Базовая модель оптимизации портфельных стратегий с учетом текущего потребления Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

БАЗОВАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМИЗАЦИИ ПОРТФЕЛЬНЫХ СТРАТЕГИЙ С УЧЕТОМ ТЕКУЩЕГО ПОТРЕБЛЕНИЯ

ДЖАНГИРОВ А.П.,

кандидат технических наук, доцент, Кисловодский институт экономики и права, e-mail: kiep_asy@mail.ru

Построены оптимальные стратегии финансового инвестирования при наличии промежуточного потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В аналитической форме получены составляющие оптимального решения (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора.

Ключевые слова: моделирование; инвестирование; спекулятивный спрос; портфель хеджирования.

Optimal strategies of financial investment taking account of current consumption, stochastic dynamics of prices of risky assets and stochastic evolution of investment opportunities are derived. The optimal solution is obtained in an analytical form (speculative demand and hedge portfolio) as function of risky premiums, price volatilities and characteristics of investor's utility function.

Keywords: modeling; investment; speculative demand; hedge portfolio.

Коды классификатора JEL: G11, G32.

Финансовое инвестирование непосредственно связано с формированием инвестиционного портфеля. Финансовые рынки в современных условиях (особенно зарождающиеся рынки, к числу которых относится и российский фондовый рынок) характеризуются нестационарными, стохастическими и кризисными явлениями различной природы [1, 17-19]. В таких условиях традиционная портфельная теория [1, 2] и классические методы финансовой математики [3, 4], представляющие собой основанный на статистических методах механизм оптимизации формируемого инвестиционного портфеля по задаваемым критериям соотношения уровня его ожидаемой доходности и риска (характеризуемого дисперсией доходности), оказываются неадекватными и неспособными объяснить как поведение финансовых временных рядов, так и несоответствие практических рекомендаций по размещению капитала в рисковые активы теоретическим предсказаниям [13, 18], полученным в предположении о постоянных инвестиционных возможностях, т.е. постоянных процентных ставках, ожидаемых доходностях активов, волатильностях и корреляциях доходностей.

Кроме того, инвестирование неотделимо от потребления (инвесторы, как правило, извлекают полезность из промежуточного потребления в различные моменты времени [12], а не только из конечного капитала в конце инвестиционного периода), а инвестиционная стратегия требует динамической реструктуризации портфеля с учетом стохастической эволюции инвестиционной среды, что также не может быть учтено в рамках классической теории. Поэтому возникает необходимость развития методов моделирования оптимального размещения капитала в рисковые активы в условиях стохастического изменения их доходности с учетом стохастических параметров инвестиционной среды.

Впервые задача оптимизации портфеля в стохастической модели с непрерывным временем поставлена в работах [16, 17], однако полученные в явном виде решения соответствуют постоянным инвестиционным возможностям или являются статическими по природе. За редким исключением [12, 15], в большинстве известных исследований проблемы оптимального финансового инвестирования задача решается численно [8-11], что не позволяет выявить вклад составляющих портфеля (спекулятивного спроса на рисковые активы и различных видов спроса на хеджирование) в оптимальное решение. Точные аналитические решения получены лишь в наиболее простых частных случаях. Так, при простой стохастической динамике цен рисковых активов и в предположении о постоянстве процентных ставок и волатильностей цен активов точное решение задачи инвестирования без учета промежуточного потребления найдено

© А.П. Джангиров, 2G1G

TERRA ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

в [15]. В работе [12] в предположении о бесконечном временном горизонте получено приближенное аналитическое решение задачи инвестирования (в условиях, когда краткосрочные процентные ставки постоянны, но рисковые премии описываются стохастическим процессом), однако оно явно не связано с задачей оптимального потребления.

