Экономика
УДК 519.86
ЗАДАЧА ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ
Н.С. Дёмин*, С.В. Рожкова, О.В. Рожкова
*Томский государственный университет Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru
Работа посвящена нахождению математического ожидания идисперсии капитала портфеля, состоящего из рискового и безрискового активов, как основных характеристик в задаче оптимального управления портфелем ценных бумаг.
Ключевые слова:
Финансовый рынок, портфель ценных бумаг, актив, капитал, оптимальное управление. Key words:
Financial market, equity security portfolio, asset, capital, optimal control.
Введение
Вопрос исследования задачи формирования портфеля ценных бумаг, как задачи оптимального управления капиталом портфеля в смысле минимизации функционала, характеризующего его отклонения от капитала эталонного портфеля рассматривался в [1]. В данной работе на основе результатов [1] исследуются вопросы нахождения среднего значения и дисперсии капитала.
Теория финансов, как составляющая часть макроэкономической теории, возникла в 20-х гг. XX в. На начальном этапе все сводилось к вопросам подсчета сложных процентов и увеличения фондов. Последующее развитие теории финансов проходило в двух направлениях, а именно, в предположениях условий полной определенности [2] и неопределенности [3, 4]. В первом случае рассматривались вопросы оптимальных решений в условиях полной определенности, когда все сводилось к задачам максимизации функций многих переменных. Во втором случае вероятностный анализ, получивший название «mean-variance analysis», выявил важную ковариаций в стоимостях акций, как того важного показателя, от которого зависит степень риска портфеля акций. Основным результатом этого подхода явилась идея диверсификации, получившая образное выражение в виде «don’t put all your eggs in one basket». Современный этап развития той части теории финансов, которая занимает-
ся проблемой формирования портфелей ценных бумаг из рисковых активов, связан, во-первых, с описанием процесса изменения стоимости рисковых активов в виде случайного процесса [5], а во-вторых, с формулировкой задачи формирования портфеля, как задачи стохастического оптимального управления [6].
1. Постановка задачи
Цена рискового актива (для определенности -акции) определяется стохастическим дифференциальным уравнением (модель Самуэльсона) [5, 7] Ж ^5 (I ~)[а& + ас^№г (?)],
5(0) = 5, > 0, (е [0, ?,], (1)
где а — доходность (а>0); а — волатильность (а>0);
— стандартный винеровский процесс. Цена безрискового актива В(0 (например, банковский счет) определяется в виде
В(?) = В0вг‘, В, > 0, г > 0, (2)
где г — процентная ставка. Пусть Х(0 — капитал портфеля. В текущий момент времени доля капитала, равная и(0 вкладывается в рисковый актив, а доля капитала, равная и(/)=1—и (О, вкладывается в безрисковый актив. В [1] (формула (7)) показано, что капитал определяется стохастическим дифференциальным уравнением ^(?) = X(?){[г + (а - г)и(?)]& + и(?)а<1Ш(?)}. (3)
Пусть капитал эталонного портфеля 7(0 определяется в виде
7(г) = 70ел, 70 > 0 л> 0, (4)
где л — доходность эталонного портфеля.
Задача оптимального формирования портфеля ставится как задача нахождения такого значения и(0=и°(0, которое минимизирует критерий качества
[ X (О - 7 (О]2 +
-}[ X (г) - 7 (г )]2 (X (0) = X 0
(5)
(X0(г) =
1
а\{1) (а - г) аЪ2(г)
-(а - г)2 Ъ1(г) +
+(га2 - (а - г)2)Ъ2(г)X0(г)
[Ъ,(1) + Ъ2(г) X\1 )](Ш (г),
Л -
(6)
где Ь() и ¿2(0 определены в Утверждении 2 из [1] (формулы (31), (32)).
Доказательство. Подстановка (54) из [1] в (3) дает, что
(а - г)2[Ъ^) + Ъ2(г)X0(г)]'
(X (г) =
г-
а2Ъ2(г) X (г)
X (г)(г -
(а - г) аЪ2 (г)
[Ъ1(г) + Ъ2(г) X 0(г )](Ж (г) =
1
а Ъ2(г)
-(а - г)2 Ъ1(г) -
-(а2 - (а - г)2 )&2(г)X0(г)
(г -
(а - г)
[Ъ1(г) + Ъ2(г) X 0(г )](Ж (г).
(X (г) (г
(а - г )2
а
x^,)-(ЩlЩ_ (7)
а
2 (О'
решение которого имеет вид
X (г) =
1
1п
(г-Р
+ е
у[( -с
(г-р
- 1п
-1
+ X»
где
1 = -
Xo(г2 -р2)[2р-(л-р + 1)(л + Р)е(л-Р°], 4Р(л2-Р2^ г-р+1 '
- ^ хе 2 ,
(9)
где И{] — оператор математического ожидания, как интегральной меры расхождения между формализуемым и эталонным портфелями. Эта задача была решена в [1].
