Управление инвестиционным портфелем в задаче слежения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю.И. Параев, С.А. Цветницкая УПРАВЛЕНИЕ ИНВЕСТИЦИОННЫМ ПОРТФЕЛЕМ В ЗАДАЧЕ СЛЕЖЕНИЯ

Рассматривается задача управления инвестиционным портфелем, состоящим из рискового и безрискового активов. Управление портфелем формулируется как задача слежения.

МОДЕЛЬ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ

Обозначим через W(t) количество капитала. В каждый момент времени t капитал может быть распределен следующим образом: доля капитала Ui вкладывается в рисковый і-й актив, і=1,п. Доля капитала и0 вкладывается в безрисковый актив. Всегда

2 щ = 1. (1)

Цена і-го рискового актива является случайной величиной и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению [1]

й$г (1) = |аД. (ОЛ + 2 (1 )сту^ ю; (1),

где ц - среднее значение доходности і-го рискового актива; сті = [стя,сті2,...,стіп] - коэффициенты

волатильности і-го рискового актива;

ю(1) = [ю1(1),ю21),...,юп(1)] - п-мерный стандартный

винеровский процесс. Пусть ц0 - доходность безрискового актива. Капитал портфеля W(t) удовлетворяет уравнению [1]

п п п

dw (1) = w (1)(2 +22 щ сту^ю ]),

і=0 і=1 і=1

W (0) = Wo . (2)

Обозначеним через щ п-мерный вектор с элементами щ,...,ип; через 5ц - п-мерный вектор с элементами ц - ц0,..., цп - ц0, через ст - матрицу размерности п х п. Будем считать , что все ц - ц0 > 0, т.е. рисковые активы имеют большую доходность. С учетом (1) управление щ0 можно исключить. Если обозначить

а(и) = ц0 +Щ 5ц, d(и) = 12 (2 Щстіі )2 = ^и1 стст‘и ,

(3)

M = (2a(u) + d (u))M, M(0) = W0 .

(4)

m(t) = W0 exp J a(u)dt,

M(t) = W02 exp J (2a(u) + d2(u))dt =m2(t)exp(J d2(u)dt). 0 0 Рассмотрим задачу слежения.

ЗАДАЧА СЛЕЖЕНИЯ

Задача 1. На интервале времени [0,7] найти такую функцию u(t), при которой минимально значение функционала

Т

J = E{J (W(t) - f(t))2 dt} =

0

Т

= J (M(t) - 2m(t)f(t) + f2 (t))dt, (6)

0

где E{ } означает математическое ожидание, f (t) -желаемый рост капитала. Решение выполним с помощью принципа максимума Понтрягина. Для этого введем вспомогательные переменные pj (t), p2 (t) и на основании уравнений (4) составим функцию Гамильтона

H (m, M, pj, p2, u) =

= pja(u)m + p2g(u)M - M + 2mf - f2, (7)

где g (u) = 2a(u) + d 2(u).

Переменная pj(t) должна удовлетворять уравнению

dpj

dt

= -dH/dm = -a(u)p1 -2f p1(T) = 0, (9)

а переменная р2(0 - уравнению

^ = -д Н/ дМ = -g (и) р2 +1, р2 (Т) = 0. (10)

dt

Решение этих уравнений имеет вид

то уравнение (2) можно записать в виде

dW (^ = а(и )№ (t)dt + d (и)^ (^ та(t),

Г (0) = Wo,

где та(t) - стандартный скалярный винеровский процесс.

Уравнение (2) относится к уравнениям квазилинейного типа, для которых характерно то, что уравнения для первых двух моментов образуют замкнутую систему [2]. Если обозначить через ш(() и М(^ первые два начальных момента процесса W(t), то они удовлетворяют уравнениям

т = а(и)т, т(0) = W0,

Pi (t) = 2J f (T)[exp J a(u)dÇ]dt.

t t T T

(11)

P2 (t) = - j [exp J g (u)d |]d т.

t t

Известно, что в стационарном случае (ц = const, CTCTt = const) существует единственная оптимальная структура портфеля [3]. Оптимальное управление должно доставлять максимальное значение функции Гамильтона. Необходимые условия максимума имеют вид

Если управление и(^ задано, то решение уравнений (4) имеет вид

— = о,

du

dH T

— = ( p1m + 2 p2 M )8ц + 2 p2 M стст u = 0.

du

(12)

Система уравнений (12) может быть записана в матричной форме

стстТи = Г, Г = с^)5ц,

1 Т т

с^) = ^ | / (т)ехР(-| а(и) + d 2 (и )d т-1,

= [стстГ ]- F.

