CC BY
154
2009
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика
№ 4(9)
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 519.2
Ю.И.Параев, С.А.Цветницкая
ИССЛЕДОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫХ СТРАТЕГИЙ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ
Рассматривается задача построения смешанного портфеля ценных бумаг, состоящего из п рисковых активов и одного безрискового. Управление портфелем состоит из двух этапов. Первый этап - нахождение рисковой структуры портфеля. Второй - распределение имеющегося капитала между рисковой частью портфеля и безрисковой.
Ключевые слова: рисковая. структура портфеля, исторический горизонт, инвестиционный горизонт, портфель с минимальным риском.
Современная теория инвестиций началась с появления статьи Г. Марковица [1] в 1952 г. Подход Марковица используется на первом этапе формирования портфеля - нахождение рисковой структуры портфеля. Д. Тобин в начале 60-х гг. ХХ в. предложил включить в портфель безрисковые активы. Распределение капитала между рисковыми и безрисковыми активами составляет второй этап формирования портфеля. В настоящее время существует большое количество подходов к управлению инвестиционным портфелем. Так, в [2] для улучшения процесса управления инвестициями предлагают использовать отношение Шарпа. В [3] построение портфеля происходит с применением регрессионного подхода. В [4] управление инвестиционным портфелем происходит с учетом реального поведения финансового рынка - учитываются транзакционные издержки, ограничения на объемы вложения в активы, ограничения на объемы заемных средств.
В статье рассматриваются алгоритмы построения инвестиционного портфеля на основе теоремы разделения. На первом этапе рисковая структура находится с использованием оценок ожидаемой доходности и матрицы ковариаций доходности рисковых активов. Оценки находятся методом скользящего окна. Длину окна будем называть историческим горизонтом. На втором этапе производится разделение капитала между рисковой и безрисковой структурами портфеля с использованием принципа максимума Понтрягина. В статье исследуются несколько инвестиционных стратегий, отличающихся рисковыми структурами и формой управления. Одна стратегия имеет рисковую структуру, соответствующую минимальному риску. В другой - рисковая структура была получена максимизацией отношения Шарпа. При распределении капитала между рисковой и безрисковой частью портфеля были использованы управления в программной форме и в форме обратной связи.
1. Рисковая структура портфеля
Исходными данными для выбора оптимального портфеля являются следующие данные: п рисковых активов, вектор ожидаемых доходностей
Ц = (Ц^..^ Цп ^
матрица ковариаций доходностей С. Как правило, величины ц, С являются оценками рынка инвестором. Рисковая структура портфеля представляется в виде п-мерного вектора
X = (Х^..^ Хп )Т ,
где хі - доля начального капитала, инвестируемого в 1-й актив. При этом должно выполняться ограничение
¿X = 1. (1)
і=1
Характеристиками рисковой структуры портфеля являются доходность и риск:
Ер = Іхг щ, Кр = £ Іх^С . (2)
і=1 і=1 ]=1
Класс допустимых портфелей определяется дополнительными ограничениями. Например, может существовать запрет коротких позиций (хг < 0). В модели Блейка [5] короткие позиции разрешены. В модели Марковица [5] рассматриваются портфели только с неотрицательными компонентами (Хг > 0). Структура рисковой части, как правило, является решением оптимизационной задачи, в которой участвуют две характеристики Ер, Кр. Очень часто одна характеристика
используется в качестве оптимизационного критерия, а вторая - в качестве критериального ограничения. Иногда критерий представляет линейную комбинацию двух характеристик портфеля. Например, вводится функция полезности
и(х) = тЕр - 2 Кр . (3)
Здесь т- толерантность инвестора к риску или параметр предпочтения между риском и доходностью. Рассмотрим построение рискового портфеля, максимизирующего функцию полезности (3) при ограничении (1). Запишем функцию Лагранжа
1 п
Ь = тЕ -—Кр -Х(і хі -1) ^ тах.
2 і=1 х
Введем вектор еТ = [11 1] и перепишем функцию Лагранжа в векторной
форме:
Т 1 Т Т
Ь =тц х - ^ х Сх + Х(е х -1).
