Динамическая модель управления инвестиционным портфелем с линейным критерием качества Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.865.5

А.А. Мицель, Н.П. Красненко

Динамическая модель управления инвестиционным портфелем с линейным критерием качества

Рассматривается система со случайными параметрами в дискретном времени на примере инвестиционного портфеля ценных бумаг, включающего рисковые и безрисковые активы. Портфель представляется в виде двух подпортфелей - рискового и безрискового. Для построения модели управления в задаче слежения за эталонным портфелем используется линейный критерий качества, что позволяет получить линейную динамическую модель. Модель относится к классу моделей линейного программирования и позволяет учитывать ограничения как на состояние системы, так и на управление. Для уменьшения размерности задачи используется метод управления с прогнозирующей моделью.

Ключевые слова: оптимальное управление, динамическая система со случайными параметрами, линейное программирование, инвестиционный портфель, слежение за эталонным портфелем.

Многие реальные системы описываются линейными моделями со случайными параметрами. Применительно к инвестиционному портфелю эта задача достаточно подробно исследовалась в цикле работ [1-10]. Так, в работе [1] рассматривается задача управления по квадратичному критерию дискретными стохастическими системами со случайными параметрами и аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений, получены уравнения для оптимальных линейных статического и динамического регуляторов по выходу. Результаты применяются для решения задачи динамической оптимизации инвестиционного портфеля в дискретном времени, включающего рисковые бумаги со случайными волатильностями цен финансовых активов. В работе [3] рассматривается задача синтеза стратегий управления с прогнозирующей моделью для дискретных систем со случайными параметрами, возмущенных аддитивными и мультипликативными шумами, зависящими от состояний и управлений. Синтезированы стратегии прогнозирующего управления замкнутого и разомкнутого типов. Результаты применяются для решения задачи динамической оптимизации инвестиционного портфеля при ограничениях на объемы торговых операций. В работе [9] задача управления портфелем ценных бумаг, состоящим из рисковых и безрискового вложений, формулируется как динамическая задача слежения за эталонным (гипотетическим) портфелем, имеющим заданную желаемую эффективность. Предполагается, что динамика цен рисковых финансовых активов описывается стохастическими уравнениями с гауссовскими и импульсными пуассоновскими возмущениями.

Предлагается подход к определению оптимальной стратегии управления с обратной связью по квадратичному критерию. Модель управления инвестиционным портфелем (ИП), учитывающая ограничения на объемы торговых операций представлена в работе [10]. Цены рисковых финансовых активов подчиняются стохастическим разностным уравнениям со случайной волатильностью. Целью управления ИП является отслеживание гипотетического эталонного портфеля с заданной траекторией роста. Получены уравнения, определяющие оптимальные стратегии прогнозирующего управления ИП с обратной связью при ограничениях. В работе [11] состояние портфеля описывается суммарным капиталом, вкладываемым в рисковые и безрисковые активы, и показана задача слежения с квадратичным критерием. Двухэтапная стратегия построения инвестиционного портфеля на основе теоремы разделения исследуется в работе [12]. На первом этапе рисковая структура находится с использованием оценок ожидаемой доходности и матрицы ковариаций доходности рисковых активов. Оценки находятся методом скользящего окна. На втором этапе производится разделение капитала между рисковой и безрисковой структурами портфеля с использованием принципа максимума Понтрягина. В статье [13] решена задача формирования оптимального инвестиционного портфеля в условиях неопределенности с минимальным уровнем допустимого риска. Предложена модель, позволяющая учесть гетероскедастичность исходных данных и нестационарность элемен-

тов корреляционной матрицы. Во всех рассмотренных работах [1-13] безрисковая часть портфеля представлена в виде одного совокупного безрискового актива.

В данной работе также рассматривается система со случайными параметрами в дискретном времени на примере инвестиционного портфеля ценных бумаг, включающего рисковые и безрисковые активы. В отличие от упомянутых выше работ мы будем использовать линейный критерий качества в задаче слежения за эталонным портфелем, что позволяет получить линейную динамическую модель, которую удается преобразовать в модель линейного программирования. Другим отличием предлагаемой модели является представление портфеля в виде двух подпортфелей - рискового и безрискового. Модель позволяет учитывать ограничения как на состояние системы, так и на управление. Для уменьшения размерности задачи используется метод управления с прогнозирующей моделью.

