Задача формирования портфеля ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Математика»

Экономика

УДК 519.86

ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ

Н.С. Дёмин*, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова

*Томский государственный университет Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Работа посвящена нахождению математического ожидания идисперсии капитала портфеля, состоящего из рискового и безрискового активов, как основных характеристик в задаче оптимального управления портфелем ценных бумаг.

Ключевые слова:

Финансовый рынок, портфель ценных бумаг, актив, капитал, оптимальное управление. Key words:

Financial market, equity security portfolio, asset, capital, optimal control.

Введение

Вопрос исследования задачи формирования портфеля ценных бумаг, как задачи оптимального управления капиталом портфеля в смысле минимизации функционала, характеризующего его отклонения от капитала эталонного портфеля рассматривался в [1]. В данной работе на основе результатов [1] исследуются вопросы нахождения среднего значения и дисперсии капитала.

Теория финансов, как составляющая часть макроэкономической теории, возникла в 20-х гг. XX в. На начальном этапе все сводилось к вопросам подсчета сложных процентов и увеличения фондов. Последующее развитие теории финансов проходило в двух направлениях, а именно, в предположениях условий полной определенности [2] и неопределенности [3, 4]. В первом случае рассматривались вопросы оптимальных решений в условиях полной определенности, когда все сводилось к задачам максимизации функций многих переменных. Во втором случае вероятностный анализ, получивший название «mean-variance analysis», выявил важную ковариаций в стоимостях акций, как того важного показателя, от которого зависит степень риска портфеля акций. Основным результатом этого подхода явилась идея диверсификации, получившая образное выражение в виде «don’t put all your eggs in one basket». Современный этап развития той части теории финансов, которая занимает-

ся проблемой формирования портфелей ценных бумаг из рисковых активов, связан, во-первых, с описанием процесса изменения стоимости рисковых активов в виде случайного процесса [5], а во-вторых, с формулировкой задачи формирования портфеля, как задачи стохастического оптимального управления [6].

1. Постановка задачи

Цена рискового актива (для определенности -акции) определяется стохастическим дифференциальным уравнением (модель Самуэльсона) [5, 7] Ж ^5 (I ~)[а& + ас^№г (?)],

5(0) = 5, > 0, (е [0, ?,], (1)

где а — доходность (а>0); а — волатильность (а>0);

— стандартный винеровский процесс. Цена безрискового актива В(0 (например, банковский счет) определяется в виде

В(?) = В0вг‘, В, > 0, г > 0, (2)

где г — процентная ставка. Пусть Х(0 — капитал портфеля. В текущий момент времени доля капитала, равная и(0 вкладывается в рисковый актив, а доля капитала, равная и(/)=1—и (О, вкладывается в безрисковый актив. В [1] (формула (7)) показано, что капитал определяется стохастическим дифференциальным уравнением ^(?) = X(?){[г + (а - г)и(?)]& + и(?)а<1Ш(?)}. (3)

Пусть капитал эталонного портфеля 7(0 определяется в виде

7(г) = 70ел, 70 > 0 л> 0, (4)

где л — доходность эталонного портфеля.

Задача оптимального формирования портфеля ставится как задача нахождения такого значения и(0=и°(0, которое минимизирует критерий качества

[ X (О - 7 (О]2 +

-}[ X (г) - 7 (г )]2 (X (0) = X 0

(5)

(X0(г) =

1

а\{1) (а - г) аЪ2(г)

-(а - г)2 Ъ1(г) +

+(га2 - (а - г)2)Ъ2(г)X0(г)

[Ъ,(1) + Ъ2(г) X\1 )](Ш (г),

Л -

(6)

где Ь() и ¿2(0 определены в Утверждении 2 из [1] (формулы (31), (32)).

Доказательство. Подстановка (54) из [1] в (3) дает, что

(а - г)2[Ъ^) + Ъ2(г)X0(г)]'

(X (г) =

г-

а2Ъ2(г) X (г)

X (г)(г -

(а - г) аЪ2 (г)

[Ъ1(г) + Ъ2(г) X 0(г )](Ж (г) =

1

а Ъ2(г)

-(а - г)2 Ъ1(г) -

-(а2 - (а - г)2 )&2(г)X0(г)

(г -

(а - г)

[Ъ1(г) + Ъ2(г) X 0(г )](Ж (г).

(X (г) (г

(а - г )2

а

x^,)-(ЩlЩ_ (7)

а

2 (О'

решение которого имеет вид

X (г) =

1

1п

(г-Р

+ е

у[( -с

(г-р

- 1п

-1

+ X»

где

1 = -

Xo(г2 -р2)[2р-(л-р + 1)(л + Р)е(л-Р°], 4Р(л2-Р2^ г-р+1 '

- ^ хе 2 ,

(9)

где И{] — оператор математического ожидания, как интегральной меры расхождения между формализуемым и эталонным портфелями. Эта задача была решена в [1].

