The linear inverse problem for the mixed type equation of the second kind of the second order with nonlocal boundary conditions in three-dimensional space Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 1(17). C. 7-13. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2017-17-1-7-13

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.6

ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА ВТОРОГО РОДА ВТОРОГО ПОРЯДКА С НЕЛОКАЛЬНЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ В ТРЁХМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

С. З. Джамалов

Институт математики Академии наук Узбекистана, 100125,

г.Ташкент, Академгородок, ул. Дурман йули, 29

E-mail: [email protected]

В работе рассматриваются вопросы корректности одной линейной обратной задачи для уравнения смешанного типа второго рода, второго порядка в трёхмерном пространстве. Для этой задачи методами «г -регуляризации», Галеркина и последовательностью приближений доказаны теоремы существования и единственности решения в определенном классе.

Ключевые слова: линейная обратная задача, корректность решения, метод Галеркина, метод «г - регуляризации», метод последовательных приближений.

(с) Джамалов С. З., 2017

MATHEMATICS

MSC 34M10, 35M20

THE LINEAR INVERSE PROBLEM FOR THE MIXED TYPE EQUATION OF THE SECOND KIND OF THE SECOND ORDER WITH NONLOCAL

BOUNDARY CONDITIONS IN THREE-DIMENSIONAL SPACE

S.Z. Djamalov

Institute of Mathematics, Uzbekistan Academy of Sciences, 100125, Tashkent,

Academgorodok, Do'rmon yo'li, 29 str.

E-mail: [email protected]

In the present work the problems of correctness of a linear inverse problem for the mixed type equation of the second kind of the second order in three-dimensional space are considered. For this problem, the theorems on existence and uniqueness of the solution are proved in certain class by «г-regularization», Galerkin's and of successive approximations methods.

Keywords: a linear inverse problem, correctness of solution, Galerkin's method, «г - regularization» method, method of successive approximations.

© Djamalov S.Z, 2017

Введение

В процессе исследования нелокальных задач была выявлена тесная взаимосвязь задач с нелокальными краевыми условиями и обратными задачами. К настоящему времени достаточно хорошо изучены обратные задачи для уравнений параболического, эллиптического и гиперболического типов. [1,2,8,9,12]. Значительно менее изученными являются обратные задачи для уравнений смешанного типа [6,10,11].

Частично восполнить данный пробел мы и попытаемся в рамках этой работы.

Формулировка задачи

В области Q = (0,1) х (0, Т) х (0,£) = Q 1 х (0,£) рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка.

Ьм = К(х, г) мгг — А м + а (х, г) мг + с (х, г) м = ^ (х, г, у) (1)

где Ам = мхх + муу оператор Лапласа в плоскости. Предположим, что коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие функции и пусть К(х, 0) < 0 < К(х, Т). Уравнения (1) относится к уравнениям смешанного типа второго рода, так как на знак функции К(х,г) по переменной г внутри области Q не налагается никаких ограничений [3].

Задача 1. (Нелокальная краевая задача) Найти решение уравнения (1) удовлетворяющее условиям.

у м (х, 0, у) = м (х, Т, у) (2)

D>|x=o = ОДХ=1 (3)

DH=o = Р = 1' (4)

где у — const = 0, такое что у е (1,<*>). Отметим, что в работах [4,5] в случае K(x, 0) < 0 < K(x, T). при определенных условиях на коэффициенты уравнения и правую часть уравнения (1) была доказана корректность решения задачи (2)-(4) из пространства С.Л. Соболева WZ2(Q), когда 2 < l-целое число.

В данной работе при дополнительном условии решение уравнения (1) ищется в определенных классах- как само решение, так и правая часть уравнения. Пусть Y (x, t, y) = g (x, t, y) + h (x, t) ■ f (x, t, y), где g (x, t, y) и f(x, t, y) - заданные функции.

Задача 2. (Линейная обратная задача) Найти функции (u(x,t,y), h(x,t)) удовлетворяющие уравнению (1) в области Q, такие, что функция и (x, t, y) удовлетворяет краевым условиям (2)-(4) и дополнительному условию

u(x, t,£0) = ф (x, t), (5)

где 0 < £0 < £ < .

