Научная статья на тему 'Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций'

Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
313
67
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ИНВЕСТИЦИОННЫЙ ПОРТФЕЛЬ / УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮ / ОГРАНИЧЕНИЯ / МАРКОВСКИЕ СКАЧКИ / МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ШУМЫ / INVESTMENT PORTFOLIO / MARKOVIAN JUMP / CONSTRAINS / MODEL PREDICTIVE CONTROL

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Домбровский Владимир Валентинович, Объедко Татьяна Юрьевна

Рассматривается модель управления инвестиционным портфелем в дискретном времени при скачкообразном изменении параметров рисковых финансовых активов с учетом явных ограничений на объемы торговых операций. Параметры изменяются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Домбровский Владимир Валентинович, Объедко Татьяна Юрьевна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In the paper the problem of control of the invesrment portfolio consisting of risky and riskless assets under constraints on trading volume is considered. It is assumed that the dynamics of prices of risky financial assets is described by stochastic equations with a stepwise (jump-like) change of parameters that corresponds to the switching of the operating regimes of financial market. The random regime switching is defined by a finite state Markov chain with known transition probability matrix. The problem of portfolio optimization is formulated as a dynamic problem of tracking of the standard (hypothetical) portfolio having the prescribed effectiveness. We propose to use the model predictive control (MPC) methodology in order to solve the problem. The MPC proved to be an appropriate and effective technique to solve the dynamic control tasks under constraints. We obtain feed-back strategies of investment portfolio optimization with trading volume constraints. Optimal trading strategies computation include the solving of the sequence of quadratic programming tasks. We also present the numerical modeling results that give evidence of capacity and effectiveness of proposed approach.

Текст научной работы на тему «Динамическая модель управления инвестиционным портфелем на финансовом рынке с переключающимися режимами при ограничениях на объемы торговых операций»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 4(13)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.865.5

В.В. Домбровский, Т.Ю. Объедко

ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ НА ФИНАНСОВОМ РЫНКЕ С ПЕРЕКЛЮЧАЮЩИМИСЯ РЕЖИМАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ОБЪЕМЫ ТОРГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

Рассматривается модель управления инвестиционным портфелем в дискретном времени при скачкообразном изменении параметров рисковых финансовых активов с учетом явных ограничений на объемы торговых операций. Параметры изменяются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.

Ключевые слова: инвестиционный портфель, управление с прогнозирующей моделью, ограничения, марковские скачки, мультипликативные шумы.

Проблема оптимального управления инвестиционным портфелем (ИП) является одной из наиболее актуальных в финансовой инженерии. Особый интерес представляет задача управления ИП на финансовом рынке с переключающимися режимами [1 - 6]. При этом предполагается, что параметры уравнений, описывающих доходности рисковых активов, меняются скачкообразно в соответствии со случайной сменой режимов функционирования, характерных для реальных финансовых рынков.

В [1, 2] рассматривается задача управления ИП на скачкообразном финансовом рынке без учета явных ограничений на объемы торговых операций. На реальных рынках существуют жесткие ограничения на объемы вложений (купли-продажи) и займов финансовых инструментов.

Задача динамического управления ИП с учетом явных ограничений рассматривалась в работах [7, 8]. В [7] эволюция цен рисковых активов описывается дискретизованной версией модели типа геометрического броуновского движения со случайными независимыми параметрами, в [8] доходности описываются моделью авторегрессии. В этих работах предлагается использовать стратегии управления с прогнозирующей моделью (со скользящим горизонтом инвестирования) [9]. Такой подход позволяет достаточно просто учитывать явные ограничения на управляющие переменные - объемы вложений и займов. Синтез стратегий управления с прогнозированием сводится к последовательности задач квадратичного программирования.

В настоящей работе рассматривается задача управления ИП при ограничениях на финансовом рынке с переключающимися режимами. Параметры рисковых активов меняются в соответствии с эволюцией однородной марковской цепи с конечным пространством ненаблюдаемых состояний и известной матрицей пере-

ходных вероятностей. Получены уравнения синтеза стратегий управления ИП с прогнозирующей моделью с учетом явных ограничений на объемы вложений и займов. Приведены результаты численного моделирования с использованием реальных данных.

