Применение метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.865

ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ К РЕШЕНИЮ ОДНОЙ ЗАДАЧИ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ

Н.С. Демин, С.В. Рожкова*, А.В. Цитко

Томский государственный университет *Томский политехнический университет E-mail: svrhm@rambler.ru

На основе метода динамического программирования Беллмана приводится исследование задачи формирования портфеля ценных бумаг, как задачи оптимального управления капиталом портфеля в смысле минимизации функционала, характеризующего его отклонения от капитала эталонного портфеля.

1. Введение

На первом этапе теория финансов сводилась к подсчету простых и сложных процентов, и основной вопрос был связан с администрированием и увеличением фондов и капитала. Последующее развитие теории шло в предположении условий: 1) полной определенности [1]; 2) неопределенности [2]. В первом случае рассматривались вопросы оптимальных решений на финансовом рынке в условиях полной определенности (в вероятностном смысле), и с математической точки зрения задачи сводились к максимизации функций многих переменных при наличии ограничений. Во втором случае основной задачей являлась проблема инвестиционных решений участников финансового рынка в условиях неопределенности. Используемый математический аппарат «mean-variance analysis», основанный на теории вероятностей, выявил важную роль ковариаций в стоимостях рисковых активов, как показателя, от которого зависит степень риска портфеля ценных бумаг. Современный этап развития теории связан: 1) с описанием процесса изменения стоимости рисковых активов в виде случайного процесса [3]; 2) с формулировкой задачи формирования портфеля, как задачи оптимального управления стохастической системой [4].

В данной работе на основе математической теории оптимальных процессов с применением принципа динамического программирования Беллмана [5] рассматривается одна задача формирования портфеля ценных бумаг, допускающая точное аналитическое решение.

2. Постановка задачи

Пусть S(t) - цена рискового актива (например, акции), которая определяется стохастическим дифференциальным уравнением [3] dS(t) = aS(t)dt +aS(t)dW(t), S(t0) =S0, t >t0, (1)

где W(t) - стандартный винеровский процесс, a>0, S0>0, а B(t) - цена безрискового актива (например, банковский счет), которая определяется уравнением dB(t) = rB(t)dt, B(t0) = B0, (2)

где r>0, B0>0 и решение которого имеет вид

B (t) = B0er (t-to). (3)

Капитал портфеля будем обозначать Х(^). В текущий момент времени t доля капитала и({) вкладывается в рисковый актив, а доля капитала и(0=1-и(0 вкладывается в безрисковый актив, то есть 5 (X) = и(х) X (X), В (X) = [1 - и (X)] X (X).

Из (4) следует

5 (X) + В(х) = X (X). (5)

Найдем уравнение, которому удовлетворяет капитал Х({). Из (5) следует

dX (X) = йЯ (X) + йВ (X). (6)

Используя (1), (2), (4) в (6) , получим йХ (х) = [г + (а - г )и (х )]Х (х )йх +&и (х )Х (х )йШ (х), х>х0, Х(х0) = Х0.

Введем стоимость эталонного портфеля У($, которая определяется следующим дифференциальным уравнением

йУ (X) = цУ (X )йх, У (Х0) = У0. (8)

Очевидно, что

(9)

(7)

— V

У (X) = У0е

Ставится задача: таким образом распределять капитал Х(0 между рисковым $(/) и безрисковым ДО активами, то есть таким образом сформировать управление «(/), чтобы капитал портфеля Х(0 соответствовал (в каком-то смысле) стоимости эталонного портфеля Щ.

Формализуем задачу. Пусть te [0, то есть ^=0. В качестве меры расхождения в текущий момент времени t между капиталом Х(() и стоимостью эталонного портфеля У({) выберем величину ДО)-7(^]2, а в момент времени ^ - величину ДО^-ЛХ)]2. Таким образом, в качестве интегральной меры расхождения между портфелями может быть взят функционал

J = M {[ X (О - Y (t,)]2 +

t,

bj [ X (t ) - Y (t )]2 dt\X (t о) = X о},

(10)

где М{.} - оператор математического ожидания. В результате пришли к следующей задаче оптимального управления: найти управление и(^, чтобы на траекториях стохастического дифференциального уравнения (7) функционал (10) достигал минимума.

