CC BY
18
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). C. 7-19. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-7-19 МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.227
СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С СИНГУЛЯРНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
К. Т. Каримов
Ферганский государственный университет, 150100, Узбекистан, г. Фергана, ул. Мураббийлар, 19. E-mail: karimovk80@mail.ru
Найдены собственные значения и собственные функции двух краевых задач для трехмерных уравнений эллиптического типа с сингулярными коэффициентами при младших членах.
Ключевые слова: эллиптический тип, сингулярный коэффициент, гипергеометрическая функция, собственное значение, собственная функция.
@ Каримов К. Т., 2017
MATHEMATICS
MSC 58J50
SPECTRAL PROBLEMS FOR THREE-DIMENSIONAL ELLIPTIC EQUATIONS WITH SINGULAR
COEFFICIENTS
K. T. Karimov
Fergana State University, 150100, Uzbekistan, Ferghana, st. Murabillilar, 19. E-mail: karimovk80@mail.ru
The eigenvalues and eigenfunctions of two boundary value problems for three-dimensional equations of elliptic types with singular coefficients with lower terms are found.
Key words: elliptic type, singular coefficient, hypergeometric function, eigenvalues, eigenfunction.
© Karimov K.T., 2017
Введение
Известно, что в последнее время интенсивно исследуются спектральные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных разного типа. Научно-исследовательские работы, проведенные по спектральной теории, условно можно разделить на два направления. Первое из них - это доказательство теорем о единственности решения краевых задач для уравнений со спектральным параметром, а второе - нахождение собственных значений и собственных функций рассматриваемых краевых задач. Научные исследования по второму направлению в настоящее время интенсивно продолжаются и развиваются. Нахождению собственных значений и собственных функций краевых задач для различных уравнений эллиптических и смешанных типов на плоскости посвящено много исследований, среди которых следует отметить работы [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] и др. Задачи такого типа для трехмерных эллиптических и смешанных уравнений изучены, например, в работах [8], [9], [10], [11], [12] и др. Однако, нахождение собственных значений и собственных функций краевых задач в трехмерных областях для уравнений эллиптического и смешанного типов с сингулярными коэффициентами остаются малоизученными. Здесь отметим работы [13], [14], [15], [16] и др.
В данной работе исследованы задачи на собственные значения для эллиптических уравнений с сингулярными коэффициентами в трехмерном пространстве. Выделена область значений параметра X, где нет собственных значений задачи. Найдено счетное число собственных значений задачи и построены собственные функции, соответствующие найденным собственным значениям.
1. Постановка задачи.
Пусть О— трехмерная область, ограниченная частью сферы % = {(х,у,г) : х2 + у2 + г2 = 1, у > 0, г > 0}
и двумя полукругами
й = {(х,у,г): х2 + г2 < 1, у = 0, г > 0},
$2 = {(х,у,г) : х2 + у2 < 1, у > 0, г = 0} . В области О рассмотрим уравнение эллиптического типа в виде
2в 2у
ихх + иуу + Мгг +--Му +--+ X и = 0, (1)
у г
где и = и (х,у,г) — неизвестная функция, X — числовой параметр , а в, 7 € причем 0 < в, 7 < 1/2, и исследуем следующую задачу на собственные значения:
Задача Найти значения параметра X и соответствующие им нетривиальные функции и (х,у,г) € С (О) П С2 (О), удовлетворяющие уравнению (1) в области О и краевому условию
и (х, у, г) = 0, (х, у, г) € $0 и й и $2. (2)
2. Исследование задачи О^7 при Я < 0.
Теорема. Если Я < 0, то задача Овг имеет только тривиальное решение. Доказательство. В области П справедливо тождество
у2в г2ги ^ихх + Муу + игг + 2е иу + щ + Я и^ =
= (у2в + (у2в Ли,) + (у2в г^ии^ - у2в (и" + и2 + и" - Я и2) = 0.
Интегрируем это тождество по области ^ С П, ограниченной при г > ¿1, у > ¿2 частью сферы
§0 = {(х,у,г): х2 + у2 + г2 = (1 - е)2, г > ¿1, у > ¿2} и при г = ¿1, у = ¿2 полукругами
,§1 = {(х,у,г) : х2 + г2 < (1 - е)2, у = ¿2,г > ¿1},
¿2 = {(х,у,г) : х2 + у2 < (1 - е)2, у > ¿2, г = ¿1}, где е, ¿1 и ¿2- достаточно малые положительные числа. В результате имеем
"5! ,52
у2в ЛИх) + (y2e z2YuUy) + (у2в Z2YUUz
dxdydz =
у2в z2Y (м2 + u2 + — Я u2) dxdydz. (3)
"!1,52
Применяя формулу Остроградского [17, Т.3, с.335] к интегралу в левой стороне равенства (3), получим
JJ У2в z2Yu dn ds — JJ z2ru (x, 52, z) uz (x, ¿2, z) dxdz
d u d n
So Sil
dxdydz,
u (x, y, 5i) иг (x, y, 5i) dxdy = /// Z2Y (u2 + u.2 + u2 — Я u2)
S2 "51,52
где п - внешняя нормаль к §0.