В данной работе ставится задача исследования свойств полученного решения, а именно задача нахождения математического ожидания и дисперсии капитала, которые достигаются на оптимальном решении.
2. Основные результаты
Утверждение 1. При оптимальном управлении и°(0 капитал Х(0=Х() определяется уравнением
( = Ъ2/Ъ2, р = [(а- г)2/а2]- г. (10)
Доказательство. Пусть процесс Х() определяется стохастическим дифференциальным уравнением
(X0(г) = /(г,X0(г))(г + Ф(г,X\г))с1Ш(г). (11) Тогда, согласно (6) из [1]
/ (г, X °(0)(г =
1
а2Ъ2(г)
х[-(а - г)2 Ъ1(г) + (га2 - (а - г)2)Ъ2(г)X0(г)]. (12)
Интегрируя уравнение (11) получаем
г г
X (г) = X 0 + |/ (т, X (т))(т + |ф(т, X (т))Ж (т)(т.
0 0
Тогда
г
X (г) = М {X 0(г)} = X 0 + |М {/(т, X (т))}(т +
+М < |ф(т, X(т))Ж(т)(т I.
(13)
Поскольку математическое ожидание от стохастического интеграла равно нулю [7], из (12) следует, что
X ( г) = X0 +]■м {/(т, X 0(т))}(т.
0
Использование (12) дает, что М {/(т, X 0(т))} =
(14)
г -
(а - г )2
а
X (г) -
(а - г)2 Ъ1(г) а2 Ъ2(г)
(15)
Подстановка (15) в (14) дает, что
X (г) =
аЪ2 (г)
Утверждение доказано.
_ Теорема 1. Среднее значение капитала X(¡)=И{Х1(1)} определяется уравнением
г -
(а - г )2
а
X (г) -
(а-г2) Ъ1( г) 2 (г)
а
(т. (16)
Дифференцирование (16) приводит к (7). Общее решение однородного уравнения
(X (г) (г
(а - г )2
а
X (г)
с учетом того, что (а—г)2/а2=Р+г, имеет вид [8]
X (г) = С (г)е-р‘. (17)
Подставляя (17) в (7), получим уравнение для
-Р‘ (8) нахождения С(0 в виде
(С ( г)=_(Р+г) М) р
(г
2 (г)
общее решение которого имеет вид
С (t) = jln
г- JzP
\Jd + e 2
\[d - e
+ C1>
(18)
где 1 определено в (9). Подставляя (18) в (17), получаем общее решение уравнения (7) в виде
- (т-Р),
X(t) = C1e-pt + Хе~р ln
+ e
s[d - e
(19)
C1 = X0 + X ln
\fd _ 1
(20)
dX2(t)
dt
2r _
(a_ r)2
a
X 2(t) +
(g_ r)2 b!(t)
'2 (t)’
a
(21)
ax 0(t)
+—
1 d29(X (t))
2 a[x0(t)]2
Тогда, согласно (6)
Ф01, X 0(t ))dt.
(23)
Ф(t, X 0(t)) =
(a _ r )2 a2b2(t)
fo(t) + b2(t) X 0(t )]2
d9(X 0(t)) = 2 X о a V( x (t)) = 2.
(24)
-[ X 0(t )]2
a2b2(t) a2
2(a _ r )[b,(t) _ b2(t) X 0(t)] X 0(t) ab2 (t)
dt _
dW (t). (25)
Я0 = exp <j_Jp(Od$ L
— Ко—станта С находится из граничного условия Х(0)=Хо:
%/( +1
J q(£)exp |J p(s) ds + С
Тогда из (21), (26) следует, что
X2(t) = е(r_P)t fc + (P + r) e(P-r *d£,
f 0 b22(^) \
Используя (31), (32), (35)-(37) из [1] и формулу
(26)
(27)
[9]
I-
Г(а)_J (k + 1Г 1(_z)
Подстановка (20) в (18) приводит к (8). Теорема доказана.
Утверждение _2. Математическое ожидание квадрата капитала X 2(/)=М{[Х”(/)]2} определяется уравнением
о (eqx + z)n (n _1)!k=0(p + qk + qn)a
аx (г) ’ ax2 (г)
Подстановка (24) в (23) приводит к уравнению для процесса [Х”(/)]2ввиде
([ X 0(г )]2 = 2г[ X 0(г )]2 (г +
(а - г)2 Ъ12(г) (а - г)2
Тогда уравнение (21) следует из (25) аналогично тому, как было получено уравнение (7).