Замечание 1. Согласно (4), (5) для управления ^^ должно выполняться ограничение

0 < и(Ь) < 1. (11)

Поэтому, решение поставленной задачи может быть достигнуто: без учета (11), а полученное решение анализируется на предмет его выполнения; с учетом (11); без учета (11). В последней ситуации: а) если ^^<0, то считается, что рисковый актив берется в долг; б) если ^^>0, то м(t)=1-u(t)<0, и в долг берется безрисковый актив. Таким образом, первый и третий пути решения аналогичны, но в третьем случае не проводится анализ на предмет выполнения условия (11).

Замечание 2. Смысловое содержание параметров a, а, г и ¡л, которыми определяется постановка задачи, заключается в следующем. Параметры г и ¡л являются параметрами роста соответственно стоимостей безрискового актива и эталонного портфеля, т.е. являются банковскими процентами по соответствующим активам. По смысловому содержанию г>0 и ¡>0. Параметр а является параметром волатильности и характеризует степень хаотичности изменения цены рискового актива. По смысловому содержанию а>0. Параметр a является параметром изменчивости и характеризует тенденцию изменения цены рискового актива в среднем. По смысловому содержанию a^0. При a=0 цена рискового актива будучи случайной, в среднем изменяется возле начального значения £0, при a>0 в среднем возрастает, а при a<0 - в среднем убывает. С точки зрения теории случайных процессов $ ведет себя соответственно как мартингал, как субмартингал, как супермартингал [6].

3. Исследование капитала

при произвольном управлении

Пусть

X (Ь) = 1п{ X (/)}. (12)

Тогда, используя формулу стохастического дифференцирования Ито [6], получаем с учетом (7), что

—ах (I) - ^—¡г X (Ь) 2 X 2(Ь)

= [г + (а - г)и(Ь)]а + ап(Ь)аШ(Ь) - —а 2и 2(Ь

Таким образом, определяется уравнением аХ(Ь) = [г + (а - г)и(Ь) - -а2и2(Ь)]Л + аи(Ь)<ЗЖ(Ь). (13)

Отсюда

' 1 X(Ь) = X0 +|[г + (а - г)и(т) - -а2и2(т)]ат +

+а J u(z)dW (т) = X 0 + rt +

о

t л t

+Jп{т)[{а -r) — o2u{T)]dT +oJu(T)dW(т). (14)

dX (t) = dX (t) - ^ —a2u 2(t )X 2(t )dt

Так как Д0=ехр|Х(0|, то из (14) следует, что капитал X(t) портфеля определяется формулой

X (ь) = Х0 ехр {гЬ}ехр{|и(т)[(а - г) -

0

1 ' —а2и (т)]ёт+а^ u(т)dW (т)}. (15)

20

Из (15) получаем, что

X(Ь) > 0. (16)

Таким образом, получили, что при любом управлении, то есть при произвольном перераспределении капитала между рисковым и безрисковым активами, капитал остается положительным. Данное свойство свидетельствует о корректности математической модели.

4. Решение задачи

Поставленная задача решается без учета ограничения (11).

Утверждение 1. Функция Беллмана U(t,X) для поставленной задачи оптимального управления имеет представление

1 2

и (Ь, X) = Ъ0(Ь) + Ь() X + - Ь-(Ь) X2, (17)

где ^(1:), ^(1) и ^(1:) определяются дифференциальными уравнениями (точка сверху означает производную по Р)

b = иаа^Ш - у 2{tx

0 2 а b2(t)

\(t) = b() -rb(t) + 2У(t), а

b2(t) = b2(t) -2rb2(t) -2 а

(18)

(19)

(20)

с граничными условиями

boi(tl) = У 2(t{), bl(tl) = -2Y (tj), b2(Q = 2. (21) Доказательство. По определению [5] согласно (10) U(t,X) = minM{[X(tj) -Y(t,)]2 +

+J[X(т) - Y(z)]2dT \X(t) = X}.

