О некоторых обобщениях свойств оператора Эрдейи-Кобера и их приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). C. 20-40. ISSN 2079-6641

DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-20-40

УДК 517.2/3, 517.956

О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ СВОЙСТВ ОПЕРАТОРА ЭРДЕЙИ-КОБЕРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Ш.Т. Каримов

Ферганский государственный университет, 150100, Узбекистан г. Фергана,

ул. Мураббийлар, 19

E-mail: shkarimov09@rambler.ru

В работе доказано композиция обобщенного оператора Эрдейи-Кобера с дифференциальными операторами высокого порядка. Применяя доказанные теоремы, построена явная формула решения аналога сингулярной задачи Коши для итерированного уравнения Клейна-Гордона-Фока.

Ключевые слова: оператор Эрдейи - Кобера, дифференциальный оператор Бесселя, уравнения Клейна-Гордона-Фока

© Каримов Ш.Т., 2017

MSC 26A33, 35L10

ABOUT SOME GENERALIZATIONS OF THE PROPERTIES OF THE ERDELYI-KOBER OPERATOR AND THEIR APPLICATION

Sh.T. Karimov

Ferghana State University, 150100, Uzbekistan, Ferghana, 19, Murabbiylar str., E-mail: shkarimov09@rambler.ru

In this work a composition of Erdelyi-Kober operator with differential operators of the high order is proved. Applying the proved theorems, explicit formulas of a solution of the analogue of the singular Cauchy problem for the iterated Klein-Gordon-Fock equation.

Key words: Erdelyi-Kober operator, Bessel differential operator, Klein-Gordon-Fock equation

© Karimov Sh.T., 2017

Введение

В теории и приложениях широко используются различные модификации и обобщения классических операторов интегрирования и дифференцирования дробного порядка. К таким модификациям относятся, в частности, операторы Эрдейи - Кобера (см. [1, гл. IV, п. 18; гл. VII, п. 37 ], [2], [3, гл. I, II]). Их различные модификации, обобщения и приложения могут быть найдены в работах А. Эрдейи [4]-[8], И. Снеддона [2], [9], Дж. Лоундеса [10]-[ 12] и В. Кирьяковой [3].

В работе Лоундеса [10] был введен и исследован обобщенный оператор Эрдейи -Кобера с функцией Бесселя в ядре

х /а_ 1 (я VX2-72)

/я (п, а)/(х) = 2«Я1-ах-2аг2п+1 ^ (1_а)// /(г, (1)

о ( )

где а, п, Я е Я, а > 0, п > -1/2, /у(г) -функция Бесселя первого рода порядка V. Оператор (1) при Я = 0 совпадает с обычным оператором Эрдейи - Кобера [1, гл. IV, п. 18]

9т-2(п+а) г

In,аf (x) = 2Хг(а) J (x2 - t2)а-1t2n+1 f (t)dt, (2)

где Г(а) - гамма-функция Эйлера.

Основные свойства операторов I-ц,а и Jx (n, а) можно найти в книге [1, гл. IV, п. 18; гл. VII, п. 37 ].

Заметим, что свойства оператора (1) в весовых пространствах Lp(0,<*>) были изучены в работах [13] и [14]. В них обобщенные операторы Эрдейи - Кобера названы операторами Лоундеса.

Для операторов (1) и (2) справедлива следующая теорема (см. [1, Лемма 40.2], [6], [11]).

Теорема 1. Пусть а > 0, f (x) е C2(0,b), b > 0, x2n+1 f (x) интегрируема в нуле и lim x2n+1 f'(x) = 0. Тогда

(Bn+а + x 2)Jx (n, а )f (x) = Jx (n, a)BXn f(x), (3)

в частности, если X = 0 , тогда

Bn+а In ,а

f (x) = In ,а Bxn f (x), (4)

52

x

где Bx= x-2n-1 d-x2n+1А = + ^ ^

п _ х 2п 1 — х2п+1— = —-^Н--— -дифференциальный оператор Бесселя.

1 дх дх дх2 х дх

В статье [15] A.Вайнштейн для одного уравнения гиперболического типа с дифференциальным оператором Бесселя установил формулы, связывающие решения таких уравнений при различных значениях параметра оператора Бесселя через дробный интеграл. Эта идея существенно развита в работах A. Эрдейи [4]-[8], который, продолжив исследования из статьи A. Вайнштейна [16], более подробно изучил свойства дифференциального оператора Бесселя. В этих работах он доказал справедливость равенства (4). Эрдейи, в основном, изучил свойства самих операторов вида (2), их композиции и оценки норм.

После А. Эрдейи его результаты были обобщены Дж. Лоундесом [11], где доказано равенство (3). Полученные результаты Лоундес применил к решению некоторых краевых задач для уравнения Лапласа со смешанными краевыми условиями. Кроме того, в работе [12], применив равенство (3), он решил задачу Коши для многомерного гиперболического уравнения с постоянными коэффициентами.

В данной работе исследованы композиции обобщенного оператора Эрдейи-Кобера с дифференциальными операторами высокого порядка, в частности, со степенями оператора Бесселя. Полученные результаты применены к решению аналога сингулярной задачи Коши для итерированного дифференциального уравнения Клейна-Гордона-Фока с оператором Бесселя.

В дальнейшем нам понадобится следующая форма оператора (1):

2х-2(а+П)

ПО)

/я(п, а)/(*) = г(а) I ^+1(*2 — ¿2)а—1/а—1 (Ял/^2—^ /№. (5)

о

где /(г) - функция Бесселя - Клиффорда, которая выражается через функции Бесселя /у(г) по формуле [1]:

~ (_ г2 /4) к

/у (г) = Г(у + 1)(г/2)—у / (г) = о ^ + 1; —г2/4) = £ ("у,, . (6)

Оператор, обратный оператору (5), имеет вид [1]:

2г—2п / 1 , \Р */п-^а (Ял/х2 — я2 )

1 (п,а)/(*)= г|Р—2*!*) / (*2 —я2)а—Р+.; я2(п >+1/М*, (7)

где р = [а] +1, .Ту(г) = /у(гг) = Г(у + 1)(г/2)—%(г), /у(г) - модифицированная функция Бесселя порядка V, а [а]— целая часть числа а.

1. Обобщение свойств оператора Эрдейи-Кобера /(п, а)

1.1. Композиция оператора /я (п, а) со степенями оператора Бесселя

Пусть [ВП]0 = E, E — единичный оператор, [B^j]m = [Bj]m—1 [B^] - m—ая степень оператора Бесселя. В дальнейшем m означает неотрицательное целое число.

