Научная статья на тему 'Задача формирования портфеля ценных бумаг'

Задача формирования портфеля ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
656
71
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
финансовый рынок / портфель ценных бумаг / актив / капитал / оптимальное управление / financial market / equity security portfolio / asset / capital / optimal control

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Дёмин Николай Серапионович, Рожкова Светлана Владимировна, Рожкова Ольга Владимировна

Работа посвящена нахождению математического ожидания и дисперсии капитала портфеля, состоящего из рискового и безрискового активов, как основных характеристик в задаче оптимального управления портфелем ценных бумаг.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Дёмин Николай Серапионович, Рожкова Светлана Владимировна, Рожкова Ольга Владимировна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The work is devoted to determining mathematical expectation and dispersion of portfolio capital consisting of risky and risk-free assets, as the principle characteristics in the problem of optimal control of equity security portfolio.

Текст научной работы на тему «Задача формирования портфеля ценных бумаг»

Экономика

УДК 519.86

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Н.С. Дёмин*, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова

*Томский государственный университет Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Работа посвящена нахождению математического ожидания идисперсии капитала портфеля, состоящего из рискового и безрискового активов, как основных характеристик в задаче оптимального управления портфелем ценных бумаг.

Ключевые слова:

Финансовый рынок, портфель ценных бумаг, актив, капитал, оптимальное управление. Key words:

Financial market, equity security portfolio, asset, capital, optimal control.

Введение

Вопрос исследования задачи формирования портфеля ценных бумаг, как задачи оптимального управления капиталом портфеля в смысле минимизации функционала, характеризующего его отклонения от капитала эталонного портфеля рассматривался в [1]. В данной работе на основе результатов [1] исследуются вопросы нахождения среднего значения и дисперсии капитала.

Теория финансов, как составляющая часть макроэкономической теории, возникла в 20-х гг. XX в. На начальном этапе все сводилось к вопросам подсчета сложных процентов и увеличения фондов. Последующее развитие теории финансов проходило в двух направлениях, а именно, в предположениях условий полной определенности [2] и неопределенности [3, 4]. В первом случае рассматривались вопросы оптимальных решений в условиях полной определенности, когда все сводилось к задачам максимизации функций многих переменных. Во втором случае вероятностный анализ, получивший название «mean-variance analysis», выявил важную ковариаций в стоимостях акций, как того важного показателя, от которого зависит степень риска портфеля акций. Основным результатом этого подхода явилась идея диверсификации, получившая образное выражение в виде «don’t put all your eggs in one basket». Современный этап развития той части теории финансов, которая занимает-

ся проблемой формирования портфелей ценных бумаг из рисковых активов, связан, во-первых, с описанием процесса изменения стоимости рисковых активов в виде случайного процесса [5], а во-вторых, с формулировкой задачи формирования портфеля, как задачи стохастического оптимального управления [6].

1. Постановка задачи

Цена рискового актива (для определенности -акции) определяется стохастическим дифференциальным уравнением (модель Самуэльсона) [5, 7] Ж ^5 (I ~)[а& + ас^№г (?)],

5(0) = 5, > 0, (е [0, ?,], (1)

где а — доходность (а>0); а — волатильность (а>0);

— стандартный винеровский процесс. Цена безрискового актива В(0 (например, банковский счет) определяется в виде

В(?) = В0вг‘, В, > 0, г > 0, (2)

где г — процентная ставка. Пусть Х(0 — капитал портфеля. В текущий момент времени доля капитала, равная и(0 вкладывается в рисковый актив, а доля капитала, равная и(/)=1—и (О, вкладывается в безрисковый актив. В [1] (формула (7)) показано, что капитал определяется стохастическим дифференциальным уравнением ^(?) = X(?){[г + (а - г)и(?)]& + и(?)а<1Ш(?)}. (3)

Пусть капитал эталонного портфеля 7(0 определяется в виде

7(г) = 70ел, 70 > 0 л> 0, (4)

где л — доходность эталонного портфеля.

Задача оптимального формирования портфеля ставится как задача нахождения такого значения и(0=и°(0, которое минимизирует критерий качества

[ X (О - 7 (О]2 +

-}[ X (г) - 7 (г )]2 (X (0) = X 0

(5)

(X0(г) =

1

а\{1) (а - г) аЪ2(г)

-(а - г)2 Ъ1(г) +

+(га2 - (а - г)2)Ъ2(г)X0(г)

[Ъ,(1) + Ъ2(г) X\1 )](Ш (г),

Л -

(6)

где Ь() и ¿2(0 определены в Утверждении 2 из [1] (формулы (31), (32)).

Доказательство. Подстановка (54) из [1] в (3) дает, что

(а - г)2[Ъ^) + Ъ2(г)X0(г)]'

(X (г) =

г-

а2Ъ2(г) X (г)

X (г)(г -

(а - г) аЪ2 (г)

[Ъ1(г) + Ъ2(г) X 0(г )](Ж (г) =

1

а Ъ2(г)

-(а - г)2 Ъ1(г) -

-(а2 - (а - г)2 )&2(г)X0(г)

(г -

(а - г)

[Ъ1(г) + Ъ2(г) X 0(г )](Ж (г).