1. Постановка задачи и описание модели ИП

Рассмотрим ИП, состоящий из п видов рисковых финансовых активов (обыкновенных акций) и одного безрискового финансового актива (банковский счет или надежные облигации). Капитал, помещенный в г-й рисковый актив в момент времени к, равен и(к) (г = 1, 2,..., п); в безрисковый и0(к). Тогда общий объем вложений (капитал портфеля) в момент времени к будет

V (к) = £щ (к) + щ(к). (1)

г =1

Отметим, что если иг(к) < 0 (г = 1, 2, ..., п), то это означает участие в операции

«продажа без покрытия» на сумму | иг(к)|; если и0(к)<0, то это означает заем капи-

тала в размере | и0(к)| по безрисковой ставке г. В момент времени к + 1 капитал портфеля

V(к +1) = £ [1 + Пг (к +1)]и, (к) + [1 + г]«0(к), (2)

г =1

где пг(к+1) - ставка доходности рисковых вложений на интервале [к, к + 1] (случайная величина), г - неслучайная доходность безрисковых вложений.

Используя (1), уравнение (2) преобразуем к виду

V(к +1) = [1 + г] V(к) + £[п (к +1) - г]щ (к), (3)

г =1

п

при этом и0 (к) = V (к) - X иг (к).

г =1

При управлении портфелем учитываются следующие ограничения:

итт(к) < иг (к) < игтах(к), г = \п; (4)

и0тт(к) < V(к) - £иг (к) < и0тах(к). (5)

г=1

Если нижняя граница игт1П(к)<0, г'=1,2,...,п, то для рискового актива г-го вида допустимо участие в операции «продажа без покрытия» на сумму не более |игт1П(к)|; если игт1П(к)>0, г'=1,2,...,п, то операции «продажа без покрытия» для рискового актива г-го вида запрещены; и0тах(к)>0 определяет максимальный размер

капитала, который можно вкладывать в безрисковый актив, игшвх(к), г'=1,2,...,.п, оп-

ределяют максимальный объем капитала, который можно вкладывать в рисковый актив г-го вида; и0т1П(к)<0, величина |и0т1П(к)| определяет максимальный размер

займа безрискового актива. Отметим, что величины игтш(к), игтях(к), г=0,1, ,п,

на практике часто зависят от общего капитала ИП, что можно учесть, положив игт1П(к) = у^(к), игтах(к) = у/У(к), где у/, уг" - постоянные коэффициенты.

Необходимо определить стратегию управления портфелем путем перераспределения капитала между различными видами инвестиций так, чтобы капитал реального портфеля с минимально возможными отклонениями (с минимально воз-

можным риском) следовал капиталу некоторого определяемого инвестором эталонного портфеля с доходностью Цо, эволюция которого описывается уравнением

У0(к +1) = [1 + ^(к), (6)

в начальный момент времени К0(0)=К(0).

Для описания эволюции доходностей рисковых активов используем разностную аппроксимацию уравнений геометрического (экономического) броуновского движения со скачкообразно меняющимися параметрами [2,3]:

П [а(к),к] = цг [а(к), к] + ]Г су. [а(к), к] со; (к), (7)

1 =1

где а(к) (к = 0,1,2...) - однородная дискретная марковская цепь с конечным множеством состояний {1,2,.. ,;у}, известной матрицей переходных вероятностей

Р = [Ру ] , I,1 £{1,2,...,V},

р]г = Р {а(к+1) = а 1 |а(к) = аг}, £ р]г =1,

1=1

и известным начальным распределением:

Рг = Р{а(0) = г}, г = 1,2,...,V; ^р, = 1.

г =1

ю/к) - независимые между собой дискретные белые шумы с нулевым средним и единичной дисперсией; последовательности ю/к) и а(к) независимы; цг[а(к),к] -ожидаемая доходность г-го рискового вложения; Су[а(к),к] - элементы матрицы волатильности о[а(к),к], с[а(к),к]ст[а(к),к]>0.

Причем

дг- [а(к),к] £ {дг®,Дг^,...,Дг-^|,о[а(к),к] £ {о(1),о(2),...,а(^} ,

где а®=[ау-®], г, 1=1,2,.,п, 1=1,.,V. Предполагается также, что состояние марковской цепи в момент времени к не доступно наблюдению.

