА

Омский государственный технический университет

АСИМТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Строится методами теории возмущений решение задачи Коши для одномерной автономной квазилинейной гиперболической системы в малой окрестности положения равновесия. Вычисление итераций приводится к решению цепочки задач Коши для вспомогательной линейной системы на основе обобщенного метода Римана.

§1. Введение. Постановка задачи.

В работах |1, 2] распространен метод Римана решения задачи Коши для гиперболического уравнения второго порядка на линейные гиперболические системы общего вида с двумя независимыми переменными. Ядрами интегральной формулы для решения задачи Коши служат матрицы двух типов, получившие название матриц-функций Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. В частном случае постоянных коэффициентов имеются формулы для матриц Римана. В (3. 4] аппарат матриц Римана применен к анализу других краевых задач для систем этого класса: смешанной задачи.

задачи Стефана. В данной работе предпринята попы тка применить этот аппарат к подклассу краевых задач для квазилинейных гиперболических систем.

Рассматривается автономная квазилинейная система

—+ л(и)—+Г(и) = 0.

<?1 й>

(Н

Здесь л - матрица порядка N. и =(и'.....имГ .

Г -= С Г *.....к ' - знак транспонирования. Предполагается следующее:

Г. Система (1) имеет положение равновесия = к.....и?):

Г(и0) = О.

Т. Л|и). 1(и| аналогичны в шире в с К14 с центром в точке и0.

3*. Система (I) строго гиперболическая и точке и0: собстпенные числа матрицы Л|и0) вещественны и различны.

4'. Система (1) имеет решение

и(& I): К х [0. Т] —> Б

с начальным значением

и(х.О)=и0чЕЬ(.ч), ИеС^Я). И финитна, (2)

с - малый параметр. Такая ситуация имеет мес то, в частности, в газовой динамике при исследовании течений газа, близких к равновесным [5|.

Ищется асимптотическое разложение решения задачи Коши (1)-(2):

и(.ч,1| = и0 ^еи,(М) + е~и2(М| + ... + еп,ит(5.0 + .... 13)

Далее в §2 приведены необходимые сведения из |1,2) (см. также |б|) о матрицах Римана гиперболической системы в случае постоянных коэффициентов, в §3 на этой основе построена процедура последовательного вычислении приближений ишМ).

§2. Матрицы Римана первого и второго рода (случай постоянных коэффициентов)

Рассмотрим гиперболический оператор

1- = — + Л ~ -г В, МГеЯ-.

¿1 <2$

(4)

Здесь А, В - постоянные матрицы порядка N.

А - ТА0Т А., = с11ад(а,1,.....ип1п), (5)

1к - единичная матрица порядка?^. £Мк=М, а, > >а„.

1. Построим кусочно-гладкую матрицу-функ-цшоУ(х.у) нары точек х = (8,1), у * (о,т) следующим образом. Проведем через точку у характеристики

'к(У)~ {(М)iS-o-ftj.lt — = к = Гп.

Обозначим К,(у) объединение двух открытых углов между I ,(у), 1,.,(у), лежащих ниже и выше точки

у 11 = 1.П-1), К0(у) — объединение открытых углов 1,(у). 1п(у) левее и правее точки у. Положим

¡0. х е К0(у).

(О)

2. Представим матрицу В0в блочном виде в соответствии с размерами диагональных блоков матрицы А0: В0 = (ВЦ)", В|5 - блок размера М.хЫ,. Отнесём каждой характеристике 1к(у| матрицу -функцию порядка :

ик(х.у) = ехр(-В^и-<)). хе1к|у), к = 1.п

(й)

Матрицы ик. V. определяемые равенствами (б) -(8), — матрицы Римана первого и второго рода гиперболического оператора |4) в случаеЛ.В = соп51: общий случай см. в [ 1,6).

3. Будем представлять векторы из К* в виде ч = (ч,.....<!„}'. гдегк - строка размера Мк. Пусть

Р<$МР,.....Рп)'еС'(1<). 4ls.ll = 1с|......Я„)'<ЕС'(К2).

Обозначим

~Ь1,(Х,у, )Р!<<У,) и„(х,уг)рп(оп

рр=

+ /\'(х;ст.0)р{о)<1а

Р.Ч

/и.(х,у)р,(у)с1г

/ип(х.у)р„(у)с1х

. Р?п= .^|х,у)я(у)ау. 19) л.

ЗдесьхеК2. Ук ®(ак,0) - точка пересечения характеристики /\{х) с прямой т = 0,ик.>/ - матрицы Римана (6)-(8),!к — отрозок(ук,х] характеристики 1^(4], дх - треугольник со сторонами 1,.1п.т = 0 (рис.1).

Рассмотрим задачу Коши в К7:

1-й = Г. и(й.01 = п.

ПО)

где 1. - оператор (1)Л.Ь гладкие в своих областях определения.

Справедливо утверждение (см. [1|, [б)) ¡решение задачи Коши (10) даётся формулой

и(х) = ТП"|Ь+Т(Р| +Р2)Т"'1

(11)

гдеТ - матрица (5).Р,Рк - операторы (9).

В частном случае строго гиперболического оператора (4) кратности собственных чисел матрицы (5) .\'к = 1. поэтому всюду выше п = N. блоки В? матрицы - числа, матрицы икв (9) - функции со значениями в И.