Отсюда, переходим к пределу при е, ¿1, ¿2 ^ 0. Тогда П^ ^ ^ П и учитывая краевое условие (2) а также и, их, иу, иг е С (П), получаем
JJJ [y2ez2Y (ux2 + u2 + u2 — Яu2)
dxdydz = Ü.
В силу Я < 0, из этого равенства следует, что их = иу = иг = 0 в П. Следовательно, и (х, у, г) = 0, (х, у, г) е П. Так как и (х,у, г) е С (П) и и(х,у, г^и^и^ = 0, то и (х,у, г) = 0, (х, у, г) е П.
Отсюда следует утверждение теоремы. □
z
3. Исследование задачи при Я > 0.
В области Q введем сферические координаты (r, в, ф), связанные с декартовыми координатами (x,y,z) по формулам
x = r sin в cos ф, y = r sin в sin ф, z = r cos в,
где r = a/x2 + y2 + z2, в — угол между вектором 0]M и осью z, а ф — угол между
вектором OM' и осью x, где O = O (0,0,0), M = M (x, y, z), M' = M' (x,y, 0). В координатах (r, в, ф) уравнение (1) принимает вид
f + 2 (1 + в + У), + Upp +1- Up""р
1
r2
"ев + [(1 + 2ß) cíg0 - 2yíg0] мв + —+ . 2
+ Я м = 0. (4)
1 и + 2в с/^ф. sin2 в фф sin2 в
К уравнению (4) применим метод разделения переменных. Сначала представим неизвестную функцию в виде и (r, в, ф) = R (r) Q(в, ф) и подставим в уравнение (4). Далее, вводя константу разделения переменных х, получим два дифференциальных уравнения
r2R'' (r) + 2 (1 + в + Y) rR' (r) + (Яг2 — х) R (r) = 0, 0 < r < 1; Qee + [(1 + 2в) с/^в — 2 у/] Qe+
Qфф + Qф+XQ = 0, 0 < в < (п/2), 0 < ф < п. (5)
sin2 в sin2 в
Теперь, полагая Q (в, ф) = T (в) Ф (ф), из уравнения (5) получим fg [T'' (в) + [(1+2в) c/ge—2у/] T' (в)] + х sin2 в = — Ф''(фФ'(ф). (6)
Введя еще одну константу разделения переменных д, из (6) получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Ф'' (ф) + 2вс^фФ' (ф) + д Ф (ф) = 0, 0 < ф < п,
sin2 в { T'' (в) + [(1 + 2в) с^в — 2у/#в] T' (в)} + (х sin2 в — д)T (в) = 0, 0 < в < п/2.
Граничные условия (2) приводят к граничным условиям для функции R (r): R (1) =
0 и Я (0) = 0. Для фиксированных переменных г и ф, из условий (2) и и (х,у,г) € С (П), получим условие для функции Т (0) : |Т (0)| < <*>, Т (п/2) = 0. Из условий (2) для функции Ф (ф) получим следующее условие Ф (0) = 0, Ф (п) = 0.
В результате исходная трехмерная задача распадается на три одномерные задачи на собственные значения:
г2Я (г) + 2 (1 + в + 7) гЯ (г)+ (Яг2 - х) Я (г) = 0, 0 < г < 1, (7)
Я (0) = 0, Я (1) = 0; (8)
r
T'' (в) + [(1 + 2в) cíge - 2ytg0] T' (в) +(X T (в) = 0, 0 < в < п/2, (9)
V sin2 в )
|T(0)| < T(п/2) = 0; (10)
Ф'' (ф) + 2вс^фФ' (ф) + д Ф (ф)= 0, 0 < ф < п, (11)
Ф (0)= 0, Ф (п) = 0. (12)
Сначала исследуем задачу {(11), (12)}. Произведя замену z = sin2ф в уравнении (11), получим гипергеометрическое уравнение
z (1 - z) Ф'' (z) + [(в + 1/2) - (1 + в) z] Ф' (z) + (д/4) Ф (z) = 0,
где Ф (z) = Ф (arcsin ^z).