2. Определение оптимальной стратегии управления

Для управления портфелем используем стратегии с прогнозирующей моделью. Критерий качества управления (функция риска) имеет вид

{Ш 2

(к + г)-V0(к + г)) р(к,г) +

г=1

+ит (к + г -1/к)К(к + г - 1)и(к + г -1/к)р(к,г -1)/ V(к), V0 (к)}, (8)

где ш - горизонт прогноза, и(к+г/к)=[щ(к+г/к), ...,ип(к+г'/к)]т, Л(к)>0, р(к,г)>0 - весовые коэффициенты. Весовые коэффициенты р(к,г) можно выбирать различными способами. Если р(к,г)=1, то минимизируется сумма квадратов абсолютных отклонений от намеченной траектории; если р(к,1)=[У°(к+1)У2, то минимизируется сумма квадратов относительных отклонений от намеченной траектории; можно также использовать дисконтирующие множители: р(к,г)=[1+в]-2г, где в - ставка дисконтирования.

Таким образом, на каждом шаге к имеем задачу минимизации критерия (8) со скользящим горизонтом управления по последовательности прогнозирующих

управлений и (к/к), ..., и(к+т-1/к), зависящих от состояния системы в момент времени к, при ограничениях (4), (5). В качестве управления в момент времени к берем и(к)=и(к/к). Тем самым получаем управление и(к) как функцию состояний управляемого и эталонного портфелей, т.е. управление с обратной связью. Чтобы получить управление и(к+1) на следующем шаге, процедура повторяется для следующего момента к + 1 и т.д.

Теорема. Пусть динамика ИП описывается уравнением (3) с моделью доходностей (7) и ограничениями (4),(5). Тогда оптимальная стратегия прогнозирующего управления, минимизирующая критерий (8) со скользящим горизонтом т определяется уравнением

и( к) =[ 1п 0п ... 0„ ]и (к), (9)

где 1п - единичная матрица размерности п, 0п - квадратная нулевая матрица размерности п, и(к)=[ит(к/к), . ,.,иТ(к+т-1/к)]Т - вектор прогнозирующих управлений, который определяется из решения задачи квадратичного программирования с критерием

У (к + т / к) = 2 хТ (к )0(к )и (к) + ит (к) Н (к )П (к)

при ограничениях

ит1П(к) < 5(к)и(к) < итах(к), где х(к) = [(к) У0(к)]Т ;

итт(к) = [и тт(к),° п+1х1,...,0 п+1х1] , итах (к) = [и тах(к),0 п+1х1 ,—,0 п+1х1] ;

итт(к) =

(10)

(11)

" и1т1П (к) " " и™х(к) "

и2т1П (к) и2тах (к)

, итах(к) =

ипт‘п(к) иптах(к)

«““(к) - V (к)_ и0тах(к) - V (к) _

5(к), Н(к), О(к) - блочные матрицы вида

" Ни(к) Н12(к)

Н (к) =

Н 21 (к) Н21{к)

Ь Нт1(к ) Нт2(к )

О (к) = [О1 (к) 02 (к)

5 (к) = а1ая(5 (к ),0п+1х,

Н\т (к)

Н2т (к)

Нтт (к). От (к)];

(12)

(13)

,0п

Л

блоки которых определяются следующими соотношениями:

Ни (к) = ^(к, г -1) + £ | £ (В,« (к + Г))Т Q(m - Г)Я/^ (к + Г)р« (к +1)

5=0 1«=1 ]

(14)

Н/ (к) = XX (В0(ч) (к + г))Т (А(*-) )т 0(т - /)В0(Г) (к + /)Р«*-)р« (к + /), Г < /; (15)

«=1 Г=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

И# (к) = И/ (к), г > /; О (к) = (А )т 0(т - г)£ 5о(9) (к+г)р (к+г);

2 (г) = А 0(г -1) А + кх(к, т - г), г = 1, т; 0(0) = Л!(к, т),

(16)

(17)

9=1

1 0 • 0

0 1 • 0

0 0 • 1

-1 -1 • • -1

(18)

(19)

где

А = Шая(1 + г,1 + До), Во(ч)(к) =

В,( ч)(к) =

0 (9) о (9) о

01 ] °2] ощ

0 0 0

д/9) - г Д 2 Я) - г Д 9) - г 0 0 0

(9) "

,(і = 1, п),(д = 1, V),

^1(к, г) = р(к, г)

1 -1

-1 1

,я2(к, г) = р(к, г )^(к, г).

