CC BY
29
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Калашникова ТВ., Извеков Н.Ю. Интеграция метода ориентации на спрос в систему ценообразования сети розничной торговли // Известия Томского политехнического университета. -2012. - Т 320. - №6. - С. 9-13.
2. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. - М.: Финансы и статистика, 2005. - 616 с.
3. Натан А.А. Стохастический модельный анализ простых коммерческих операций. - М.: МЗ Пресс, 2005. - 120 с.
4. Натан А.А. Стохастические модели в микроэкономике. - М.: МФТИ, 2001. - 172 с.
5. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. - Томск: Изд-во НТЛ, 2005. - 228 с.
6. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория вероятностей и случайных процессов. - Томск: Изд-во НШ, 2006. - 204 с.
7. Морозова А.С., Моисеева С.П., Одинцов К.М. Математическая модель процесса изменения числа клиентов торговой компании в виде СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов // Научное творчество молодежи: Матер. XI Всеросс. научно-практ. конф. Ч. 1. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 2007. - С. 37-39.
8. Морозова А.С., Моисеева С.П., Назаров А.А. Исследование экономико-математической модели влияния ценовой скидки для постоянных клиентов на прибыль коммерческой организации // Вестник Томского государственного университета. -2006. - № 293. - С. 49-52.
9. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового обслуживания. 3-е изд., испр. и доп. - М.: КомКнига, 2005. - 408 с.
10. Моисеева С.П., Морозова А.С. Исследование потока повторных обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. - 2005. - № 287. - С. 46-51.
11. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Исследование суммарного потока обращений в бесконечнолинейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. - 2006. - № 290. - С. 173-175.
12. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Распределение вероятностей двумерного потока обращений в бесконечнолинейной системе массового обслуживания с повторным обращением // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. -2006. - № 16. - С. 125-128.
13. Жидкова Л.А., Моисеева С.П. Исследование систем параллельного обслуживания кратных заявок простейшего потока // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2011. - № 4 (17). - С. 49-55.
14. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории Марковских процессов и их приложения. - М.: Изд-во «Наука», 1969. - 512 с.
15. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3. - М.: Наука, 1966. - 662 с.
16. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. - М.: Физматгиз, 1963. - 236 с.
Поступила 23.04.2013 г.
УДК 519.865
ИССЛЕДОВАНИЕ СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И ДИСПЕРСИИ КАПИТАЛА В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ПОРТФЕЛЕМ ЦЕННЫХ БУМАГ
Н.С. Демин , С.В. Рожкова*, А.В. Цитко
Томский государственный университет *Томский политехнический университет E-mail: [email protected]
Получены дифференциальные уравнения, определяющие изменение во времени среднего значения и дисперсии капитала, а также точные формулы для среднего значения и дисперсии капитала.
Ключевые слова:
Финансовый рынок, капитал, портфель, ценные бумаги.
Key words:
Financial market, capital, portfolio, securities.
1. Постановка задачи
В [1] решена задача формирования портфеля ценных бумаг на основе динамического программирования, допускающая точное решение. Данная работа посвящена теоретическому исследованию свойств капитала портфеля при использовании оптимального управления, полученного в [1]. Система обозначений та же, что и в [1].
2. Основные результаты
Утверждение.
При оптимальном управлении капитал Х(/) определяется уравнением
dX (t) = -
где
а
2 (t) (а-г) ab 2(t)
-(а - r )2 b1(t) +
_+(ra2 - (а - r)2)b2(t)X(t)
[b,(t) + b2(t) X (t )]dW (t),
dt -
b1(t) = [b11e(M-P)t - b2]ep
b2(t) = b2e-(r-ß)t-
ß= ^ - Г,
a
b2,
(1)
(2)
(3)
М-в
, Ь2 = 2 Xо I 1 +
М-в
,о-в) <1
1
,( r-в)<1
r-в
(4)
(5)
г-в Доказательство:
Уравнение (1) получается в результате подста новки уравнения (7) из [1] в (54) из [1].