Теорема 2. Пусть а > 0, п > —1/2, f (x) G C2m(0,b), b > 0, функции x2j+1 [Bj]k+1 f (x)

d

интегрируемы в нуле и limx2j+1—- [Bj]kf(x) = 0, k = 0, m — 1. Тогда

x ^ 0 dx

[Bj+а + я 2]mJ (п, а )f (x) = /я (п, a)[Bj ]mf(x), (8)

или

B+а ]т/я (п, а )f (x) = /я (п, а )[BJ — Я 2]mf (x), (9)

в частности, если я = 0, тогда

B+а ]% ,а f (x) = 1п ,а B ]mf (x). 22

Доказательство. Теорему докажем методом математической индукции по m. При m = 1 это доказано в теореме 1. Предположим, что равенство (8) имеет место при m = k и докажем, что оно справедливо при m = k + 1. Из равенства

B+а + x 2]k+J (n, а )f (x) = B+а + X 2][ВХп+а + X 2]kJx (n, а) f (x) по предположению индукции, имеем

[ВХп+а + X 2][BX+а + X 2]kJx (n, а )f (x) = [BX+а + X J (n, а^ ]kf (x).

В последнем равенстве, применяя теорему 1 для функций [BX]kf(x) при выполне-

d

нии условий limx2n+1 — [BX]jf (x) = 0, j = 0,k — 1, которые обеспечивают применение

dx '

равенства (3), получим

[BX+а + X 2]k+1 Jx (n, а )f (x) = Jx (n, а) B ]k+V (x).

Равенство (9) доказывается аналогично. Вторая часть теоремы 2, в силу /v(0) = 1, следует из (8) при X = 0. □

Пусть функция w(x,y) = u(x1,x2,...,xn,y) непрерывно дифференцируема до порядка 2m по переменной y и порядка не меньше чем m по x. Lx - не зависящий от y линейный дифференциальный оператор любого конечного порядка по переменной x е

Теорема 3. Пусть а > 0, n > —1/2, y2n+1[BX]kw(x,y) интегрируемы при y ^ 0 и d

limy2n+1 — [BX]kw(x,y) = 0, k = 0, m — 1. Тогда

y^0 dy

[BX+а + X 2 + lJ (n, а )u(x, y) = JXy) (n, а) [BJ + Lx]mu(x, y), в частности, если X = 0 , тогда

[BX+а + Lx] mIX>, а u(x, y) = ^а Bn + Lx]mu(x, y),

верхний индекс y в операторах означает переменную, по которой действуют эти операторы.

Теорема 3 доказывается с помощью формального разложения оператора [(BX +

т . к

Я2) + ¿х]т по формуле [(¿п + Я2)+ ¿х]т = £ Ст (¿х) + Я2] к и с применением

к=1

теоремы 2, где С* = т!/[к!(т — к)!] - биномиальные коэффициенты.

1.2. Композиция обратного оператора 1(п, а) со степенями дифференциального оператора Бесселя

Прежде чем приступить к исследованию свойств оператора (7) докажем некоторые свойства дифференциального оператора Бесселя, которые понадобятся в дальнейшем.

Лемма 1. Если # е N ф(х) е С2?(0,Ь), Ь > 0, то справедливо равенство

В ]9х—2пф (х) = х—2п [В—п (х) (10)

Доказательство. Лемму докажем методом математической индукции по q. Пусть q = 1. Непосредственным вычислением, имеем

[BS]*—*'«' (x)= x—2п - ^ + L [x—2> (x)] =

dx dx

= x-2n—14- [x« '(x) — 2п« (x)] = x^ {«''(x) + «'(x)} = x-2п [Bx п ]«(x). dx x —

Предположим, что равенство (10) имеет место при q = k и докажем, что оно справедливо и при q = k + 1. Действительно из равенства

B f^x^« (x) = b рп fx^« (x) в силу предположения индукции, имеем

B f^x^« (x) = B ]x-2п [ß% ]k «(x) = x-2п [ß% ]k+1« (x).

□

Аналогично доказывается и следующая лемма.

Лемма 2. Если p G N, «(x) g Cp+2(0,b), b > 0, то справедливо равенство

^ (^)p«(x)=(^) 4—p«(x)

или

ЙУ*"« (x)=b;>+p{xJL)'«(x).

Из лемм 1 и 2 вытекает следующее следствие.

Следствие 1. Если «(x) G C2q+p(0,b), b > 0, то справедливо равенство

2(ш) Р««== x—2п (ш) Р ^—p]q«(11)

Теперь перейдем к исследованию свойств оператора (7).

Теорема 4. Пусть p G N, p — 1 ^ а < p, п ^ —1/2, g(x) G C2m(0, b), b > 0, функции x2^+аH1^+а]k+1g(x) интегрируемы в нуле и limx2^+а)+1(d/dx^^+а]kg(x) = 0,

k = 0, m — 1. Тогда справедливы равенства

К]m/—1 (п,а)g(x) = /я 1(п,а) [B^+а + я2]mg(x), (12)

[B" — я2]m /я—1 (п, а)g(x) = /я 1 (п, а) [B^+а]m g(x), (13)

в частности, если я = 0, тогда

Кr^Ux) = 1—,а [B^+а]mg(x). (14)

Доказательство. Теорему докажем методом математической индукции по m. Пусть m = 1. Покажем, что если limx2^^^g^x) = 0, то имеет место равенство

К] /я1 (п, а)g(x) = /я1 (п, а) [B^+а + я2] g(x). (15)

Из определения обратного оператора (7), имеем

1 21—р

[B,] jx—'(X,а)g(x) = Г(р-а) ВД

где

G(x) = j (x2 — i 2)p—1—аIp—1—а (x Vx2—i^) i 2(n+а)+1g(^ )di 1

= x2(n +p) | (1 — s2)p—1—а/р—1—а (Xx^i—S2) s2(n+а)+1g(xs)ds 0

Из равенства (11) при q = 1, получим

21— px—2n f 1 d \

2 F x 1 \ d \

К ] jx—1(X , а)«М = Г(Р—а) Ы [B—x —p] G(x)

(16)

Учитывая определение оператора Бесселя, после вычисления первой производной, имеем

[В% — р] ОД = 01 (х) + 02(х) + Оз(х), (17)

где

0Х (х) = х2(п +р)—^ ^2(п + р) I (1 — /)р—1—а 1р—1—а (ЯхУГ—^2) *2(п+а)+1£(х^|,

02(х)= х2(п +р)—1 ^ (хI (1 — /)р—1—а^/р—1—а (яхУТ—2) +а,

1

G3(x) = x

= x2(n + p)—1 d

dx

x j (1 — s2)p—1—аIp—1—а (xx^i—S2) s2(n+а)+V(xs)ds

В равенстве G\(x), вычислив производную и применяя следующие формулы

-Г-Ip-1-а fxxV 1 — S2) =

dx p а v ^ - у 2(p — а)

X 2x

(1 — S2)/p—а (xxVl — s2) ,

(1 — s2)p—1—аIp—1—а (XxTl—S2) = —

1 1 d

2(p — а) s ds

(1 — s2)p—аIp—а (Яx^l—S2

а также учитывая условие limx2(n+а)+'g/(x) = 0, произведем интегрирование по частям, а затем, возвращаясь к старым переменным, получим

Gi(x) = \ X2x—2 J (x2 — i2)p—%—а (х Vi2—^^) i2(n+а}+'g(i)di +

p — а

+ x—^ (x2 — i2)p—аIp—а (x Vx^—i^) i2(n+а}+' [bX+а]g(i)di.

x

Произведя аналогичные вычисления в выражениях G2(x) и Gß(x), находим

x / ) G2(x) = —^я2x-2|(x2 — §2)p—а^2 — §2j §2(п+а)+1 g(§)d§ +

0

+я2|(x2 — §2)p—1—1—^я/x2 — §^ §2(п+а)+1^(§)d§,

p а

0

x / ) Gs(x) = — »±аPx-^(x2 — §2)p-а§2(п+а)+1[5п+а]g(§)d§ +

+ /(Х2 — §2)Р—1—а/р—1—^Я-/Х2—§2(п+а)+1[вП +аМ§Ж.