Динамическая модель в дискретном времени. Рассмотрим портфель, состоящий из N рисковых активов и К безрисковых активов. Обозначим объемы вложений в момент времени t в рисковые активы V" ({) (г = 1,...^), а в безрисковые активы - Vу (у = 1,...,К).

Задача управления заключается в перераспределении капитала между включенными в портфель активами таким образом, чтобы сформированный портфель следовал капиталу эталонного инвестиционного портфеля на горизонте управления Т.

Стоимость инвестиционного портфеля V^) в момент времени t равна

N К

V(t) = 1^"(0+1 ^(0. (1)

г=1 У=1

Заметим, что доля вложения в г -й рисковый актив в момент времени t равна х-'' ^) = Vг' ^)/V^), а в безрисковый актив - х^ ^) = VJ! ^)/V^) х'у ^) = Vj ^)/V^).

Динамику капитала инвестиционного портфеля в дискретном времени можно описать уравнением (см. например, [1-3, 9, 10])

V' (} + 1) = [1 + ц- (}) + п (})]]" (}) + Щ (})), г = 1,...,N;

(2)

Vу а+1)=[1+Уу а)]^у ^)+иу а)), у=1,...,К.

Здесь щ ^) - капитал, вкладываемый в покупку рискового актива (щ ^) > 0) либо вырученный от продажи рискового актива (щ ^) < 0); щ- (t) - среднее значение ставки г -й рисковой ценной бумаги; Пг ^) - случайная составляющая ставки рисковой ценной бумаги с параметрами М(пг (t)) = 0, М(пг (Опк(0) = ^гк(0, г,к = 1,...,N, где £гк(t) - матрица ковариации доходностей рисковых ценных активов; Vу ^) - ставка у -го безрискового актива.

В отличие от работ [1-3] безрисковый актив мы представляем в виде подпортфеля. Кроме того, предполагаем, что рыночная ставка доходности безрисковых ценных бумаг может изменяться мгновенно для всех периодов на одну и ту же величину. Это обстоятельство приводит к необходимости иммунизации безрискового подпортфеля.

Уравнение эталонного портфеля определим уравнением:

V0(t+1)=(1+Ц0(0)0(0, (3)

где ) - заданная ставка эталонного портфеля. Начальное условие V0(0) = V(0) (в начальный момент времени капитал эталонного портфеля совпадает с капиталом реального инвестиционного портфеля).

Т

Введем вектор у(0 = (у{ ^), V/ ^ ),..., V/' (0^' Ц ),..Г/ ^)) и вектор z(t) = (у(0, ^(1))т.

Тогда уравнения (2), (3) можно переписать в виде

z(t+1)=A(t) z(t) + B(t)u(t), (4)

где А(0 =A1(t) + A2(t); А1(0, A2(t) - диагональные матрицы размерности ^+К + 1) х (N+К + 1) с элементами

А1Й (г) = 1 + ц,- (г), 1 =1,..., N; А-Ы+}, N+] (г)=1+(г), 7 = 1,..., К; A1N+К +1, N+К +1(г ) =1 + Ц0 (г ). Матрица В(г) размерности (N + К + 1) х (Ы + К) имеет следующую структуру:

А2ц (г)=щ (г), 1=1,..., N; A2N+7,N+7(г) = 0, 7 = 1,...,К.

В(г) =

(А„(г) 0 0 А22(г)

0 0

AN+К (г) 0

и(г) - вектор управления.

В качестве целевой функции выберем линейный функционал

J=м{ ^((г)-г0(г)) - 2(ьТ(г)и(г)) + (г(Т)-Г0(Г))},

(5)

г=1 ' ' г=0

Т

где ь(г) = (щ(г),...,щ(г),у\(г),...,^К(г)) ; м{•} - оператор математического ожидания.

Второе слагаемое в функционале (5) определяет доходность портфеля и его минимизация означает максимизацию доходности.

Используя г (г), представим (у (г) -V °(г)) в форме (V (г) - V °(г )) = Сг(г),

^+К+1. Критерий качества J примет вид

Т-1 Т-1

(6)

где

С = (1,1,...,1,-1)е Я

^ Ш1П .

и(г)

J=м{ X (С-г(г)) - X (ЬТ(г)и(г)) + с-/(7)}

Итак, имеем задачу оптимального управления, в которой уравнение состояния описывается многошаговым процессом (4), а функционал качества - выражением (6). Управление задается вектором и (г). Задача решается при ограничении V (г) > V 0(г) или С-г(г).

