Матрицы Римана гиперболической системы с двумя пространственными переменными Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

Р.К. Романовский, А.И. Свалова

Омский государственный технический университет, г. Омск

МАТРИЦЫ РИМАНА ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

1. В работе [1] распространен классический метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка на гиперболические системы общего вида с одной пространственной переменной. Ядрами интегральной формулы для решения служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода. В случае постоянных коэффициентов матрицы Римана эффективно вычисляются. В [1-3] аппарат матриц Римана получил приложения к анализу краевых задач для систем этого класса - задаче Коши, смешанной задаче, задаче Стефана. Подробному изложению этих результатов посвящена монография [4].

В последние годы в цикле работ [5-8] получено приложение этого аппарата к задаче теории управления - проблеме граничного управления решениями гиперболических уравнений.

В данной работе аппарат матриц Римана применен к подклассу краевых задач для гиперболических систем с несколькими пространственными переменными. Рассматривается задача Коши для гиперболической системы с двумя пространственными переменными с постоянными коэффициентами и гладкой финитной начальной вектор-функцией. Строится решение этой задачи в виде суперпозиции плоских волн, представляющих собой решения вспомогательных одномерных гиперболических систем. Результат проиллюстрирован на примере двумерной системы уравнений акустики.

2. Приведем для удобства ссылок используемые далее сведения из работы [2] (см. также [8]). Рассмотрим задачу Коши

ди ди

+ А + В = 0, и

= й(».

(1)

д* д*

Здесь А, В - постоянные матрицы порядка п, и($,1), И* - столбцы размера п, И* -гладкая.

Система (1) называется строго гиперболической, если матрица А имеет вид

А = 2

diag(а ,..., а )2_1,

(2)

1 п

где ак вещественны и различны. Можно считать а1> ... > ап.

97

Проведем через произвольную точку (&,1) характеристики, соответствующие собственным числам ак, к=1,..., п.

ТЕОРЕМА [2]. Решение задачи Коши (1) дается формулой

п п *к+1

(V) = = £ик(0И(а)+£ ]Х (* -&, о И(о ^, (3)

*=0

и

к=1

к=1

где и(), к=1,..., п, Уф* - матрицы Римана первого и второго рода системы (1), вычисляемые по формулам:

и (*) = еЬкк* Р ,

diag(0,...0,1,0,...,0)Z \

(4)

Ук (*,

*) =

(2 т)1

Л

м

* - ак *

dЛ dм,

(5)

а,

к+1

а,

к+1

7 - окружность Л

= Я = 2п В .

В = тах £ Ь^

проходимая в положительном направлении,

j=l

к

к

к

к

(а - а )Л + (а - а )^

(^...^

к+1

к І

а - а

3. Рассмотрим двумерную задачу Коши

[ди ди ди

I + А1

ді дх

+ А2 2 дх

+ Ви = 0, (6)

\ і 1 и = И(х , х ).

I

1 2

к к+1

Здесь Лк, В - постоянные матрицы порядка N к е С™ и финитна.

Система (6) называется строго гиперболической, если при любом р е [о, 2п] матрица

Лв = соъб Л1+ътвЛ2 (7)

имеет вид (2) где 2, ак зависят от в.

Поставим в соответствии гиперболической системе (6) семейство одномерных гиперболических систем

ди

+ А

ди

+ Ви = 0, р є [0, 2п].

п

2

і=0

дї

[ди

І

\ дї р дя

+ Ар

ды

дя

+ Ви — 0,

(8)

[и — 0 — кр (я),

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы Римана икв, Укв семейства (8) будем называть матрицами Римана соответственно первого и второго рода двумерной гиперболической системы (6). Построим по начальной функции к в (6) функцию

к (я) — (2п ) 2 | е1ГЯк(г соб р, т бій р)т ёт,

(9)

где к - преобразование Фурье к.

98

ТЕОРЕМА. Решение задачи Коши (6) строится по формуле

2п

и(х1, х2 ,ї) — |ир (собр х1 + БІпр х2 ,ї)

dр,

(10)

где иврешение задачи Коши (8), (9), вычисляемое по формуле (3) с заменой к на к в , матриц ик, Ук на матрицы Римана икв, Укв системы (6).