Подставляя найденные значения функций Ок(х), к = 1,2,3 в равенство (17), после приведения подобных членов, получим

[В—п—р] о(х) = /(х2 — §2)р—1—%—1—а (я-/Х2—§2(п+а)+1[вП +а + Я2М§),§.

Подставляя в (16), последнее выражение, в силу определения обратного оператора, получим равенство (15). Теперь предположим, что равенство (12) верно при т = п и докажем, что оно верно и при т = п + 1.

Из равенства

[ВП]п+1 /я—1(П,а)*(*)= [ВП] [ВП]п/я1(п,а)*(*), в силу предположения индукции, имеем

[ВП]п+1 /я—1(П,аЖ*) = [ВП] /я—1(п,а) [Л$+а + Я2]п^(х).

В силу условия теоремы limx2^+а)+1 ¿d [BT+а]ng(x) = 0, для функции [B+а + я2]ng(x)

условия применимости формулы (15) выполняются. Поэтому, применяя формулу (15) к последнему равенству, получим

[Brj]n+1 /я 1(п,а)g(x) = /я 1(п,а) [B^+а + я2]n+1 g(x).

Аналогично доказывается и формула (13). В силу /v(0) = 1, из равенства (12) при я = 0 следует справедливость формулы (14). □

В частности, из формулы (12) и (14), при п = —1/2 и выполнении условий теоремы 4, соответственно следует справедливость следующих равенств

d2m 1 1 Г о!m

/я—1(—1/2, а)f (x) = /я1 (—1/2, а) B£_ 1/2 + я2 f(x),

dx2m

d2m 1 1 Г im

¿^—Даg(x) = /—1/2,а —1/^ g(x).

1.3. Производные высокого порядка оператора J (n, а)

Пусть DJ = E, Dn = x—22n (1 -^)x2n, Dm = D^'Dj = DjDj.Dj - m - ая степень

x dx

/ 1

оператора Dn, которая представима в виде Dm = x—22n ( - — 1 x2n.

x dx

Теорема 5. Пусть а > 0, n > —1/2, f (x) е Cm(0,b), b > 0, функции x2n+1 DJ+1 f (x) интегрируемы в нуле и lim x2n DJ f (x) = 0, k = 0, m — 1. Тогда

Dm+а Jx (П, а )f (x) = Jx (n, а )Dmf (x). (18)

Доказательство. Эта теорема также доказывается с применением метода математической индукции по т. Покажем, что равенство (18) справедливо при т = 1:

Я+а/Я (п, а)/(х) = /я (п, а)^п/(х). (19)

Рассмотрим функцию

2х—2(п+а) +а/Я (п, а)/(х) = Г(а) ЦП0 ^е (х)

где е - достаточно малое положительное действительное число, а

х—е

F(x)=(idx) f (x2 — tY—''/а—1 (X V^2—t2) t2n+'f(t)dt

1 d_ xdx

0

Применяя правило дифференцирования интеграла, получим

Fe(x) = — (2x — e)а—J—i (XVe(2x — e)) (x — e)2n+1 f(x — e)+

(idx) [(x2—t2)а—'z^—i (x vx^)] t2n+1 f (t)dt

x— e

x dx

0

Далее, учитывая легко проверяемое равенство

1d

имеем

^й) [(х2 — '2)а—1/а- (Я^) = — () [(х2 —'2)а—1/а- (Я^)

еа 1 / \

^(х) = — (2х — е)а—1/а—1 (ЯУе(2х — е)] (х — е)2п+1 /(х — е) —

х—е )

— / Ш [(х2 " ^)а—11/а—1 У^2^)] ^/(')А. 0

Применяя к последнему интегралу правило интегрирования по частям и принимая в внимание условие теоремы 5, после приведения подобных членов, получим

^(х) = —еах—1(2х — е)а—1/—1 (яУе(2х — е)) (х — е)2п/(х — е)+

X— £

'(.I2 — <2)а —'/а—1 (яV-i2 — t2)] <2п+1 D,f(t)dt.

+ !

о

Отсюда, в силу а > 0, при е ^ 0 получим равенство (19).

Предположим, что равенство (18) справедливо при т = к. Докажем, что оно верно при т = к + 1. Из равенства

^5+« /Я (П, а)/ (*) = Я+а +а /Я (П, а ^ (*) по предположению индукции, при выполнении условий теоремы 5, имеем

+а+а/Я (5, а)/(Х) = +а/Я (5, а)Я5/

К правой части последнего равенства, применяя формулу (19) с учетом условий теоремы 5, получим

яЙ1« /я (5, а)/(*) = /я (5, а )Я$+1/(х).

□

Из теоремы 5, в частности при 5 = 0, а > 0, /(х) е Ст(0,Ь), Ь > 0, интегриру-, /1 , \ к „. . /1 , 4 к

емости функции — J f (x) в нуле и lim^-—J f (x) = 0, k = 0, m — 1, следует справедливость следующего равенства

( idi )m/(x2 — ' 2)а —17а—1 (я ^) f(t )'d' =

/ (x2—' 2)а—1/а—1 (я ^)[( 7Si)mf (')

t dt

Кроме того, учитывая /v(0) = 1, из равенства (20) при я = 0, имеем

( Ш )m/d2 —' 2)а—1 f (' )'d' = /(x2 — 12)а—1 [(Ii )mf (')

tdt. (20)

tdt.

Теорема 6. Пусть а > 0, п ^ —1/2, f (x) G C2m(0, b), b > 0, функции x^+1 B]k+1 f (x)

d

интегрируемы в нуле и lim!2п+1—- [BT]kf (x) = 0, k = 0, m — 1. Тогда

x 0 dx

, 2т т + .

^/я(5,«)/(*) = £ (5, а + т + /) (В^ — Я2)т+//(х), (21)

т + . +1

,*2т+1 /я(5,«)/(*) = £ Ьт.*2.+1/я(5,а + т + / + 1) (В^ — Я2)т+/+1 /(х), (22)

где постоянные ат/ а Ьт/ определяются из следующих рекуррентных соотношений:

«00 = 1, Ь00 = 1/2, Ьт. = (1/2)ат. + 2(/ + 1)ат(/+1), 0 ^ / ^ т,от/ = 0, / > т,

d2m+1

*(m+1) j = (1/2)bm(j—1) + (2 j + 1)bmj, 1 ^ j ^ m bmj = 0, j > m a(m+1)0 =

= bm0 = 2—(m+')(2m + 1)!!.

