Исследование среднего значения и дисперсии капитала в одной задаче управления портфелем ценных бумаг Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Калашникова ТВ., Извеков Н.Ю. Интеграция метода ориентации на спрос в систему ценообразования сети розничной торговли // Известия Томского политехнического университета. -2012. - Т 320. - №6. - С. 9-13.

2. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 616 с.

3. Натан А.А. Стохастический модельный анализ простых коммерческих операций. - М.: МЗ Пресс, 2005. - 120 с.

4. Натан А.А. Стохастические модели в микроэкономике. - М.: МФТИ, 2001. - 172 с.

5. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2005. - 228 с.

6. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НШ, 2006. - 204 с.

7. Морозова А.С., Моисеева С.П., Одинцов К.М. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов // Научное творчество молодежи: Матер. XI Всеросс. научно-практ. конф. Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - С. 37-39.

8. Морозова А.С., Моисеева С.П., Назаров А.А. Исследование экономико-математической модели влияния ценовой скидки для постоянных клиентов на прибыль коммерческой организации // Вестник Томского государственного университета. -2006. - № 293. - С. 49-52.

9. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд., испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 408 с.

10. Моисеева С.П., Морозова А.С. Исследование потока повторных обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. - 2005. - № 287. - С. 46-51.

11. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Исследование суммарного потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 290. - С. 173-175.

12. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2006. - № 16. - С. 125-128.

13. Жидкова Л.А., Моисеева С.П. Исследование систем параллельного обслуживания кратных заявок простейшего потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 4 (17). - С. 49-55.

14. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории Марковских процессов и их приложения. - М.: Изд-во «Наука», 1969. - 512 с.

15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. - М.: Наука, 1966. - 662 с.

16. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. - М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.

Поступила 23.04.2013 г.

УДК 519.865

ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ КАПИТАЛА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ

Н.С. Демин , С.В. Рожкова*, А.В. Цитко

Томский государственный университет *Томский политехнический университет E-mail: rozhkova@tpu.ru

Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменение во времени среднего значения и дисперсии капитала, а также точные формулы для среднего значения и дисперсии капитала.

Ключевые слова:

Финансовый рынок, капитал, портфель, ценные бумаги.

Key words:

Financial market, capital, portfolio, securities.

1. Постановка задачи

В [1] решена задача формирования портфеля ценных бумаг на основе динамического программирования, допускающая точное решение. Данная работа посвящена теоретическому исследованию свойств капитала портфеля при использовании оптимального управления, полученного в [1]. Система обозначений та же, что и в [1].

2. Основные результаты

Утверждение.

При оптимальном управлении капитал Х(/) определяется уравнением

dX (t) = -

где

а

2 (t) (а-г) ab 2(t)

-(а - r )2 b1(t) +

_+(ra2 - (а - r)2)b2(t)X(t)

[b,(t) + b2(t) X (t )]dW (t),

dt -

b1(t) = [b11e(M-P)t - b2]ep

b2(t) = b2e-(r-ß)t-

ß= ^ - Г,

a

b2,

(1)

(2)

(3)

М-в

, Ь2 = 2 Xо I 1 +

М-в

,о-в) <1

1

,( r-в)<1

r-в

(4)

(5)

г-в Доказательство:

Уравнение (1) получается в результате подста новки уравнения (7) из [1] в (54) из [1].

Теорема 1. _

Среднее значение капитала Д/)=М{Д/)} опре деляется уравнением

dX (t) dt

(a - r )2

a

X(<)- <о-Ш, (6)

a

2(< )

где Ь() и Ь2(^) определены в (2), (3), решение, которого имеет вид

Гл/А + е 2

X (t) = m(t )ln

(re t

2

_ ( r-в),

X0 - m(t)e 2 1 ln

•s/a - e л/а +1

л/А- 1

(7)

где

m(t) =

X0 (r2 - в2 )[2в - (М - в + 1)(М + в)е(М-вХ ] 4(М2-в2^ r-в+1

- (r-в) t xe- 2 4 e-в,

(8)

du (t) = (a - r)[bj(t) + b2(t)X (t)] dt a2b2(t) X (t)

С учетом (12)

M{f (r, X (t))} = r + (a - r) x

(12)

= M

( (a - r)[bt(t) + b2(t)X(t)]Л a2b2(t) X (t)

X (t)

=-(о - X(t).

a ^2 (t) a

Подстановка (13) в (11) дает

(13)

X (t) = Xо + j0

rX(t) - (a -2r)2bl(t) ■

a b2(t)

- ^ X (t)

a

dr. (14)

Дифференцирование (14) приводит к (6). Уравнение (6) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Общее решение соответствующего линейного однородного уравнения

dX (t) dt

r -

(a - r )2

имеет вид

X (t) = Ce1

a

( a-r )2

X (t)

A = Ъ22 / Ъ\.

