Задача Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения с негладкой линией степенного вырождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕГЛАДКОЙ ЛИНИЕЙ СТЕПЕННОГО ВЫРОЖДЕНИЯ

© А. А. Гималтдинова

Башкирского государственного университета, Стерлитамакский филиал Россия, Республика Башкортостан, 453103 г. Стерлитамак, пр. Ленина, 49.

E-mail: [email protected]

В работе изучается первая краевая задача для вырождающегося эллиптического уравнения со степенным вырождением на границе области. При помощи метода разделения переменных найдены частные решения уравнения, затем решение поставленной задачи построено в виде суммы ряда по биортогональной системе функций.

Ключевые слова: вырождающееся эллиптическое уравнение, задача Дирихле, существование решения, биортогональный ряд.

Введение

Интерес к изучению вырождающихся эллиптических и гиперболических уравнений связан с развитием теории уравнений смешанного типа. Для вырождающихся эллиптических уравнений и соответствующих краевых задач разработана теория потенциала, которая применяется для обоснования существования решения.

Е. И. Моисеев предложил другой метод решения, основанный на теории биортогональных рядов. В работе [1] им изучены краевые задачи для вырождающегося эллиптического уравнения со степенным вырождением

УШихл + иуу + -у2 ути = 0.

У

В данной работе построено решение задачи Дирихле для вырождающегося эллиптического уравнения с негладкой линией степенного вырождения

Ьи = упихх + хтиуу + Яхтупи = 0. (1)

Постановка задачи

Рассмотрим уравнение (1) в области В, ограниченной «нормальной» кривой

Г: (ха/а) + (ув / в) = 1, лежащей в первой четверти плоскости ОХУ с концами в точках А(а1/а,0) и 5(0,в1/в), и отрезками ОА и ОВ координатных осей, где 0(0,0) а = (т + 2)/2, в = (п + 2)/2, т,п е К, т, п > 0.

Изучим первую краевую задачу для уравнения

(1).

Задача Дирихле. Найти функцию и(X, у), удовлетворяющую условиям:

и(х, у) е С(В) п С2(В),

Ьи(х, у) = 0, (х, у) е В, и(х, у) Г= /(х, у) = /(р), ре [0,п/2], (2)

и(х у^ ОАиОБ = 0 где / - заданная достаточно гладкая функция.

Построение решения задачи

Воспользуемся методом разделения переменных. Перейдем к полярной системе координат

ха/а= гсозр, ув /в = г81пр, тогда после разделения переменных

и(х, у) = у(г, р) = Л(г)ф(р) получим:

(3)

R"+ — (1 + 2p + 2q) + \l-^- IR = 0,

R(0) = 0,,

’I R(1) l< +<», Ф"+(2p ctg p- 2q tg р)Ф'+^2Ф = 0, Ф(0) = Ф(п/2) = 0,

(4)

(5)

(6)

где ff

q =

постоянная разделения.

* P =

2(n+2)

m

2(m + 2)

Уравнение (3) после замены R = ^r-p-q приведём к виду

(X_S + (¡, + q)2 ] = о.

Rl”+ Rl- + Rl

r

Решением последнего уравнения с учетом условий (4) является функция Бесселя первого рода

R|(r) = J„Wir), pjr +- + qf ,

Re2p > 0,

следовательно, решением уравнения (3) является функция

R(r) = Г - p-qJ -„(Vir).

В уравнении (5) выполним замену x = sin2 p, тогда получим гипергеометрическое уравнение

x(l - x)F' '+^| + p - (1 + p + q)x^F'+ F = 0,

решением которого является функция

F (x) = CiF (£±í + p, £±í-p p + 2; x ] +

+ C-x1-2 pF [ í-p+1 + p. í-p+1-p;3 - p; x).

n

r

306

МАТЕМАТИКА

где Q, C2 - произвольные постоянные,

F(a,b;c; z)- гипергеометрическая функция Гаусса. Следовательно,

ф(р) = C1F^p+1 + p, Zl! _ р; p + 2; sin2 pj +

+ C2 sin2 pF í + p, 1_p+1 - p;3 _ p;sin2 p

(6).

Удовлетворим последнюю функцию условиям Так как ф(0) = 0, то С = 0. А из условия

Ф(п/2) = 0 будем иметь

^ U1 _ Р +1 1 _ Р +1 3 . ,

C2FI Ч- + p, 2 _p;2_p;11 =

= 0.

Для выполнения последнего равенства необходимо 1 -р-2+1 = к или ! + р- р + Ч = , где

2 2 ’ к = 0,-1,-2,..., откуда с учетом условия

Ие2р> 0 будем иметь р = рк = к - Р + Ч,

к = 1,2,3,....

Далее решение задачи Дирихле будем искать в

виде

“ J2p (л/Хг) , 2

U(x, y) = Z ft T \ гг! r'p_q sin1-2ppx k=1 J2p WЛ)

1 а — Р +1 а — Р +1 3 .2 1 (7)

х ^ 1^-!----+ рк ,^^-Рк ;2 — р;8т2 р1 (7)

где /к - неизвестные пока коэффициенты.