(23)

Доказательство. Теорему докажем методом математической индукции по т. Покажем, что равенства (21) и (22) справедливы при т = 1.

Из определения обобщенного оператора Эрдейи-Кобера (5), после замены переменной интегрирования по формуле ? = хя, имеем

Jx(n, а)f(x) = гОу/ (1 — s2)a—1J—i (XxVl—2) s2n+1 f(xs)ds.

(24)

Вычислим первую производную

^х (n, а) f (x) = г^/(' — s2)a—1 s2xddx

Ja—1 (X xV 1 — s2) f (xs)

ds =

Г(а)

J (1 — s2)a—'Ja—i (X xVl — s2) s2n+2 f /(xs)ds+

x1

+— s2)a—1s2xf (xs) dx

Ja-1 (X xV 1 — s2

ds.

Отсюда, применяя формулы

dJa—1 (XxVl—S2) = — 2X2x(1 — S2)Ja (xxVT—S2) ,

2a 1 f 1 d

(1 — S2)a—'Ja—1 (Xxx/l—S2) = —-Ц 1 ^ (1 — S2)aJa (Х^л/Т

2a \ s ds

— s2

получим

dU(n,a )f (x) = — аГо)/dS

(1 — s2)aJa fxxVl — s2)l s2n+1 f/(xs)ds—

X 2x а Г(а

1

У (1 — s2)aJa (xxVl — S2) S2n+1 f(xs)ds

В первом интеграле, произведя интегрирование по частям, с учётом условия d

limx2n+1 — f (x) = 0, имеем x 0 dx

¿Jx (П, a)f(x) = J (1 — s2)a4 (XxVl—S2) s2n+1 [BJ — X2] f(xs)ds.

dx

a Г(а)

1

2

Принимая во внимание формулу (24) и аГ(а) = Г(а +1), из последнего равенства находим

А х

-/Я ( п, а)/(х) = / ( п, а + 1) [В^ — Я2] /(х). (25)

Теперь вычислим вторую производную

а2 1

Ах2/я ( п, а)/(х) = 2/я ( п, а + 1) [В^ — Я2] /(х)+ х А

+ 2а?/я(п, а + 1) [¿п _ Я2] /(х).

Применяя формулу (25) ко второму слагаемому и учитывая условие теоремы, имеем

А2 1

/я( п,а)/(х) = 1 /я( п,а + 1) Щ — Я2] /(х)+

dx^ ^'^a/V-V 2* XV'"~ n

2

+-Jx( n,а + 2) [BJ — X2]2f(x).

Вычисляя ещё раз производную и принимая во внимание равенство (25) и условия теоремы, находим

а з зх 2

^/я ( п, а)/(х) = —/я ( п, а + 2) [В^ _ Я2]2 /(х)+

3

+xrJx( П,а + 3) [BJ — X2]3f(x).

Полученные формулы подтверждают справедливость формулы (21) и (22) при т = 1. Предположим, что равенства (21) и (22) справедливы при т = к. Докажем, что они верны при т = к + 1. Рассмотрим производную

d 2(k+') d jx ( П, a) f (x) = -r-

d 2k+' dx2k+'

JX( П, a) f (x)

^¡^Jx(n, a)f(x) = £ bkj— [x2j+'Jx(n, а + k + j + 1) (BJ — X2)k+j+'f(x)

Ах2(к+1) ЯЧ " 7 Ах Принимая во внимание формулу (22) и (25), получим

А2(к+1^..... £. А

7=0

к

£ Ьк^ {(27 + 1)х2 / ( п, а + к + 7 + 1) (В^ — Я 2)к+'+1 /(х) +

7=0

+2 х27+2/я ( п, а + к + 7 + 2) (вп — Я2)к+7+2 /(х)}.

После группировки подобных членов, имеем

А2(к+1) к+1

Ах^^^у/я (п, а)/(х) = Ьк0/я (п, а + к + 1) (В^ — Я2) + /(х)+

+

2 bk0 + 3bki

x2J ( n, а + k + 2) (BJ — X2) k+2 f (x)+

+

2 bk1 + 5bk2

x4/ ( п, а + k + 3) (B" — я2) k+3 f (x) + ■ ■ ■ +

+

2 bk(k—1) + (2k + 1)bkk

x2k/я ( п, а + 2k + 1) (B^ — я 2) 2k+1 f (x)+

+1 bkkx2^( п,а + 2k + 2) К — я2)2(k+1}f(x)

(26)

Из рекуррентных формул (23) следует, что Ьк0 = а(к+1)0, Ьк. = 0, / > к, 1 Ьк(.—1) + (2/ + 1)Ьк/. = а(к+1)/, 1 ^ / ^ к. Тогда из (26), получим

d2(k+1) k+1 k+ + dx^^^+Yy/я(п,а)f(x) = £ a(k+1).x2./я(п, а + k + j + 1) (B5 — я2) +j+ f(x).

Аналогично доказывается и равенство (22). □ 1.4. О граничных значениях производных высокого порядка оператора / ( 5, «)

Теорема 7. Пусть а > 0, п ^ —1/2, f (x) G C2m—1 [0, b] nC2m(0,b), b > 0, lim [Bi]kf (x) =

2m

xk

ck, ck = const и limx2??+1(d/dx)[Bi]kf(x) = 0, k = 0,m — 1. Тогда

x0

x0

B+а]m/я ( п, а)f (x)|x=0 = J^/ ( п, а)f (x)

x=0

d i d2m+1 ^ [BT+а]m/я(п,а)f(x)|x=0 = 0, ^/я(п,а)f(x)

=0

x=0

в частности, если я = 0, тогда

(а + + 1)m d

2m

[B7+а]%, аf (x) |x=0 = (1/2)m dx2m, (x)

x=0

d x m | d2m+1 dx [B7+а]%, (x) 1 x=0 = 0, dx2m+1 7п, аf (x)

=0

(27)

(28)

(29)

(30)

x=0

Доказательство. Сначала покажем, что

/я ( п, а) f (x)|x=0 = ^ Г п + ^ f (0).

Г(а + п + 1)'

(31)

Равенство (24) перепишем в виде

/я ( п, а )f (x) = F (x, s)« (s)ds,

где ^(х,я) = /(хя)/«—1 (Ях^Г—Я2) , ф(я) = [2/Г(а)](1 — я2)«—V5+1.

В силу /V(0) = 1 и условий, наложенных на заданную функцию /(х), из последнего равенства следует, что функция F(х,я) интегрируема по я на отрезке [0,1] и

1

limF(x,s) = f(0) = c0 равномерно относительно s е [0,1], а функция ф(s) абсолютно интегрируема в несобственном смысле на отрезке [0,1], так как

1 x 1

2

ф (s)ds = (1 — s2)a—'s2n+'ds = Г( n + Т)

J J Г(а) J v ; Г(а + n + \

Тогда по теореме о предельном переходе под знаком несобственного интеграла,

зависящего от параметра [19], следует справедливость равенства (31).

