Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 4(13)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865.5

В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ С ПЕРЕКЛЮЧАЮЩИМИСЯ РЕЖИМАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ОБЪЕМЫ ТОРГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

Рассматривается модель управления инвестиционным портфелем в дискретном времени при скачкообразном изменении параметров рисковых финансовых активов с учетом явных ограничений на объемы торговых операций. Параметры изменяются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.

Ключевые слова: инвестиционный портфель, управление с прогнозирующей моделью, ограничения, марковские скачки, мультипликативные шумы.

Проблема оптимального управления инвестиционным портфелем (ИП) является одной из наиболее актуальных в финансовой инженерии. Особый интерес представляет задача управления ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами [1 - 6]. При этом предполагается, что параметры уравнений, описывающих доходности рисковых активов, меняются скачкообразно в соответствии со случайной сменой режимов функционирования, характерных для реальных финансовых рынков.

В [1, 2] рассматривается задача управления ИП на скачкообразном финансовом рынке без учета явных ограничений на объемы торговых операций. На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы вложений (купли-продажи) и займов финансовых инструментов.

Задача динамического управления ИП с учетом явных ограничений рассматривалась в работах [7, 8]. В [7] эволюция цен рисковых активов описывается дискретизованной версией модели типа геометрического броуновского движения со случайными независимыми параметрами, в [8] доходности описываются моделью авторегрессии. В этих работах предлагается использовать стратегии управления с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) [9]. Такой подход позволяет достаточно просто учитывать явные ограничения на управляющие переменные - объемы вложений и займов. Синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к последовательности задач квадратичного программирования.

В настоящей работе рассматривается задача управления ИП при ограничениях на финансовом рынке с переключающимися режимами. Параметры рисковых активов меняются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи с конечным пространством ненаблюдаемых состояний и известной матрицей пере-

ходных вероятностей. Получены уравнения синтеза стратегий управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.

1. Постановка задачи и описание модели ИП

Рассмотрим ИП, состоящий из п видов рисковых финансовых активов (обыкновенных акций) и одного безрискового финансового актива (банковский счет или надежные облигации). Капитал, помещенный в г-й рисковый актив в момент времени к, равен и(к) (г = 1, 2,..., п); в безрисковый и0(к). Тогда общий объем вложений (капитал портфеля) в момент времени к будет

V (к) = £щ (к) + щ(к). (1)

г =1

Отметим, что если иг(к) < 0 (г = 1, 2, ..., п), то это означает участие в операции

«продажа без покрытия» на сумму | иг(к)|; если и0(к)<0, то это означает заем капи-

тала в размере | и0(к)| по безрисковой ставке г. В момент времени к + 1 капитал портфеля

V(к +1) = £ [1 + Пг (к +1)]и, (к) + [1 + г]«0(к), (2)

г =1

где пг(к+1) - ставка доходности рисковых вложений на интервале [к, к + 1] (случайная величина), г - неслучайная доходность безрисковых вложений.

Используя (1), уравнение (2) преобразуем к виду

V(к +1) = [1 + г] V(к) + £[п (к +1) - г]щ (к), (3)

г =1

п

при этом и0 (к) = V (к) - X иг (к).

г =1

При управлении портфелем учитываются следующие ограничения:

итт(к) < иг (к) < игтах(к), г = \п; (4)

и0тт(к) < V(к) - £иг (к) < и0тах(к). (5)

г=1

Если нижняя граница игт1П(к)<0, г'=1,2,...,п, то для рискового актива г-го вида допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не более |игт1П(к)|; если игт1П(к)>0, г'=1,2,...,п, то операции «продажа без покрытия» для рискового актива г-го вида запрещены; и0тах(к)>0 определяет максимальный размер

капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив, игшвх(к), г'=1,2,...,.п, оп-

ределяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в рисковый актив г-го вида; и0т1П(к)<0, величина |и0т1П(к)| определяет максимальный размер

займа безрискового актива. Отметим, что величины игтш(к), игтях(к), г=0,1, ,п,

на практике часто зависят от общего капитала ИП, что можно учесть, положив игт1П(к) = у^(к), игтах(к) = у/У(к), где у/, уг" - постоянные коэффициенты.