РГ«* г - элемент матрицы Р

Доказательство. С учетом (7) представим уравнения динамики реального и эталонного портфелей (3), (6) в матричном виде:

'/-г

х(к +1) = Ах(к) +

В0 [а(к +1), к +1] + £ Б] [а(к +1), к + 1]ю] (к +1)

і=1

и (к), (20)

где

х(к) =

К (к)

т-0 ,

У 0(к) ]

В0 [а(к), к] =

В і [а(к), к ] =

и (к) =

и1 (к)

ип(к)

А = diag(1 + г ,1 + д0),

д1 [а(к), к]- г д2 [а(к), к]- г дп [а(к), к]- г

0 0 0

оіі [а(к), к] о21 [а(к), к] ощ [а(к), к]

0 0 0

І = 1, п.

Критерий (9) перепишем следующим образом:

3(к + т/к) = МХ(к+/)(к,/)х(к+/)+ит (к+/-1/к)Л2(к,/-1)и(к+/-1/к)/х(к)1. (21)

Цепь Маркова с дискретным временем допускает следующее представление в пространстве состояний [10]:

0(к +1) = Р0(к) + и(к +1), (22)

где 0(к)=[5(а(к),1), ...,5(а(к);у)]т, 5(а(кУ) - функция Кронекера,]=\, .V; и - мар-

тингал разность с характеристиками

М {(к +1)} = 0; (23)

С (к +1) = М{ и(к +1) ит (к +1)} = diag( РМ (0(к)}) - Pdiag(M{0(k)}) Рт .

При этом

Ь1 (к) = М{0(к)} = Ркр(0) = р(к); (24)

¿2 (к) = М {0(к )0т (к)} = diag( р(к)), (25)

где р(0)=[рьр2,...,р„]т - начальное распределение состояний цепи Маркова,

р(к) = [р1 (к),р2(к),...,ру(к)]т - распределение состояний цепи в момент времени к.

С учетом (22) систему (20) можно представить в следующем виде:

х(к +1) = Ах(к) +

В0 [0(к +1), к +1] + £ В; [0(к +1), к + 1]ю}. (к +1)

і=і

и (к), (26)

где В} [0(к), к] = £ 0г (к)В}«(к), (і = 0, п). (27)

І=1

Здесь 0,(к), і=1,2,...;у, - компоненты вектора 0(к), Щ-г)},і=0,..,п, і=1,...;у, - множество значений матрицы ВД0(к),к].

Выражая последовательно все х(к+і), і=1,2,...,т, через х(к) с использованием уравнения системы (26) и подставляя результат в критерий (21), получим

/(к + т / к) = хт (к)Ат 0(т -1)Ах(к) + (28)

т

+2хт (к) Ат £ (Аг-1 )т 0(т - І)М {В0 [0(к + і), к + І]} и (к + і -1/ к) +

І =1

т Г1

+£ит (к +І-1/к )<! £м { [0(к +і),к+і]0( т-і) В, [0(к+і),к +і]}+}(к ,і-1)!и(к +І-1/к)+

г=1 Ь=0 ]

т-1 т

+2£ £ ит (к+І-1/кМ{В0т [0(к +і),к+і](Ві-І )т 0(т-і)В0[0(к+і),к+і]]и(к+І-1/к).

і=1 і=і+1

С учетом (23) - (25), (27) определим математические ожидания, входящие в (28):

М {В0[0(к + і), к + і]} = £ [ЕдЬі(к + і)]В0(9) (к + і) = £ В0(9) (к + ір (к + і) ;(29)

9=1 9=1

М { [0(к + і), к + і]0(т - і)В, [0(к + і), к + і]} =

= £ £ (В,(9) (к + і))т [Егь2 (к + і)Ечт ]0(т - і)В/г) (к + і) =

9=1 г=1

= £ (В}9) (к + і))т 0(т - і)В}г) (к + і)рч (к + і); (30)

9=1

М { [0(к + і), к + і](В(і-) )т 0(т - і)В0 [0(к + і), к + і]} =

= £ £ (В0(9) (к + і))т [ЕГМ {0(к + і)0т (к + і)} Ечт ] 0(т - і)В0(г) (к + і), (31)

9=1 г=1

где Еч =[0 ••• 0 1 0 ••• 0], д = 1,V, ] = I +1,ш. Определим М{%(к+])%т(к+1)} для _/=г'+1,...,ш:

М {(к + { )0т (к + г)] = М {(к +1 + (] - г))0т (к + /)} =

= М ЦР]-0(к + у) +^ Р1 и(к + у -1) 0т (к + г)| =

= Р;-гМ {(к + г )0т (к + г)] = }-г^2 (к + г).