Пользуясь общим решением этого уравнения [18, с.85], находим общее решение уравнения (11) в виде
Ф (ф) = C1F [(в + s) /2, (в - s) /2; 1/2 + в; sin2 ф] +
+С2 (sin ф)1-2в F [(1 - в + s) /2, (1 - в - s) /2; 3/2 - в; sin2 ф] , (13)
где ci и С2— произвольные постоянные, F (...) - гипергеометрическая функция Гаусса [18, с.69], s = \Jв2 + Д- неизвестная пока постоянная, причем Res > 0.
Удовлетворим функцию (13) условиям (12). Так как Ф (0) = 0, то ci = 0. Принимая во внимание это, из условия Ф(п) = 0, получим
С2Г (3/2 - в) Г (1/2) = 0.
Г [1 - (в + s) /2] Г [1 - (в - s) /2]
Умножая числитель и знаменатель полученной дроби на Г [(в + s) /2] = 0 (так как Res > 0) и учитывая равенства [18, с.18] Г (a) Г (1 - a) = [п/ sin (an)], из последнего равенства получим
С2Г (3/2 - в) Г (1/2) sin [п (в + s) /2] = 0 пГ-1 [(в + s) /2] Г [1 - (в - s) /2] .
Это равенство выполняется, например, при sin[п(в + s) /2] = 0.
Пользуясь формулой, дающей решение этого уравнения и неравенством s > 0, найдем
s = s„ = 2n - в, n e N. (14)
Следовательно, дп = sn - в2, n e N, где sn- числа, определяемые равенством (14), являются собственными значениями задачи {(11), (12)}.
Полагая в (13) s = sn, n e N, и учитывая C1 = 0, С2 = 1 получим собственные функции задачи {(11), (12)}, соответствующие собственным значениям дп :
Фп (ф) = (sin ф)1 -2в F [(1 - в + sn) /2, (1 - в - sn) /2; 3/2 - в; sin2 ф], n e N. (15)
/ ч-(1/2)-0-г
Произведя замену R (r) = (р/л/XI W (р), из (7) получим уравнение Бес-
селя в следующем виде [19, с.49]:
р2W" (р) + рW' (р) + (р2 - ю2) W (р) = 0, (16)
здесь р = VXr, ю = д/[(1/2) + в + Y]2 + X.
Принимая во внимание вид общего решения [19, с.54] уравнения (16) и введенные обозначения, получим общее решение уравнения (7) в виде
R (r) = сзг-(1/2)-в-% (VXr) + С4Г-(1/2)-в-ТГю (VXr) , 0 < r < 1, (17)
где c3 и c4— произвольные постоянные, а /ю(z) и Ую (z) - функции Бесселя порядка ю первого и второго рода [19, с.51] соответственно.
Из (17) следует, что решение уравнения (7), удовлетворяющее первому из условий (8), существует при Reto > (1/2) + в + Y и оно определяется равенством
R (r) = сзг-(1/2)-в-г/ю (VXr) . (18)
Для нахождения значения параметра X, надо определить значения параметра ю, т.е. значения параметра X, который находится из решения задачи {(9), (10)}. Поэтому, исследуем эту задачу.
Переходя к новой переменной £ = sin2 в, из уравнения (9) получим
5 (1 - £) TT" ) +
(1 + в) -( 2 + в + y)<§
Т (%) + 1(х - у)т (% )= 0 (19)
где Т (%) = Т ^агезт .
Обыкновенные дифференциальные уравнения типа (19), как известно [20, с.113], [21, с.129] называются уравнениями Гойна. Решение уравнения (19) ищем в виде
т й )= Ё АТ К )= £ (4 + ^, 4 + ^; 1 + в+ к;% ), (20)
к=0 ¿=0 V4 2 4 2 /
где
Тк«)= 1 + ,1 + ^ ;1+в+к;«
-гипергеометрическая функция Гаусса [18, с.69], удовлетворяющая следующему уравнению
% (1 - %) (%) + [(1 + в + к) - (у + в + 3/2) §] ТТк (%) + (х/4) Тк (%) = 0. (21) Подставляя (20) в уравнение (19) и принимая во внимание (21), получим
£ А ТТк (%) + (Ми/4) Тк (%)] = 0. (22)
к=0
Далее, используя следующее соотношение для функции Гаусса [18, с.111]
г^^^^Ь;?2""3^ = (аз - 1) [^ («1,- 1;г) - ^ (аьа2;аз;г)],
аг
имеем
S Tk' (S )= k [TTk-1 (S) - Tk (S)]. Учитывая последнее равенство, уравнение (22) можно записать в виде
£ Ak {k2Tk-1 (S) + [(Дп/4) -k2] Tk (S)} = 0. (23)
k=0
Из (23) следуют рекуррентные соотношения для коэффициентов разложения (20):
A0 = 1,
. k (в + k) - (Дп/4) Ak+1 = (k + 1)(1 + в + k)Ak, k = 0,1,2,....