Доказательство:

Пусть процесс X(t) определяется стохастическим дифференциальным уравнением

dX (t) = f (t, X (t ))dt + Ф(?, X (t ))dW (t), (9)

где iF(t) - винеровский процесс. В нашем случае, как это следует из (7) в [1]

f (t, X(t)) = [r + (a - r)u(t)]X(t),

0(t, X (t)) =au (t) X (t). Проинтегрируем уравнение (9)

X (t) = Xо + J0V (T X (T))dT +

+ J' Ф(т, X (t))W (r)dr. (10)

Математическое ожидание от (10) имеет вид X (t) = M{X (t)} = X о + Jt M{f (T, X (T))}dT +

+M{|o(t, X (t))W (t) dT}.

Так как математическое ожидание от стохастического интеграла равно нулю [2], то есть М{{Ф(т,Х(т))Ж(т)Л:}=0, тогда

X(t) = Xо +{ M{f (t, X (T))}dT. (11)

По теореме из [1] оптимальное управление определяется формулой

Поскольку■

i- r )2

a

= в + r, то X(і)=Се-в

Найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, для этого полагаем С=С(0, тогда

X (?) = С (? )е-в.

Подставляя (15) в (6) получаем

^(?*е-в -РС(?)е-в =

(15)

dt (a - r )2

a

C(t)e-«t - (a-!W,

a2 b2 (t)'

тогда

C (t) = -(в+ r) jвtdt. Jb2(t)

rb,(t)

(16)

Введем обозначение Q = f——eвtdt, тогда с Q j b2(t)

учетом (4), (5), (8) получаем

1eM - Ь2є«<

e b e Л =

= 1 = b Пусть

Q = f—1

Q j b‘e-(r-«)0

b2e b2

bV^ , , b2 є2«<

1______________Л+ _ I_____1_____

j

,-( r-«)0

-a

dt - [-J /

,- (г-«)<

-a

dt

(17)

„(м+0)'

„2в

- ('-в)!

-А

¿',

Я=М + в, Я2 = -(г-в), Я3 = 20.

Тогда

= 1-

е

£ = I-

•> С

л*

¿',

еЯ - А

-¿'.

еЯ' = е Я в (18), получаем

а=Н 4

л/г -в + 1

" 2(м + в) '

1п

л/А + е 2

л/А -<

22 =яЯI; "г

Я 2121 Яз - А

V'-в+ 1 '3

----------е 2

4в

1п

л/А

+ е

( '-в).

Подстановка (20), (21) в (17) дает

_ ^ -|02 =

_ Хо (г - в)[2в - (М - в + 1)(М + в)е(м-в)Ч. ' 4в(м2-Лл/'-в+1

- (г-в) л/А + е 2

( г-в)

хе

1п

л/А - <

- (г-в).

+ С.

Затем подставляя (22) в (16) получаем С (') =

X о (г2 - в2)[2в - (М-Р + 1)(М + в) е(м-в)!1]. ' 4в(м2-в2)л/ г-в+1 ‘

- ( г-в)

л/А + е 2

( г-в).

х е

1п

- (г-в).

+ С.

Подстановка (23) в (15) дает X (') = Се-в' +

Xо (г2 - в2)[2в - (М - в + 1)(М + в)е(м-в)!1]

4в(м2-в2У г-в+1

-(г-в)' хе 2 1 е-в' 1п

л/А

- (г-в).

+ е

- (г-в).

Используя начальное условие для капитала Д1о)=Д, 4=0, найдем константу С

С = Xо +

(18)

(19)

Xо (г2 - в2)[2в - (м - в + 1)(М + РУ™Ч 4в(м2-Р2),! г-в+1

- (г-в).

хе

1п

л/А +1

л/А- 1

(25)

Делая замену переменных eЯlt=z, dz=ЯieЯldt,

Подставляя (25) в (24) получаем (7).