т

Пусть ¿(х) = [Вп — Я2]т/(х) = £ (—1)т—кСтЯ2(т—к)[вп]к/(х). Учитывая условия

ц

k=0

x0

lim [BJ]kf(x) = ck, ck = const, получим

т

¿(0) = £ (—1)т—кстЯ2(т—к)Ск. (32)

к=0

Для функции /(х) е С2т—1[0,Ь] ПС2т(0,Ь), Ь > 0, условия теоремы 2 выполняются. Поэтому, применяя формулу (31) к равенству (9) и учитывая (32), имеем

Вп+а]т/я ( п, а)/(х)|х=0 = Г(а(+ + +)1) £ (—1)т—кстЯ2(т—к)Ск. (33)

Г(а + + 1 ) к=0

Кроме того для функции /(х) е С2т—1[0,Ь] ПС2т(0,Ь), Ь > 0, выполняются условия теоремы 6, т.е. Итх2п+1 Ах[Вп]к/(х) = 0, к = 0,т — 1. Тогда из равенства (21), получим

j2m

d „ „ ч „, ч „ „ ч /„^ „ 2)m

dx2m

Jx ( П, a )f (x)

= am0 Jx ( П, а + m) (BJ — X2) f (x)

x=0

x=0

Применяя к правой части последнего равенства формулу (31), с учетом (32) находим

А2т |

dx2m

jx ( П, а )f (x)

,=0 = am0 Г(а +(m + JV 1) £ (—1'Г"*X 2(m-k) Ck ■ (34)

Учитывая ат0 = 2—т(2т — 1)!! = (1/2)т, Г(а + т +п + 1) = Г(а + п + 1)(а + п + 1)т из равенств (33) и (34), получим справедливость формулы (27).

Теперь докажем справедливость равенства (28). Дифференцируя по х равенство

В+а ]т/я ( п, а )/ (х) = /я ( п, а )[вп — Я 2]т/ (х),

получим

/■/ г!

Ах В+а ]т/я ( п, а)/(х) = Ах/Я ( п, а)[вп — Я 2]т/(х). Далее, учитывая формулу

А х

( п, а Жх) = - /я ( п, а + 1) [¿п — Я 2] ¿(х),

где g(x) = [BJ — X2]mf(x), имеем

dx [BJ+а]mJx ( П, а)f (x) = J ( П, а + 1) [BJ — X2]m+' f (x).

32

Отсюда, рассуждая, как и выше, при * = 0 получим справедливость первого равенства (28). Верность второго равенства в (28), следует из (22) при * = 0.

В силу /(0) = 1 и /0( 5,а) = /5,«, из равенств (27) и (28) соотственно, при Я = 0 следует справедливость формул (29) и (30). □

Доказанные теоремы позволяют сводить сингулярные (или вырождающиеся) уравнения высокого как четного, так и нечетного порядка к не сингулярным уравнениям и тем самым поставить и исследовать корректные начальные и граничные задачи для таких уравнений.

2. Приложения обобщенного оператора Эрдейи-Кобера к решению аналога сингулярной задачи Коши

2.1. Постановка задачи

На важность исследования уравнений высокого порядка вида

указал А.В.Бицадзе [21], где Ь - линейный дифференциальный оператор второго порядка, а Ьт = Ьт—1Ь - т -ая композиция этого оператора.

В этом направлении можно указать работу В.И.Жегалова [22], в которой уравнение (35) исследовано, когда т ^ 1, а Ь = д2/д*2 + Б1£пх(д2/ду2) - оператор Лаврентьева-Бицадзе. Различные задачи для уравнения (35), когда Ь— оператор Лаврентьева-Бицадзе, а т = 2 исследованы в работах М.М.Смирнова [23] и М.М.Мередова [24]. Наиболее полную информацию об этих исследованиях можно найти в обзорном пленарном докладе В.И.Жегалова [25]. В работе К.Б.Сабитова [26] для неоднородного уравнения (1) с оператором Лаврентьева-Бицадзе, исследована положительность решения.

Аналог задачи Коши для уравнения (35), когда Ь— оператор гиперболического типа вида Ь = д2/дг2 — АХ, где А* -многомерный оператор Лапласа, исследованы С.А.Гальпериным и В.Е.Кондрашовым [27], а в случае Ь = В5 — АХ, где В5 = д2/дг2 + [(2 5 + 1)/г](д/дг) - оператор Бесселя действующий по временной переменной, при 5 = (к — 1)/2, к е К, исследованы в работах С.А.Алдашева [28] и Л.А.Иванова [29]. В работе А.В.Глушак [30] исследованы итерированные задачи Коши и Дирихле с оператором Бесселя в банаховом пространстве и установлены формулы решения задачи Коши в терминах операторной функции Бесселя.

В настоящей работе, в отличие от цитированных источников, применим доказанные свойства обобщенного оператора Эрдейи-Кобера к решению аналога сингулярной задачи Коши для итерированного уравнения Клейна-Гордона-Фока - гиперболического уравнения теории элементарных частиц квантовой механики [31].

В области П = {(*,у) : —^ < * < +<*>, 0 < у < требуется найти классическое решение итерированного уравнения

Lmw = 0, m = 1,2,...

(35)

(36)

удовлетворяющее начальным условиям

или

д 2ки

д у2к

=0 y2ed2k+1u

у=0 0' y ду2^1

= (x), x G R, к = 0, m - 1 (38)

y=o

где в, Я е Л, причем 0 < в < 1/2, и фк(х), %(х), (к = 0, т — 1) - заданные дифференцируемые функции.

2.2. Решение задачи

Предположим, что решение м1(х,у) задачи {(36), (37)} существует. Это решение будем искать в виде

"1(х,у) = /£}(—1/2, в)и(х,у), (39)

где и(х,у) -неизвестная дифференцируемая функция.