В данной работе ставится задача исследования свойств полученного решения, а именно задача нахождения математического ожидания и дисперсии капитала, которые достигаются на оптимальном решении.

2. Основные результаты

Утверждение 1. При оптимальном управлении и°(0 капитал Х(0=Х() определяется уравнением

( = Ъ2/Ъ2, р = [(а- г)2/а2]- г. (10)

Доказательство. Пусть процесс Х() определяется стохастическим дифференциальным уравнением

(X0(г) = /(г,X0(г))(г + Ф(г,X\г))с1Ш(г). (11) Тогда, согласно (6) из [1]

/ (г, X °(0)(г =

1

а2Ъ2(г)

х[-(а - г)2 Ъ1(г) + (га2 - (а - г)2)Ъ2(г)X0(г)]. (12)

Интегрируя уравнение (11) получаем

г г

X (г) = X 0 + |/ (т, X (т))(т + |ф(т, X (т))Ж (т)(т.

0 0

Тогда

г

X (г) = М {X 0(г)} = X 0 + |М {/(т, X (т))}(т +

+М < |ф(т, X(т))Ж(т)(т I.

(13)

Поскольку математическое ожидание от стохастического интеграла равно нулю [7], из (12) следует, что

X ( г) = X0 +]■м {/(т, X 0(т))}(т.

0

Использование (12) дает, что М {/(т, X 0(т))} =

(14)

г -

(а - г )2

а

X (г) -

(а - г)2 Ъ1(г) а2 Ъ2(г)

(15)

Подстановка (15) в (14) дает, что

X (г) =

аЪ2 (г)

Утверждение доказано.

_ Теорема 1. Среднее значение капитала X(¡)=И{Х1(1)} определяется уравнением

г -

(а - г )2

а

X (г) -

(а-г2) Ъ1( г) 2 (г)

а

(т. (16)

Дифференцирование (16) приводит к (7). Общее решение однородного уравнения

(X (г) (г

(а - г )2

а

X (г)

с учетом того, что (а—г)2/а2=Р+г, имеет вид [8]

X (г) = С (г)е-р‘. (17)

Подставляя (17) в (7), получим уравнение для

-Р‘ (8) нахождения С(0 в виде

(С ( г)=_(Р+г) М) р

(г

2 (г)

общее решение которого имеет вид

С (t) = jln

г- JzP

\Jd + e 2

\[d - e

+ C1>

(18)

где 1 определено в (9). Подставляя (18) в (17), получаем общее решение уравнения (7) в виде

- (т-Р),

X(t) = C1e-pt + Хе~р ln

+ e

s[d - e

(19)

C1 = X0 + X ln

\fd _ 1

(20)

dX2(t)

dt

2r _

(a_ r)2

a

X 2(t) +

(g_ r)2 b!(t)

'2 (t)’

a

(21)

ax 0(t)

+—

1 d29(X (t))

2 a[x0(t)]2

Тогда, согласно (6)

Ф01, X 0(t ))dt.

(23)

Ф(t, X 0(t)) =

(a _ r )2 a2b2(t)

fo(t) + b2(t) X 0(t )]2

d9(X 0(t)) = 2 X о a V( x (t)) = 2.

(24)

-[ X 0(t )]2

a2b2(t) a2

2(a _ r )[b,(t) _ b2(t) X 0(t)] X 0(t) ab2 (t)

dt _

dW (t). (25)

Я0 = exp <j_Jp(Od$ L

— Ко—станта С находится из граничного условия Х(0)=Хо:

%/( +1

J q(£)exp |J p(s) ds + С

Тогда из (21), (26) следует, что

X2(t) = е(r_P)t fc + (P + r) e(P-r *d£,

f 0 b22(^) \

Используя (31), (32), (35)-(37) из [1] и формулу

(26)

(27)

[9]

I-

Г(а)_J (k + 1Г 1(_z)

Подстановка (20) в (18) приводит к (8). Теорема доказана.

Утверждение _2. Математическое ожидание квадрата капитала X 2(/)=М{[Х”(/)]2} определяется уравнением

о (eqx + z)n (n _1)!k=0(p + qk + qn)a

аx (г) ’ ax2 (г)

Подстановка (24) в (23) приводит к уравнению для процесса [Х”(/)]2ввиде

([ X 0(г )]2 = 2г[ X 0(г )]2 (г +

(а - г)2 Ъ12(г) (а - г)2

Тогда уравнение (21) следует из (25) аналогично тому, как было получено уравнение (7).

