Численное исследование задачи формирования портфеля ценных бумаг на основе метода динамического программирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.865

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ФОРМИРОВАНИЯ ПОРТФЕЛЯ ЦЕННЫХ БУМАГ НА ОСНОВЕ МЕТОДА ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Н.С. Демин , С.В. Рожкова*, А.В. Цитко

Томский государственный университет *Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Проведено численное исследование задачи оптимального управления портфелем ценных бумаг по критерию минимизации интегрального среднеквадратического отклонения капитала портфеля от капитала эталонного портфеля на основе метода динамического программирования.

Ключевые слова:

Финансовый рынок, капитал, портфель, ценные бумаги.

Key words:

Financial market, capital, portfolio, securities.

1. Постановка задачи

Работа посвящена численному исследованию свойств капитала портфеля при использовании оптимального управления, полученного в [1, 2]. Система обозначений та же, что и в [1, 2].

По полученным теоретическим результатам в [1, 2] проведено моделирование капитала портфеля ДО, его эталонного 7(0 и среднего ДО значений, дисперсии ДО и значений критерия качества /, а также проведено исследование зависимости от параметров постановки задачи, которыми являются волатильность рискового актива а, а также коэффициенты доходностей рискового актива а, безрискового актива г и эталонного портфеля /л.

Согласно [1, 2]:

• капитал определяется формулой

X (') = X0 exp{r'} exp

к- r) -

J0u(t)

■+C Jtu(T)dW (t)

—ct2u(t) 2

dT +

? > ?0, X (/0 ) — ,

оптимальное управление и соответствующее ему оптимальное значение критерия качества определяются формулами

(а - г )[&,( 0 + й2(0х(р]

u 0(t) = --

a2b2(t) X (') 1

J = bo(0) + bi(0) Xo + 2 ¿2(0) X02,

где

b22;

¿1(t) = [¿>(м-ю' - bV', b2(t) = ¿2e-(r-в *

среднее значение капитала определяется формулой

Г- -(r-в)'

— VA+e 2

X (') = m(t )ln

VA-<

_ (r-в).

_ (r-в)'

X0 - m(t)e 2 1 ln

VA +1

VA-1

где

X0(r2 -в2)

m(t) = -

2в - (м - в +1)x

х(м + в)е( м-в) 4

4(M2-в2У r-в+1 A = ^ в=

- (r-в)'

Є- 2 4 е-в',

- r;

дисперсия капитала определяется формулой

D(t) = X02e(г-в)' - X02 -

VA+1

X0 + X ln

0 2

+2% ln

2 X0 + Xln

VA

VA- 1

( r-в).

+ e

VA-<

ln

Va+1

Va- 1

VA

( r-в).

+ e

Va-i

( r-в).

ln

VA

(r-в).

+ e

VA-<

(r-в).

где

X 0(r2-в2)

x = -

(м-в +1) x х(м + вУм-в)4 -2в

4(p2-в2и r-в+1

( r-в) '

2 1 -в' e 2 e .

2. Основные результаты

На рис. 1-4 приведены результаты численных расчетов изменения капитала ДО, среднего значения капитала ДО, стоимости эталонного портфеля при равных ставках доходностей рискового а, безрискового г активов и эталонного портфеля л, т. е. а=г=л, при изменении волатильности а. Из рис. 1-4 видно, что при равных ставках доходностей рискового ак-

2

тива а, безрискового актива г и эталонного портфеля л среднее значение капитала и стоимость эталонного портфеля совпадают и при увеличении а хаотичность разброса капитала возрастает.

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 1. Зависимости Х(і),Х(і), У(і) от а=г=ц=0,5 и а=0,1

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 2. Зависимости Х(і),Х(і), У(і) от а=г=ц=0,5 и а=0,4

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 3. Зависимости Х(і),Х(і), У(і) от а=г=ц=0,5 и а=0,7

15

■ 1 1 1 1 /

/ / Уу' / "

1 1 1 1

X к)

X (і), 7 (і)

о

Рис. 4.

Зависимости Х(і),Х(і), У(і) а=г=ц=0,5 и а=1

На рис. 5-8 приведены результаты численных расчетов изменения капитала Д/), среднего значения капитала —(/), стоимости эталонного портфеля при равных ставках доходностей рискового а, безрискового г активов, но при меньших ставках доходности эталонного портфеля л, т. е. а=г<л, при изменении волатильности а. Из рис. 5-8 видно, что при равных ставках доходностей рискового а, безрискового г активов, но при меньших ставках доходности эталонного портфеля л среднее значе-

ние капитала и стоимость эталонного портфеля расходятся, причем значения стоимости эталонного портфеля находятся выше средних значений капитала и при увеличении а хаотичность разброса капитала возрастает.