Теорема 1. Пусть выполнены вышеуказанные условия для коэффициентов уравнения (1), кроме того, пусть 2а — |Kt | + XK > 51 > 0; X c — ct > д2 > 0; гдеХ = 2lnу такое, что у е (1,а(x, 0) = а(x, T), c(x, 0) = c(x, T), пусть далее (1 + D3)g е W2(Q); уg(x,0,y) = g(x,T,y); g(x,t,£0) = g0(x,t) е W2(Q1) (1 + D*)f е W2(Q); Yf(x,0,y) = f(x,T,y); f(x,t,£0) = f0(x,t) е W2(Q1); |f0(x,t)| > n > 0.

Предположим, что заданная функция ф (х,г) е W\(<21) является решением следующей задачи

Ьоф = K(x, t) ф tt - фхх + a (x, t) ф t + c (x, t)ф = go(x, t)

\x=0

Y• ф (x, 0) = ф (x, T); Орхф \x=0 = Орхф \x=1,p = 0,1.

однозначная разрешимость и гладкость решения, которой изучена в [4,5], и пусть существует положительное число v такое, что ¿0 — 6v > 8* > 0

œ

2р = M • £ (1 + д 6) I fs 1} < 8*, 80 = min { 81,82, X } ; M—const ( 80; n ; v—1; | |g011 ; mes(Qi))

s=0

Тогда функции

œ 1 œ

u(x, t, y) = £ Us(x, t )Ys(y), h(x, t ) = — £ tâus(x, t )Ys (£0)

s=0 f0 s=0

являются решением линейной обратной задачи (1)-(5) из класса

U = {(u,h)l u g W2(Q);h g W2(01 );D3y {Uxx, utx, utt} g L2(Q); D4yu g L2(Q)}

1 /2 2 2 2ns 2

где, функции Yk(y) = {^£, y £ cos£ sin ДkУ}, д52 = (—)2, к G N0 = N U {0}, N

- множества натуральных чисел, являются решениями спектральное задачи Штурма- Лиувилля с периодическими условиями. Известно, что система собственных функций {Yk(у)} - фундаментальна в пространстве L2(Q)u в нем образует ортонормированный базис [14], а функции us(x,t); s = 0, 1, 2, У,... являются решением в области Q1 соответствующих нагруженных задач.

f œ

Lus = L0 us + Д2 us = gs + f • £ дт um Ym (£0) = F (us) (6)

f0 m=0

Yus (x, 0) = us (x, T) (7)

DPuslx=0 = Dpuslx=1, p = 0,1 (8)

где

/2 £ /2 £

fs V 2 • J f (x, t, y)Ys(y)dy; gs = y £ • / g(x, t, y)Ys(y)dy.

00 Нагруженным уравнением принято называть уравнения с частными производными, содержащие в коэффициентах значения тех или иных функционалов от решения уравнения [7,8,9].

Доказательство. Докажем теорему 1 поэтапно. Сначала покажем, что функция u(x,t,y) удовлетворяет дополнительному условию (5), т.е. u(x,t,£0) = ф (x,t). Положим противное. Пусть u (x, t,£0) = v (x, t) = ф (x, t), тогда для функции z(x, t) = v(x,t) — ф(x,t)в области Q1 из (6)-(8) получим

L0z = K (x, t ) ztt — zxx + a (x, t ) zt + c (x, t ) z = 0 (9)

у ■ г (х, 0) = г (х, Т); АР4=0 = ВДх=1, р = 0,1 (10)

Из единственности решения задачи (9),(10) [4,5] следует что г(х,?) = 0, т.е. у(х,?) = ф(х,?). В дальнейшем при доказательстве теоремы 1 нам понадобятся следующие обозначения и вспомогательные леммы. Пусть € ^(61), тогда определим пространства ^¡(61); г = 0,1,2 с соответствующее нормой

Ке>? = £ (1 + Ms6) IkeIfe(ßi);i = О' 2

5=0

при г = 0; ^Ъ(21) = Ь2(б1). Очевидно, что пространства Ж'ШО; г = 0,1,2 с заданной нормой являются банаховыми [13]. Из теоремы вложения Соболева следует

вдо с адо с щео.