Необходимо определить стратегию управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля с минимально возможными отклонениями (с минимально воз-

можным риском) следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с доходностью Цо, эволюция которого описывается уравнением

У0(к +1) = [1 + ^(к), (6)

в начальный момент времени К0(0)=К(0).

Для описания эволюции доходностей рисковых активов используем разностную аппроксимацию уравнений геометрического (экономического) броуновского движения со скачкообразно меняющимися параметрами [2,3]:

П [а(к),к] = цг [а(к), к] + ]Г су. [а(к), к] со; (к), (7)

1 =1

где а(к) (к = 0,1,2...) - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1,2,.. ,;у}, известной матрицей переходных вероятностей

Р = [Ру ] , I,1 £{1,2,...,V},

р]г = Р {а(к+1) = а 1 |а(к) = аг}, £ р]г =1,

1=1

и известным начальным распределением:

Рг = Р{а(0) = г}, г = 1,2,...,V; ^р, = 1.

г =1

ю/к) - независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией; последовательности ю/к) и а(к) независимы; цг[а(к),к] -ожидаемая доходность г-го рискового вложения; Су[а(к),к] - элементы матрицы волатильности о[а(к),к], с[а(к),к]ст[а(к),к]>0.

Причем

дг- [а(к),к] £ {дг®,Дг^,...,Дг-^|,о[а(к),к] £ {о(1),о(2),...,а(^} ,

где а®=[ау-®], г, 1=1,2,.,п, 1=1,.,V. Предполагается также, что состояние марковской цепи в момент времени к не доступно наблюдению.

2. Определение оптимальной стратегии управления

Для управления портфелем используем стратегии с прогнозирующей моделью. Критерий качества управления (функция риска) имеет вид

{Ш 2

(к + г)-V0(к + г)) р(к,г) +

г=1

+ит (к + г -1/к)К(к + г - 1)и(к + г -1/к)р(к,г -1)/ V(к), V0 (к)}, (8)

где ш - горизонт прогноза, и(к+г/к)=[щ(к+г/к), ...,ип(к+г'/к)]т, Л(к)>0, р(к,г)>0 - весовые коэффициенты. Весовые коэффициенты р(к,г) можно выбирать различными способами. Если р(к,г)=1, то минимизируется сумма квадратов абсолютных отклонений от намеченной траектории; если р(к,1)=[У°(к+1)У2, то минимизируется сумма квадратов относительных отклонений от намеченной траектории; можно также использовать дисконтирующие множители: р(к,г)=[1+в]-2г, где в - ставка дисконтирования.

Таким образом, на каждом шаге к имеем задачу минимизации критерия (8) со скользящим горизонтом управления по последовательности прогнозирующих

управлений и (к/к), ..., и(к+т-1/к), зависящих от состояния системы в момент времени к, при ограничениях (4), (5). В качестве управления в момент времени к берем и(к)=и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний управляемого и эталонного портфелей, т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента к + 1 и т.д.

Теорема. Пусть динамика ИП описывается уравнением (3) с моделью доходностей (7) и ограничениями (4),(5). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (8) со скользящим горизонтом т определяется уравнением

и( к) =[ 1п 0п ... 0„ ]и (к), (9)

где 1п - единичная матрица размерности п, 0п - квадратная нулевая матрица размерности п, и(к)=[ит(к/к), . ,.,иТ(к+т-1/к)]Т - вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием

У (к + т / к) = 2 хТ (к )0(к )и (к) + ит (к) Н (к )П (к)

при ограничениях

ит1П(к) < 5(к)и(к) < итах(к), где х(к) = [(к) У0(к)]Т ;

итт(к) = [и тт(к),° п+1х1,...,0 п+1х1] , итах (к) = [и тах(к),0 п+1х1 ,—,0 п+1х1] ;

итт(к) =

(10)

(11)

" и1т1П (к) " " и™х(к) "

и2т1П (к) и2тах (к)

, итах(к) =

ипт‘п(к) иптах(к)

«““(к) - V (к)_ и0тах(к) - V (к) _

5(к), Н(к), О(к) - блочные матрицы вида

" Ни(к) Н12(к)

Н (к) =

Н 21 (к) Н21{к)

Ь Нт1(к ) Нт2(к )

О (к) = [О1 (к) 02 (к)

5 (к) = а1ая(5 (к ),0п+1х,

Н\т (к)

Н2т (к)

Нтт (к). От (к)];

(12)

(13)