Таким образом, мы построили разложения решений уравнения (19) в ряд по гипергеометрическим функциям
_ /1 в + y + ю 1 в + Y-ю, в , s
^ 4 + —~, 4 + —2—;1+в+k;s
Теперь, переходя к переменной в в (20), получим частное решение уравнения (9) в виде
T (в ) = £ AkF{ [(1/2) + в + Y+ ю] /2, [(1/2) + в + Y - ю] /2; 1 + в + k;sin2 в} =
k=0
- ((в+) /2)k ((в -) /2)k ¿0 k! (1 + в )k
xF {[(1/2) + в + Y + ю ] /2, [(1/2) + в + Y - ю ] /2; 1 + в + k; sin2 в } . (24)
Считая, что ряд (24) сходится равномерно (это будет доказано ниже), подставим
(24) в первое условие (10). Затем, учитывая равенство [18, с.73] F (a,b;c;0) = 1 получим (( ) ) (( ) )
T (0) (в + ¿F^) П) X (p - VFT^) /2) k
() k=0 k! (1 + в)k •
С помощью признака Раабе [17, Т.2., с.272] можно доказать сходимость последнего ряда и на основании разложе(ия гипергеометрической (функции [18, с.73], его сум-
ма равна F
Следовательно, функция
У + ^в^+дП) /2,(0 - ^в' + д) /2,1 + в, 1
(24) удовлетворяет первому условию (10).
Теперь покажем, что функция (24) удовлетворяет второму из условий (10). С этой целью, используя следующую формулу для гипергеометрической функции [18, с.73]
^ (а, Ь, с; 1) = [Г (с) Г (с - а - Ь)] / [Г (с - а) Г (с - Ь)], с - а - Ь > 0,
имеем
в + Vj^ + мП) /2) (в - ^в^) /2^
т (п) = у АХ_и:_• 'у' ^ w_^_• 'у'
V J ¿0 k! (1 + в)к
х_Г (1 + в + k) Г (1/2 - Y + k)_= 0
Г [(3/2 + в - y - ю) /2 + k] Г [(3/2 + в - y + ю) /2 + k] •
Умножая на Г {1 - [(3/2 + в - y - ю) /2 + k]} = 0 числитель и знаменатель полученной дроби (так как Reto > (1/2)+ в + y) и учитывая формулы [18, с.18] Г (a) Г (1 - a) = [п/ sin (an)], из последнего равенства получим
( п ) = у A Г (1 + в + k) Г (1/2 - Y + k) sin [(3 + 2в - 2y- 2ю) п/4] = 0
12) k=0 k Г-1 {1 - [(3/2 + в - y - ю) /2 + k]} Г [(3/2 + в - y + ю) /2 + k] •
Это равенство выполняется, например, при
. /3п вп Yп юп\
sin — + - ---— = 0.
4222
Пользуясь формулой, дающей решение этого уравнения, и неравенство ю > (1/2)+ в + y, найдем
ю = ю/ = 21 + (3/2) + в - y, / = 0,1,2,.... (25)
Следовательно, х/ = ю/2 - (1/2 + в + y)2, / = 0,1,2,..., где ю/- числа, определяемые равенством (25), являются собственными значениями задачи {(9), (10)}.
Полагая в (24) ю = ю/, / = 0,1,2,..., получим собственные функции задачи {(9), (10)}, соответствующие собственным значениям X/ :
/в + ^в^+МО /2),((в - /2
Tnl (0 ) = £ —- / AU / п
k=0
1
k! (1 + в)k
х ^ 1 + в +1, у - ^ -1; 1 + в + кЬт2 0^ , 0 е [0, п/2]. (26)
Теперь докажем, что ряд (26) сходится в [0, п/2]. Представим этот ряд в форме, удобной для получения оценки. Последовательно используя формулы [18, с.647-648]
(а + *)и = (а)т ((а + т)к, Г (а + к) = (а)к Г (а), (а)к
имеем
(1 + в + l)m (Г- 1 - iL () (^)
у у_^_¿J^_¿1 fsin2 0) m =
¿0 m=0 (1 + в )m (1 + в + m)km!k! ^ ^
(1 + в + 1)m (Y- 2 -1)
ш=0
(1 + в )„m!
sin2 в
'E
k=0
( в+Ув 2+Mn
V 2
в -Ув 2+м«
(1 + в + m)kk!