Теорема 2. Пусть выполнены все вышеуказанные условия теоремы 1,тогда существует единственное решение задачи (6)-(8) из пространства ^2(б1).

Доказательство. Сначала докажем разрешимость задачи (6)-(8), методами е -регуляризации, последовательных приближений и априорных оценок [2,3,4,5,13], а именно рассмотрим семейство уравнений

¿е"й = -е|Ли2 + ¿0+ д2 "й = & + 4 ■ £ ДпИи-1) ^«(4) = ^(ц^)

ш=0

(11)

УАдий(х,0) = А^х,Т); д = 0,1,2 (12)

' .(0 '

= Dxus,£

x=0

' p = 0' 1 (13)

U-rU¡¡_F.

x=1

где e > 0, 1 = 0,1,2,.......; 7 — const = 0, такое что у е (1,

Лемма 1. Пусть выполнены все условия теоремы 2, тогда для решения задачи (11)-(13) справедливы следующие оценки

1 и ue \ \ / (11 >2

rtóS

I) £((12"S)0 + ( 5§) Н ("$)1 < const(/)

II) í(2 + (uS2)2 < const(/).

Символом const {//¡здесь и далее обозначим постоянную, независящую от l. Доказательство. Применяя результаты работы [2,4,5,6], методы индукции, априорных оценок и теоремы вложения С.Л. Соболева к тождествам

2(Leu« - FS(wSl-1)),exp{-Яt)= 0,-2{Le-F(и^),exp{-у)Л£ий)о = 0,

где {■,-)0 -обычное скалярное произведение в L2{Q1), Л^ = wtt + wxx оператор Лапласа по переменным t и x.

A£w = exp(-^)

д Aw „ Я 2

после интегрирования получим соответственно первую и вторую оценки. Лемма 1 доказана. □

Теперь введём новую функцию из W2(01) по формуле у^ = — и{— ^ ; е > 0;5 = 0,1,2,...; I = 1,2,3,... . Тогда для неё справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Пусть выполнены все условия теоремы 2 и леммы 1. Тогда для функции | | е W2(Q1) справедливы следующие оценки.

2 . / д2иП \\ . / (I)\2 . /р_\(1)

III) i(<12vS>0+ (1 < (¿)"'const(/), V) i (IAv$)0 + (v$)l < (£(/).

Доказательство. Так как для функции \ ulll\ е W2(Qi) справедливы оценки

I),II), то, повторяя рассуждения леммы 1, получим утверждение леммы 2. □

Лемма 3. Пусть выполнены все утверждения теоремы 2 и леммы 1 и 2. Тогда задача (11)-(13) однозначно разрешима в W2(Q1), такое что

е е Wo(Ql), д г

Доказательство. Докажем методом сжимающих отображений [2,6,13,14]. Определим в пространстве W2(Q1) оператор.

и(1) = Ь— )) = Ри(,е 1

1. Покажем, что оператор Р отображает пространства W2(Q1) в себя.

Пусть |и(1— ^ | е W2(01), тогда для решения задачи (11)-(13), справедливо утверждение леммы-1,т.е. справедлива оценка II). Отсюда для любых I = 1,2,3..., получим {и«} е W2(Ql). Таким образом Р : W2(Q 1) ^ W2(Ql) 2. Покажем, что Р-сжимающий оператор.

Пусть {}, {и(— 1)} е W2(Q1). Рассмотрим новую функцию у^ = и^ — и(— 1), для нее справедливо утверждение леммы-2, т.е. справедлива оценка ^),т.е.