где

V

-и 2

(2-П

а,-а

Я ехр

/. и-в,

Ц 5-5

Н

1-1 1•?

а, -а

здесь

у = {л е С :\Ц = Я й 2п;|В0||}. в, = а + а- т).

В0=Т-'ВТ. Л^^адр.,!,.....>.„!„]

{дк-ак<|)Х,(а,-ак)м

лк =-

(7)

т А

§3. Построение асимптотического разложения (3) Изтребований Г-З'на A(u).í(u)следует: при ueS

Л<и| = A * ¿Ak(u' - u|,)K, ...(uN -u£)K\ |k|-i

l|u)= B(u -u„|+ Sfk|u,-u{,»h,...(uN-uí)'tN. (i2) |k|-2

гдек = (к,.....kn) ;k| = k,+... + kn,k, целые 2 0,At.fk -

постоянные матрицы и векторы,

Л = A(u0) = Tdiag(a,.....aN)T'1,a, >...>aN,

Подставляя в левую часть (1) разложение 13), разлагая результат подстановки в ряд по степеням к, приравнивая нулю коэффициенты при степенях*: и принимая во внимание разложение (2) начальной функции, получим цепочку задач Кош и для функций ит(5.И

Ми,) - 0. и.(х.0| п 11,

Цит) = рт(и1....ит.,Ьи1П(я0) = 0 (та 2).

где Ь ~ оператор (4) с матрицами (13),фт — мно-

гочлен от компонент вектор-функцийи5.....ит_,.

Формула (11) даёт:

и, = ЯН. и,„ = Т(Я, + Вг)Т"1(от (ш > 2) 1141

том самым построена рекуррентная процедура вычисления слагаемых и,„ в разложении (3). Слагаемое си, = сИЬ - «акустическое приближение» решения, следующие слагаемые уточняют этот результат.

Замечания.

1) Требование 2' аналитичности А. 1 может быть заменено более слабым требованием A,feC"(s) при каком-либо п. с использованием вместо рядов {12} формулы Тейлора.

2) В случае неавтономной системы {!) элементы матриц (13) —функции OT¡.s,t|, в этом случае рекуррентная процедура (14) может быть построена с использованием аппарата матриц Римана гиперболического оператора (4) с переменными коэффициентами (см. [1), [6)).

3) В случае N = 2 в книге (6] вычислена матрица Рима-naV(x.y) оператора (4) с гладкими Л, В; при A,B = const вычислс11ия по этой формуле приводят к представлению элементов К с помощью функций Бесселя.

Библиогрифическш"! список

1 РомаиоискиВ Р.К. Матрицы Ркмлнл первого и второго рола //Докл. ЛН СССР. 1982. Т. 267. № 3. С.577-580.

2 Романопский Р.К. Матрицы Римана порього и второго рода // Матем. Сборник. 1985. Т. 127. № 4. С.494-580.

3. Воробьева ЕВ., Романовский Р К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости // Снб. .мат. жури. 2000. Т. i I. Ni 3. С.531 -540.

•1. Романовский Р.К.. Стратилатоиа Г:.Н Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений // СиО. жури, индустриальной математики. 2004. Т. VII. № 3(19). С. 119-131.

5. Самарский А.Л., Попов Ю П. Разностные схемы газовой динамики М.: Наука. 1975. 351 с.

6. Романовский Р.К., Воробьева С 11. Стратилатова Б.Н. Метод Римоиа для гиперболических систем. Новосибирск; Наука, 2007.170 С.

РОМАНОВСКИЙ Рэм Константинович, доктор физ.-маг. наук, профессор кафедры высшей математики. Г АЛИМОВА Лязат Аменевна. преподаватель кафедры высшей математики.

Статья поступила в редакцию 12.01.07 г. © Романовский Р.К., Галнмова Л.А.

Календарь научных мероприятий

Российская академия наук Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Математический институт им. В. А. Стеклова

Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения выдающегося математика XX века Льва Семеновича Понтрягина «Дифференциальные уравнения и топология» 17-22 июня 2003 г.. Москва

Конференция будет проходить на факультете вычислительной математики и кибернетики МГУ им. М.В. Ломоносова. Целью конференции является обсуждение современных достижений в областях математики, наиболее тесно связанных с творчеством Л.С. Понтрягина. Программа конференции будет включать пленарные доклады (50 мин.), секционные доклады (45мин. и 20 мин.) и посте рные до клады. Предусмотрена работа следующих секций:

Дифференциальныеуравнения (председатель - академик Д.В. Лносов).

Оптимальное управление идифференциальныеигры (председатель - академик А.В Кряжимский). Топология (председатель - академик С.П. Новиков). Рабочие языки конференции - русский и английский. Заявки на участие и тезисы докладов принимаются до 15 января 2008 г.

Огв. секретарь орг. комитета Хайлов Евгений Николаевич. Тел. + 7(495) 932-8852. факс + 7(495) 932-8352 Эл. почта: [email protected]. сайт: /pont2008.es.msu.ru

Адрес: 119991, ГСП-1, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, 2-й УК. ф-т ВМиК, организационный комитет конференции "Дифференциальныеуравнения и топология"