(X (г) (г

(а - г )2

а

x^,)-(ЩlЩ_ (7)

а

2 (О'

решение которого имеет вид

X (г) =

1

1п

(г-Р

+ е

у[( -с

(г-р

- 1п

-1

+ X»

где

1 = -

Xo(г2 -р2)[2р-(л-р + 1)(л + Р)е(л-Р°], 4Р(л2-Р2^ г-р+1 '

- ^ хе 2 ,

(9)

где И{] — оператор математического ожидания, как интегральной меры расхождения между формализуемым и эталонным портфелями. Эта задача была решена в [1].

В данной работе ставится задача исследования свойств полученного решения, а именно задача нахождения математического ожидания и дисперсии капитала, которые достигаются на оптимальном решении.

2. Основные результаты

Утверждение 1. При оптимальном управлении и°(0 капитал Х(0=Х() определяется уравнением

( = Ъ2/Ъ2, р = [(а- г)2/а2]- г. (10)

Доказательство. Пусть процесс Х() определяется стохастическим дифференциальным уравнением

(X0(г) = /(г,X0(г))(г + Ф(г,X\г))с1Ш(г). (11) Тогда, согласно (6) из [1]

/ (г, X °(0)(г =

1

а2Ъ2(г)

х[-(а - г)2 Ъ1(г) + (га2 - (а - г)2)Ъ2(г)X0(г)]. (12)

Интегрируя уравнение (11) получаем

г г

X (г) = X 0 + |/ (т, X (т))(т + |ф(т, X (т))Ж (т)(т.

0 0

Тогда

г

X (г) = М {X 0(г)} = X 0 + |М {/(т, X (т))}(т +

+М < |ф(т, X(т))Ж(т)(т I.

(13)

Поскольку математическое ожидание от стохастического интеграла равно нулю [7], из (12) следует, что

X ( г) = X0 +]■м {/(т, X 0(т))}(т.

0

Использование (12) дает, что М {/(т, X 0(т))} =

(14)

г -

(а - г )2

а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X (г) -

(а - г)2 Ъ1(г) а2 Ъ2(г)

(15)

Подстановка (15) в (14) дает, что

X (г) =

аЪ2 (г)

Утверждение доказано.

_ Теорема 1. Среднее значение капитала X(¡)=И{Х1(1)} определяется уравнением

г -

(а - г )2

а

X (г) -

(а-г2) Ъ1( г) 2 (г)

а

(т. (16)

Дифференцирование (16) приводит к (7). Общее решение однородного уравнения

(X (г) (г

(а - г )2

а

X (г)

с учетом того, что (а—г)2/а2=Р+г, имеет вид [8]

X (г) = С (г)е-р‘. (17)

Подставляя (17) в (7), получим уравнение для

-Р‘ (8) нахождения С(0 в виде

(С ( г)=_(Р+г) М) р

2 (г)

общее решение которого имеет вид

С (t) = jln

г- JzP

\Jd + e 2

\[d - e

+ C1>

(18)

где 1 определено в (9). Подставляя (18) в (17), получаем общее решение уравнения (7) в виде

- (т-Р),

X(t) = C1e-pt + Хе~р ln

+ e

s[d - e

(19)

C1 = X0 + X ln

\fd _ 1

(20)

dX2(t)

dt

2r _

(a_ r)2

a

X 2(t) +

(g_ r)2 b!(t)

'2 (t)’

a

(21)

ax 0(t)

+—

1 d29(X (t))

2 a[x0(t)]2

Тогда, согласно (6)

Ф01, X 0(t ))dt.

(23)

Ф(t, X 0(t)) =

(a _ r )2 a2b2(t)

fo(t) + b2(t) X 0(t )]2

d9(X 0(t)) = 2 X о a V( x (t)) = 2.

(24)

-[ X 0(t )]2

a2b2(t) a2

2(a _ r )[b,(t) _ b2(t) X 0(t)] X 0(t) ab2 (t)

dt _

dW (t). (25)

Я0 = exp <j_Jp(Od$ L

— Ко—станта С находится из граничного условия Х(0)=Хо:

%/( +1

J q(£)exp |J p(s) ds + С

Тогда из (21), (26) следует, что

X2(t) = е(r_P)t fc + (P + r) e(P-r *d£,

f 0 b22(^) \

Используя (31), (32), (35)-(37) из [1] и формулу

(26)

(27)

[9]

I-

Г(а)_J (k + 1Г 1(_z)

Подстановка (20) в (18) приводит к (8). Теорема доказана.

Утверждение _2. Математическое ожидание квадрата капитала X 2(/)=М{[Х”(/)]2} определяется уравнением

о (eqx + z)n (n _1)!k=0(p + qk + qn)a

аx (г) ’ ax2 (г)

Подстановка (24) в (23) приводит к уравнению для процесса [Х”(/)]2ввиде

([ X 0(г )]2 = 2г[ X 0(г )]2 (г +

(а - г)2 Ъ12(г) (а - г)2

Тогда уравнение (21) следует из (25) аналогично тому, как было получено уравнение (7).