,0п

Л

блоки которых определяются следующими соотношениями:

Ни (к) = ^(к, г -1) + £ | £ (В,« (к + Г))Т Q(m - Г)Я/^ (к + Г)р« (к +1)

5=0 1«=1 ]

(14)

Н/ (к) = XX (В0(ч) (к + г))Т (А(*-) )т 0(т - /)В0(Г) (к + /)Р«*-)р« (к + /), Г < /; (15)

«=1 Г=1

И# (к) = И/ (к), г > /; О (к) = (А )т 0(т - г)£ 5о(9) (к+г)р (к+г);

2 (г) = А 0(г -1) А + кх(к, т - г), г = 1, т; 0(0) = Л!(к, т),

(16)

(17)

9=1

1 0 • 0

0 1 • 0

0 0 • 1

-1 -1 • • -1

(18)

(19)

где

А = Шая(1 + г,1 + До), Во(ч)(к) =

В,( ч)(к) =

0 (9) о (9) о

01 ] °2] ощ

0 0 0

д/9) - г Д 2 Я) - г Д 9) - г 0 0 0

(9) "

,(і = 1, п),(д = 1, V),

^1(к, г) = р(к, г)

1 -1

-1 1

,я2(к, г) = р(к, г )^(к, г).

РГ«* г - элемент матрицы Р

Доказательство. С учетом (7) представим уравнения динамики реального и эталонного портфелей (3), (6) в матричном виде:

'/-г

х(к +1) = Ах(к) +

В0 [а(к +1), к +1] + £ Б] [а(к +1), к + 1]ю] (к +1)

і=1

и (к), (20)

где

х(к) =

К (к)

т-0 ,

У 0(к) ]

В0 [а(к), к] =

В і [а(к), к ] =

и (к) =

и1 (к)

ип(к)

А = diag(1 + г ,1 + д0),

д1 [а(к), к]- г д2 [а(к), к]- г дп [а(к), к]- г

0 0 0

оіі [а(к), к] о21 [а(к), к] ощ [а(к), к]

0 0 0

І = 1, п.

Критерий (9) перепишем следующим образом:

3(к + т/к) = МХ(к+/)(к,/)х(к+/)+ит (к+/-1/к)Л2(к,/-1)и(к+/-1/к)/х(к)1. (21)

Цепь Маркова с дискретным временем допускает следующее представление в пространстве состояний [10]:

0(к +1) = Р0(к) + и(к +1), (22)

где 0(к)=[5(а(к),1), ...,5(а(к);у)]т, 5(а(кУ) - функция Кронекера,]=\, .V; и - мар-

тингал разность с характеристиками

М {(к +1)} = 0; (23)

С (к +1) = М{ и(к +1) ит (к +1)} = diag( РМ (0(к)}) - Pdiag(M{0(k)}) Рт .

При этом

Ь1 (к) = М{0(к)} = Ркр(0) = р(к); (24)

¿2 (к) = М {0(к )0т (к)} = diag( р(к)), (25)

где р(0)=[рьр2,...,р„]т - начальное распределение состояний цепи Маркова,

р(к) = [р1 (к),р2(к),...,ру(к)]т - распределение состояний цепи в момент времени к.

С учетом (22) систему (20) можно представить в следующем виде:

х(к +1) = Ах(к) +

В0 [0(к +1), к +1] + £ В; [0(к +1), к + 1]ю}. (к +1)

і=і

и (к), (26)

где В} [0(к), к] = £ 0г (к)В}«(к), (і = 0, п). (27)

І=1

Здесь 0,(к), і=1,2,...;у, - компоненты вектора 0(к), Щ-г)},і=0,..,п, і=1,...;у, - множество значений матрицы ВД0(к),к].

Выражая последовательно все х(к+і), і=1,2,...,т, через х(к) с использованием уравнения системы (26) и подставляя результат в критерий (21), получим

/(к + т / к) = хт (к)Ат 0(т -1)Ах(к) + (28)

т

+2хт (к) Ат £ (Аг-1 )т 0(т - І)М {В0 [0(к + і), к + І]} и (к + і -1/ к) +

І =1

т Г1

+£ит (к +І-1/к )<! £м { [0(к +і),к+і]0( т-і) В, [0(к+і),к +і]}+}(к ,і-1)!и(к +І-1/к)+

г=1 Ь=0 ]

т-1 т

+2£ £ ит (к+І-1/кМ{В0т [0(к +і),к+і](Ві-І )т 0(т-і)В0[0(к+і),к+і]]и(к+І-1/к).