Теорема 2. _

Математическое ожидание Х2(0=М{Д(^} определяется уравнением

¿X 2(')

2г -

(а - г )2

а

X 2(') +

(а - г)2 Ь12(')

*2 ('),

а

(26)

+ С1. (20)

Делая замену переменных eЯзt=z, dz=Я3eЯзdt,

Я'Я

еЯ< = е Яз в (19), получаем

(28)

+ С2. (21)

(22)

где ^(0 и b2(t) определены в (2), (3), а решение имеет вид

X2 (') = X ,2е(г ^. (27)

Доказательство:

Рассмотрим процесс р(Д0)=Х^0. Тогда по формуле Ито [2]

¿р( X (')) =

= д£^ ¿X (') +1д р( 2(')) Ф (' )Й', дX (') 2 дX 2(')

где с учетом (1)

Ф(') = и 2(' )а2 X 2(') =

= (а - г)2[&1(') + Ь,(')X(')]2 а262(') ,

РX(')) = 2X('), Эр>(X(')) = 2. дX (') дX 2(')

Подстановка (29), (30) с учетом Утверждения в уравнение (28) для процесса р(Х(^)=Х((} дает, что

¿X 2(') = 2 X (' ^ (') + Ф (' )й' =

(29)

(30)

= 2

г --

I- г )2

а

X 2(') -

(а - г)2 М! 2(')

а

X (')

(23)

аЬ2(')

(а - г)2[Ь(') - ¿2(')X(')]2 " а2Ь2 (')

¿'.

После преобразований последнего выражения получаем

¿X2 (') = 2гX2 (')Й' - (а -Г) 4^ ¿' -

а

2 Ь2(')

-2 (а-ОЙМ-МЩ] X('(') +

(24)

аЬ2(')

(а - г)2[&1(') - ^)X(')]2

а2Ь2(')

¿'.

2

Я'

2

2

2

2

2

2

Тогда аналогично (6) получаем уравнение (26). Найдем решение уравнения (26). Уравнение вида

¿К')

й'

■ = - ^(' ) У (')+Я (')

является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами, общее решение которого имеет вид [3]

Я') = ехр{-|‘^р«й«} х х[|0(4Й)ехр{ £« р5)й5)й^ + С].

(31)

= Се

-(в-г )'

+ (0 + г)е(в-г * £

Ь2(«)‘

й«. (32)

Введем обозначение в = [ е(0 г){й?£.

1 о ь2й) *

Использование формул (2),(3) для Ь() и Ь2(^) дает, что

Г' _(£

•I о (Ь1

М« „-(г-в){

(Ь1)2 е

-2Ь11Ь12 Г '-Є

1 1 -Іо (Ь1

'(0-г>«-Ь2(|))

е(м+в){е- (Г-0)«

о (Ь2е( 0-г>«- ь2(«))

й«-й« +

г '_(Ь

•Іо (Ь1

Л2„2 0« „-( г-0)«

(Ь2)2е

"о (Ь2е( 0-г >«- Ь22(«))

й«.

(33)

Пусть

(*112

(Ь2)

1І. г'

1)2 J о

е(2м-г+0)«

(е(0-г)« -Л)

_,(М-г+20)«

о (е(

-й«,

9 =—1— [' е'-----------——й«

9 (&2)2 Jо(е(0-г)«-Л)2 «

(*12)

^ Г'

1)2 J о

„(30-г )«

-й«,

3 (&2)2-|о(ес 0-г К-А)

где А определена в (8).

Нахождение в.

Сделаем замену переменных у1=г~р~2м, у2=Р~г. Тогда

9= ^ Г 91 (Й^)2 J о(е72« - Л)2

е-71« (Ь1)2 г' «“"У7«

й«= |

(Ь2)2 Jо

(е7« +(-Л)):

-й«,

где а=1.

Воспользуемся формулой

г» ха-1е-рх ± Г(а) ^ (к + 1)И-1(-z/

1 о (е*х + z) = (п-1)!к=о(р + <?к + <?«)а,

приведенной в [4], где Г(а) есть гамма-функция, которая имеет вид Г(а)=J0otа-1e~tdt. В нашем случае а=1, и=2. Пусть t^», тогда

в = ^ Г

1 (Ь2)2 J о (е^ + (-Л))

Г(1) (Ь1)2 У (к + 1)Лк 1! (Ь2)2 кто (71 +72к + 272) = X о2(г -0)2 е~2(г-0>1

а-10 -71«

«“-1е~

-й« =

где константу интегрирования находим из начального условия у(0)=у0. Применим формулу (31) к уравнению (26)

X2 (') = ехр{-|о' (0- г )й«}х

/о'(0 + г)В«Р{ Г«« (0 - г)йї}й« + С •,о Ь2(«)

<Г(1) X

(М-0)2(г-0+1)2 ” (к + 1)Лк

(34)

к=о (0- г - 2 м) + (0- г)к Нахождение в2.