Теорема 1. _
Среднее значение капитала Д/)=М{Д/)} опре деляется уравнением
dX (t) dt
(a - r )2
a
X(<)- <о-Ш, (6)
a
2(< )
где Ь() и Ь2(^) определены в (2), (3), решение, которого имеет вид
Гл/А + е 2
X (t) = m(t )ln
(re t
2
_ ( r-в),
X0 - m(t)e 2 1 ln
•s/a - e л/а +1
л/А- 1
(7)
где
m(t) =
X0 (r2 - в2 )[2в - (М - в + 1)(М + в)е(М-вХ ] 4(М2-в2^ r-в+1
- (r-в) t xe- 2 4 e-в,
(8)
du (t) = (a - r)[bj(t) + b2(t)X (t)] dt a2b2(t) X (t)
С учетом (12)
M{f (r, X (t))} = r + (a - r) x
(12)
= M
( (a - r)[bt(t) + b2(t)X(t)]Л a2b2(t) X (t)
X (t)
=-(о - X(t).
a ^2 (t) a
Подстановка (13) в (11) дает
(13)
X (t) = Xо + j0
rX(t) - (a -2r)2bl(t) ■
a b2(t)
- ^ X (t)
a
dr. (14)
Дифференцирование (14) приводит к (6). Уравнение (6) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Общее решение соответствующего линейного однородного уравнения
dX (t) dt
r -
(a - r )2
имеет вид
X (t) = Ce1
a
( a-r )2
X (t)
A = Ъ22 / Ъ\.
Доказательство:
Пусть процесс X(t) определяется стохастическим дифференциальным уравнением
dX (t) = f (t, X (t ))dt + Ф(?, X (t ))dW (t), (9)
где iF(t) - винеровский процесс. В нашем случае, как это следует из (7) в [1]
f (t, X(t)) = [r + (a - r)u(t)]X(t),
0(t, X (t)) =au (t) X (t). Проинтегрируем уравнение (9)
X (t) = Xо + J0V (T X (T))dT +
+ J' Ф(т, X (t))W (r)dr. (10)
Математическое ожидание от (10) имеет вид X (t) = M{X (t)} = X о + Jt M{f (T, X (T))}dT +
+M{|o(t, X (t))W (t) dT}.
Так как математическое ожидание от стохастического интеграла равно нулю [2], то есть М{{Ф(т,Х(т))Ж(т)Л:}=0, тогда
X(t) = Xо +{ M{f (t, X (T))}dT. (11)
По теореме из [1] оптимальное управление определяется формулой
Поскольку■
i- r )2
a
= в + r, то X(і)=Се-в
Найдем частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения, для этого полагаем С=С(0, тогда
X (?) = С (? )е-в.
Подставляя (15) в (6) получаем
^(?*е-в -РС(?)е-в =
(15)
dt (a - r )2
a
C(t)e-«t - (a-!W,
a2 b2 (t)'
тогда
C (t) = -(в+ r) jвtdt. Jb2(t)
rb,(t)
(16)
Введем обозначение Q = f——eвtdt, тогда с Q j b2(t)
учетом (4), (5), (8) получаем
1eM - Ь2є«<
e b e Л =
= 1 = b Пусть
Q = f—1
Q j b‘e-(r-«)0
b2e b2
bV^ , , b2 є2«<
1______________Л+ _ I_____1_____
j
,-( r-«)0
-a
dt - [-J /
,- (г-«)<
-a
dt
(17)
„(м+0)'
„2в
- ('-в)!
-А
¿',
Я=М + в, Я2 = -(г-в), Я3 = 20.
Тогда
= 1-
е
£ = I-
•> С
л*
¿',
еЯ - А
-¿'.
еЯ' = е Я в (18), получаем
а=Н 4
л/г -в + 1
" 2(м + в) '
1п
л/А + е 2
л/А -<
22 =яЯI; "г
Я 2121 Яз - А
V'-в+ 1 '3
----------е 2
4в
1п
л/А
+ е
( '-в).
Подстановка (20), (21) в (17) дает
_ ^ -|02 =
_ Хо (г - в)[2в - (М - в + 1)(М + в)е(м-в)Ч. ' 4в(м2-Лл/'-в+1
- (г-в) л/А + е 2
( г-в)
хе
1п
л/А - <
- (г-в).
+ С.
Затем подставляя (22) в (16) получаем С (') =
X о (г2 - в2)[2в - (М-Р + 1)(М + в) е(м-в)!1]. ' 4в(м2-в2)л/ г-в+1 ‘
- ( г-в)
л/А + е 2
( г-в).
х е
1п
- (г-в).
+ С.
Подстановка (23) в (15) дает X (') = Се-в' +
Xо (г2 - в2)[2в - (М - в + 1)(М + в)е(м-в)!1]
4в(м2-в2У г-в+1
-(г-в)' хе 2 1 е-в' 1п
л/А
- (г-в).
+ е
- (г-в).
Используя начальное условие для капитала Д1о)=Д, 4=0, найдем константу С
С = Xо +
(18)
(19)
Xо (г2 - в2)[2в - (м - в + 1)(М + РУ™Ч 4в(м2-Р2),! г-в+1
- (г-в).
хе
1п
л/А +1
л/А- 1
(25)
Делая замену переменных eЯlt=z, dz=ЯieЯldt,
Подставляя (25) в (24) получаем (7).