е < dt >:+w >: * (f Г-

<5* \ дг 0 ' / 2

Таким образом Р-сжимающий оператор; по известному принципу сжимающих отображений [2,13,14], задача (11)-(13) имеет единственное решение, принадлежащее

де

пространству и5 е е W2(01), такое, что е ——— е Wo(Q1),при е > 0. □

д г

Теперь докажем теорему 2. Пусть { и5,е } е W2(Q1) при фиксированном е > 0 есть единственное решение задачи (11)-(13). Тогда при е > 0 для любого 5 = 0,1,2,3,... справедливо неравенство IV). По теореме о слабой компактности [3,13], из ограниченной последовательности {и5,е} можно извлечь слабо сходящуюся под последовательность , такую, что ^ и5 слабо в W2(Q1) при еj ^ 0. Покажем, что предельная функция и5(х,г) удовлетворяет уравнению (6) почти всюду в W2(Q1). Действительно, так как под последовательность слабо сходится в W2(Q1), а оператор Ь— линеен, то при фиксированном 5 имеем

д Aus еj

Lus -Fs = еj—+ Lo(Us,ej - us)

Переходя к пределу при £j ^ 0, получаем Lus = Fs почти всюду. При фиксированном s функция us(x,t) будет единственным решением задачи (6)-(8) из W2(Qi). Чтобы доказать единственность задачи (6)-(8) рассмотрим следующее тождество

д

2(Lus - FS, exp(-Я t)—Us)o = 0

Применяя метод априорных оценок [4,5,13] при выполнений условий теоремы в W2(Qi) получаем неравенство (us)i < 0. Отсюда следует единственность решения задачи (6)-(8). Тем самым доказана теорема 2. □

Теперь докажем теорему 1. Так как выполнены все условия теоремы 1,2, используя равенства Парсеваля - Стеклова [13,14] для решения задачи (6)-(8) получим решение задачи (1)-(5) из указанного класса U. Тем самым доказана теорема-1. □

Список литературы

[1

[2

[3 [4

[5 [6

[7

[8

[9

[10

Аниконов Ю.Е., Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений, Наука, Новосибирск, 1978, 120 с. [Anikonov Ju. E., NekoWye metody issledovanija mnogomerayh obratnyh zadach dlja differencial'nyh uravnenij, Nauka, NovosibiTsk, 1978, 120 p. ].

Бубнов Б. А., К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических и гиперболических уравнений, Препринты № 713,714, ВЦ.СО АН СССР, Новосибирск, 1987, 44 с. [Bubnov B. A., K voprosu o razreshimosti mnogomemyh obratnyh zadach dlja parabolicheskih i gipertolicheskih uravnenij, Preprinty № 713,714, VC. SO AN SSSR, Novosibirek, 1987, 44 p. ].

Врагов В. Н., Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики, НГУ, Новосибирск, 1983, 84 с. [Vragov V. N., Kraevye zadachi dlja neklassicheskih uгavnenij matematicheskoj fiziki, NGU, Novosibiгsk, 1983, 84 ].

Джамалов С. З., "Об одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка", Узбекский математический журнал, 2014, №1, 5-14. [Dzhamalov S. Z., "Ob odnoj nelokal'noj kraevoj zadachi dlja uravnenija smeshannogo tipa vtorogo гoda vtoгogo poгjadka", Uzbekskij matematicheskij zhuraal, 2014, №1, 5-14. ]. Djamalov S.Z., "On the co^ectness of a nonlocal problem к>г the second oгdeг mixed type equation of the second kind in a rectangle", IIUM Engineering Journal, 17:2 (2016), 95-104. Джамалов С. З., "Об одной линейной обратной задаче для уравнения Трикоми в трёхмерном пространстве.", Вестник КРАУНЦ, 13:2 (2016), 12-17. [Djamalov S.Z. The lineaг invehe problem к>г the equation of Tnkomi in three-dimensional space. Vestnik KRAUNTS. Phiz. & mat. nauki. 13:2. 2016. 12-17 ].

Дженалиев M. Т., К теории краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений, Институт теоретической и прикладной математики, Алматы, 1995. [Dzhenaliev M. T., K teorii kraevyh zadach dlja nagrnzhennyh differencial'nyh uravnenij, Institut teoreticheskoj i prikladnoj matematiki, Almaty, 1995 ].