Необходимое условие максимума имеет вид
дЬ
— = тц - Сх + Хе = 0 . (4)
дх
Отсюда получаем
х = _0(тц + Хе), (5)
где Б = С—. Чтобы найти X, подставим х в ограничение (1):
ет х = ет П(т|и + Хе) = 1.
Из последнего соотношения найдем X
1 -тет П|и X =----------,
т
где w = е Пе - сумма всех элементов матрицы П. В результате получаем окончательное решение
1 Г ет Пи
(6)
x = — De + т w
D eT D|a '
D|a-------------— e
w
Структура портфеля состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое в (6) соответствует решению системы (4) при т = 0 (нулевая толерантность), что соответствует критерию U(х) = -1 Vp . Портфель со структурой
х = — De (7)
w
является оптимальным портфелем с минимальной дисперсией (в дальнейшем будем его называть минимальным портфелем). Выражение в квадратных скобках в
(6) представляет отклонение от минимального портфеля на единицу толерантно-
сти. Оптимальный портфель инвестора состоит из суммы двух портфелей: минимального и портфеля, соответствующего толерантности т. Если одна из характеристик портфеля задана, то рисковая структура может быть найдена по формуле (6) при соответствующем значении толерантности т [9].
В [2] рисковая структура находится при максимизации отношения Шарпа
max —-----= max Xr^—r. (8)
х а- х JxC
Выражение в числителе Ep - r называется премией за риск, r - доходность безрискового актива, аp - среднеквадратическое отклонение. В [7] дается алгоритм нахождения структуры портфеля, соответствующей максимуму отношения Шарпа. В алгоритме используется датчик случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1]. Процедура состоит из следующих пунктов:
1. Генерируются n случайных чисел.
2. Чтобы выполнялось ограничение (1), каждое случайное число делится на сумму n случайных чисел.
3. Для каждой структуры, полученной в пункте 2, вычисляется отношение Шарпа.
Структура, соответствующая максимальному отношению Шарпа, используется в качестве рисковой структуры портфеля.
В [3] для построения рисковой части используется регрессионный подход. Введем понятие вектора эксцессов (остатков). В момент t вектор эксцессов равен bt = (R1t -r,...Rnt -r), где Rit - доходность i-го актива в момент t. В регрессион-
T 2
ном подходе структура х находится из условия 2 (btx-1) ^ min. Записанное
t=i
условие означает, что в каждый момент времени остаточная доходность рискового портфеля должна минимально отклоняться от 1. Введем матрицу
B = [ Ь2 ■■■ЬТ ]т . Структура рисковой части портфеля, соответствующая названному критерию, имеет вид
х = (Bт В)-1 Bтe,
где e - Т-мерный вектор, состоящий из 1.
После нахождения рисковой структуры х, п рисковых активов можно заменить одним эквивалентным активом с ожидаемой доходностью хтд и риском хтСх, а затем решать задачу разделения капитала между эквивалентным рисковым активом и безрисковым.
2. Разделение капитала
Пусть в момент t капитал равен W^). В каждый момент времени капитал может быть распределен следующим образом: доля u(t) вкладывается в рисковый актив, а оставшаяся доля 1 - и(Г) - в безрисковый актив. Будем считать, что
0 < u ^) < 1. (9)
В [8] приведены уравнения для капитала W ^), для первого и второго моментов процесса W ^) при условии, что цена рискового актива удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению dS(^ = aS(^dt + (^>(^ю(0, где a -среднее значение доходности рискового актива S(^, ст - волатильность, ю(t) -
винеровский процесс. В нашем случае a = хтц, ст = ^/хтCх . Уравнения для капитала W(t), первого момента m(t) и второго момента M(t) имеют вид
dW(t) = ЩиЩ(t)dt + стu(t)W(t)dю(t), W(0) = W0, (10)
где W0 - начальный капитал, h(u) = (а - г)u + г ;
т = h(u)т, m(0) = W0 ; (11)
М = я (и )М, М (0) = W02, (12)
где я (и) = 2^и) + ст2и 2.