В настоящей работе исследуются оптимальные стратегии инвестирования и потребления с учетом стохастической динамики цен рисковых активов и стохастической эволюции параметров инвестиционной среды. В явном аналитическом виде получены составляющие оптимального портфеля (спекулятивный спрос инвестора и портфель хеджирования) как функции рисковых премий, волатильностей цен рисковых активов и характеристик функции полезности инвестора, позволяющие агенту финансового рынка непрерывно реструктуризовывать портфель (максимизируя свою полезность) в соответствии со стохастически меняющимися инвестиционными возможностями. Исследованы свойства оптимальных стратегий.

При функции полезности с постоянным относительным неприятием риска предложен подход к определению замкнутых оптимальных решений инвестирования и потребления в широком классе стохастических моделей эволюции параметров инвестиционной среды. Проведен анализ целесообразности хеджирования рисков, связанных с меняющимися инвестиционными возможностями, и доказано, что инвестору с аддитивной по времени функцией полезности следует хеджировать только стохастические изменения краткосрочной процентной ставки и квадрата рыночных цен риска.

Рассматриваем экономику, динамика которой генерируется п-мерным винеровским процессом г = (г), определенным на вероятностном пространстве (О, /, Р); Г = ^ : I е [0, Т]} — правосторонняя фильтрация. Все стохастические процессы, рассматриваемые в модели, предполагаются прогрессивно измеримыми относительно этой фильтрации. Индекс I обозначает время I е [0, Т].

Предполагаем, что существует стохастически эволюционирующая переменная состояния х = (х), определяющая изменения во времени процентной ставки по безрисковому активу г, п — мерного вектора ожидаемых доходностей по рисковым активам ц и стохастического процесса волатильностей а размерности?; п, т.е.

Г, = г{х,), ц, = ц(г,,г),а, =о(х,,1).

Изменения переменной состояния х определяют будущие ожидаемые доходности и ковариационную структуру финансового рынка. Рыночная цена риска (рисковая премия по рисковому активу) также определяется переменной состояния:

Х(х, )=а(х,,1)~' (ц(дт,,/)- г(х, >У),

где N — п — мерный вектор из единиц.

Для простоты сначала рассмотрим ситуацию, когда переменная состояния является одномерной. Динамику цен рисковых активов описываем стохастическими дифференциальными уравнениями:

АР, = сНок{Р, %г(х,)N + 0 (г,, ))// + о (х,, /)±, ], (1)

где diag(P) — матрица размерности п х п с р по главной диагонали и нулями вне главной диагонали, — п — мерное стандартное броуновское движение.

Предполагаем, что х определяется одномерным диффузионным процессом

с!х, - т(х,)с/1 + v(xl )Т ск,+\’€(х,)Л:€,’ (2)

где г€ — одномерное стандартное броуновское движение, не зависящее от г, а индекс п х Т означает транспонирование. Поэтому при у€ ф 0 существует экзогенное возмущение переменной состояния, которое не может быть хеджировано инвестициями на финансовом рынке. Другими словами, рынок в этом случае является неполным (в противном случае, если у€ = 0, финансовый рынок является полным). Вектор у(х) описывает чувствительность переменной состояния к экзогенным возмущениям рыночных цен активов, вектор а(х, I) у(х)есть вектор мгновенных коэффициентов ковариации между доходностями по рисковым активам и переменной состояния, а матрица аТ — вариационно-ковариационная матрица ожидаемых доходностей.

Капитал инвестора эволюционирует следующим образом:

с/И7, = М] [;• (.V, )+я / О (.V,, / )А.(л',)]с1> - с, (I/ + И7,л / а (г,, /)сЬ,, (3)

где — стратегия потребления, а — стратегия инвестирования (вектор определяет доли капитала,

размещаемого в каждый из п рисковых активов). Неявная функция полезности инвестора определяется

следующим образом:

J(^V,x,t)= зир Е„х)

(сі -пі )Ж[,.Г|

І є-8 (і~' \і(р^сЬ + е'& (г~' \і(іУт)

(4)

где Е — оператор математического ожидания, и(с) — мгновенная функция полезности инвестора, 6 — субъективный дисконтный фактор.