В общем виде ограничения, связанные с формированием портфеля, в том числе иммунизированного безрискового подпортфеля, запишем в виде

Р-/(г) < Г(г), г=1,...,Т,

где Р - матрица, размерность которой определяется количеством ограничений задачи и размерностью вектора /(г); Г(г) - вектор соответствующей размерности.

Ограничение, связанное с запретом продажи без покрытия, имеет вид у(г) + и(г) > 0, г = 0,1,...,Т-1. В терминах г(г) это ограничение примет форму

/(г) + У-и(г) > 0, г=0,1,...,Т-1, где У - матрица размерности ^+К + 1) х (N+К) с элементами

У =

Для решения задачи слежения необходимо задать начальное состояние системы /(0) = (у(0), У(0))Т, где у(0) - начальное распределение капитала. Стоимость эталонного портфеля в начальный

момент времени считаем известной V0 (0) = V)0 . Кроме того, как уже отмечалось, V(0) = V0 (0). В

качестве у(0) используем решение следующей задачи формирования смешанного портфеля [14]:

(1 0. . 0 ^

0 1. . 0

0 0. . 1

10 0. . ^

N N

XX у (0)£у (0) у 7 (0) ^ Ш1п:

1=17=1 У

(7)

(8)

N+K

X bi (0)y (0) > mp, i=1

kp

X yj (0) > С,

j=kp-i+1 N+K

X Dj(0)yj(0) = T- V(0),

j=N+1 N+K

X yj (0) = V(0), j=1

N

X y (0) < mV (0), i=1

N+K

X yj (0) = (1-m)V(0),

j=N+1 0 < yi (0) < ymax.

kp

Величина X yj (0) определяет суммарную долю финансовых активов группы p в порт-

j=kp-1 +1

феле; kQ = 0, p = 1,...M ; с - ограничение на суммарную долю финансовых активов наименования p ; ymax - максимально допустимый объем вложений в ценные бумаги; m - ограничение на объем вложений в рисковые ценные бумаги; mp - желаемая доходность портфеля; Dj (0) - дюрация безрисковой ценной бумаги.

Итак, сформулируем окончательно задачу управления портфелем: ( T-1 T-1

J=M{ X (C-z(0) - X (bT(0u(0) + C-z(T) } ^min, (9)

t=1 t=0 u(t)

z(?+1)=A(?) z(t) + B(t)u(t), P-z(t) < r(t), t = 1,...,T, z(t) + Y-u(t) > 0, t = 0,1,...,T-1, C-Q(t)z(t) = C-z(t).

Здесь Q(t) - диагональная матрица размерности (N+K+1) x (N+K + 1) с элементами:

Qu(t) = 0, i = 1,...,N;

(10) (11) (12) (13)

QN + J ,N+j (t) ="

DJ (t)

, j = 1,...,K;

T -1

QN + K+1, N+K +1(t) = 1.

Последнее ограничение используется в том случае, если период управления достаточно велик, так что на нем может изменяться безрисковая процентная ставка, и по этой причине необходимо проводить иммунизацию подпортфеля безрисковых ценных бумаг.

Решение задачи. Имеем линейную задачу динамического программирования. Ее можно решать методом Беллмана. Однако численная реализация этого метода достаточно трудоемкая задача. Рассмотрим другой способ.

Преобразуем нашу задачу к эквивалентной задаче линейного программирования. Подставим (10) в (9). В результате целевая функция примет вид

T-1

J = Z0 + X (Z(t)u(t)) ^ min,

t=0

u(t)

где

Z0 = C-(A1(0) + A1(0) A1(1) +...+ A1(0) A1(1) A1(2) ••• A1(7-1)) -M(z(0)),

Z(t) ={-bT(t) + C- (A1(t+1) + A1(t+1) A1(t+2) + ...+A1(t+1) A1(t+2)- A1(T-1)) -B1(t),

t = 0,1,...,T - 2, J(T-1) = - bT(T-1) + C-B1(T-1). Преобразуем ограничения (11), (13). Введем блочную матрицу G с элементами

Gk = Hk П (Aj)B(s-1)), i > s;

j=s

Gks = Bk-B(i-1), i = s ; i,s = 1,...,T ; Gks = 0, i <s ; k = 1,2,

где Bj = P; H2 = C(Q - I).