Рассмотрим разделение капитала в задаче слежения. На интервале [0, Т ] найти функцию и (^, при которой минимально значение функционала
рт 1 Т
3 = Е || (W (t) - /(t))2 ^|= | (М (0 - 2т(^/(^ + /2(т, (13)
Е{} означает математическое ожидание, /(0 - желаемый рост капитала. В [8] решение задачи слежения выполнено с помощью принципа максимума
Л.С. Понтрягина. Функция Гамильтона с учетом функционала (13) и уравнений (11) и (12) имеет вид
Н(т,М,р1,р2,и) = р^(и)т + р2я(и)М -М + 2т/-/2 , (14)
где вспомогательные переменные р1 ^), р2 (t) удовлетворяют уравнениям
Рі (і) = - дН/дт = -%1 - 2/, Рі (Т) = 0;
р2(і) = -дН/дМ = ~8Р2 +1 Р2(Т) = 0 .
Решения уравнений (15), (16) имеют вид
Рі(і) = 2| /(т) ехр | к(и)ёI
і І_ і
Т Г т
Р2 (і) = -| ехр(| я(и)ёI)
Максимум функции Гамильтона по и(і) достигается при
«V)=-^ +1|.
ст2 ^ 2Р2 (і)М(і)
С учетом ограничения (9) оптимальное управление равно
*
0, если и (і),
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
и (і) =
и (і), если 0 < и (і) < 1, *
1, если 1 < и (і).
(20)
При подстановке в (19) решений уравнений (11), (12), а также (17), (18) получим оптимальное управление в программной форме
и (і) = -
| /(т) ехр(|к(и)ёI)
І
ехр(| я (и)ё I)
-1
ё т
(21)
Управление в форме обратной связи можно получить, если в формуле (19) заменить значения первого и второго моментов на текущие значения W ^) и W 2^). Управление в форме обратной связи имеет вид
и (і) = -
І /(т) ехр(|к(и)ёI)
І
ехр(| я (и)ё I)
-1
ё т
(22)
2
ст
2
ст
3. Результаты моделирования
Рассматривается задача слежения за эталонным портфелем с доходностью г0=0,25, желаемый рост капитала /(і) = Ж0 ехр(г0і). Инвестиционный портфель состоит из трех рисковых активов и одного безрискового с доходностью г = 0,1. В качестве рисковых активов использовали цены акций «Газпром», «Лукойл», «Газпромнефть». Рассматривали две инвестиционные стратегии. В первой стратегии рисковая структура портфеля была получена с использованием критерия мак-
симизации отношения Шарпа, во второй стратегии рисковая структура соответствовала портфелю с минимальным риском. Ожидаемая доходность и ковариационная матрица оценивались методом скользящего среднего. Исторический горизонт (длина скользящего окна) Ь составлял 20 и 35 торговых дней. Инвестиционный период (горизонт) составлял один год..
Алгоритм управления портфелем состоит из следующих шагов:
1. В момент времени і на основе доходностей активов на отрезке [і - Ь, і] находим оценку вектора ожидаемых доходностей ц и матрицы ковариаций С.
2. Используя найденные оценки, находим структуру оптимального портфеля х по формулам (7), (8).
3. Находим характеристики рисковой структуры портфеля (2).
4. Находим оптимальное управление и по формулам (21), (22).
5. Вычисляем текущее значение доходности портфеля по формуле
гр = (1 - и)г + «хтЯ1,
где Я( = (Яи Я2і Я3( )т - вектор доходностей акций «Газпром», «Лукойл», «Газпромнефть» в момент і.
6. Вычисляем текущее значение капитала по формуле Wt = Wt--(І + гр).
На рис. 1 - 3 показана динамика цен акций «Газпром», «Лукойл», «Газпромнефть».
Дни
Рис. 1. Динамика цены акций «Газпром»
0 50 100 150 200 250 300
Дни
Рис. 2. Динамика цены акций «Лукойл»
Дни
Рис. 3. Динамика цены акций «Газпромнефть»
Рисковую структуру портфеля находили из максимизации отношения Шарпа и минимизации риска портфеля. На рис. 4 приведена динамика следующих портфелей: управляемый портфель в программной форме (кр. 1), эталонный портфель (кр. 2), управляемый портфель в форме обратной связи (кр. 3). Рисковая структура инвестиционных портфелей на рис. 4 была найдена минимизацией риска.