Запишем уравнение Беллмана, соответствующее задаче (4):

(5)

Граничное условие к (5) имеет вид ./(IV, х, Т)= г/(И ) •

Максимизация правой части уравнения (5) относительно с дает условие первого порядка:

u\c)=Jw(^V,x,l),

(б)

где

т.е. текущая полезность от текущего потребления одной дополнительной единицы должна равняться предельной полезности от оптимального инвестирования этой единицы. Обозначая через 1и функцию, обратную предельной полезности и'(с), запишем (пробную) оптимальную стратегию потребления в виде:

( )■

С{\У,х,1)=1„[1п\\У,хЛ.

Максимизация правой части (5) относительно п дает следующее условие первого порядка:

(IV,X,г)1Го (х, /)\(л-)+ Jnll■ (IV. X,/)И'2а (г,/)а (.г,г)гп +

+ (IV, х, 1)1¥а (.V, />(л) = О

так что (пробная) оптимальная инвестиционная стратегия имеет вид:

п* = п(^,\х,,/)/

(7)

где

(8)

Условия второго порядка для максимума выполнены, поскольку 7 вогнута по Ж, а и вогнута по с. Заметим, что при постоянных инвестиционных возможностях, т.е. если г, ц и а не зависят от времени, второй член в правой части (8) отсутствует (отсюда следует, что при постоянных инвестиционных возможностях спрос инвестора на хеджирование отсутствует), а первый член

_ , _ есть произведение относительной терпимости инвестора к риску ------—~, матрицы, обратной

[КЛлгОГ./)]

вариационно-ковариационной матрице и вектора ожидаемых избыточных доходностей.

При сокращении инвестиционного горизонта неявная функция полезности ^1¥, х, I) приближается к конечной функции полезности н(ГГ ), не зависящей от состояния .V. Следовательно, производная Jш (IV,

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

х, I) и второй член портфельной стратегии стремятся к нулю при I ^ Т. Другими словами, краткосрочные инвесторы (т.е. имеющие короткий инвестиционный горизонт) не хеджируют изменения инвестиционных возможностей. Кроме того, второй член в (8) исчезает для инвесторов с конечным инвестиционным горизонтом в двух специальных случаях:

(1) Зш (Ж, х, !)= 0. Переменная состояния не влияет на предельную полезность инвестора. Как будет видно из дальнейшего анализа, это всегда справедливо для инвестора с логарифмической полезностью. Такой инвестор не заинтересован в хеджировании изменений переменной состояния.

(2) у(х) = 0. Переменная состояния не коррелирована с мгновенной доходностью продаваемых активов. В этом случае инвестор не способен хеджировать изменения переменной состояния.

Во всех остальных случаях переменная состояния приводит к появлению дополнительного спроса инвестора в оптимальном портфеле по сравнению со случаем постоянных инвестиционных возможностей. Из (8) получаем следующий важный результат.

Утверждение 1. Оптимальный портфель включает (1) безрисковый актив (банковский счет), (2) спекулятивный («близорукий») спрос, определяемый весами

1

ЛГг(аОг„,/)Л(*,)

и (3) спрос на хеджирование, определяемый весами

. _

1

(а(г,,/У) 'Х(х,)

(о(г,,/)7)

Заметим, что структура спекулятивного спроса и спроса на хеджирование меняется со временем благодаря изменениям переменной состояния. Следующее утверждение показывает, что среди всех портфелей портфель хеджирования имеет максимальную абсолютную корреляцию с переменной состояния. Для полного финансового рынка максимальная корреляция равна единице, и спрос на хеджирование в основном повторяет динамику переменной состояния.

Утверждение 2. Абсолютное значение мгновенной корреляции между изменением стоимости инве-

стиционнои стратегии и изменением переменной состояния максимально для инвестиционной стратегии Я, =7С,М*.