30 25 20 15 10 5

_________I_______|________I________I________I________

0 10 20 30 40 50 60

Рис. 5. Зависимости Х(і),Х(і), У(ї) от а=г=0,5, л=0,6, а=0,1

15

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 6. Зависимости Х(і),Х(ї), У(ї) ота=г=0,5, л=0,6, а=0,4

20

15

О 10 ' 20 30 40 50 60

Рис. 7. Зависимости Х(і),Х(і), У(і) от а=г=0,5, л=0,6, а=0,7

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 8. Зависимости Х(ї),ХІЇ), У() ота=г=0,5, л=0,6, а=1

На рис. 9-12 приведены результаты численных расчетов изменения капитала Щ), среднего значения капитала Д/), стоимости эталонного портфеля при равных ставках доходностей рискового а, безрискового г активов, но при больших ставках доходно-

25

15

20

10

5

10

5

І

60

40

50

20

30

сти эталонного портфеля л, т. е. а=г>л, при изменении волатильности а. Из рис. 9-12 видно, что при равных ставках доходностей рискового а, безрискового г активов, но при больших ставках доходности эталонного портфеля л среднее значение капитала и стоимость эталонного портфеля расходятся, причем значения стоимости эталонного портфеля находятся ниже средних значений капитала и при увеличении а хаотичность разброса капитала возрастает.

На рис. 13-16 приведены результаты численных расчетов изменения критерия качества. При оптимальном управлении в зависимости от интервала времени. На рис. 13 изменяется волатильность а, с ростом а значения критерия увеличиваются. На рис. 14 изменяется ставка доходности эталонного портфеля л, с ростом л значения критерия увеличиваются. На рис. 15 изменяется ставка доходности рискового актива а, с ростом а значения критерия уменьшаются. На рис. 16 изменяется ставка доходности безрискового актива г, с ростом г значения критерия увеличиваются.

На рис. 17 изображена дисперсия капитала при равных ставках доходностей рискового а, безрискового г активов и эталонного портфеля л.

Dit)

Заключение

Совместно с [1, 2] проведено полное исследование одной задачи формирования портфеля капитала как задачи оптимального управления стохастической системой с интегральным критерием качества.

Графические иллюстрации показывают, что структура управления (перераспределение капитала между рисковыми и безрисковыми активами) и значение капитала (качество отслеживания капиталом портфеля капитала эталонного портфеля) зависят от соотношений между параметрами постановки задачи [1].

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013, проект № 14.B37.21.0861.

t

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математического метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 10-14.

2. Демин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Исследование среднего значения и дисперсии капитала в одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета. - 2013. - Т 322. - № 6. - С. 9-13.

Поступила 6.05.2013 г.

УДК 620.97

РАСЧЁТ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ С ФОТОЭЛЕКТРОСТАНЦИЯМИ В УСЛОВИЯХ ЗАПАДНОЙ СИБИРИ

Ф.В. Саврасов, Б.В. Лукутин

Томский политехнический университет E-mail: savrasov@tpu.ru

Проведен анализ имеющихся автономных систем электроснабжения в отдельном регионе Западной Сибири (Томская область). Предложено использование комбинированных комплексов электроснабжения на основе дизельных электростанций и фотоэлектрических систем. Построена математическая модель определения оптимального баланса электроэнергии, выдаваемой генерирующими мощностями. Проанализированы полученные результаты моделирования с точки зрения экономической и энергоэффективности.

Ключевые слова:

Фотоэлектрические преобразователи, автономные системы электроснабжения, энергоэффективность, энергетический баланс в гибридных системах электроснабжения.

Key words:

Photovoltaic cells, autonomous power supply systems, energy efficiency, energy balance in hybrid power systems.

Введение

В настоящее время проблема электрификации России на территории, не охваченной единой энергосистемой, решается в основном за счёт использования дизельных электростанций (ДЭС). При этом примерно половина дизельных и бензиновых установок не работает, что связано с перебоями в поставках топлива и высокими ценами на его доставку. Неоптимальные режимы работы ДЭС и дорогое топливо определяют высокие тарифы на производимую электроэнергию, оплачивать которую местное население может только при условии

значительных дотаций из бюджета. Типичным регионом с развитым автономным электроснабжением является Томская область (ТО).

Более 50 % территории Томской области, на которой проживает 30 тыс. человек, не охвачены сетями централизованного электроснабжения. Соответственно, насёленные пункты в этих районах испытывают острый дефицит электроэнергии.

На территории области таких населенных пунктов насчитывается около 80. Низкая плотность населения и слабая производственная освоенность этих районов делает подключение поселений к