і=1 і=і+1

С учетом (23) - (25), (27) определим математические ожидания, входящие в (28):

М {В0[0(к + і), к + і]} = £ [ЕдЬі(к + і)]В0(9) (к + і) = £ В0(9) (к + ір (к + і) ;(29)

9=1 9=1

М { [0(к + і), к + і]0(т - і)В, [0(к + і), к + і]} =

= £ £ (В,(9) (к + і))т [Егь2 (к + і)Ечт ]0(т - і)В/г) (к + і) =

9=1 г=1

= £ (В}9) (к + і))т 0(т - і)В}г) (к + і)рч (к + і); (30)

9=1

М { [0(к + і), к + і](В(і-) )т 0(т - і)В0 [0(к + і), к + і]} =

= £ £ (В0(9) (к + і))т [ЕГМ {0(к + і)0т (к + і)} Ечт ] 0(т - і)В0(г) (к + і), (31)

9=1 г=1

где Еч =[0 ••• 0 1 0 ••• 0], д = 1,V, ] = I +1,ш. Определим М{%(к+])%т(к+1)} для _/=г'+1,...,ш:

М {(к + { )0т (к + г)] = М {(к +1 + (] - г))0т (к + /)} =

= М ЦР]-0(к + у) +^ Р1 и(к + у -1) 0т (к + г)| =

= Р;-гМ {(к + г )0т (к + г)] = }-г^2 (к + г).

Тогда (31) примет вид

М {[0(к + г), к + г](А(у))т д(ш - ])Б0 [0(к + ]), к + ]]} =

= Е Е (В0(Я) (к + г))т [Ер-% (к + г)Е/ ](А-'-г )т 0(ш - у)Б0(г) (к + ]) =

д=1 г=1

= ЕЕ (Во(9)(к + 0)Г (А;- )^(т - ])Б0(г)(к + ;)РЩ1-рч(к + і), (у = і +1,от). (32)

9=1 г=1

С учетом (29), (30), (32) критерий (28) перепишем в виде

3(к + т / к) = хТ (к)АТ Q(m -1)Ах(к) + (33)

т I I

+2хТ (к)АТ Е (Аг-1)Т Q(m - і) <! Е В0(9) (к + і)рч (к + і) > м(к + і -1/ к) +

і=1 [9=1 ]

т

+Еит (к +г-1/к)■■ЕЕ(В^(д) (к+г))т б(ш-г')Б/Г) (к+г)рд (к +О+Я2 (к,г-1) |(к+-1/к)+

г =1 [^=0 д=1 ]

ш-1 ш I I

+2Е Е У (к+г-1/к)]ЕЕ(Б(ч\к+1 ))т (Ан ^(ш-;)^0^;)^-1 рд (к+1)\п(к+]-Ук),

г=1 у=г +1 [д=1 г=1 ]

где рд(к) - д-й элемент вектора р(к), Р^1 - элемент (г,д) матрицы Ру-г.

Выражение (33) можно записать в матричном виде:

3(к + ш /к) = хт (к)АтQ(ш -1)Ах(к) + 2хт (к^(к)и(к) + Пт (к)Н(к)и(к), (34)

где матрицы Н(к),0(к) имеют вид (12) - (19).

Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (34) при ограничениях (4), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (10) при ограничениях (11).

3. Численное моделирование

Определим стратегию управления портфелем ценных бумаг, состоящим из пяти рисковых активов, торгующихся на российском фондовом рынке, а именно: ОАО «Сбербанк России», ОАО «Газпром», ОАО «ГМК “Норильский никель”», ОАО «Банк ВТБ», ОАО «Нефтяная компания “Лукойл”», банковского счета с доходностью г = 0, 00004. Период инвестирования: с 28.10.2007 г. по 15.05.2008 г. продолжительностью т = 200 торговых сессий.