Теорема 2. _
Математическое ожидание Х2(0=М{Д(^} определяется уравнением
¿X 2(')
2г -
(а - г )2
а
X 2(') +
(а - г)2 Ь12(')
*2 ('),
а
(26)
+ С1. (20)
Делая замену переменных eЯзt=z, dz=Я3eЯзdt,
Я'Я
еЯ< = е Яз в (19), получаем
(28)
+ С2. (21)
(22)
где ^(0 и b2(t) определены в (2), (3), а решение имеет вид
X2 (') = X ,2е(г ^. (27)
Доказательство:
Рассмотрим процесс р(Д0)=Х^0. Тогда по формуле Ито [2]
¿р( X (')) =
= д£^ ¿X (') +1д р( 2(')) Ф (' )Й', дX (') 2 дX 2(')
где с учетом (1)
Ф(') = и 2(' )а2 X 2(') =
= (а - г)2[&1(') + Ь,(')X(')]2 а262(') ,
РX(')) = 2X('), Эр>(X(')) = 2. дX (') дX 2(')
Подстановка (29), (30) с учетом Утверждения в уравнение (28) для процесса р(Х(^)=Х((} дает, что
¿X 2(') = 2 X (' ^ (') + Ф (' )й' =
(29)
(30)
= 2
г --
I- г )2
а
X 2(') -
(а - г)2 М! 2(')
а
X (')
(23)
аЬ2(')
(а - г)2[Ь(') - ¿2(')X(')]2 " а2Ь2 (')
¿'.
После преобразований последнего выражения получаем
¿X2 (') = 2гX2 (')Й' - (а -Г) 4^ ¿' -
а
2 Ь2(')
-2 (а-ОЙМ-МЩ] X('(') +
(24)
аЬ2(')
(а - г)2[&1(') - ^)X(')]2
а2Ь2(')
¿'.
2
Я'
2
2
2
2
2
2
Тогда аналогично (6) получаем уравнение (26). Найдем решение уравнения (26). Уравнение вида
¿К')
й'
■ = - ^(' ) У (')+Я (')
является линейным неоднородным дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами, общее решение которого имеет вид [3]
Я') = ехр{-|‘^р«й«} х х[|0(4Й)ехр{ £« р5)й5)й^ + С].
(31)
= Се
-(в-г )'
+ (0 + г)е(в-г * £
Ь2(«)‘
й«. (32)
Введем обозначение в = [ е(0 г){й?£.
1 о ь2й) *
Использование формул (2),(3) для Ь() и Ь2(^) дает, что
Г' _(£
•I о (Ь1
М« „-(г-в){
(Ь1)2 е
-2Ь11Ь12 Г '-Є
1 1 -Іо (Ь1
'(0-г>«-Ь2(|))
е(м+в){е- (Г-0)«
о (Ь2е( 0-г>«- ь2(«))
й«-й« +
г '_(Ь
•Іо (Ь1
Л2„2 0« „-( г-0)«
(Ь2)2е
"о (Ь2е( 0-г >«- Ь22(«))
й«.
(33)
Пусть
(*112
(Ь2)
1І. г'
1)2 J о
е(2м-г+0)«
(е(0-г)« -Л)
_,(М-г+20)«
о (е(
-й«,
9 =—1— [' е'-----------——й«
9 (&2)2 Jо(е(0-г)«-Л)2 «
(*12)
^ Г'
1)2 J о
„(30-г )«
-й«,
3 (&2)2-|о(ес 0-г К-А)
где А определена в (8).
Нахождение в.
Сделаем замену переменных у1=г~р~2м, у2=Р~г. Тогда
9= ^ Г 91 (Й^)2 J о(е72« - Л)2
е-71« (Ь1)2 г' «“"У7«
й«= |
(Ь2)2 Jо
(е7« +(-Л)):
-й«,
где а=1.
Воспользуемся формулой
г» ха-1е-рх ± Г(а) ^ (к + 1)И-1(-z/
1 о (е*х + z) = (п-1)!к=о(р + <?к + <?«)а,
приведенной в [4], где Г(а) есть гамма-функция, которая имеет вид Г(а)=J0otа-1e~tdt. В нашем случае а=1, и=2. Пусть t^», тогда
в = ^ Г
1 (Ь2)2 J о (е^ + (-Л))
Г(1) (Ь1)2 У (к + 1)Лк 1! (Ь2)2 кто (71 +72к + 272) = X о2(г -0)2 е~2(г-0>1
а-10 -71«
«“-1е~
-й« =
где константу интегрирования находим из начального условия у(0)=у0. Применим формулу (31) к уравнению (26)
X2 (') = ехр{-|о' (0- г )й«}х
/о'(0 + г)В«Р{ Г«« (0 - г)йї}й« + С •,о Ь2(«)
<Г(1) X
(М-0)2(г-0+1)2 ” (к + 1)Лк
(34)
к=о (0- г - 2 м) + (0- г)к Нахождение в2.