Удовлетворим функцию (7) краевому условию (2), тогда получим

( д — р +1 ^

f (p) = Z ft sin1-2Р pF

+ Pt, pk;

2

а — р +1 2

3 . 2

2—р;вш р

Последнее равенство есть разложение функции / (р) в ряд по системе

Г а — р + 1 ^

-1Г- + рк, д — р +1 2

3 • 2

---р^т р

2 - ,

Дальнейшее решение задачи в общем случае представляет значительные трудности, поэтому рассмотрим случай т = п, то есть д = р, тогда

sin

1-2 Р

p-F

pt;

(1

f (p) = Zfk sin1-2Р p-F

pk = k - p, k є N.

: + pt,

-pk;

- p; sin p

Далее преобразуем гипергеометрическую функцию на основании формул [2, с. 144, 148], то-

гда

J1 1 3 .2 I

FU+pk-5-pk;2-p;sin p=

= П - pj(tgp)p-1/2 pp^r-í^z (cos 2p),

где PV - модифицированная функция Лежандра. Получим равенство

f (p) = 2p-1/2Г|^ - p|Zfk si

x Pp’k:11//22(cos2p)

3

,1/2-Р

2px

или

/(- ) = 2'4'5')|f sin"5-' -X x Pp—^(cos-).

Используем формулу Мелера-Дирихле [2, c. 160], которая дает интегральное представление функции Лежандра:

P£ (cost) = л I— (sin?) N f(cosи — cosi)-^-1/2 x

x cos

V + -

1

2

тогда будем иметь

у |du,0 < f <n,Rev< 1,

f

¥

2p Г(3/2- p)N

I-- x

лП Г(1 - p)

xZ fk J(cosy-cos¥) p cos([k- p]v)dv.

k

k =1 0

Считая, что ряд сходится равномерно (это будет доказано ниже), в правой части последнего равенства переставим порядки суммирования и интегрирования:

f ( — I = l1 J (cosy-cos¥) pF1(y)dy,

(8)

где l, = 2= Г(3/2 P), ^i(u) = fk cos([k - p]v).

1 л/^ Г(1 - p) t!

Найдем решение полученного интегрального уравнения (8) относительно функции F,(u). Вначале выполним замену cos = z, cos V = t, тогда

1

k=1

2

2

—

0

f

arccos z 2

1 F1 (arccos t)

= 'i í -7^^

■z -Л—

dt,

■t 2(t - z)p -1 < z < 1.

На основании известной формулы обращения интегрального уравнения Абеля, если

Л( z) = f farccosz ] € C1[-1,1], f1(1)=0, то

FL(arccos z) = íZ^,

nl1

1(t — z)

S fk cos([k - p] arccos z) =

sin(np)

(9)

nli

1 - z2 í fi |(t )(t - z)p-i dt = Fi( z)

Тогда fk являются коэффициентами разложения функции j?1( г) в ряд по системе

{cos[(k - p) arccos z]}°°=1 •

В силу результатов [3] построенный ряд для функции Fi(z) сходится равномерно к порождающей функции, если она принадлежит С^[0,п],

Se (0,1], F1(0) = F1(n) = 0.

Если f1'(t) е Ld [-1,1], d > 1/p, то в силу результатов [4, с. 65] будем иметь

F1(z)е Cp-1/d (-1,1).

Указанные условия будут выполнены, если f (р)е С1[0,п/2], функция f (р) в малой окрестности точек р = 0 и р = п /2 является дважды непрерывно дифференцируемой,

f(0) = f’(0) = f(n/2) = f’(п/2) = 0.Тогда ряд в (9) сходится равномерно, а коэффициенты ряда вычисляются по формулам [3]:

/к =^1 í hk (0)w(0)de,

(10)

sin(np)'

П1 0

где {hk (9)} - биортогонально сопряженная система к системе косинусов {cos[(k - p)arccos z]}, (2cos9 2)2 p+1 *

hk (в) =

-S sin(i в) Bn-i,

sin в/2 i=1

в

w^) = sin вí f '(t / 2)(cos t - cos в)1-p dt,

TD X""'/ 1 \l—m^l —m^m

Bl = S(—1) Ci

2p

m=0

l(l - 1)l(l - n +1) n!

Так как доказано, что ряд сходится равномерно, то замена порядка интегрирования и суммирования обоснована.

Таким образом, доказано утверждение.

Теорема. Если /(р)е С1[0,п/2], функция

/ (р) в малой окрестности точек р = 0 и р = П /2 является дважды непрерывно дифференцируемой,

/ (0) = / '(0) = / (п/2) = / '(п/2) = 0, то

существует решение задачи Дирихле и оно определяется формулой (7), где р = д, с коэффициентами (10).

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Е. И. О решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональных рядов // Дифференциальные уравнения. 1991. Т. 27. № 1. С. 94-103.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т.1. Гипергеометрическая функция. Функция Лежандра. М.: Наука, 1965. 296 с.

3. Моисеев Е. И. О базисности одной системы синусов // Дифференциальные уравнения. 1987. Т. 23. № 1. С. 177179.

4. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

к=1

z

Поступила в редакцию S1.10.2012 г.