(22)

Тогда, согласно (7), (10), уравнение Беллмана имеет вид [5]

. \3U(t, X) DU(t, X) min {-^-- + [r + (a - r)u] X —— +

dt

1 d2 2

+± u 2И x 2 drnii

dX2

+ [X -Y(t)]2 \ = 0 (23)

с граничным условием

U(tj,X) = [X - Y(tj)]2.

(24)

Необходимое условие минимума — {•} = 0 в

ди

(23) приводит к уравнению

(а - г)X

ди (г, X) 2 2 52и(г, X) + ст X

и = 0.

X дX2

Отсюда получаем выражение для оптимального управления через функцию Беллмана в виде

ди (г, X)

(а _г)~ дг и 0(() =--2 Ж

д и (г, X)

(25)

ст2 X-

дX2

Подстановка (25) в (23) приводит к уравнению для функции Беллмана в частных производных вида

ди (г, X) + ^ ди (г, X)

дг

дX

ди (г, X)

(26)

_ 1 (а - г)2 У дX 2 ст2 д2и(г,X) Т

дx2

+X2 _ 2У (г) X + у2 (г) = 0. Граничное условие следует из (24)

и (г, X) Ц = X2 _ 2У X + у2 (г,). (27)

Согласно методу разделения переменных [7] решение ищем в виде (17). Тогда

= Ьо(Г)+Ь,(1)+2 Ъ2($) X\

дг 2

ди (г, X) ж д2и (г, X)

= Ь1(г)+Ь2(г) X, 2 = Ь2(г).

(28)

дX

Подставляя (28) в (26), получим Ь0(г) + Ь(г) X+22 Ь^г^2 + гbl{t)X+гЬ,,^2 _

_ 1 (а _ г)2 Ь2 (г) + Ь22 (г)X2 + 2Ь1 (г)Ь2(г)X 2 ст2 Ь2(г)

+X2 _ 2У (г) X+у2 (г) = о. (29)

Перепишем последнее выражение в виде

ь )_ ЬЦ» + у2 ,) +

2 ст2 Ь2(г)

+Ъ (г^+гЬ1 (г^ _(аа _ г2) Ь1 (г)X _ 2У (г^ + ст2

+- Ь2(г) X2 + гЬ2(г) X2 _

1 (а _ г)2 "2 ^^

Ь2(г) X2 + X2 = о.

(30)

В соответствии с методом разделения переменных, приравнивая в (30) коэффициенты при одинаковых степенях X, приходим к уравнениям (18-20). Граничные уравнения (21) следуют из (17), (27).

Утверждение 2. Решения уравнений (18-20) с граничными условиями (21) имеют вид

Ь1(г) = [ЬУ_в* _Ь?]евг, Ь2(г) = ьу <г_в) _ ь1

У 2

Ь0(г) = Xо^е2^' + ^(еИ _е2и) + 2и

, X2 (г

*

_ (г +в)г

2\ 1 +

г

1

и(и_в) и _в

1+

и_в) У +

И + в) е( 2и_

в

х 1п

( (г_в). V (г_в), \

л/ё _ е -'1 2 1 уШ + е 2

У ) У )

( _ (г_в). V ( г_в),\

+ е 2 1 л/ё _ е -г 2

У ) У )

где

в= ^ _ г,

Ь1 =

Ъ И_ в

ст

Ь2 = 2 X 0\ 1 +

И_ в

Ли_в)1

Ь\ = 2 \ 1 + —I е( г_в)\ Ь\ = 2

г_в) г_в

ё = ЬЦЬ\.