Найдем решение ур. (21). Согласно [8] общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами ёу(1)/Л=—р(1)у(1)+д(1) имеет вид

где Г(а) — гамма-функция, которая имеет вид

да

Г(а) = |г“-1е~(, в (27), получаем общее решение

0

уравнения (21) в виде

X2 (г) = е( г-Р)г х

решение которого имеет вид

X2 (г) = X 02е( г-Р)г. (22)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Доказательство. Введем процесс <р(Х^(г‘))=[Х^(г‘)]2 иприменим к данному процессу формулу Ито [7]

(г)) = (г)) (X(г) +

С + (P + r)

Xo2(r _P)2

_2(r_P)t1

Cu_P)2(r _P+1)2 (k + 1)dk

(P_ r _ 2и) + (P_ r)k

_2(и_ P + 1)e

2(^+P_2r )tj

<X-

(k + 1)dk

¿=0 (_r _ и) + (P _ r)k +Gu_P +1)2 e^)t1 x “ (k +1) dk

<X

-0(P_ r) + (P_ r)k

(28)

Константа в (21) находится из граничного условия Х(/0)=Х0:

С = Xо2 _(P+ r)

_2(r_P)tl X______

X02(r _P)2

(H_P)2(r _P +1)2 (k +1) dk

k'=0(P_ r _ 2и) + (P_ r)k _2(p_ P + 1)e2<^+P_2r)t1 x “ (k +1) dk

<X:

k=o (_r _ и) + (P _ r)k +Gu_P +1)2e2^)t[ x “ (k + 1)dk

*X:

(29)

^=0 (Р г) + (Р- г)к

Подстановка (29) в (28) приводит к (22). Теорема доказана. — —

Теорема 2. Дисперсия капитала D(t)=J—2(t)—(J_ (О)2 определяется уравнением

2

2

2

dD(t) 2[ra2 -(a -r)2]

dt (a - r )2

a

D(t) +

a

X1 (t)+2 Ml X (t)+^

z(t)

(t)

(30)

решение которого имеет вид

D(t) = (e(r-P)t _ 1)X2 +ze^Pt x -(rP,

Xо_2xe

ln

4di-

yfd - e

ln

4d +1

•Jd _ 1

In

yfd +1

4d _1

2Xo _xe-Pt ln

(r-P),

4d _<

ln

4d-

yfd _i

(31)

где x и d определены в (9), (10). Доказательство. Так как

d (X (t ))^ = 2 X (t)dX (t)

dt

то с учетом (7) получаем

d (X (t ))2 dt

, [ra2 - (a - r)2] -

= 2^----X(t))2 -^ / 7^X(t). (32)

dt

(a - r)2 b1(t)

a

Так как

a

z(t)

dD(t) dX 2(t) d (X (t ))2

, (33)

(г (г (г

то уравнение (30) следует в результате использования (21) и (32) в (—3). —

Так как Б (0=Х"2(0—(Х(О)2, то формула (31) следует из (8), (22). Теорема доказана.

3. Обсуждение результатов

Поскольку зависимости среднего значения капитала, определяемого формулой (8), и дисперсии капитала, определяемой формулой (31), от параметров постановки задачи являются сложными, то исследовать свойства решения возможно только численно. Анализ численных результатов привел к следующим выводам.

1. В случае равенства доходностей рискового и безрискового активов и эталонного портфеля, т. е. если а=г=л, среднее значение капитала X(0 и стоимость эталонного портфеля 7(0 совпадают.

2. В случае, если л>а-г, среднее значение капитала и стоимость эталонного портфеля не совпадают и при этом 7(0>Х(0.

3. В случае, если л<а-г, среднее значение капитала и стоимость эталон—ого портфеля не совпадают и при этом 7(0<Х(0.

4. При увеличении волатильности а цены рискового актива 5(0 хаотичность траектории величины капитала оптимального портфеля Х^О возрастает.

5. Дисперсия капитала оптимального портфеля Б(0 является возрастающей функцией времени. Содержательная интерпретация указанных

свойств очевидна. Результаты данной работы совместно с результатами работы [1] представляют законченное исследование.

Выводы

Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменения во времени среднего значения и дисперсии капитала оптимального портфеля, из которых получены точные формулы для среднего значения и капитала. Проведено исследование свойств решения путем численных расчетов.

Работа выполнена при поддержке ФЦП«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг., проект № 02.740.11.5190.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дёмин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математического метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 10-14.

2. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance and theory of investment // American Economic Review. - 1958. -№ 6. - P. 261-297.

3. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. - 1952. -March. - P. 77-91.

4. Markowitz H. Mean-variance analysis in portfolio choice and capital markets. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 387 p.

5. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. - 1965. - № 6. - P. 13-31.

6. Merton R. Continuous-time finance. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 732 p.

7. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.

8. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1988. - 254 с.

9. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981. - 797 с.

Поступила 03.11.2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.