Подставим (39) в начальные условия (37) и применим теоремы 6 и 7. Затем, подставляя (39) в уравнение (36) и используя теорему 3 при Ьх = — д2/дх2, получим задачу нахождения решения и(х,у) поливолнового уравнения

д2 д2\т

и (х, у) = 0, х е Л, у > 0, (40)

д у2 д x2

удовлетворяющего начальным условиям

д 2kU

д у2к

д 2k+1U

у=0

= ф^(х), "т^+т 1у=0 = 0, x G R, к = 0,m- 1, (41)

у=0

к

где Фк (х) = £ ууСуЯ2^(х), у; = Г (у + в + (1/2)) /Г (у +(1/2))

7=0

Решение задачи {(40), (41)} имеет вид [32]:

и (х, у) = 1 [Р0(х + у)+ Р0 (х — у)] +

1 х+у

m— 1

— у Г _1

+ Е 22n(n_ 1)!nJ ^ _ (x_^П_ pn(s)ds,

x—у

= p0(x, у)+ , (44)

(42)

где

Р»(я) = £ (— !)*С*фП-к(я), фП—(я) = к(5), п = 0,т-1. (43)

Подставляя (42) в (39), получим

"1(х,у) = 2^Яу)(—1/2, в)[Р0(х + у)+ Р0(х — у)]+

т— 1 1 Г Х+у _ 1 1

+ £ 22п(п — 1)!п!/1у)(—1/2, в) Ы [у2 — (х — *)2Р =

т1

где

P0(x,y) = 2JXy)(—1/2, в)[P0(x + y)+ P0(x — y)] =

y1—2в y

J (y2 — n2)e—'Je—^X Vy2 — n2) [P0(x + n) + P0(x — n)] dn (45)

Г(в)

0

xx+y

Pn(x, y)= JXy)(—1/2, в) [y2 — (x — s)2]n 1 Pn(s)ds=

/ ' "]И—1

x-y

2y' - ^

Л— 2в y

/(y2 — п2)в—'Je—i(xV2—x2) x

Г(в)

0

xx+

,2 / „л2]И—1

X (п / [п2 — (х — я)2]» 1 ри(я)АяАп. (46)

х-

Упростим выражения (45) и (46). В равенстве (45), разделив интеграл на два интеграла и сделав в каждом из них замену переменной интегрирования соответственно по формулам я = х +п и я = х — п, после несложных преобразований, получим

Р0(х,у) = Г"" Х+ [у2 — (я — х)2]в—1 /в—1 (я^ — (я — х)2) р0(я)Ая. (47)

х—у

В равенстве (46), меняя порядок интегрирования, имеем

2у1—2в 7

Р»(х,у) = -Г^у у р„(я)К„(х,у,я)Ая, (48)

х—у

где

у

,2 б- 1" ^ ^ ^ г 2 / ч2]И—1

(x,y,s)= | (y2 — п2)в—Je—i(xVy2—П2) [n2 — (x — s)2]n—1 ndn

В последнем интеграле, произведя замену переменных п2 = (я—х)2 + [у2 — (я—х)2]?, получим

1

К»(х, у, я) = (1/2)о" +»—11 1(1 — ?)"—1/—1 (Я УО^—)) А?,

0

где о = у2 — (я — х)2.

Пользуясь разложением функции Бесселя-Клиффорда в ряд (6) и учитывая равномерную сходимость данного ряда при любых значениях аргумента, меняем порядок интегрирования и суммирования. Затем, вычислив внутренний интеграл, получим

К»(х,у,я) = ГпвГ+!о"+■/+-1 (Я^0).

s—x

В силу этого равенства выражение функции Рп(х,у) из (48) представим в виде

Pn(x,у) =

Г(п)у

1_2в х+у/в^у2 _ (x _ s)2)

Г(в + n)

x_ у

[у2 _ (x _ s)2]1_e_n

Pn(s)ds.

(49)

Подставляя (47) и (49) в (44) и принимая во внимание Г(п) = (п — 1)!, окончательно находим явную формулу решение задачи {(36), (37)}:

m— 1

U1(x, у)= Е

n=0 z п-

1_2в % +n_1 ^у2 _ (x _ S)2)

п!Г(в + n)x_у [у2 _ (x _ s)2]1_e_n

Pn(s)ds.

(50)

Это решение при т = 1 совпадает с результатом работы [33], которая получена другим методом.

Из доказанного выше следует, что если фу(х) е С2(т—у)(Л), у = 0,т — 1, то функция «1(х,у), определяемая равенством (50), является классическим решением уравнения (36), удовлетворяющего начальным условиям (37).

Заметим, что на основании теоремы 7, в задаче {(36), (37)} вместо начального условия (37) можно взять начальные условия вида

В _1/2]kU

д

у=0

= tf^ ду [Be_1/2]kU

= 0, x G R, к = 0, m _ 1,

(51)

у=0

где ф(х) = [(0 + 1/2)к/(1/2)к]фк(х)

Кроме того, в силу теоремы 2 и 7, а также равенства (39), следует, что задачи {(36), (37)} и {(36), (51)} сводятся к одной и той же вспомогательной задаче {(40), (41)}. Отсюда следует справедливость следующего утверждения.

Лемма 3. Решение задачи {(36), (37)} является решением задачи {(36), (51)}, и наоборот.

В работах [28] и [29] данная лемма (при Я = 0) доказана другими методами.

Аналогичное утверждение имеет место и для задачи {(36), (38)}. В работах [28] и [29] при Я = 0 доказано, что вместо начальных условий (38) можно взять начальные условия вида

B_1/2]kU_ = 0 у2вду В_1/2]kU

у=0

д у^ в _1/2

у=0

= v£(x), x G R, k = 0, m _ 1,

(52)

где щ(х)= П (1 — (в/7)Ж(х).

7=1

При этом справедливо следующее утверждение.

Лемма 4. При любом в < 1/2 решение задачи {(36), (38)} является решением задачи {(36), (52)} и наоборот.

Теперь рассмотрим задачу нахождения решения м2(х,у) уравнения (36), удовлетворяющего начальным условиям (52).

Лемма 5. Если м1(х, у;1 — в) является решением уравнения (36), удовлетворяющего условиям (51), в котором в заменяется на 1 — в, то функция м2(х,у;в) = у1—2вм1(х, у;1 — в) при 0 < в < 1/2 будет решением уравнения (36), удовлетворяющего условиям

Вв _1/2]k U2

д

у=0=у2вду В-//«2

у=0

= (1 _ 2в)$(x), x G R, k = 0, m _ 1.

Как и в работах [28] и [29], эта лемма доказывается методом математической индукции по m.

Таким образом, применяя лемму 5 и заменяя (1 — 2ß)^j(x) на yj(x), из равенства (50) находим

m—1 1 x+y "2(x,y) = Е Г (2—nß + n) / q»(s)[y2 — (s — x)2]n—ßJ—ß (a— (s — x)2) ds, (53)

n=0 x—y

где qn(s) = Е (—1)feQn^n2fel(s), ВД = Е ft-сПA2(n—j)yj(x), n = О^Ж—Т, Yj = k=0 j=0

Г (j — ß + (3/2)) /Г (j +(1/2)).

Как и отмечено выше, аналогично можно установить, что если yj(x) е C2(m j)(R), j = 0,m — 1, то функция M2(x,y), определяемая равенством (53), является классическим решением уравнения (36), удовлетворяющего начальным условиям (38).

Список литературы

[1] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И., Интегралы и производные дробного порядка и их приложения, Наука и техника, Минск, 1987. [Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O. I. Integraly i proizvodnye drobnogo porjadka i ih prilozhenija. Minsk: Nauka i tehnika,1987. ].

[2

[3

[4

[5

[6 [7

[8 [9

[10 [11 [12 [13 [14 [15 [16

Sneddon I. N., Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory, North-Holland Publ., Amsterdam, 1966.

Kiryakova V., Generalized Fractional Calculus and Applications., Long-man Sci. & Technical and J. Wiley & Sons, Harlow, N. York, 1994.