2
k
k
£ (1 + в ++ 1 )"jY - 2 - 0" (sin2 0)m^ в + , в-, 1 + в + m;H =
m=0 (1 +в )mm! V ; V 2 2
Г (1 + в) v
■ X
г( i + в-Ув2+мЛ г(i | в+Ув2+м«
х L , (1+в + ')т(;- 1 fsln2 e Г =
m=o f u в-Ув2+мЛ Л +__
m \ / m
-0 Л + в- Vв2+мЛ Л + в+Vв2+мпА
m
г (1+()
Г, 1 + в- Vв2+мЛ ^ 1 + m=0
где
£ Um (0),
(1 +в+ 0m (Г- 1 - Om /„^m
Um (в ) = 7-4 r—\m / 2-Vm_, Sin2 в
Л + Л , в+у^+мЛ
mm
В силу признака Даламбера [17, Т.2., с.271], из последнего имеем
Um+1(в)
lim
m—> <х
= sin2 0.
ит (0)
Следовательно, ряд (26) при 0 € [0, п/2) сходится абсолютно и равномерно, функция Тп/ (0) при 0 ^ 0 ограничена, а при 0 ^ (п/2) стремится к нулю.
На основании сказанного выше, можно заключить, что ряд (26) сходится абсолютно и равномерно в [0, п/2].
Замечание 1. Пусть в (26) / = к. Тогда, в силу известной формулы для гипергеометрической функции [18, с.109],
^ (а, Ь, а; х) = (1 - х)-Ь
ряд (26) принимает вид
Г (01 /2)Жв-У^) /2) k (cos2 0 ,k+(,/2)-r
Г"(0) = ^-и (1+в)к-(cos 0) .
k=0
Отсюда видно, что |Тт (0)| < и Тт (п/2) = 0.
Применение признака Даламбера дает сходимость ряда при 0 € (0, п/2). Замечание 2. Согласно принятым обозначениям в [18, с.378], сумма ряда (26) равна ^3 (...), т.е.
(в+Ув2+м^ ^в-Ув2!^
к=0 а + в)* ' V ' " ' " 2
' , 1 + в + , в^л/Д^+Мп „ 1 г 1 I в. 1 ,
I"-2 и/л 2-— f( 1 + в +1, Y - 2 -1 ;1 + в + k;sin2 0) =
F3( , 1 + в +1,/WS, y - 1 -1, 1 + в; 1, sin2 0^
Теперь, принимая во внимание, что Ю/, / = 0,1,2,...- известные числа, определяемые равенствами (25), находим значения параметра Я из (18). С этой целью, подставляя (18) ко второму условию (8), получим
л/Я) = 0, / = 0,1,2,.... (27)
Известно, что при l > —1 функция Бесселя J (z) имеет счетное число нулей, причем все они вещественны и с попарно противоположными знаками [19]. Так как ft)/ > (1/2) + в + Y, то уравнение (27) имеет счетное число вещественных корней. Обозначая через aml m— ый положительный корень уравнения (27), получим те значения параметра X, при которых существуют нетривиальные решения задачи (т.е. собственные значения задачи Der) {(7),(8)}: X^ = , m еN, l = 0,1,2,....
Полагая в (18) X = и c3 = aml, где aml = 0— произвольная постоянная, получим нетривиальные решения (собственную функцию) задачи {(7),(8)}:
Rmi (r) = am/r-(1/2)—в—'Jfti (am/r), m е N, l = 0,1,2,... . (28)
Следовательно, задача {(1),(2)} имеет счетное число собственных значений и собственные функции. Её собственными значениями являются числа, X = ah, m е N, l = 0,1,2,..., а собственные функции, в силу формул (15), (26) и (28), определяются равенствами
Unlm cnlmr ( / ) в YJftl (amlr) X
х (sin V )■ —2в F ( 1=¿±*, Ьв ;sin2 V) X xF3 í ß±VB,! + в + i , tV^, y — I — i, ! + в;!, sin2S |,
где r = \Jx2 + y2 + z2, V = arctg (y/x), 0 = arceos (z/r), cnlm = 0 — произвольные постоянные. Этим завершено исследование задачи dXy. Аналогично исследована следующая задача:
Задача DÍ^. Найти значения параметра X и соответствующие им нетривиальные функции и (x,y,z) е C ^ííj П C2 (íí), удовлетворяющие уравнению
2a 2в 2y
Uxx + Uyy + Uzz ±--Ux ±--Uy ±--Uz + Xи = 0, (x,y, z) е í (29)
x y ^ z
и краевому условию
u (x, y, z) = 0, (x, y, z) е díí,
где íí = í n{x > 0}, а a = const е (0,1 /2) — заданные числа.