Сделаем замену переменных 71=г-20-м, 72=0-г, а=1, и=2. Тогда
=_х_ Г'
(А1)2 J о
:“-1е-7і«
(¿2 )2 ^(е72« - Л)
й« =
(г -0)2 е-2(г-0)'‘
(к + 1)Лк
-о(-г -м) +(0- г )к'
(35)
4(г -0+1)2 Нахождение в3.
Сделаем замену переменных 71=г-30, 72=0-г, а=1, и=2. Тогда
в = (Ь12)2
\) Г'
^)2 Jо
(Ь2)2 •'о (в72« - Л)
;а-1е7і« 72« .
-й« =
Xо2(м-0+1)2 (г -0)2 е2(м-г )'1 (М-0)2(г-0+1)2 (к + 1)Лк
к=о (0-г) + (0-г)к.
хГ(1) X
(36)
Подставляя (34), (35), (36) в (33), а затем в (32) получаем
X2 (') = Се( г-0)' + (0 + г )е(0-г * =
= ^(г -0)2 х
(М - 0)2(г -0+1)2
-2(г-0)'1
X (к + 1)Лк
У(0-г - 2м) + (0-г) к'
-2(р- 0 + 1)е
,2(м-0+1)'1
(к + 1)Л
к
хУ-
кго(-г-0) + (0-г)к
+(М-0+1)2 е
2 „2(>-г )'і
У:
(37)
к=о (0- г) + (0-г)к_
- Используя начальное условие для капитала —(/0)=Х0, /о=0, найдем константу С
х
С = X2 - (0+ г)
Xо2(г -0)2
(М - 0)2( г-0+1)2
,-2(г-0)'1
У-
к=о (0-г - 2м) + () 0-гк
-2(м - 0 + 1)е
,2(М-0+1)'1 •
У
^(-г-0) + (0-г) к
(м-0 +1) е
,2„2(М-г )'і
У
(38)
к=о (в-г) + (в-г)к
В результате подстановки (38) в (37) получаем (27). Теорема 3.
Пусть
£(') = М{[ X (') - X (' )]2} =
= М^')} - (X('))2 = X2(') - (X('))2 (39)
есть дисперсия капитала. Тогда оЮ(') = 2[га2 - (а - г)2]
й' і- г )2
а
X 2(') + 2 X (') +
В(') +
Ь2(')
(40)
а у ь2(') ' Ь22(')
Доказательство:
Получим уравнение для (Х-(0)2. Так как
= 2 X (') ^,
то с использованием (6) получим
Й (X ('))2 =
= ^-(а - г )■] X ■(,) _<а-ЖXm. (41) а а Ь2(')
С учетом (39) получаем
йВ(')_ йX2(') й(X('))2
Й' Й' Й'
Подстановка (26), (41) в (42) приводит к (40). Теорема 4.
Дисперсия капитала определяется формулой
(42)
В(') = Xо2е(г-0)' - Xо2 -
X о +ХІП
Уа+1
+2х1п
л/А
л/а -1
( г-0),
+ е
л/А-<
_ (г-0)' 2
1п
л/а +1
л/А- 1
2 X« + х1п
л/А
'
+ е
л/А-,
( г-0).
1п
л/А
- (г-0).
+ е
л/А - <
- (г-0).
(43)
где
X о (г2-02)
х = -
(М-0 +1) х
х(м + 0)е(м-0)4 - 20
4(м2-01).! г-0+1
(г-0) '
2 '' - 0' е 2 е .
Доказательство:
В результате подстановки (7) и (27) в (39) и последовательных преобразований получаем (43).
Заключение
Совместно с [1] проведено полное теоретическое исследование одной задачи формирования портфеля капитала как задачи оптимального управления стохастической системой с интегральным критерием качества.
Работа выполнена при поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013, проект № 14.B37.21.0861.
х
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Демин Н.С., Рожкова С.В., Цитко А.В. Применение математического метода динамического программирования к решению одной задачи управления портфелем ценных бумаг // Известия Томского политехнического университета. - 2006. - Т. 309. -№ 3. - С. 10-14.
2. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. - М.: Наука, 1977. - 568 с.
3. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения. - М.: Просвещение, 1988. - 254 с.
4. Прудников А.П. Интегралы и ряды. Элементарные функции. -М.: Наука. Физматлит, 1981. - 797 с.
Поступила 6.05.2013 г.