Erdelyi A., "On fractional integration and its application to the theory of Hankel transforms", Quart. J. Math. Oxford ser., 11:44 (1940), 293-303.

Erdelyi A., Kober H., "Some remarks on Hankel transforms", Quart. J. Math. Oxford ser., 11:43 (1940), 212-221.

Erdelyi A., "An application of fractional integrals", J. Analyse Math, 14:44 (1965), 113-126.

Erdelyi A., "Axially symmetric potentials and fractional integration", J. Soc. Industr. and Appl. Math, 13:1 (1965), 216-228.

Erdelyi A., "On the Euler-Poisson-Darboux equation", J. Analyse Math., 23 (1970), 89-102.

Sneddon I. N., "The use in mathematical analysis of Erdelyi-Kober' operators and of some of their applications.", In: Fractional Calculus and Its Applications, Proc., Publ. as: Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1975, 37-79.

Lowndes J.S., "A generalization of the Erdelyi-Kober operators", Proc. Edinb. Math. Soc., 17:2 (1970), 139-148.

Lowndes J.S., "An application of some fractional integrals", Proc. Edinb. Math. Soc., 20:1 (1979), 35-41.

Lowndes J.S., "Cauchy problems for second order hyperbolic differential equations with constant coefficients", Proc. Edinb. Math. Soc., 26:3 (1983), 307-311.

Heywood P., "Improved boundedness conditions for Lowndes' operators", Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A, 73:9 (1975), 291-299.

Heywood P. , Rooney P. G., "On the boundedness of Lowndes' operators", J. London Math. Soc., 10:2 (1975), 241-248.

Weinstein A., "The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation", Summa Brasil Math., 3 (1955), 125-147.

Weinstein A., "On a singular differential operator", Ann.mat. pura ed appl., 49:4 (1960), 359-365.

[i7] Полянин А. Д., Справочник по линейным уравнениям математической физики, ФИЗMAТЛИТ, M., 2001. [Poljanin A.D. Spravochnik po linejnym uгavnenijam matematicheskoj fiziki. Moskva. FIZMATLIT, 2001 ].

[1B] Прудников А. П., Брычков Ю.А., Mаричев О. И., Интегралы и ряды. Элементарные функции, 2-е изд., исправ. Т. 1, ФИЗMAТЛИТ, M., 2002. [Prndnikov A. P., Bгychkov Ju.A., Maгichev O.I. Integraly i гjady. Jelementaraye funkcii. vol. 1. 2-e izd., isprav. Moskva. FIZMATLIT, 2002 ].

[19] Ильин В. А., Позняк Э. Г, Основы математического анализа, В 2-х ч.: Учеб.: Для вузов. - 7-е изд.. Т. 1, ФИЗMAТЛИТ, M., 2005. [Il'in V.A., Poznjak Je. G Osnovy matematicheskogo analiza Ch.i. V 2-h ch.: Ucheb.: Dlja vuzov. 7-e izd. Moskva. FIZMATLIT, 2005 ].

[20] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, 2, Наука, M., 1973. [Bejtmen G., Je^eji A. Vysshie tгanscendentnye funkcii. 2. Moskva. Nauka. 1973 ].

[21] Бицадзе А. В., Избранные труды, Издательство Учреждения РАН Кабардино-Балкарского научного центра РАН, Нальчик, 2012. [Bicadze A. V. Izbrannye trndy. Nal'chik: Izdatel'stvo Uchrezhdenija RAN ^bará^o-Balka^^go nauchnogo centra RAN. 2012 ].

[22] Жегалов В. И., "Краевая задача для уравнения смешанного типа высшего порядка", ДАН СССР, 136:2 (1962), 274-276. [Zhegalov V.I. Kraevaja zadacha dlja uravnenija smeshannogo tipa vysshego po^adka. DAN SSSR. 1962. vol. i36. no. 2. 274-276 ].

[23] Смирнов M. M., Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка, Изд-во ЛГУ, Ленинград, 1972. [Smiraov M. M. Model'noe uravnenie smeshannogo tipa chetvertogo poTjadka. Leningгad. Izd-vo LGU, 1972 ].

[24] Mередов M.M., "О единственности решения краевых задач для уравнения смешанного тип четвертого порядка", Известия АН Туркм. ССР. Серия физ.-техн., хим. и геол. наук, 1967, №4, 11-16. [Meredov M. M. O edinstvennosti reshenija kraevyh zadach dlja uravnenija smeshannogo tip chetvertogo po^adka. Izvestija AN Tu^m. SSR. Serija fiz.-tehn., him. i geol. nauk. 1967. no 4. 11-16 ].

[25] Жегалов В. И., "Об одном направлении в теории уравнений с частными производными", Материалы Международн. научн. конф. "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций,"Казань, 29 сентября - 1 октября, 2014 (Изд-во Казанск. матем. о-ва), 2014, 13-15. [Zhegalov V.I. Ob odnom napravlenii v teorii uravnenij s chastnymi proizvodnymi. Materialy Mezhdunarodn. nauchn. konf. "Kraevye zadachi dlja differencial'nyh uravnenij i analiticheskih funkcij,"Kazan', 29 sentjabj - 1 okfabna, 2014 (Izd-vo Kazansk. matem. o-va). 2014. 13-15 ].

[26] Сабитов К. Б., "О положительности решения неоднородного уравнения смешанного типа высшего порядка", Mеждународн. научн. конф. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций Материалы, Казань, 29 сентября - 1 октября, 2014), 2014, 64-67. [Sabitov K.B. O polozhitel'nosti reshenija neodnorodnogo uravnenija smeshannogo tipa vysshego po^adka. Materialy Mezhdunarodn. nauchn. konf. Kraevye zadachi dlja differencial'nyh uravnenij i analiticheskih funkcij. Kazan', 29 sentjabj - 1 okfabna, 2014. 64-67 ].

[27] Гальперин С. А., Кондрашов В.Е., "Задача Коши для дифференциальных операторов, распадающихся на волновые множители", Труды Московского мат. общества, 16 (1967), 109-136. [Gal'perin S.A., Kondrashov V. E. Zadacha Koshi dlja differencial'nyh operatorov, raspadajushhihsja na volnovye mnozhiteli. Trndy Moskovskogo mat. obshhestva. 1967. no 16. 109-136 ].

[2B] Алдашев С. А., "О задаче Коши для операторов распадающихся на множители с особенностями", Дифференциальные уравнения, 17:2 (19в1), 247-255. [Aldashev S.A. O zadache Koshi dlja operatorov raspadajushhihsja na mnozhiteli s osobennostjami. Differencial'nye uravnenija. 19Б1. vol. 17. no. 2. 247-255 ].

[29] Иванов Л. А., "Задача Коши для некоторых операторов с особенностями", Дифференциальные уравнения, 18:6 (19в2), 1020-102в. [Ivanov L. A. Zadacha Koshi dlja nekoto^h operatorov s osobennostjami. Differencial'nye uravnenija. 19B2. vol. 1B. no 6. 1020-102B ].