ЗАМЕЧАНИЕ. Изложенная схема построения решения задачи Коши (6) может быть распространена, с очевидными видоизменениями, на гиперболические системы с постоянными коэффициентами с любым числом пространственных переменных. Отметим, что близкая схема в частной ситуации была применена ранее в работе [7].

ПРИМЕР. Двумерная система уравнений акустики ([9], С. 158)

1

др

дї

+ Шіу © — 0,

д© , р + §гаа

0 дї р — -к©

ад

Р

0

0

0 0

(/=квО- плотность диссипативной силы) после перехода к векторно-матричным обозначениям принимает вид (6), где и=(р, П1, 0])т,

Г 0 - р е2 01

Г0 0 01 _ I 1 А = I

р

0 0

Г

0 0 - р е2

А =0 0

0 0

0

в = -

к I

р

0 0

0

0 '.

I 0

I

I 1 0 0 I

0 [0 0 1]

I 0 0 0]

[Р0 ]

Здесь матрица (7) дается формулой

Ге0

АР = 2р I 0

р

2 \

0 0 1

Г- р0е0 0

0 0

I

2 = I СОБр

Бтр

р0е0 ^ СОБр

1

2

1

р

0 - е0 ] [

| Бтр

СОБр

БШр

тем самым система (11) строго гиперболична.

Вычисления по формулам (4), (5) дают: для матриц Римана первого и второго рода системы (11) имеют место формулы

ир

2

р

3р

diag(1,0,0)2 ', и

diag(0,0,1)2 ', (12)

и2р = е

й>

diag (0,1,0)2

г к

11 (

) 0

= е 2р0 2

к

= е 2р° 2

10 (

I

гг2 1

12 )

У

к

I

к

р

к

р

р

р

р

Г

\ 2

— ^2р

ке

2р0

I г2-2,\

2р0 Г 0 0

2р0

0

р

\І-1.

(13)

4Р0С0 I

к т т

Г

т к т т \

I І0 (

1 2 ) 0

1

1 I (

1 2 )\

[_ 2Р0

т2 2Р0 ]

__ я

1,2

где т — ї +

0

, 1к(я) - функции Бесселя мнимого аргумента.

99

Библиографический список

1. Романовский, Р. К. О матрицах Римана первого и второго рода / Р.К. Романовский // Докл. АН СССР. - 1982. - Т. 267, № 3. - С. 577-580.

2. Романовский, Р. К. Метод характеристик для гиперболических краевых задач на плоскости / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский // Сиб. мат. журнал. - 2000. - Т. 41, №3. -С. 531-540.

3. Романовский, Р. К. Решение одномерной однофазной гиперболической задачи Стефана методом граничных интегральных уравнений / Р. К. Романовский, Е. Н. Стратилатова // Сиб. журн. индустриальной математики. - 2004. - Т. 7, № 3(19). - С. 119-131.

4. Романовский, Р. К. Метод Римана для гиперболических систем / Е. В. Воробьева, Р. К. Романовский, Е. Н. Стратилатова. - Новосибирск : Наука, 2007. - 170 с.

5. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в одномерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Дифференц. уравнения.

- 2007. - Т. 43, № 5. - С. 650-654.

6. Жукова, О. Г. Граничное управление гиперболической системой уравнений теплопроводности / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 1. - С. 82-88.

7. Романовский, Р. К. Граничное управление процессом теплопереноса в двумерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова, Р. К. Романовский // Сиб. журн. индустриальной математики. - 2008. - Т. 11, № 3 (35). - С. 119-125.

8. Жукова, О. Г. Граничное управление процессом теплопереноса в трехмерном материале. Гиперболическая модель / О. Г. Жукова // Дифференц. уравнения. - 2009. - Т. 45, № 12. - С. 1794-1798.

9. Годунов, С. К. Уравнения математической физики / С. К. Годунов. -М. : Наука, 1979.

- 392 с.