Найдем решение ур. (21). Согласно [8] общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами ёу(1)/Л=—р(1)у(1)+д(1) имеет вид
где Г(а) — гамма-функция, которая имеет вид
да
Г(а) = |г“-1е~(, в (27), получаем общее решение
0
уравнения (21) в виде
X2 (г) = е( г-Р)г х
решение которого имеет вид
X2 (г) = X 02е( г-Р)г. (22)
Доказательство. Введем процесс <р(Х^(г‘))=[Х^(г‘)]2 иприменим к данному процессу формулу Ито [7]
(г)) = (г)) (X(г) +
С + (P + r)
Xo2(r _P)2
_2(r_P)t1
Cu_P)2(r _P+1)2 (k + 1)dk
(P_ r _ 2и) + (P_ r)k
_2(и_ P + 1)e
2(^+P_2r )tj
<X-
(k + 1)dk
¿=0 (_r _ и) + (P _ r)k +Gu_P +1)2 e^)t1 x “ (k +1) dk
<X
-0(P_ r) + (P_ r)k
(28)
Константа в (21) находится из граничного условия Х(/0)=Х0:
С = Xо2 _(P+ r)
_2(r_P)tl X______
X02(r _P)2
(H_P)2(r _P +1)2 (k +1) dk
k'=0(P_ r _ 2и) + (P_ r)k _2(p_ P + 1)e2<^+P_2r)t1 x “ (k +1) dk
<X:
k=o (_r _ и) + (P _ r)k +Gu_P +1)2e2^)t[ x “ (k + 1)dk
*X:
(29)
^=0 (Р г) + (Р- г)к
Подстановка (29) в (28) приводит к (22). Теорема доказана. — —
Теорема 2. Дисперсия капитала D(t)=J—2(t)—(J_ (О)2 определяется уравнением
2
2
2
dD(t) 2[ra2 -(a -r)2]
dt (a - r )2
a
D(t) +
a
X1 (t)+2 Ml X (t)+^
z(t)
(t)
(30)
решение которого имеет вид
D(t) = (e(r-P)t _ 1)X2 +ze^Pt x -(rP,
Xо_2xe
ln
4di-
yfd - e
ln
4d +1
•Jd _ 1
In
yfd +1
4d _1
2Xo _xe-Pt ln
(r-P),
4d _<
ln
4d-
yfd _i
(31)
где x и d определены в (9), (10). Доказательство. Так как
d (X (t ))^ = 2 X (t)dX (t)
dt
то с учетом (7) получаем
d (X (t ))2 dt
, [ra2 - (a - r)2] -
= 2^----X(t))2 -^ / 7^X(t). (32)
dt
(a - r)2 b1(t)
a
Так как
a
z(t)
dD(t) dX 2(t) d (X (t ))2
, (33)
(г (г (г
то уравнение (30) следует в результате использования (21) и (32) в (—3). —
Так как Б (0=Х"2(0—(Х(О)2, то формула (31) следует из (8), (22). Теорема доказана.
3. Обсуждение результатов
Поскольку зависимости среднего значения капитала, определяемого формулой (8), и дисперсии капитала, определяемой формулой (31), от параметров постановки задачи являются сложными, то исследовать свойства решения возможно только численно. Анализ численных результатов привел к следующим выводам.
1. В случае равенства доходностей рискового и безрискового активов и эталонного портфеля, т. е. если а=г=л, среднее значение капитала X(0 и стоимость эталонного портфеля 7(0 совпадают.
2. В случае, если л>а-г, среднее значение капитала и стоимость эталонного портфеля не совпадают и при этом 7(0>Х(0.
3. В случае, если л<а-г, среднее значение капитала и стоимость эталон—ого портфеля не совпадают и при этом 7(0<Х(0.
4. При увеличении волатильности а цены рискового актива 5(0 хаотичность траектории величины капитала оптимального портфеля Х^О возрастает.
5. Дисперсия капитала оптимального портфеля Б(0 является возрастающей функцией времени. Содержательная интерпретация указанных
свойств очевидна. Результаты данной работы совместно с результатами работы [1] представляют законченное исследование.
Выводы
Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменения во времени среднего значения и дисперсии капитала оптимального портфеля, из которых получены точные формулы для среднего значения и капитала. Проведено исследование свойств решения путем численных расчетов.
Работа выполнена при поддержке ФЦП«Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013гг., проект № 02.740.11.5190.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Дёмин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математического метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 10-14.
2. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance and theory of investment // American Economic Review. - 1958. -№ 6. - P. 261-297.
3. Markowitz H. Portfolio selection // Journal of Finance. - 1952. -March. - P. 77-91.
4. Markowitz H. Mean-variance analysis in portfolio choice and capital markets. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 387 p.
5. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. - 1965. - № 6. - P. 13-31.
6. Merton R. Continuous-time finance. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 732 p.
7. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.
8. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1988. - 254 с.
9. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции. - М.: Наука, 1981. - 797 с.
Поступила 03.11.2010 г.