Тогда (31) примет вид

М {[0(к + г), к + г](А(у))т д(ш - ])Б0 [0(к + ]), к + ]]} =

= Е Е (В0(Я) (к + г))т [Ер-% (к + г)Е/ ](А-'-г )т 0(ш - у)Б0(г) (к + ]) =

д=1 г=1

= ЕЕ (Во(9)(к + 0)Г (А;- )^(т - ])Б0(г)(к + ;)РЩ1-рч(к + і), (у = і +1,от). (32)

9=1 г=1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С учетом (29), (30), (32) критерий (28) перепишем в виде

3(к + т / к) = хТ (к)АТ Q(m -1)Ах(к) + (33)

т I I

+2хТ (к)АТ Е (Аг-1)Т Q(m - і) <! Е В0(9) (к + і)рч (к + і) > м(к + і -1/ к) +

і=1 [9=1 ]

т

+Еит (к +г-1/к)■■ЕЕ(В^(д) (к+г))т б(ш-г')Б/Г) (к+г)рд (к +О+Я2 (к,г-1) |(к+-1/к)+

г =1 [^=0 д=1 ]

ш-1 ш I I

+2Е Е У (к+г-1/к)]ЕЕ(Б(ч\к+1 ))т (Ан ^(ш-;)^0^;)^-1 рд (к+1)\п(к+]-Ук),

г=1 у=г +1 [д=1 г=1 ]

где рд(к) - д-й элемент вектора р(к), Р^1 - элемент (г,д) матрицы Ру-г.

Выражение (33) можно записать в матричном виде:

3(к + ш /к) = хт (к)АтQ(ш -1)Ах(к) + 2хт (к^(к)и(к) + Пт (к)Н(к)и(к), (34)

где матрицы Н(к),0(к) имеют вид (12) - (19).

Таким образом, имеем задачу минимизации критерия (34) при ограничениях (4), которая эквивалентна задаче квадратичного программирования с критерием (10) при ограничениях (11).

3. Численное моделирование

Определим стратегию управления портфелем ценных бумаг, состоящим из пяти рисковых активов, торгующихся на российском фондовом рынке, а именно: ОАО «Сбербанк России», ОАО «Газпром», ОАО «ГМК “Норильский никель”», ОАО «Банк ВТБ», ОАО «Нефтяная компания “Лукойл”», банковского счета с доходностью г = 0, 00004. Период инвестирования: с 28.10.2007 г. по 15.05.2008 г. продолжительностью т = 200 торговых сессий.

Известно, что финансовый рынок может находиться в состояниях с низкой и высокой волатильностью. Основываясь на анализе доходностей рисковых активов, будем предполагать, что первое состояние характеризуется следующими параметрами активов: сц(1)=0,01; с22(1)=0,02; с33(1)=0,01; с44(1)=0,01; с55(1)=0,02; второе состояние: Сц(2)=0,04; с22(2)=0,03; с33(2)=0,04; с44(2)=0,04; с55(2)=0,03. Предполагается также, что Оу(1)= °і/2)=0 при іф], і,_/=1,...,5. Индикаторами смены режимов рынка могут служить финансовые индексы. Оценка матрицы переходных вероятностей, характеризующей смену режимов финансового рынка, получена методом максимального правдоподобия [11] по выборке объемом N = 100 значений индекса ММВБ за период, предшествующий периоду инвестирования.

Матрица переходных вероятностей имеет вид

р _ Г0,65 0,45"

_ |_0,25 0,75_.

Оценки средней доходности на каждом к-м шаге (к = 1,2,..., Т) производятся методом простой скользящей средней с периодом, равным 13.

Операции «продажи без покрытия» не запрещены, у/ = -0,6, у/'=3, і=1,...,5, у0'=3. Доходность эталонного портфеля ^=0,003. Весовые коэффициенты Л=diag(10-4,...,10-4), р(к,і)=1. В начальный момент времени капитал ИП У(0)=У0(0)=1, горизонт прогноза т = 20.