Найдем решение ур. (21). Согласно [8] общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами ёу(1)/Л=—р(1)у(1)+д(1) имеет вид

где Г(а) — гамма-функция, которая имеет вид

да

Г(а) = |г“-1е~(, в (27), получаем общее решение

0

уравнения (21) в виде

X2 (г) = е( г-Р)г х

решение которого имеет вид

X2 (г) = X 02е( г-Р)г. (22)

Доказательство. Введем процесс <р(Х^(г‘))=[Х^(г‘)]2 иприменим к данному процессу формулу Ито [7]

(г)) = (г)) (X(г) +

С + (P + r)

Xo2(r _P)2

_2(r_P)t1

Cu_P)2(r _P+1)2 (k + 1)dk

(P_ r _ 2и) + (P_ r)k

_2(и_ P + 1)e

2(^+P_2r )tj

<X-

(k + 1)dk

¿=0 (_r _ и) + (P _ r)k +Gu_P +1)2 e^)t1 x “ (k +1) dk

<X

-0(P_ r) + (P_ r)k

(28)

Константа в (21) находится из граничного условия Х(/0)=Х0:

С = Xо2 _(P+ r)

_2(r_P)tl X______

X02(r _P)2

(H_P)2(r _P +1)2 (k +1) dk

k'=0(P_ r _ 2и) + (P_ r)k _2(p_ P + 1)e2<^+P_2r)t1 x “ (k +1) dk

<X:

k=o (_r _ и) + (P _ r)k +Gu_P +1)2e2^)t[ x “ (k + 1)dk

*X:

(29)

^=0 (Р г) + (Р- г)к

Подстановка (29) в (28) приводит к (22). Теорема доказана. — —

Теорема 2. Дисперсия капитала D(t)=J—2(t)—(J_ (О)2 определяется уравнением

2

2

2

dD(t) 2[ra2 -(a -r)2]

dt (a - r )2

a

D(t) +

a

X1 (t)+2 Ml X (t)+^

z(t)

(t)

(30)

решение которого имеет вид

D(t) = (e(r-P)t _ 1)X2 +ze^Pt x -(rP,

Xо_2xe

ln

4di-

yfd - e

ln

4d +1

•Jd _ 1

In

yfd +1

4d _1

2Xo _xe-Pt ln

(r-P),

4d _<

ln

4d-

yfd _i

(31)

где x и d определены в (9), (10). Доказательство. Так как

d (X (t ))^ = 2 X (t)dX (t)

dt

то с учетом (7) получаем

d (X (t ))2 dt

, [ra2 - (a - r)2] -

= 2^----X(t))2 -^ / 7^X(t). (32)

dt

(a - r)2 b1(t)

a

Так как

a

z(t)

dD(t) dX 2(t) d (X (t ))2

, (33)

(г (г (г

то уравнение (30) следует в результате использования (21) и (32) в (—3). —

Так как Б (0=Х"2(0—(Х(О)2, то формула (31) следует из (8), (22). Теорема доказана.

3. Обсуждение результатов

Поскольку зависимости среднего значения капитала, определяемого формулой (8), и дисперсии капитала, определяемой формулой (31), от параметров постановки задачи являются сложными, то исследовать свойства решения возможно только численно. Анализ численных результатов привел к следующим выводам.

1. В случае равенства доходностей рискового и безрискового активов и эталонного портфеля, т. е. если а=г=л, среднее значение капитала X(0 и стоимость эталонного портфеля 7(0 совпадают.

2. В случае, если л>а-г, среднее значение капитала и стоимость эталонного портфеля не совпадают и при этом 7(0>Х(0.

3. В случае, если л<а-г, среднее значение капитала и стоимость эталон—ого портфеля не совпадают и при этом 7(0<Х(0.

4. При увеличении волатильности а цены рискового актива 5(0 хаотичность траектории величины капитала оптимального портфеля Х^О возрастает.

5. Дисперсия капитала оптимального портфеля Б(0 является возрастающей функцией времени. Содержательная интерпретация указанных

свойств очевидна. Результаты данной работы совместно с результатами работы [1] представляют законченное исследование.

Выводы

Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменения во времени среднего значения и дисперсии капитала оптимального портфеля, из которых получены точные формулы для среднего значения и капитала. Проведено исследование свойств решения путем численных расчетов.

Работа выполнена при поддержке ФЦП«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг., проект № 02.740.11.5190.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дёмин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математического метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 10-14.

2. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance and theory of investment // American Economic Review. - 1958. -№ 6. - P. 261-297.

3. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. - 1952. -March. - P. 77-91.

4. Markowitz H. Mean-variance analysis in portfolio choice and capital markets. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 387 p.

5. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. - 1965. - № 6. - P. 13-31.

6. Merton R. Continuous-time finance. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 732 p.

7. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.

8. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1988. - 254 с.

9. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981. - 797 с.

Поступила 03.11.2010 г.