Введем блочные составные вектора и U с компонентами

i-1

^k(i) = Гk(i)- Bk П (A(j)z(0)), i = 1,...,T,

j=0

U = (u(0),u(1),...,u(T-1))T .

В результате ограничения (11), (13) примут вид Gk-U < Tk. Рассмотрим ограничение (12). Введем блочную матрицу Ф:

Фи = -Y- fi (A(j)B(s-1)), i > s;

j=s

Фis = -Y, i = s ; i,s = 1,...,T ; ]Л[(Aj) = I

j=l

Фis = 0, i < s.

и

л = П (A(j)z(0)), i = 2,...,T-1; Л1 = 1; П (Aj) = I.

j=s j=l

После преобразования ограничения (13) получим Ф-U < Л. В результате задача слежения примет вид

J = J0 + ZT U ^ min, (14)

u(t)

Ф-U < Л, (15)

Gk-U < ^k, k = 1,2. (16)

Здесь вектор Z с компонентами: Z = (Z(0),Z(1),...,Z(T-1))T .

Управление с прогнозирующей моделью. Задача (14)-(16) может быть решена стандартным симплекс-методом с помощью любого математического пакета (например, Mathcad). Однако следует отметить, что на практике задачи линейного программирования большой размерности решаются очень плохо. В нашем случае размерность задачи составляет (N+K)xT , и при N+K = 10 и T=10 уже получим число переменных 100.

Для преодоления этой трудности воспользуемся методом управления с прогнозирующей моделью [3]. Суть метода состоит в следующем. Задается горизонт прогнозирования q0 <T. Для заданного начального состояния z(0) вычисляется последовательность управляющих воздействий щ(0), t = 0,...,q0 -1. На следующем шаге горизонт управления сдвигается на один шаг (q1 = q0 +1), а в качестве начального состояния берется z(1), найденное на предыдущем шаге. Процедура повторяется до тех пор, пока qn = qn-1 +1 = T, где n - число шагов. Размерность каждой подзадачи равна (N + K) x qQ.

Заключение. В работе получена линейная модель управления инвестиционным портфелем, включающим два подпортфеля - рисковый и безрисковый. Модель представляет собой задачу линейного программирования. Для уменьшения размерности задачи предлагается использовать управление с прогнозирующей моделью. Если безрисковая ставка не меняется после формирования подпортфеля безрисковых ценных бумаг, то задача слежения за портфелем описывается соотношениями (14)-(16), при этом в ограничении (16) к = 1. В результате имеем стохастическую задачу, так как в ограничениях (15), (16) матрицы А(?) и Б(?) случайны. Поэтому оптимальное управление будет также случайным. На практике, как правило, именно такая ситуация имеет место.

Для моделирования задачи слежения необходимо задать закон распределения случайной составляющей доходности рисковых ценных бумаг п(?). Будем полагать, что случайный вектор п(?) имеет первые два момента: М(п(?)) =0, М(п(?) СлТ(?)) = £(?). Матрица ковариации Е(?) случайной ставки доходности рисковых активов симметрична и положительно определена. В общем случае она представляет собой сумму матриц ковариации гауссовского шума и пуассоновской составляющей, описывающей скачки ставки доходности ценных бумаг

Е(?) = Е:(?) + Е2(?) = ст(?) стТ(?) + 5(?) 5Т(?).

Матрицу Е(?) можно представить в виде произведения матриц Е(?) = W(?)WT(?), где W(?) = Е1/2(?). Если скачки отсутствуют, то W(?) = ст(?) и случайная составляющая ставки доходности рисковых активов п(?) = где ст(?) - матрица, определяющая влияние гауссовского шума;

Т

= ((,...,) - вектор нормализованного гауссовского шума с параметрами М(щ(?)) = 0,

М^(?) wT(t)) = I (здесь I - единичная матрица). Если необходимо учесть скачки, тогда Е(?) = Е^?) +

+ Е2(?) = ст(?) аТ(?) + 5(?) 5Т(?). Здесь £1(0 - матрица гауссовского шума, Е2(?) - матрица скачков. В

Т

этом случае п(?) = &(?№(?) + 5(?)£(?), где £(?) = ((,...,£, N) - случайный вектор скачков ставки доходности с пуассоновским распределением с параметрами М(£(?)) = 0, М(£(?)(£Т(?)) = = diag(^1(?)01(?),...,^и (?)9П (?)). Здесь Х, (?) - интенсивность скачков; 9, (?) - величина скачка.