Проведя те же рассуждения, что и в решении задачи Df7, можно убедиться
в том, что при X < 0 задача D^7 имеет только тривиальное решение, т.е. в этом промежутке собственные значения задачи не существуют, а при X > 0 существует счетное число собственных значений Xml (m е N, l = 0,1,2,...) задачи D^7, причем они определяются как корни уравнений
l
(VÄ) = 0, l = 0,1,2,... ,
где бй/ = 21 + (3/2) + а + в-у, 1 = 0,1,2,....
Соответствующие этим собственным значениям собственные функции в области даются формулами
Unlm=cnlmr—(1/2)—a—в—Y/*( v^r)
x
(• ^^ßz-^lH aоß Hsn 1H aоßоs~„ 3 . 2 \
x (sinф) pfÍ—2—,—2—оß;sm2Ф) x
a Hß W(a Hß)2 H A„
xF3 ^-^-, 1H aHßHl,
aHß ^(a Hß)2 H A
2 , Y о 1 о i, 1H a H ß; 1, sin2 О
где cnlm = 0о произвольные постоянные, Ди = s;; о (a Hß)2, Sn = 2n о a о ß, n g N.
Замечание 3. Аналогичным способом можно изучить различные задачи для уравнения (1) [(29)] в области í (Й), задавая на различных плоскостях границы дí (дЙ)
условия Дирихле и Неймана.
Список литературы
[1] Салахитдинов М.С., Уринов А. К., К спектральной теории уравнений смешанного типа, Mumtoz so'z, Ташкент, 2010, 354 с. [Salahitdinov M. S., Urinov A. K. K spektral'noj teorii uгavnenij smeshannogo tipa. Tashkent. Mumtoz so'z. 2010. 354 ].
[2] Моисеев E. И., "Решение задачи Трикоми в специальных областях", Дифференц. уравнения, 26:1 (1990), 93-103. [Moiseev E.I. Reshenie zadachi Trikomi v special'nyh oblastjah. Differenc. uгavnenija.1990. vol. 26. issue 1. 93-103 ].
[3] Пономарев С. М., Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева-Бицадзе, Дис... . д-ра физ.-мат. наук, 1981. [Ponomarev S. M. Spektral'naja teorija osnovnoj kraevoj zadachi dlja uravnenija smeshannogo tipa Lavrent'eva-Bicadze. Dis... . d-га fiz.-mat. nauk. 1981 ].
[4] Кальменов Т. Ш., "О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе", Дифференц. уравнения, 13:8 (1977), 1715-1725. [Kal'menov T. Sh. O spektre zadachi Trikomi dlja uravnenija Lavrent'eva-Bicadze. Differenc. uravnenija. 1977. vol. 13. issue 8. 1715-1725 ].
[5] Уринов А. К., "Задачи на собственные значения для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом", Узбекский мат. журн, 2005, № 1, 70-78. [Urinov A. K. Zadachi na sobstvennye znachenija dlja uravnenija smeshannogo tipa s singuljamym kojefficientom. Uzbekskij mat. zhura. 2005. issue 1. 70-78 ].
[6] Уринов А. К., Каримов К. Т., "Нелокальные задачи на собственные значения для уравнения смешанного типа с двумя сингулярными коэффициентами", Докл. АН РУз, 2010, №2, 19-24. [Urinov A. K., Karimov K. T. Nelokal'nye zadachi na sobstvennye znachenija dlja uravnenija smeshannogo tipa s dvumja singuljaraymi kojefficientami. Dokl. AN RUz. 2010. issue 2. 19-24 ].
[7] Сабитов К. Б., Карамова А. А., "Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения", Дифференц. уравнения, 2002, № 38(1), 111-115. [Sabitov K. B., Karamova A. A. Reshenie odnoj gazodinamicheskoj zadachi dlja uravnenija smeshannogo tipa s negladkoj liniej vyrozhdenija. Differenc. uravnenija. 2002. no 38(1). 111-115 ].