Дни
Рис. 4. Динамика инвестиционных портфелей:
1 - при управлении в программной форме, 2 - эталонный портфель,
3 - при управлении в форме обратной связи
На рис. 5 представлена динамика программного управления для разных рисковых структур. Линия 1 соответствует портфелю, рисковая структура которого найдена максимизацией отношения Шарпа, линия 2 - портфелю с минимальным риском. Видно, что при рисковой структуре, найденной при максимизации отношения Шарпа, доля вложения в рисковой актив меньше и она меньше изменяется со временем, чем доля вложения в рисковой актив, соответствующая портфелю с минимальным риском.
Исследовали зависимость качества слежения от вида управления (программная форма и форма обратной связи) и от исторического горизонта (20 и 35 торговых дней). Качество слежения оценивали по суммарному отклонению динамики управляемого портфеля от эталонного. В табл. 1 и 2 показано качество слежения от исторического горизонта и вида управления для двух стратегий.
Дни
Рис. 5. Динамика программного управления портфелем:
1 - при рисковой структуре, найденной максимизацией отношения Шарпа,
2 - при рисковой структуре, найденной минимизацией риска
Т аблица 1
Зависимость качества управления от длины горизонта и вида управления. Рисковая структура найдена максимизацией отношения Шарпа (первая стратегия)
Длина горизонта Программное управление Управление в форме обратной связи
20 -43 -40
35 -46 -31
Т аблица 2
Зависимость качества управления от длины горизонта и вида управления. Рисковая структура соответствует минимальному портфелю (вторая стратегия)
Длина горизонта Программное управление Управление в форме обратной связи
20 74 -27
35 17,7 -37
Для первой стратегии лучший результат дает управление в форме обратной связи. Для второй стратегии лучший результат достигается при программном управлении. Из двух стратегий лучший результат показывает вторая стратегия, т.е. портфель с минимальным риском за исключением одного случая (длина горизонта 35, управление в форме обратной связи). Увеличение длины горизонта приводит к ухудшению качества слежения.
Заключение
В статье был предложен двухэтапный алгоритм управления инвестиционным портфелем. Рассмотрены два варианта рисковой структуры портфеля (первый этап) и два варианта управления (второй этап). Результаты моделирования позволяют сделать следующие выводы.
1. Для портфеля, рисковая структура которого соответствует минимальному риску, лучшее приближение к эталонному портфелю достигается при программном управлении.
2. Для портфеля, рисковая структура которого соответствует максимуму отношения Шарпа, лучшее приближение к эталонному портфелю достигается при управлении в форме обратной связи.
3. Увеличение длины скользящего окна приводит к ухудшению качества слежения.
Алгоритмическая новизна работы состоит в применении теоремы разделения и сочетания подхода Марковица на первом этапе и принципа максимума Понтряги-на на втором этапе. Апробация предложенных алгоритмов была проведена на реальных данных, которые соответствуют «падающему» рынку (рис. 2 и 3). Несмотря на этот неблагоприятный факт и на запрет заемных средств, результаты моделирования подтвердили работоспособность предложенного алгоритмического подхода.
ЛИТЕРАТУРА
1. MarkowitzH.M. Portfolio selection // J. Finance. 1952. V. 7. No. 1. P. 77 - 91.
2. Sharpe W.F. The Sharpe Ratio // J. Portfolio Management. 1994.
3. Mark Britten-Jones. The Sampling error in estimates of mean-variance efficient portfolio weights // J. Finance. 1999. V. 54. No. 2. P. 655 - 677.
4. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Динамическая оптимизация инвестиционного портфеля при ограничениях на объемы вложений в финансовые активы // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 1(2). С. 13
- 17.
5. Касимов Ю.Ф. Введение в теорию оптимального портфеля ценных бумаг. М.: Анкил, 2005. 144 c.
6. Sharpe W.F. Decentralized investment management // J. Finance. 1981. V. 36. №э. 2. P. 217 -234.
7. http://www.anthony-vba.kefra.com/vba/vba8.htm
8. Параев Ю.И., Цветницкая С.А. Управление инвестиционным портфелем // Вестник ТГУ. 2004. № 284. С. 77 - 79.
9. Тарасевич Л.С. Гребенников П.И., Леусский А.И. Макроэкономика. М.: Высшее образование, 2005. 654 с.
Параев Юрий Иванович Цветницкая Светлана Александровна Томский государственный университет
E-mail:[email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 14 апреля 2009 г.