(13)

Для нахождения оптимальной структуры портфеля вектор и должен быть пронормирован

* и и =

(18)

(19)

Pi (t) = 2 j f (т)[ехр j h(Y)d §] d t,

t t Г t

P2 (t) = - j [exp j g (Y)d §] d t.

Если не учитывать ограничение (0 < у < 1), то максимум функции Н по у достигается при

Y (t) = -

-Ц0

F

Pi (t )m(t)

2 P2 (t )M (t)

+1

(21)

X u

i

Оптимальный портфель и эквивалентен рисковому активу со средней доходностью

n

* * ц = хни

i=1

* * t t * и риском F = (u ) стст и .

Теперь в каждый момент времени t капитал может быть распределен следующим образом: доля капитала y(t) вкладывается в рисковый актив с характеристиками ц , F, а доля (1 - y(t)) - в безрисковый актив с доходностью ц0. В этом случае уравнение (3) примет вид

dW (t) = H(y')W (t)dt + yct*W (t)d та, (14)

где h(Y) = (ц* - Н-о )Y + Н-о, ст* =4F* .

Уравнения для первого и второго моментов имеют вид

™ = h(Y)m, m(0) = W0,

M = g (y)M, M(0) = w02, (15)

где g (y) = 2h(Y) + F *y 2.

Если управление y(t) задано, то решение уравнений (15) можно записать в виде

t

m(t) = W0 exp j h(Y)dt,

0

t t

M (t) = W02 exp j g (y )dt = m2(t)exp(F *)jY 2 dt). (16) 0 0

Решение находим аналогично задаче 1. Функция Гамильтона имеет вид

H (m, M, p1, p2, y) =

= p1h(Y)m + P2g (y)M - M + 2mf - f2. (17)

Переменная p1(t) должна удовлетворять уравнению

= -d H/ dm = -h(Y) P1 - 2 f,

dt

P1(r) = 0,

а переменная p2(t) - уравнению

dP2 = -d H / dM = -g (y) P2 +1, dt

P2 (Г) = 0.

Решение этих уравнений имеет вид

С учетом ограничения на у оптимальное управление равно

Г 0 при у *() < 0,

Г У ) при 0 < у ) < 1, (22)

[ 1 при 1 < у*^).

Управление в форме обратной связи можно построить следующим образом. В выражение (21) входят значения переменных т(() и М((), которые не измеряются и неизвестны. Поэтому их можно заменить на текущие значения W(t) и W2(t), которые измеряются в каждый момент времени. В результате получается

Y**(t) = H^(qt) -1),

где

q(t) = -

F * W(t)

P1(t)

2 P2(t)

(23)

(24)

Подставляя сюда (20), получим

Тт

4^) = | / (т) ехр(-| И( у) + V *у 2 ^ q)d т. (25)

Выражение (23) с учетом (25) и определяет закон управления в форме обратной связи.

МОДЕЛИРОВАНИЕ

На рис. 1 - 4 представлены результаты моделирования задачи слежения. Портфель состоит из двух рисковых активов с параметрами ц = [0,5 0,65],

ст =

0,064 -0,16 0,032 0,128

и безрискового актива с доходностью г = 0,04. Доходность эталонного портфеля т = 0,45. Желаемый рост капитала / (1) = ехр(т1). Оптимальная структура рискового портфеля

/0,42\

*

и=

0,58

цТи = 0,587, d (и*) = 0,046.

На рис. 1 и 2 приведена динамика эталонного портфеля (кривая 1) и управляемого портфеля (кривая 2). Рис. 1 соответствует управлению в программной форме, рис. 2 - управлению в форме обратной связи. На рис. 3 и 4 приведены управляющие воздействия, кривые 1 - доли вложения в безрисковый актив, кривые 2, 3 - доли вложений соответственно в первую и вторую рисковые ценные бумаги.

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Andrew E.B. Lim, Xun Yu Zhou. Mean-varience portfolio selection via LQ optimal control // Proceedings of the 40th IEEE Conference on Decision and Control, Orlando, Florida USA, December 2001. P. 4553 - 4558.

2. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов.радио, 1976. 178 с.

3. MertonR.C. Continuous-time finance. Cambr. MA. Blackwell, 1990.

Статья представлена кафедрой прикладной математики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию «Кибернетика» 20 мая 2005 г.