Сделаем замену переменных 71=г-20-м, 72=0-г, а=1, и=2. Тогда

=_х_ Г'

(А1)2 J о

:“-1е-7і«

(¿2 )2 ^(е72« - Л)

й« =

(г -0)2 е-2(г-0)'‘

(к + 1)Лк

-о(-г -м) +(0- г )к'

(35)

4(г -0+1)2 Нахождение в3.

Сделаем замену переменных 71=г-30, 72=0-г, а=1, и=2. Тогда

в = (Ь12)2

\) Г'

^)2 Jо

(Ь2)2 •'о (в72« - Л)

;а-1е7і« 72« .

-й« =

Xо2(м-0+1)2 (г -0)2 е2(м-г )'1 (М-0)2(г-0+1)2 (к + 1)Лк

к=о (0-г) + (0-г)к.

хГ(1) X

(36)

Подставляя (34), (35), (36) в (33), а затем в (32) получаем

X2 (') = Се( г-0)' + (0 + г )е(0-г * =

= ^(г -0)2 х

(М - 0)2(г -0+1)2

-2(г-0)'1

X (к + 1)Лк

У(0-г - 2м) + (0-г) к'

-2(р- 0 + 1)е

,2(м-0+1)'1

(к + 1)Л

к

хУ-

кго(-г-0) + (0-г)к

+(М-0+1)2 е

2 „2(>-г )'і

У:

(37)

к=о (0- г) + (0-г)к_

- Используя начальное условие для капитала —(/0)=Х0, /о=0, найдем константу С

х

С = X2 - (0+ г)

Xо2(г -0)2

(М - 0)2( г-0+1)2

,-2(г-0)'1

У-

к=о (0-г - 2м) + () 0-гк

-2(м - 0 + 1)е

,2(М-0+1)'1 •

У

^(-г-0) + (0-г) к

(м-0 +1) е

,2„2(М-г )'і

У

(38)

к=о (в-г) + (в-г)к

В результате подстановки (38) в (37) получаем (27). Теорема 3.

Пусть

£(') = М{[ X (') - X (' )]2} =

= М^')} - (X('))2 = X2(') - (X('))2 (39)

есть дисперсия капитала. Тогда оЮ(') = 2[га2 - (а - г)2]

й' і- г )2

а

X 2(') + 2 X (') +

В(') +

Ь2(')

(40)

а у ь2(') ' Ь22(')

Доказательство:

Получим уравнение для (Х-(0)2. Так как

= 2 X (') ^,

то с использованием (6) получим

Й (X ('))2 =

= ^-(а - г )■] X ■(,) _<а-ЖXm. (41) а а Ь2(')

С учетом (39) получаем

йВ(')_ йX2(') й(X('))2

Й' Й' Й'

Подстановка (26), (41) в (42) приводит к (40). Теорема 4.

Дисперсия капитала определяется формулой

(42)

В(') = Xо2е(г-0)' - Xо2 -

X о +ХІП

Уа+1

+2х1п

л/А

л/а -1

( г-0),

+ е

л/А-<

_ (г-0)' 2

1п

л/а +1

л/А- 1

2 X« + х1п

л/А

'

+ е

л/А-,

( г-0).

1п

л/А

- (г-0).

+ е

л/А - <

- (г-0).

(43)

где

X о (г2-02)

х = -

(М-0 +1) х

х(м + 0)е(м-0)4 - 20

4(м2-01).! г-0+1

(г-0) '

2 '' - 0' е 2 е .

Доказательство:

В результате подстановки (7) и (27) в (39) и последовательных преобразований получаем (43).

Заключение

Совместно с [1] проведено полное теоретическое исследование одной задачи формирования портфеля капитала как задачи оптимального управления стохастической системой с интегральным критерием качества.

Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013, проект № 14.B37.21.0861.

х

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Демин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математического метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 10-14.

2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.

3. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1988. - 254 с.

4. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции. -М.: Наука. Физматлит, 1981. - 797 с.

Поступила 6.05.2013 г.