[8] Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н., Сборник задач по математической физике, Гостехиздат, М., 1956, 685 с. [Budak B. M., Sama^^ A. A., Tihonov A. N. Sbornik zadach po matematicheskoj fizike. Moskva. Gostehizdat. 1956. 685 ].
[9] Моисеев E. И., Нефедов П. В., Холомеева А. А., "Аналоги задач Трикоми и Франкля в трехмерных областях для уравнения Лаврентьева-Бицадзе", Дифференц. уравнения, 50:12 (2014), 1672-1675. [Moiseev E. I., Nefedov P.V., Holomeeva A.A. Analogi zadach Trikomi i Franklja v trehmerayh oblastjah dlja uravnenija Lavrent'eva-Bicadze. Differenc. uravnenija. 2014. vol. 50. no 12. 1672-1675 ].
[10] Moiseev E.I., Nefedov P.V., "Frankl problem foT the Lavrent'ev-Bitsadze equation in a 3D-domain", Integral Transforms and Special Functions, 24:7 (2013), 554-560.
[11] Сабитов К.Б., Карамова А.А., "Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения", Изв. РАН. Серия матем., 2001, №65(4), 133-150. [Sabitov K. B., Karamova A.A. Spektral'nye
svojstva reshenij zadachi Trikomi dlja uravnenija smeshannogo tipa s dvumja linijami izmenenija tipa i ih primenenija. Izv. RAN. Serija matem. 2001. no 65(4). 133-150 ].
[12] Сабитов К.Б., Хасанова С.Л., "Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения", Изв. вузов., 2003, №6(493), 64-76. [Sabitov K. B., Hasanova S. L. Spektral'nye svojstva kraevoj zadachi s proizvodnoj po normali v granichnom uslovii dlja uravnenij smeshannogo tipa i ih primenenija. Izv. vuzov. 2003. no 6(493). 64-76 ].
[13] Моисеев Е.И., "О решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональ-ных рядов", Дифференц. уравнения, 27:1 (1991), 94—103. [Moiseev E.I. O reshenii vyrozhdajushhihsja uravnenij s pomoshh'ju biortogonal'nyh rjadov. Differenc. uravnenija. 1991. vol. 27. no 1. 94—103 ].
[14] Уринов А. К., Каримов К. Т., "Задача Трикоми для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами", Вестник Национального университета. Серия: Математика, Механика, Физика, Информатика, 2:1 (2016), 14-25. [Urinov A. K., Karimov K. T. Zadacha Trikomi dlja trehmernogo uravnenija smeshannogo tipa s tremja singuljarnymi kojefficientami. Vestnik Nacional'nogo universiteta. Serija: Matematika, Mehanika, Fizika, Informatika. 2016. vol. 2. no 1. 14-25 ].
[15] Каримов К. Т., "Задача Дирихле для трехмерного эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами", Узбекский математический журнал, 2017, № 1, 96105. [Karimov K. T. Zadacha Dirihle dlja trehmernogo jellipticheskogo uravnenija s dvumja singuljarnymi kojefficientami. Uzbekskij matematicheskij zhurnal. 2017. no 1. 96-105 ].
[16] Галимова А.,Р., "В-сферические функции и применение их для решения граничных задач", Вестник ТГГПУ, 2008, №4, 15-19. [Galimova A. R. V-sfericheskie funkcii i primenenie ih dlja reshenija granichnyh zadach. Vestnik TGGPU. 2008. no 4. 15-19 ].
[17] Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2, ФИЗ-МАТЛИТ, М., 2001, 810 с. [Fihtengol'c G. M. Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischislenija. vol 2. Moskva. FIZMATLIT, 2001. 810 ].
[18] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции. Функции Лежандра., Наука, М., 1973, 296 с. [Bejtmen G., Jerdeji A. Vysshie transcendentnye funkcii. Gipergeometricheskie funkcii. Funkcii Lezhandra. Moskva. Nauka.1973. 296 ].
[19] Ватсон Г. Н., Теория бесселевых функций, ИЛ, Москва, 1949, 798 с. [Vatson G.N. Teorija besselevyh funkcij. Moskva. Izd. IL. 1949. 798 ].
[20] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и авто-морфные функции. Функции Ламе и Матье, Наука, М., 1967, 299 с. [Bejtmen G., Jerdeji A. Vysshie transcendentnye funkcii. Jellipticheskie i avtomorfnye funkcii. Funkcii Lame i Mat'e. Moskva. Nauka. 1967. 299 ].