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

Доказательство. Решение ур. (19). Полагая 70=Х0, /0=0, из (9) следует

У (г) = X 0еИ, У (г,) = X 0е (38)

Используя обозначение (34), получаем из (19), (21), (38)

Ь1(г) = вЬ1(г) + 2 X 0еИ, Ь^) = _2Xa е (39)

. Общее решение однородного уравнения Ь()=вЬ() имеет вид

Ь1(г) = с(г )евг. (40)

Подставляя (40) в (39), получаем уравнение для нахождения ф) в виде е(1)=2Х0в(и-в!)', общее решение которого имеет вид

с(г) =

2 X

(И_в)

^_ е( И_в>г + с1.

(41)

Подставляя (41) в (40), получаем общее решение уравнения (39)

2

2 X

Ь. (') = 2У 0 еИ' + сер'.

1 (И-Р) 1

(42)

Константа с1 находится из (42) и из граничного условия (39) с учетом (42)

2 у

0 -еИ'1 + с ер =-2Хв' 1.

(И-в)

Отсюда

1

с=-2 у0е"-'

Тогда, согласно (42), Ь(') = И^в- еИ' - 2 X о (1 + е(И-Р) V.

И-в К И-Р)

В итоге с использованием обозначений (35) получаем (31).

Решение ур. (20). Из (20), (21) с учетом (34) следует

4(') = (в- г )Ь2(') - 2, Ь2('1) = 2. (43)

. Общее решение однородного уравнения Ь()=(Р—г)Ьг(?) имеет вид

Ь2 (') = с(' )е(р-г)'. (44)

Подставляя (44) в (433) получим уравнение для нахождения с(/) в виде С(/)=-2е-(Р-г)<, общее решение которого имеет вид

с(') = —- е-(р-г)' + с1. (45)

р- г

Подставляя (45) в (44), получаем общее решение уравнения (43)

Ь2(') = —-+с^-')'. (46)

р- г

Константа с1 находится из граничного условия (43) с учетом (46)

2 - + с1е<р-г)'1 = 2.

в-г

Отсюда

с = 211 -

в-г

,-(в-г )'1

Тогда, согласно (46),

Ь2(') = — + 2 --— | е - <р-г)'- е(р-г)'. (47)

в-г К в-г Перепишем (47) следующим образом

Ь2(1) = 2(1 + -1-1 е(г-р)'-е-(г-в)' -(48)

К г-в) г-в

Из (48), используя обозначения (36), получаем (32).

Решение ур. (18). Из (18), (21), (38) с учетом (31), (32), (34) последовательно получаем:

Ьо(') = 2(в + г) Ы) - X о2е2и', Ьо(',) = X 0е 2 Ь2(')

Ьо(') = 1(в+ г)/^Л -Xо21е2и'Л + С; 2 Ь2 (')

Ьо(') =

=>+г) о 'Ь^^в;^1^

х,

-ХИе2И = \(Р + г){/1 + Ь + ^з}-' (49)

Г (Ь1)2е2И , Г 2ь,ь,е- " ,

^=1 Ь^Р)' - Ь2 ^ = -/ Ь2е'( ^в)' - Ь2 ^

^2 (и+в) '

2Ь11Ь12 е1

Ы2е-(г-р)' - Ь22

Ь^е"

- Ь2

^ = 1Ь

2\202Р'

(Ь2)2е

Ь^»' -Ь22

Тогда, из (50) с учетом обозначения (37), получаем

___(г-«',

X о2 У-ве 2 1

71 =——-, 1п

и(И-Р\1+

г-в

Г- -(гв л/^ + е 2

^ - е

(г-в) '

(51)

2 X2! 1 + -

72 =■

И

-р И

-|И-^'

(И2-Р'Ц +

г-в

х 1п

Г- - (г-Р)' + е 2

-е

( г-Р)'

(52)

Xо2 11 +

Гз =-

И-Р) у

2,1 + ) е КИ

г-р

Р,1 +

г-р

ег-р)'^л/!