Литература

1. Домбровский В.В. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля / В.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2003. - № 10. -С. 50-65.

2. Домбровский В.В. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке со стохастической волатильностью / В.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2003. - №5. - С. 12-21.

3. Домбровский В.В. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля /

B.В. Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ляшенко // Автоматика и телемеханика. - 2005. - № 4. -

C. 84-97.

4. Герасимов Е.С. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратичной функции риска / Е.С. Герасимов, В.В. Домбровский // Автоматика и телемеханика. - 2002. - № 2. -С.119-128.

5. Домбровский В.В. Модель управления инвестиционным портфелем в пространстве состояний на нестационарном диффузионно-скачкообразном финансовом рынке / В.В. Домбровский, Е.Н. Федосов // Автоматика и вычислительная техника. - 2002. - № 6. - С. 13-24.

6. Домбровский В.И. Динамическая модель управления инвестиционным портфелем при квад-ратической функции риска / В.В. Домбровский, В.А. Гальперин // Вестник ТГУ. - 2000. - № 269. -С. 75-77.

7. Гальперин В. А. Динамическое управление самофинансируемым инвестиционным портфелем при квадратической функции риска в дискретном времени / В.А. Гальперин, В.В. Домбровский // Вестник ТГУ. Приложение. - 2002. - №1(1). - С. 141-146.

8. Гальперин В. А. Управление инвестиционным портфелем в непрерывном времени при квадратической функции риска / В.А. Гальперин, В.В. Домбровский // Труды Десятого юбилейного

симп. по непараметрическим и робастным статистическим методам в кибернетике. - Томск: ТГУ, 2003. - С. 201-207.

9. Гальперин В.А. Динамическое управление инвестиционным портфелем с учетом скачкообразного изменения цен финансовых активов / В.А. Гальперин, В.В. Домбровский // Вестник ТГУ. -2003. - № 280. - С. 112-117.

10. Домбровский В.В. Динамическая оптимизация инвестиционного портфеля при ограничениях на объемы вложений в финансовые активы / В.В. Домбровский, Д.В. Домбровский, Е.А. Ля-шенко // Вестник ТГУ. - 2008. - № 1(12). - С. 13-17.

11. Параев Ю.И. Управление инвестиционным портфелем / Ю.И. Параев, С. А. Цветницкая // Вестник ТГУ. - 2004. - № 284. - С. 77-79.

12. Параев Ю.И. Исследование инвестиционных стратегий управления портфелем ценных бумаг / Ю.И. Параев, С. А. Цветницкая // Вестник ТГУ. - 2009. - № 4(9). - С. 17-25.

13. Крицкий О.Л. Оптимизация портфеля финансовых инструментов / О.Л. Крицкий, О.А. Бель-снер // Финансы и кредит. - 2013. - № 36(564). - С. 35-40.

14. Мицель А.А. Инвестиционный портфель пенсионных накоплений / А.А. Мицель, О.И. Ре-кундаль // Финансовая аналитика: проблемы и решения. - М.: Финанспресс, 2011. - № 40(82). - С. 2-5.

Мицель Артур Александрович

Д-р техн. наук, профессор каф. автоматизированных систем управления ТУСУРа,

профессор каф. информационных систем (ИС) Юргинского технологического института (ЮТИ) НИТПУ

Тел.: (382-2) 70-15-36

Эл. почта: [email protected]

Красненко Николай Петрович

Д-р физ.-мат. наук, профессор каф. радиотехнических систем ТУСУРа, каф. ИС ЮТИ НИТПУ

Тел.: (382-2) 49-24-18

Эл. почта: [email protected]

Mitsel A.A., Krasnenko N.P.

Dynamic model of management of an investment portfolio with linear criterion of quality

The paper considers the system with casual parameters in discrete time on the example of the investment portfolio of securities including risk and risk-free assets. The portfolio is presented in the form of two subportfolios - risky and risk-free. The linear criterion of quality is used for creation of model of management in a problem of tracking a reference portfolio. The linear criterion of quality allows to receive linear dynamic model which represents model of linear programming. The model allows to consider restrictions both on a condition of a system, and on management. For reduction of dimension of a task the method of management with the predicting model is used.

Keywords: optimum control, dynamic system with casual parameters, linear programming, an investment portfolio, tracking a reference portfolio.