Кожанов А. И., "Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи", Журн. вычислит. математики и мат. физики, 44:4 (2004), 694-716. [Kozhanov A. I., "Nelinejnye nagrnzhennye uravnenija i obratnye zadachi", Zhura. vychislit. matematiki i mat. fiziki, 44:4 (2004), 694-716 ].

Кожанов А. И, ".Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнений и о связанной с ним обратной задаче", Мат.заметки, 76:6 (2004), 840-853. [Kozhanov A. I, ".Ob odnom nelinejnom nagrnzhennom parabolicheskom uravnenij i o svjazannoj s nim obratnoj zadache", Mat.zametki, 76:6 (2004), 840-853 ].

Сабитов К. Б, Сафин Э. M., "Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области", Докл. РАН, 429:4 (2009), 451-454. [Sabitov K. B, Safin Je. M., "Obratnaja zadacha dlja uravnenija paгabolo-gipeгbolicheskogo tipa v pnamougol'noj oblasti", Dokl. RAN, 429:4 (2009), 451-454 ].

Сабитов К. Б., Мартемьянова Н. В., "Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа", Изв. вузов. Математика, 2011, №2, 71-85. [Sabitov K. B., Martem'janova N. V., "Nelokal'naja obratnaja zadacha dlja uravnenija smeshannogo tipa", Izv. vuzov. Matematika, 2011, no 2, 71-85 ].

[12] Лаврентьев М. М, Романов В. Г, Васильев В. Г., Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений, Наука, Новосибирск, 1969, 67 с. [Lavrent'ev M. M, Romanov V. G, Vasil'ev V. G., Mnogomernye obratnye zadachi dlja differencial'nyh uravnenij, Nauka, Novosibirsk, 1969, 67 ].

[13] Ладыженская О. А., Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973. [Ladyzhenskaja O. A., Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki, Nauka, M., 1973 ].

[14] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, Наука, М., 1969. [Najmark M. A., Linejnye differencial'nye operatory, Nauka, M., 1969. ].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978. 120 с.

[2] Бубнов. Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических и гиперболических уравнений. Препринты №713,714. ВЦ.СО АН СССР. Новосибирск. 1987. 44 c.

[3] Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики. Новосибирск. НГУ, 1983. 84 c.

[4] Джамалов С.З. Об одной нелокальной краевой задачи для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка // Узбекский математический журнал. 2014. №1. С.5-14

[5] Djamalov S.Z., On the correctness of a nonlocal problem for the second order mixed type equation of the second kind in a rectangle // IIUM Engineering Journal. 2016. vol.17. № 2. C. 95-104.

[6] Джамалов.С.З. Об одной линейной обратной задаче для уравнения Трикоми в трёхмерном пространстве // Вестник КРАУНЦ. 2016. №. 2(13). С.12-17

[7] Дженалиев М.Т. К теории краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений. Алматы: Институт теоретической и прикладной математики,1995.

[8] Кожанов А.И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2004. Т. 44. № 4. С. 694-716.

[9] Кожанов А.И.Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнений и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76. №6. С. 840-853.

[10] Сабитов К.Б, Сафин Э.М. Обратная задача для уравнения параболо-гиперболического типа в прямоугольной области // Докл.РАН. 2009. Т. 429. №4. С. 451-454.

[11] Сабитов К.Б., Мартемьянова Н.В. Нелокальная обратная задача для уравнения смешанного типа // Изв. вузов. Математика. 2011. №2. С.71-85.

[12] Лаврентьев М.М, Романов В.Г, Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.

[13] Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука,1973.

[14] Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука.1969.

Для цитирования: Джамалов С. З. Линейная обратная задача для уравнения смешанного типа второго рода второго порядка с нелокальными граничными условиями в трёхмерном пространстве // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 1(17). C. 7-13. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-17-1-7-13

For citation: Djamalov S. Z. The linear inverse problem for the mixed type equation of the second kind of the second order with nonlocal boundary conditions in three-dimensional space, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 17: 1, 7-13. DOI: 10.18454/2079-6641-2017-17-1-7-13

Поступила в редакцию / Original article submitted: 23.12.2016