х 1п

_ (г-в),

+ е

( г-Р) '

(53)

Подстановка (51-53) в (49) приводит к (33), где

2

х

2

2

2

Y2

C = Y 02e 2ц + ^ e ц -2ц

1 y0 (r+ß)4r-ß

2

ln

r-ß

- ( r-ß)t 4d + e 2 '

4d - e

-ö-ß/i 21 l +

ц-ß

_ (r-ß) t

r +ß

ц(ц- ß) ц-ß2

2

l -

l

u 0(t ) = --

CT2b2(t ) Y (t ) l

J° = b0(0) + bl(0)Y0 + -b2(0)Y,

(54)

(55)

где b1(t), b2(t) определены в Утверждении 2, а b0(0), b1(0), b2(0) имеют вид

b0(0) = Y0V« + Y2(вц -1) + XL(r

2ц 2 i l

l +-

r-ß

l

^ 2 ^+7=ß). У^

ц(ц-Р) Ц-ß2

l + -

ц+ß) j,ц

ln

(4d +1) \4d - e 2 ^

(4d-l)\4d + e 2 *

. (5б)

bl(0) =

2Y0

ц-ß

-2Y0l l +

ц-ß

,( ц-ß)!

b2(0) = 21 l +

r-ß

Л r-ß)tl

r-ß

В заключение рассмотрим вопрос о выполне-

д2{-}

нии достаточного условия минимума —— > 0 в

ди2

(23), которое сводится к условию

2

CT Y

д 2U (t, Y )

dX2

> 0.

У-Р) е{^ в

Теорема. Оптимальное управление и0(') и соответствующее ему оптимальное значение критерия качества /° определяются формулами (а - г) + ЬгЦ)X(Г)]

Доказательство. Использование (28) в (25) дает (54). Так как, по определению /о=Ц(О,Х0), то (55) следует из (17), а (56) из (31-33).

Тогда, согласно (16), (28), достаточное условие минимума определяется положительной определенностью функции Ь2('), т.е.

Ь2 (() > 0. Из (32), (36) следует

1 I е() 1

b2(t ) = 2

l + -

r-ß) r-ß

Тогда условие b2(t)>0 сводится к условию

l I Jr-ßXtl-t) . l

l+-

r-ß) r-ß

или к эквивалентному ему условию l + (r -ß) l e(r-ß)(tl-t) >.

> 0,

r-ß

l

r-ß

Если г>в, то (г—в)('—')>0 и тогда

[1+(г-в)]е(г-т'г')>1. Таким образом, при г>вусловие

Ь2(')>0 выполняется.

5. Заключение

1. Задача формирования портфеля ценных бумаг, состоящего из рискового и безрискового активов, сформулирована как задача оптимального управления стохастической системой (7) с критерием качества (10).

2. На основе метода динамического программирования с использованием уравнения Беллмана (23) найдено оптимальное управление (54) и значение критерия (55), достигаемое при оптимальном управлении.

3. Предварительный анализ решения показывает, что структура управления, т.е. перераспределение капитала между рисковыми и безрисковыми активами (см. Замечание 1), и значение критерия качества, определяющее качество отслеживания капиталом портфеля капитала эталонного портфеля, зависят от соотношений между параметрами постановки задачи (см. Замечание 2). Этим исследованиям с экономической интерпретацией результатов и графическими иллюстрациями будет посвящена следующая работа.

2

X

ß

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Modigliani F., Miller M. The cost of capital, corporation finance, and theory of investment // American Economic Review. - 1958. -№ б. - P. 2б1-297.

2. Markowitz H. Mean-Variance analysis in portfolio choice and capital markets. - Cambridge, Massachusetts: Blackwell, 1990. - 387 p.

3. Samuelson P.A. Rational theory of warrant pricing // Industrial Management Review. - 19б5. - № б. - P. 13-31.

4. Merton R. Continuous-time finance. - Cambridge, Oxford: Blackwell, 1990. - 732 p.

5. Ройтенберг Я.И. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1978. - 551 с.

6. Гихман И.И, Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.

7. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. - М.: Высшая школа, 1970. - 710 с.