Рис. 1 иллюстрирует динамику доходностей рисковых финансовых активов (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - величины доходностей).

На рис. 2 показаны: изменение капитала У0(к) эталонного портфеля (линия 1), изменение капитала управляемого портфеля У(к) (линия 2), (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - капиталы портфелей). На рис. 3 показана динамика капитала, вложенного в каждый рисковый финансовый актив: линия 1 - капитал мі(к), вложенный в акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 - капитал м2(к), вложенный в акции ОАО «Газпром» (по оси абсцисс указаны номера временных интервалов, а по оси ординат - суммы вложений).

Рис. 1. Динамика доходностей рисковых активов (линия 1 - доходность акции ОАО «Сбербанк России», линия 2 - доходность акции ОАО «Газпром»)

Рис. 2. Динамика портфеля (линия 1 - капитал эталонного портфеля, линия 2 - капитал управляемого портфеля)

Рис. 3. Динамика управляющих воздействий (линия 1 - щ(к), линия 2 - и2(к))

Из рис. 2 видно, что капитал управляемого инвестиционного портфеля достаточно хорошо отслеживает рост капитала эталонного портфеля за счет перераспределения средств между рисковыми и безрисковыми вложениями с привлечением заемных средств.

Заключение

В работе предложен подход к управлению инвестиционным портфелем в дискретном времени на финансовом рынке с переключающимися режимами. Задача управления ИП формулируется как динамическая задача слежения за эталонным портфелем с заданной желаемой доходностью. Структура ИП описывается разностным стохастическим уравнением со случайными параметрами, скачкообразно меняющимися в соответствии с эволюцией марковской цепи с конечным фазовым пространством состояний.

Синтезированы стратегии управления с прогнозирующей моделью при условии, что состояние марковской цепи не наблюдается, и с учетом явных ограничений на объемы торговых операций.

Численное моделирование подтверждает работоспособность и эффективность данного подхода к управлению ИП на реальном финансовом рынке.

ЛИТЕРАТУРА

1. Герасимов Е.С., Домбровский В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестиционным портфелем при случайном скачкообразном изменении волатильностей финансовых активов// АиТ. 2003. № 7. С. 77-86.

2. Гальперин В.А., Домбровский В.В., Федосов Е.Н. Динамическое управление инвестиционным портфелем на диффузионно-скачкообразном финансовом рынке с переключающимися режимами // АиТ. 2005. № 5. С. 175-189.

3. Yin G., Zhou X.Y. Markowitz mean-variance portfolio selection with regime switching: from discrete-time models to their continuous-time limits // IEEE Transactions Automat.Control. March 2004. V. 39. No. 3. P. 349-360.

4. Bäuerle N., Rieder U. Portfolio optimization with Markov-modulated stock prices and interest rates // IEEE Transactions on Automatic Control. 2004. V. 49. No. 3. P. 442-447.

5. Billio M., Pelizzon L. Value-at-Risk:a multivariate switching regime approach // J. Empirical Finance. 2000. No. 7. P. 531-554.

6. Elliott R.J., Van der Hoek J. An Application of Hidden Markov Models to Asset Allocation Problems // Finance and Stochastics. 1997. No. 1. P. 229-238.

7. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозированием системами со случайными параметрами и мультипликативными шумами и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2005. № 5. С. 84-97.

8. Домбровский В.В., Домбровский Д.В., Ляшенко Е.А. Управление с прогнозирующей моделью системами со случайными зависимыми параметрами при ограничениях и применение к оптимизации инвестиционного портфеля // АиТ. 2006. № 12. С. 71-85.

9. Rawlings J. Tutorial: Model predictive control technology // Proc. Amer. Control Conf. San Diego. California. June 1999. P. 662-676.

10. Aggoun L, Elliott R.J. Measure Theory and Filtering. N.Y.: Cambridge University Press, 2004.

11. Ли Ц., Джадж Д., Зельнер А. Оценивание параметров марковских моделей по агрегированным временным рядам. М.: Статистика, 1997.

Домбровский Владимир Валентинович Объедко Татьяна Юрьевна Томский государственный университет

E-mail: dombrovs@ef.tsu.ru; tani4kin@mail.ru Поступила в редакцию 4 мая 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.