Доказательство. Процесс стоимости инвестиционной стратегии ж = (ж) имеет следующую дина-

мику:

(IV? = У?(г(х, )+п1о(х,,1)\(х,%11 + К*я,гв(г„/)*г

Мгновенная дисперсия равна (у.'УпМх,.ы гг , а мгновенная ковариация с переменной состояния равна К,п я / 0 (х,. ■ Поэтому квадрат мгновенной корреляции составляет

Р2Н______________(г,Уо(-у,>(*,))2_____________

)2л ,Га (.V,, /)о (.V,,/)7я,|(у(.г,)1 у(дг> \*(х, )2)

_ ______________(я/о(.у, ру(.у,)2________________

& 22 (.V, , /)о (.V, , . У я .Х2’0, У \{х У \ е(.г, ) 2 ).

Портфель, максимизирующий р2, будет также максимизировать абсолютную корреляцию |р|. Условие

первого порядка существования максимума предполагает, что

о (г,. /) у(*,)(я / о (.V,,/)а(х,, <У Я ,)=(я / о (.г,, /) у(лт,))о(х,, /) а(х,, IУ я,.

Умножая обе части этого равенства на матрицу, обратную к СТ (т,, /)т (х,, /) , приходим к равенству

(а(.г,,/У) ‘ у(х)(к/ о(х,,/)о (г,,/)гя,)=(яIо (х,,г)г(х,))л,, (9)

которое нужно разрешить относительно п.. Сумма компонент вектора в левой части равенства (9) равна

в то время как сумма компонент вектора в правой части (9) равна ТС [в (ж,, поскольку МТк) = ).

Разделив каждую часть равенства (9) на сумму компонент, получаем утверждение теоремы:

(о(.у,,/)7) ‘у(у,) _гс

ЛГг(а(г„гУ) 'г(.у,)

Рассмотрим ситуацию, когда имеется единственный рисковый актив, так что а(х, ї) и у(х) суть скаляры. Спрос на хеджирование в ж принимает вид:

•/н \ У.

Заметим, что 3ш < 0 в силу вогнутости. Если V и а имеют одинаковый знак, то доходность по рисковому активу будет положительно коррелирована с изменениями переменной состояния. В этом случае видно, что спрос на хеджирование по активу положителен, если предельная полезность 3ш возрастает с ростом х, так что 3ш > 0. По сравнению с ситуацией с постоянными инвестиционными возможностями при наличии спроса на хеджирование инвестор будет размещать большую долю капитала в рисковый актив, имеющий высокую доходность в состояниях рынка с высокой предельной полезностью. Противоположная ситуация имеет место, если V и а имеют разные знаки, т.е. коррелированы отрицательно.

Можно предложить еще одну интерпретацию портфельной стратегии. Утверждение 3. Оптимальная портфельная стратегия п* представляет собой единственную стратегию, минимизирующую флуктуации потребления со временем, среди всех портфельных стратегий с одинаковой с п* ожидаемой доходностью.

Доказательство. Ожидаемая доходность по оптимальному портфелю (8) составляет

Норма потребления определяется условием

С* =С(1У„ х,,/)-

Применение леммы Ито к (10) дает

(10)

(член с тенденцией БЛ нетрудно вычислить, однако он не играет роли в дальнейшем анализе), откуда следует, что мгновенная дисперсия процесса потребления равна

стI =С„ (1Г,х,гУ(Г2л70(у,/)о(.У,/)тк+Сх(IV,X,/У(у(хУ г(.у>м€(.у)2)+

+ 2С„- (IV,х, I)СХ (IV, х, 1)Шл та (.у,/)\{х)

Рассмотрим задачу минимизации а среди всех портфелей п, имеющих ожидаемую доходность, равную ц*(х, I), т.е. портфелей п с

: и = *

Составляя функцию Лагранжа

I I ■

находим условие оптимальности

К =

Ф

, —(о(.У,//) 'х(.у)—— (.у,/)7) \’(.у)

. : . і ■

п и'(С(р,Х,/))=^(Р.Х.О в <

Дифференцируя условие 4 у и 4 вдоль оптимальной траектории потребления

по Ж и х, получаем

ТЕRRА ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

TЕRRA ECONOMICUS ^ 2010 ^ Том 8 № 4 Часть 3

. и , ,

ir(C(W,x,l}Cx(fV,x,t)= J„x(W,x,t).