[30] Глушак А. В., "Итерированные задачи Коши и Дирихле с оператором Бесселя в банаховом пространстве", Изв. вузов. Матем., 1999, №B, 3-10. [Glushak A. V. Iterirovannye zadachi Koshi i Dirihle s operatorom Besselja v banahovom prostranstve. Izv. vuzov. Matem. 1999. no B. 3-10 ].

[31] Боголюбов Н.Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т., Общие принципы квантовой теории поля, Наука, М., 1987. [Bogoljubov N.N., Logunov A. A., Oksak A. I., Todorov I. T. Obshhie principy kvantovoj teorii polja. M.: Nauka, 1987 ].

[32] Каримов Ш. Т., "Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя", Изв. вузов. Матем., 2017, №8, 27-41. [Karimov Sh. T. Ob odnom metode reshenija zadachi Koshi dlja odnomernogo polivolnovogo uravnenija s singuljarnym operatorom Besselja. Izv. vuzov. Matem. 2017. no 8. 27-41. ].

[33] Капилевич М. Б., "Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа", Математический сборник, 30(72):1 (1952), 11-38. [Kapilevich M. B. Ob odnom uravnenii smeshannogo jelliptiko-giperbolicheskogo tipa. Matematicheskij sbornik. 1952. vol. 30(72). no 1. 11-38 ].

Список литературы (ГОСТ)

[1] Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск: Наука и техника,1987.

[2] Sneddon I. N. Mixed Boundary Value Problems in Potential Theory. Amsterdam: North-Holland Publ., 1966

[3] Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. N. York: Long-man Sci. & Technical and J. Wiley & Sons, Harlow, 1994

[4] Erdelyi A. On fractional integration and its application to the theory of Hankel transforms // Quart. J. Math. Oxford ser. 1940. vol. 11. no 44. pp. 293-303

[5] Erdelyi A., Kober H. Some remarks on Hankel transforms // Quart. J. Math. Oxford ser.1940. vol. 11. no 43. pp. 212-221. 1940

[6] Erdelyi A. An application of fractional integrals // J. Analyse Math. 1965. vol 14. no 44. pp. 113-126

[7] Erdelyi A. Axially symmetric potentials and fractional integration // J. Soc. Industr. and Appl. Math. 1965. vol 13. no 1. pp. 216-228

[8] Erdelyi A. On the Euler-Poisson-Darboux equation // J. Analyse Math. 1970. vol. 23. pp. 89-102

[9] Sneddon I. N. The use in mathematical analysis of Erdelyi-Kober' operators and of some of their applications. In: Fractional Calculus and Its Applications, Proc., Publ. as: Lecture Notes in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 1975. pp. 37-79

[10] Lowndes J. S. A generalization of the Erdelyi-Kober operators // Proc. Edinb. Math. Soc. 1970. vol. 17. no 2. pp. 139-148

[11] Lowndes J.S. An application of some fractional integrals // Proc. Edinb. Math. Soc. 1979. vol. 20. no. 1. pp. 35-41

[12] Lowndes J.S. Cauchy problems for second order hyperbolic differential equations with constant coefficients // Proc. Edinb. Math. Soc. 1983. vol. 26. no. 3. pp. 307-311

[13] Heywood P. Improved boundedness conditions for Lowndes' operators // Proc. Roy. Soc. Edinburgh, A. 1975. vol. 73. no. 9. pp. 291-299

[14] Heywood P. , Rooney P. G. On the boundedness of Lowndes' operators // J. London Math. Soc. 1975. vol. 10. no. 2. pp. 241-248

[15] Weinstein A. The generalized radiation problem and the Euler-Poisson-Darboux equation // Summa Brasil Math. 1955. vol. 3. pp. 125-147

[16] Weinstein A. On a singular differential operator // Ann. mat. pura ed appl. 1960. vol. 49. no 4. pp. 359-365

[17] Полянин А. Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2001

[18] Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. Т. 1. 2-е изд., исправ. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002

[19] Ильин В. А., Позняк Э. Г Основы математического анализа Ч.1. В 2-х ч.: Учеб.: Для вузов. - 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005

[20] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. М.: Наука. 1973

[21] Бицадзе А. В. Избранные труды. Нальчик: Издательство Учреждения РАН Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2012

[22] Жегалов В. И. Краевая задача для уравнения смешанного типа высшего порядка // ДАН СССР. 1962. vol. 136. no. 2. pp. 274-2761962.

[23] Смирнов М. М. Модельное уравнение смешанного типа четвертого порядка. Л.: Изд-во ЛГУ, 1972

[24] Мередов М. М. О единственности решения краевых задач для уравнения смешанного тип четвертого порядка // Известия АН Туркм. ССР. Серия физ.-техн., хим. и геол. наук. 1967. №4. С. 11-16

[25] Жегалов В. И. Об одном направлении в теории уравнений с частными производными. Материалы Международн. научн. конф. "Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций,"Казань, 29 сентября - 1 октября, 2014 (Изд-во Казанск. матем. о-ва). 2014. C.13-15

[26] Сабитов К. Б. О положительности решения неоднородного уравнения смешанного типа высшего порядка. Материалы Международн. научн. конф. Краевые задачи для дифференциальных уравнений и аналитических функций. Казань, 29 сентября - 1 октября, 2014. C. 64-67

[27] Гальперин С. А., Кондрашов В. Е. Задача Коши для дифференциальных операторов, распадающихся на волновые множители // Труды Московского мат. общества. 1967. №. 16. C. 109-136

[28] Алдашев С. А. О задаче Коши для операторов распадающихся на множители с особенностями // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17. №. 2. C. 247-255

[29] Иванов Л. А. Задача Коши для некоторых операторов с особенностями // Дифференциальные уравнения. 1982. Т. 18. №6. С. 1020-1028

[30] Глушак А. В. Итерированные задачи Коши и Дирихле с оператором Бесселя в банаховом пространстве // Изв. вузов. Матем. 1999. № 8. С. 3-10

[31] Боголюбов Н. Н., Логунов А. А., Оксак А. И., Тодоров И. Т. Общие принципы квантовой теории поля. М.: Наука, 1987

[32] Каримов Ш. Т. Об одном методе решения задачи Коши для одномерного поливолнового уравнения с сингулярным оператором Бесселя // Изв. вузов. Матем. 2017. № 8. С. 27-41

[33] Капилевич М. Б. Об одном уравнении смешанного эллиптико-гиперболического типа // Математический сборник. 1952. Т. 30(72). №1. С. 11-38

Для цитирования: Каримов Ш. Т. О некоторых обобщениях свойств оператора Эрдейи-

Кобера и их приложения // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 2(18). C. 20-40.

DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-20-40

For citation: Karimov Sh. T. About some generalizations of the properties of the Erdelyi-

Kober operator and their application, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2017, 18: 2, 20-40.

DOI: 10.18454/2079-6641-2017-18-2-20-40

Поступила в редакцию / Original article submitted: 10.02.2017