[21] Славянов С., Лай В., Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей, Гостехиздат, Спб., 2002, 312 с. [Slavjanov S., Laj V. Special'nye funkcii: Edinaja teorija, osnovannaja na analize osobennostej. Spb. Gostehizdat. 2002. 312. ].
[22] Прудников А. П., Брычков Ю.А., Маричев О. И., Интегралы и ряды. Специальные функции. Т. 3, Наука, М., 1983, 752 с. [Prudnikov A. P., Brychkov Ju. A., Marichev O.I. Integraly i rjady. Special'nye funkcii. vol 3. Moskwa. Nauka. 1983. 752 ].
Список литературы (ГОСТ)
[1] Салахитдинов М.С., Уринов А. К. К спектральной теории уравнений смешанного типа. Ташкент: Мит1т Бо'г, 2010. 354 с.
[2] Моисеев Е. И. Решение задачи Трикоми в специальных областях // Дифференц. уравнения. 1990. Т. 26. №1. С. 93-103
[3] Пономарев С. М. Спектральная теория основной краевой задачи для уравнения смешанного типа Лаврентьева-Бицадзе. Дис... . д-ра физ.-мат. наук. 1981
[4] Кальменов Т. Ш. О спектре задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13. №8. С. 1715-1725
[5] Уринов А. К. Задачи на собственные значения для уравнения смешанного типа с сингулярным коэффициентом // Узбекский мат. журн. 2005. №1. С. 70-78
[6] Уринов А. К., Каримов К. Т. Нелокальные задачи на собственные значения для уравнения смешанного типа с двумя сингулярными коэффициентами // Докл. АН РУз. 2010. №2. С. 19-24
[7] Сабитов К. Б., Карамова А. А. Решение одной газодинамической задачи для уравнения смешанного типа с негладкой линией вырождения // Дифференц. уравнения. 2002. Т. 38. №1. С. 111-115
[8] Будак Б. М., Самарский А. А., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. М.: Гостехиздат, 1956. 685 с.
[9] Моисеев Е. И., Нефедов П. В., Холомеева А. А. Аналоги задач Трикоми и Франкля в трехмерных областях для уравнения Лаврентьева-Бицадзе // Дифференц. уравнения. 2014. Т. 50. №12. С. 1672-1675
[10] Moiseev E. I., Nefedov P. V. Franki problem for the Lavrent'ev-Bitsadze equation in a 3D-domain // Integral Transforms and Special Functions. 2013. vol. 24. no 7. pp. 554-560
[11] Сабитов К. Б., Карамова А. А. Спектральные свойства решений задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с двумя линиями изменения типа и их применения // Изв. РАН. Серия матем. 2001. №65(4). С. 133-150
[12] Сабитов К. Б., Хасанова С. Л. Спектральные свойства краевой задачи с производной по нормали в граничном условии для уравнений смешанного типа и их применения // Изв. вузов. 2003. №6(493). С. 64-76
[13] Моисеев Е. И. О решении вырождающихся уравнений с помощью биортогональных рядов // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27. №1. С. 94—103
[14] Уринов А. К., Каримов К. Т. Задача Трикоми для трехмерного уравнения смешанного типа с тремя сингулярными коэффициентами // Вестник Национального университета. Серия: Математика, Механика, Физика, Информатика. 2016. Т. 2. №1. С.14-25
[15] Каримов К. Т. Задача Дирихле для трехмерного эллиптического уравнения с двумя сингулярными коэффициентами // Узбекский математический журнал. 2017. №1. С. 96-105
[16] Галимова А. Р. В-сферические функции и применение их для решения граничных задач // Вестник ТГГПУ. 2008. № 4. С. 15-19
[17] Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. T2. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 810 с.
[18] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрические функции. Функции Лежандра. М.: Наука.1973. 296 с.
[19] Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: Изд. ИЛ, 1949. 798 с.
[20] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморф-ные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука. 1967. 299 с.
[21] Славянов С., Лай В. Специальные функции: Единая теория, основанная на анализе особенностей. Спб.: Гостехиздат, 2002. 312 с.
[22] Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. Т.3. М.: Наука, 1983. 752 с.
Для цитирования: Каримов К. Т. Спектральные задачи для трехмерных эллиптических
уравнений с сингулярными коэффициентами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017.
№ 2(18). C. 7-19. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-7-19
For citation: Karimov K. T. Spectral problems for three-dimensional elliptic equations with
singular coefficients, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 18: 2, 7-19. DOI: 10.18454/20796641-2017-18-2-7-19
Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.05.2017