Поэтому

Cx(W,x,t) = Jn(fr,x,i) WCw (IV, X,/) WJww (tv, x, I)

так что вторые члены выражений п* и п** идентичны. Первый член выражения п** пропорционален первому члену п*, и поскольку портфель п** выбран так, что он имеет одинаковую ожидаемую доходность с п*, первые члены также должны совпадать. Итак, п* = п**, что и требовалось доказать.

Выше были обсуждены общие выражения для оптимальных стратегий инвестирования и потребления, выраженные через неизвестную неявную функцию полезности. Чтобы найти конкретные решения, следует подставить стратегии (7), (8) в уравнение Беллмана (5), в результате чего получается дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка:

Если это уравнение имеет решение 3(Ж, X I), при котором стратегии (7), (8) допустимы, то эти стратегии действительно являются оптимальными стратегиями инвестирования и потребления. Несмотря на сложность уравнения (11), решения его в замкнутом виде могут быть найдены в ряде интересных модельных спецификаций. В следующей работе рассмотрим процедуру его решения для широкого класса функций полезности с постоянным относительным неприятием риска.

1. Крушвиц Л. Финансирование и инвестиции. СПб.: Питер, 2000.

2. Сизов Ю. Актуальные проблемы развития российского фондового рынка // Вопросы экономики. 2003. № 7. С. 26-43.1.

3. Первозванский А.А., Первозванская Т.Н. Финансовый рынок: расчет и риск. М.: ИНФА-М, 1994.

4. Четыркин Е.М. Финансовая математика. М.: Дело, 2002.

5. Уотшем Т.Дж., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: ЮНИТИ, 1999.

6. Шарп У., Александер Г., Бейли Д. Инвестиции. М.: ИНФрА-М, 2003.

7. ArrowK.J. The theory of risk aversion // Essays in the Theory of Risk — Bearing / Ed. by K.J. Arrow. Amsterdam: North-Holland, 1971

8. BalduzziP.,LynchA.W. Transaction costs and predictability: some utility cost calculations // Journal of Financial Economics. V. 52. № 1. 1999.

9. Barberis N. Investing for the long run when returns are predictable // Journal of Finance. V. 55, № 1. 2000.

10. BrandtM.W. Estimating portfolio and consumption choice: a conditional Euler equations approach // Journal of Finance. V. 54. № 6. 1999.

11. Brennan M.J., SchwartzE.S., Lagnado R. Strategic asset allocation // Journal of Economic Dynamics and Control. V. 21. № 7. 1997.

12. Campbell J.Y., Viceira L.M. Consumption and portfolio decisions when expected returns are time — varying // Quarterly Journal of Economics. V. 114. № 2. 1999.

13. CannerN.,MankiwN.G., WeilD.N. An asset allocation puzzle // American Economic Review. V. 87. № 2. P. 181-191. 1997.

14. Eichengreen B. Financial crises and what to do about them. Oxford: Oxford University Press, 2002.

15. Kim T.S., OmbergE. Dynamic nonmyopic portfolio behaviour // Review of Financial Studies. V. 9. № 1. 1996.

16. Merton R.C. Lifetime portfolio selection under uncertainty: the continuous — time case // Review of Economics and Statistics. V. 51. № 2. 1969.

17. Merton R.C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous — time model // Journal of Economic Theory. V. 3. № 2. 1971.

18. Samuelson P.A. The long-term case for equities and how it can be oversold // Journal of Portfolio Management. V. 21. № 1. 1994.

19. Sornette D. Why stock markets crash. Princeton: Princeton University Press. 2002.

SJ(fV,x,/)=u(/(Jw (fV,x,t)))~ j„ (w,x,t)l(j„ (IV,X,/))+

(ll)

ЛИТЕРАТУРА