Известно, что финансовый рынок может находиться в состояниях с низкой и высокой волатильностью. Основываясь на анализе доходностей рисковых активов, будем предполагать, что первое состояние характеризуется следующими параметрами активов: сц(1)=0,01; с22(1)=0,02; с33(1)=0,01; с44(1)=0,01; с55(1)=0,02; второе состояние: Сц(2)=0,04; с22(2)=0,03; с33(2)=0,04; с44(2)=0,04; с55(2)=0,03. Предполагается также, что Оу(1)= °і/2)=0 при іф], і,_/=1,...,5. Индикаторами смены режимов рынка могут служить финансовые индексы. Оценка матрицы переходных вероятностей, характеризующей смену режимов финансового рынка, получена методом максимального правдоподобия [11] по выборке объемом N = 100 значений индекса ММВБ за период, предшествующий периоду инвестирования.

Матрица переходных вероятностей имеет вид

р _ Г0,65 0,45"

_ |_0,25 0,75_.

Оценки средней доходности на каждом к-м шаге (к = 1,2,..., Т) производятся методом простой скользящей средней с периодом, равным 13.

Операции «продажи без покрытия» не запрещены, у/ = -0,6, у/'=3, і=1,...,5, у0'=3. Доходность эталонного портфеля ^=0,003. Весовые коэффициенты Л=diag(10-4,...,10-4), р(к,і)=1. В начальный момент времени капитал ИП У(0)=У0(0)=1, горизонт прогноза т = 20.

Рис. 1 иллюстрирует динамику доходностей рисковых финансовых активов (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - величины доходностей).

На рис. 2 показаны: изменение капитала У0(к) эталонного портфеля (линия 1), изменение капитала управляемого портфеля У(к) (линия 2), (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - капиталы портфелей). На рис. 3 показана динамика капитала, вложенного в каждый рисковый финансовый актив: линия 1 - капитал мі(к), вложенный в акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 - капитал м2(к), вложенный в акции ОАО «Газпром» (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - суммы вложений).

Рис. 1. Динамика доходностей рисковых активов (линия 1 - доходность акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 - доходность акции ОАО «Газпром»)

Рис. 2. Динамика портфеля (линия 1 - капитал эталонного портфеля, линия 2 - капитал управляемого портфеля)

Рис. 3. Динамика управляющих воздействий (линия 1 - щ(к), линия 2 - и2(к))

Из рис. 2 видно, что капитал управляемого инвестиционного портфеля достаточно хорошо отслеживает рост капитала эталонного портфеля за счет перераспределения средств между рисковыми и безрисковыми вложениями с привлечением заемных средств.

Заключение

В работе предложен подход к управлению инвестиционным портфелем в дискретном времени на финансовом рынке с переключающимися режимами. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой доходностью. Структура ИП описывается разностным стохастическим уравнением со случайными параметрами, скачкообразно меняющимися в соответствии с эволюцией марковской цепи с конечным фазовым пространством состояний.

Синтезированы стратегии управления с прогнозирующей моделью при условии, что состояние марковской цепи не наблюдается, и с учетом явных ограничений на объемы торговых операций.

Численное моделирование подтверждает работоспособность и эффективность данного подхода к управлению ИП на реальном финансовом рынке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов// АиТ. 2003. № 7. С. 77-86.

2. Гальперин В.А., Домбровский В.В., Федосов Е.Н. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами // АиТ. 2005. № 5. С. 175-189.

3. Yin G., Zhou X.Y. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: from discrete-time models to their continuous-time limits // IEEE Transactions Automat.Control. March 2004. V. 39. No. 3. P. 349-360.

4. Bäuerle N., Rieder U. Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V. 49. No. 3. P. 442-447.

5. Billio M., Pelizzon L. Value-at-Risk:a multivariate switching regime approach // J. Empirical Finance. 2000. No. 7. P. 531-554.

6. Elliott R.J., Van der Hoek J. An Application of Hidden Markov Models to Asset Allocation Problems // Finance and Stochastics. 1997. No. 1. P. 229-238.

7. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2005. № 5. С. 84-97.

8. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2006. № 12. С. 71-85.

9. Rawlings J. Tutorial: Model predictive control technology // Proc. Amer. Control Conf. San Diego. California. June 1999. P. 662-676.

10. Aggoun L, Elliott R.J. Measure Theory and Filtering. N.Y.: Cambridge University Press, 2004.

11. Ли Ц., Джадж Д., Зельнер А. Оценивание параметров марковских моделей по агрегированным временным рядам. М.: Статистика, 1997.

Домбровский Владимир Валентинович Объедко Татьяна Юрьевна Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 4 мая 2010 г.